Multiplikative Funktion - Multiplicative function
In der Zahlentheorie ist eine multiplikative Funktion eine arithmetische Funktion f ( n ) einer positiven ganzen Zahl n mit der Eigenschaft f (1) = 1 und
Eine arithmetische Funktion f ( n ) heißt vollständig multiplikativ (oder total multiplikativ ), falls f (1) = 1 und f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) gilt für alle positiven ganzen Zahlen a und b , auch wenn sie sind nicht coprime.
Beispiele
Einige multiplikative Funktionen sind definiert, um das Schreiben von Formeln zu erleichtern:
- 1( n ): die konstante Funktion, definiert durch 1( n ) = 1 (vollständig multiplikativ)
- Id( n ): Identitätsfunktion , definiert durch Id( n ) = n (vollständig multiplikativ)
- Id k ( n ): die Potenzfunktionen, definiert durch Id k ( n ) = n k für jede komplexe Zahl k (vollständig multiplikativ). Als Sonderfälle haben wir
- Id 0 ( n ) = 1 ( n ) und
- Id 1 ( n ) = Id ( n ).
- ε ( n ): Die Funktion , die durch definiert ε ( n ) = 1 , wenn n = 1 und 0 sonst, manchmal auch als Multiplikationseinheit für Dirichlet Faltung oder einfach die Einheitsfunktion (vollständig multiplikativ). Manchmal geschrieben als u ( n ), aber nicht zu verwechseln mit μ ( n ) .
- 1 C ( n ), die Indikatorfunktion der Menge C ⊂ Z , für bestimmte Mengen C . Die Indikatorfunktion 1 C ( n ) ist genau dann multiplikativ, wenn die Menge C für beliebige teilerfremde Zahlen a und b folgende Eigenschaft hat : Das Produkt ab ist genau dann in C, wenn die Zahlen a und b beide selbst in C sind . Dies ist der Fall, wenn C die Menge der Quadrate, Würfel oder k- ten Potenzen ist, oder wenn C die Menge der quadratfreien Zahlen ist.
Andere Beispiele für multiplikative Funktionen umfassen viele Funktionen, die in der Zahlentheorie von Bedeutung sind, wie zum Beispiel:
- gcd( n , k ): der größte gemeinsame Teiler von n und k als Funktion von n , wobei k eine feste ganze Zahl ist.
- : Totient Funktion des Euler , die positiven ganzen Zahlen zu zählen Koprimzahlen (aber nicht größer als) n
- μ ( n ): die Möbius-Funktion , die Parität (−1 für ungerade, +1 für gerade) der Anzahl der Primfaktoren quadratfreier Zahlen; 0 wenn n nicht quadratfrei ist
-
σ k ( n ): der Divisor - Funktion , die die Summe ist der k - ten Potenzen aller positiven Teiler von n (wobei k eine beliebige sein kann komplexe Zahl ). Sonderfälle haben wir
- σ 0 ( n ) = d ( n ) die Anzahl der positiven Teiler von n ,
- σ 1 ( n ) = σ ( n ) die Summe aller positiven Teiler von n .
- a ( n ): die Anzahl der nicht isomorphen abelschen Gruppen der Ordnung n .
- λ ( n ): die Liouville-Funktion , λ ( n ) = (−1) Ω ( n ) wobei Ω ( n ) die Gesamtzahl der Primzahlen (mit Multiplizität gezählt) ist, die n teilen . (völlig multiplikativ).
- γ ( n ), definiert durch γ ( n ) = (−1) ω (n) , wobei die additive Funktion ω ( n ) die Anzahl der verschiedenen Primzahlen ist, die n teilen .
- τ ( n ): die Ramanujan-Tau-Funktion .
- Alle Dirichlet-Zeichen sind vollständig multiplikative Funktionen. Zum Beispiel
- ( n / p ), das Legendre-Symbol , betrachtet als Funktion von n, wobei p eine feste Primzahl ist .
Ein Beispiel für eine nicht-multiplikative Funktion ist die arithmetische Funktion r 2 ( n ) – die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von Quadraten zweier ganzer Zahlen, positiv , negativ oder Null , wobei beim Zählen der Anzahl der Wege die Umkehrung von Bestellung ist erlaubt. Zum Beispiel:
und daher r 2 (1) = 4 ≠ 1. Dies zeigt, dass die Funktion nicht multiplikativ ist. Jedoch R 2 ( n ) / 4 ist multiplikativen.
In der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences haben Folgen von Werten einer multiplikativen Funktion das Schlüsselwort "mult".
Siehe arithmetische Funktion für einige andere Beispiele für nicht-multiplikative Funktionen.
Eigenschaften
Eine multiplikative Funktion wird vollständig durch ihre Werte bei den Potenzen von Primzahlen bestimmt , eine Folge des fundamentalen Satzes der Arithmetik . Wenn also n ein Produkt von Potenzen verschiedener Primzahlen ist, sagen wir n = p a q b ..., dann f ( n ) = f ( p a ) f ( q b ) ...
Diese Eigenschaft multiplikativer Funktionen reduziert den Rechenaufwand deutlich, wie in den folgenden Beispielen für n = 144 = 2 4 · 3 2 :
Ebenso haben wir:
Im Allgemeinen gilt, wenn f ( n ) eine multiplikative Funktion ist und a , b zwei beliebige positive ganze Zahlen sind, dann
Jede vollständig multiplikative Funktion ist ein Homomorphismus von Monoiden und wird vollständig durch ihre Beschränkung auf die Primzahlen bestimmt.
Faltung
Sind f und g zwei multiplikative Funktionen, so definiert man eine neue multiplikative Funktion f * g , die Dirichlet-Faltung von f und g , durch
Die Beziehungen zwischen den oben diskutierten multiplikativen Funktionen umfassen:
- μ * 1 = ε (die Möbius-Inversionsformel )
- ( μ Id k ) * Id k = ε (verallgemeinerte Möbius-Inversion)
- * 1 = ID
- d = 1 * 1
- σ = Id * 1 = * d
- σ k = Id k * 1
- Id = * 1 = σ * μ
- Id k = σ k * μ
Die Dirichlet-Faltung kann für allgemeine arithmetische Funktionen definiert werden und ergibt eine Ringstruktur, den Dirichlet-Ring .
Die Dirichlet-Faltung zweier multiplikativer Funktionen ist wieder multiplikativ. Einen Beweis dafür liefert die folgende Entwicklung für relativ Primzahlen :
Dirichlet-Reihe für einige multiplikative Funktionen
Weitere Beispiele sind im Artikel über die Dirichlet-Reihe zu sehen .
Multiplikative Funktion über F q [ X ]
Sei A = F q [ X ] , der Polynomring über dem endlichen Körper mit q Elementen. A ist ein prinzipieller idealer Bereich und daher ist A ein eindeutiger Faktorisierungsbereich .
Eine komplexwertige Funktion auf A wird als multiplikative wenn immer dann , wenn f und g sind relativ prim .
Zeta-Funktion und Dirichlet-Reihe in F q [ X ]
Sei h eine polynomiale arithmetische Funktion (dh eine Funktion auf einer Menge von monischen Polynomen über A ). Die entsprechende Dirichlet-Reihe ist definiert als
wo für set if und andernfalls.
Die polynomielle Zetafunktion ist dann
Ähnlich wie in N hat jede Dirichlet-Reihe einer multiplikativen Funktion h eine Produktdarstellung (Euler-Produkt):
wobei das Produkt über alle monischen irreduziblen Polynome P läuft . Die Produktdarstellung der Zeta-Funktion ist beispielsweise wie bei den ganzen Zahlen:
Anders als bei der klassischen Zeta - Funktion , ist eine einfache rationale Funktion:
In ähnlicher Weise, wenn f und g zwei polynomielle arithmetische Funktionen sind, definiert man f * g , die Dirichlet-Faltung von f und g , durch
wobei die Summe über alle monischen Teiler d von m oder äquivalent über alle Paare ( a , b ) von monischen Polynomen ist, deren Produkt m ist . Die Identität gilt immer noch.
Siehe auch
Verweise
- Siehe Kapitel 2 von Apostol, Tom M. (1976), Einführung in die analytische Zahlentheorie , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, HERR 0434929 , Zbl 0335.10001