Norm (Mathematik) - Norm (mathematics)

In der Mathematik ist eine Norm eine Funktion von einem reellen oder komplexen Vektorraum zu den nichtnegativen reellen Zahlen, die sich in gewisser Weise wie der Abstand vom Ursprung verhält : sie kommutiert mit Skalierung, gehorcht einer Form der Dreiecksungleichung und ist nur bei . Null der Ursprung. Insbesondere ist der euklidische Abstand eines Vektors vom Ursprung eine Norm, die als euklidische Norm oder 2-Norm bezeichnet wird und auch als Quadratwurzel des inneren Produkts eines Vektors mit sich selbst definiert werden kann.

Eine Pseudonorm oder Seminorm erfüllt die ersten beiden Eigenschaften einer Norm, kann aber für andere Vektoren als den Ursprung null sein. Ein Vektorraum mit einer bestimmten Norm wird normierter Vektorraum genannt . In ähnlicher Weise wird ein Vektorraum mit einer Seminorm als seminormierter Vektorraum bezeichnet .

Definition

Gegeben einen Vektorraum über einem Teilkörper F der komplexen Zahlen ist eine Norm auf eine reellwertige Funktion mit den folgenden Eigenschaften, wobei bezeichnet den üblichen Absolutwert eines Skalars :

  1. Subadditivität / Dreiecksungleichung : für alle
  2. Absolute Homogenität : für alle Skalare
  3. Positive Bestimmtheit / Punkttrennend : für allewenndann
    • Weil Eigenschaft (2) impliziert, dass einige Autoren Eigenschaft (3) durch die äquivalente Bedingung ersetzen: für jedes wenn und nur wenn

Eine Seminorm on ist eine Funktion mit den Eigenschaften (1) und (2), so dass insbesondere jede Norm auch eine Seminorm (und damit auch ein sublineares Funktional ) ist. Es gibt jedoch Seminormen, die keine Normen sind. Die Eigenschaften (1) und (2) implizieren, dass if eine Norm (oder allgemeiner eine Seminorm) ist und die auch die folgende Eigenschaft hat:

  1. Nichtnegativität : für alle

Einige Autoren nehmen die Nicht-Negativität als Teil der Definition von "Norm" auf, obwohl dies nicht erforderlich ist.

Äquivalente Normen

Angenommen p und q seien zwei Normen (oder Seminormen) auf einem Vektorraum Dann heißen p und q äquivalent , falls es zwei reelle Konstanten c und C mit c > 0 gibt, so dass für jeden Vektor

Die Normen p und q sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie induzieren. Zwei beliebige Normen auf einem endlichdimensionalen Raum sind äquivalent, aber dies erstreckt sich nicht auf unendlichdimensionale Räume.

Notation

Wenn eine Norm auf einem Vektorraum X angegeben ist , dann wird die Norm eines Vektors normalerweise durch Einschließen in doppelte vertikale Linien angegeben: Eine solche Notation wird manchmal auch verwendet, wenn p nur eine Seminorm ist. Für die Länge eines Vektors im euklidischen Raum (was ein Beispiel für eine Norm ist, wie unten erläutert ) ist auch die Notation mit einzelnen vertikalen Strichen weit verbreitet.

In LaTeX und verwandten Auszeichnungssprachen wird der Doppelstrich der Normnotation mit dem Makro eingegeben \|, das wie folgt dargestellt wird Die doppelte vertikale Linie, die verwendet wird, um parallele Linien zu bezeichnen , den Paralleloperator und die Paralleladdition wird mit eingegeben und als gerendert Obwohl sie ähnlich aussehen, sind diese beiden Makros dürfen nicht als verwechseln bezeichnet eine Klammer und bezeichnet einen Operator. Daher werden ihre Größe und der Raum um sie herum nicht auf die gleiche Weise berechnet. In ähnlicher Weise ist der einzelne vertikale Strich kodiert, wenn er als Klammer verwendet wird, und wie wenn er als Operator verwendet wird. \parallel\|\parallel|\mid

In Unicode ist die Darstellung des Zeichens "Doppelte vertikale Linie" U+2016 DOPPELTE VERTIKALE LINIE . Das „doppelte vertikale Linie“ Symbol sollte nicht mit der „parallel zu“ Symbol verwechselt wird U + 2225 PARALLEL TO , die parallelen Linien und parallel Operatoren bezeichnen sollte. Die doppelte vertikale Linie sollte auch nicht mit U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK verwechselt werden , die in der Linguistik seitliche Klicks bezeichnen soll .

Die einzelne vertikale Linie | hat eine Unicode-Darstellung U+007C | VERTIKALE LINIE .

Beispiele

Jeder (reelle oder komplexe) Vektorraum lässt eine Norm zu: Wenn eine Hamel-Basis für einen Vektorraum X ist, dann ist die reellwertige Abbildung, die x = Σ iI s i x iX sendet (wobei alle bis auf endlich viele der Skalare s i sind 0) bis Σ iI | s ich | ist eine Norm auf X . Es gibt auch eine Vielzahl von Normen, die zusätzliche Eigenschaften aufweisen, die sie für bestimmte Probleme nützlich machen.

Absolutwertnorm

Der absolute Wert

ist eine Norm auf den eindimensionalen Vektorräumen, die durch die reellen oder komplexen Zahlen gebildet werden .

Jede Norm p auf einem eindimensionalen Vektorraum X ist äquivalent (bis auf die Skalierung) der Absolutwertnorm, d. h. es gibt einen normerhaltenden Isomorphismus von Vektorräumen mit entweder oder und normerhaltend bedeutet Dieser Isomorphismus ist gegeben durch Senden an einen Vektor der Norm 1 , der existiert, da ein solcher Vektor durch Multiplizieren eines beliebigen von Null verschiedenen Vektors mit der Umkehrung seiner Norm erhalten wird.

Euklidische Norm

Auf dem n- dimensionalen euklidischen Raum wird der intuitive Längenbegriff des Vektors x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) durch die Formel erfasst

Dies ist die euklidische Norm, die den gewöhnlichen Abstand vom Ursprung zum Punkt X angibt – eine Folge des Satzes des Pythagoras . Dieser Vorgang kann auch als „SRSS“ bezeichnet werden, was eine Abkürzung für den IS s quare r OOT die s mgr ; M s quares.

Die euklidische Norm ist bei weitem die am häufigsten verwendete Norm, aber es gibt noch andere Normen in diesem Vektorraum, wie unten gezeigt wird. Alle diese Normen sind jedoch in dem Sinne äquivalent, dass sie alle dieselbe Topologie definieren.

Das innere Produkt zweier Vektoren eines euklidischen Vektorraums ist das Skalarprodukt ihrer Koordinatenvektoren über einer Orthonormalbasis . Somit kann die euklidische Norm koordinatenfrei geschrieben werden als

Die euklidische Norm wird auch die angerufene L 2 norm , l 2 Norm , 2-Norm oder Quadratnorm ; siehe L p Raum . Es definiert eine Abstandsfunktion der angerufene euklidische Länge , L 2 Abstand oder l 2 Abstand .

Die Menge der Vektoren, in deren euklidischer Norm eine gegebene positive Konstante ist, bildet eine n- Sphäre .

Euklidische Norm komplexer Zahlen

Die euklidische Norm einer komplexen Zahl ist der Absolutwert (auch Modul genannt ) davon, wenn die komplexe Ebene mit der euklidischen Ebene identifiziert wird Diese Identifizierung der komplexen Zahl x + i y als Vektor in der euklidischen Ebene macht die Quantität (wie zuerst von Euler vorgeschlagen) die der komplexen Zahl zugeordnete euklidische Norm.

Quaternionen und Oktonionen

Es gibt genau vier euklidische Hurwitz-Algebren über den reellen Zahlen . Dies sind die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und zuletzt die Oktonionen, wobei die Dimensionen dieser Räume über den reellen Zahlen 1 , 2 , 4 bzw. 8 sind. Die kanonischen Normen auf und sind ihre absoluten Wertfunktionen , wie zuvor besprochen.

Die kanonische Norm on von Quaternionen ist definiert durch

für jede Quaternion in Dies ist die gleiche wie die euklidische Norm auf als Vektorraum betrachtet Ebenso ist die kanonische Norm auf den Oktonionen nur die euklidische Norm auf
Endlichdimensional komplexe normierte Räume

Auf einem n- dimensionalen komplexen Raum ist die häufigste Norm

In diesem Fall kann die Norm als Quadratwurzel des inneren Produkts des Vektors und sich selbst ausgedrückt werden :

wobei als
Spaltenvektor ([ x 1 ; x 2 ; ...; x n ]) dargestellt wird und seine konjugierte Transponierte bezeichnet .

Diese Formel gilt für jeden inneren Produktraum , einschließlich euklidischer und komplexer Räume. Bei komplexen Räumen entspricht das innere Produkt dem komplexen Punktprodukt . Daher kann die Formel in diesem Fall auch in der folgenden Notation geschrieben werden:

Taxinorm oder Manhattan-Norm

Der Name bezieht sich auf die Strecke, die ein Taxi in einem rechteckigen Straßenraster zurücklegen muss , um vom Ausgangspunkt zum Punkt x zu gelangen .

Die Menge der Vektoren, deren 1-Norm eine gegebene Konstante ist, bildet die Oberfläche eines Kreuzpolytops mit einer Dimension, die der Norm minus 1 entspricht. Die Taxicab-Norm wird auch

Norm genannt . Die von dieser Norm abgeleitete Distanz wird Manhattan-Distanz oder 1- Distanz genannt .

Die 1-Norm ist einfach die Summe der absoluten Werte der Spalten.

Im Gegensatz,

ist keine Norm, da sie zu negativen Ergebnissen führen kann.

p -norm

Sei p ≥ 1 eine reelle Zahl. Die p -Norm (auch -Norm genannt) des Vektors ist

Für p = 1 erhalten wir die Taxi-Norm , für p = 2 die euklidische Norm , und wenn p sich der
p- Norm nähert, nähert sich die Unendlichkeitsnorm oder Maximalnorm :
Die p- Norm bezieht sich auf den verallgemeinerten Mittelwert oder Potenzmittelwert.

Diese Definition ist für 0 < p < 1 noch interessant , aber die resultierende Funktion definiert keine Norm, da sie die Dreiecksungleichung verletzt . Für diesen Fall von 0 < p < 1 gilt selbst im messbaren Analogon, dass die entsprechende Klasse L p ein Vektorraum ist, und es gilt auch, dass die Funktion

(ohne p- te Wurzel) definiert einen Abstand, der L p ( X ) zu einem vollständigen metrischen topologischen Vektorraum macht . Diese Räume sind von großem Interesse in der Funktionalanalysis , Wahrscheinlichkeitstheorie und harmonischen Analysis . Abgesehen von trivialen Fällen ist dieser topologische Vektorraum jedoch nicht lokal konvex und hat keine stetigen linearen Formen ungleich Null. Der topologische Dualraum enthält also nur das Nullfunktional.

Die partielle Ableitung der p -Norm ist gegeben durch

Die Ableitung nach x ist also

wobei das Hadamard-Produkt bezeichnet und für den Absolutwert jeder Komponente des Vektors verwendet wird.

Für den Spezialfall p = 2 wird dies

oder

Maximalnorm (Sonderfall von: Unendlichkeitsnorm, Einheitsnorm oder Höchstnorm)

If ist ein Vektor, so dass dann:

Die Menge der Vektoren, deren Unendlichkeitsnorm eine gegebene Konstante c ist , bildet die Fläche eines Hyperwürfels mit der Kantenlänge 2 c .

Nullnorm

In der Wahrscheinlichkeits- und Funktionalanalysis induziert die Nullnorm eine vollständige metrische Topologie für den Raum der messbaren Funktionen und für den F-Raum von Folgen mit F–Norm Hier meinen wir unter

F-Norm eine reellwertige Funktion auf einem F-Raum mit Abstand d , so dass Die oben beschriebene F -Norm keine Norm im üblichen Sinne ist, da ihr die erforderliche Homogenitätseigenschaft fehlt.

Hamming-Abstand eines Vektors von Null

In der metrischen Geometrie nimmt die diskrete Metrik den Wert Eins für unterschiedliche Punkte und ansonsten Null an. Bei koordinatenmäßiger Anwendung auf die Elemente eines Vektorraums definiert der diskrete Abstand den Hamming-Abstand , der in der Codierungs- und Informationstheorie wichtig ist . Im Bereich der reellen oder komplexen Zahlen ist der Abstand der diskreten Metrik von Null im Nicht-Nullpunkt nicht homogen; tatsächlich bleibt der Abstand von Null eins, wenn sich sein Nicht-Null-Argument Null nähert. Der diskrete Abstand einer Zahl von Null erfüllt jedoch die anderen Eigenschaften einer Norm, nämlich die Dreiecksungleichung und die positive Bestimmtheit. Bei komponentenweiser Anwendung auf Vektoren verhält sich der diskrete Abstand von Null wie eine inhomogene "Norm", die die Anzahl der Nicht-Null-Komponenten in ihrem Vektorargument zählt; wieder ist diese inhomogene "Norm" diskontinuierlich.

In der Signalverarbeitung und Statistik bezog sich David Donoho auf die Null- Norm mit Anführungszeichen. Der Notation von Donoho folgend, ist die Null-"Norm" von x einfach die Anzahl der Nicht-Null-Koordinaten von x oder die Hamming-Distanz des Vektors von Null. Wenn diese "Norm" auf eine beschränkte Menge lokalisiert wird, ist sie die Grenze von p- Normen, wenn p gegen 0 geht. Natürlich ist die Null-"Norm" keine echte Norm, weil sie nicht positiv homogen ist . Tatsächlich ist sie nicht einmal eine F-Norm im oben beschriebenen Sinne, da sie insgesamt bezüglich des Skalararguments bei der Skalar-Vektor-Multiplikation und bezüglich ihres Vektorarguments diskontinuierlich ist. Indem sie die Terminologie missbrauchen , lassen einige Ingenieure die Anführungszeichen von Donoho

weg und nennen die Funktion der Anzahl von Nicht-Nullen unangemessen die L 0 -Norm, was die Notation für den Lebesgue-Raum der messbaren Funktionen widerspiegelt .

Unendliche Dimensionen

Die Verallgemeinerung der obigen Normen auf unendlich viele Komponenten führt zu p- und L p- Räumen mit Normen

für komplexwertige Folgen bzw. Funktionen auf , die weiter verallgemeinert werden können (siehe

Haar-Maß ).

Jedes innere Produkt induziert auf natürliche Weise die Norm

Weitere Beispiele für unendlichdimensionale normierte Vektorräume finden sich im Artikel über den Banach-Raum .

Zusammengesetzte Normen

Andere Normen können konstruiert werden, indem die oben genannten kombiniert werden; zum Beispiel

ist eine Norm auf

Für jede Norm und jede injektive lineare Transformation A können wir eine neue Norm von x definieren , gleich

In 2D, mit A einer Drehung um 45° und einer geeigneten Skalierung, ändert dies die Taxinorm in die maximale Norm. Jedes A, das auf die Taxinorm angewendet wird, bis hin zur Umkehrung und Vertauschung der Achsen, ergibt eine andere Einheitskugel: ein Parallelogramm einer bestimmten Form, Größe und Ausrichtung.

In 3D ist dies ähnlich, aber unterschiedlich für die 1-Norm ( Oktaeder ) und die maximale Norm ( Prismen mit Parallelogrammbasis).

Es gibt Beispiele für Normen, die nicht durch "eingabeweise" Formeln definiert sind. Zum Beispiel definiert das Minkowski-Funktional eines zentralsymmetrischen konvexen Körpers in (zentriert bei Null) eine Norm auf (siehe

§ Klassifikation von Seminormen: absolut konvexe absorbierende Mengen weiter unten).

Alle obigen Formeln ergeben auch ohne Änderung Normen .

Es gibt auch Normen auf Räumen von Matrizen (mit reellen oder komplexen Einträgen), die sogenannten Matrixnormen .

In abstrakter Algebra

Sei E eine endliche Erweiterung eines Körpers k von untrennbarem Grad p μ , und k habe algebraischen Abschluss K . Wenn die unterschiedlichen Einbettungen von E sind { σ j } j , so sind die Galois theoretische Norm eines Elements & agr;E ist der Wert , wie diese Funktion vom Grad homogen ist

[ E : k ] , die Galois theoretische Norm ist keine Norm im Sinne dieses Artikels. Die [ E : k ] -te Wurzel der Norm (vorausgesetzt, das Konzept macht Sinn) ist jedoch eine Norm.

Kompositionsalgebren

Der Normbegriff in

Kompositionsalgebren hat nicht die üblichen Eigenschaften einer Norm, da er für z ≠ 0 negativ oder null sein kann . Eine Kompositionsalgebra ( A , *, N ) besteht aus einer Algebra über einem Körper A , einer Involution * , und eine quadratische Form, die als "Norm" bezeichnet wird.

Das charakteristische Merkmal von Kompositionsalgebren ist die Homomorphismuseigenschaft von N : für das Produkt wz zweier Elemente w und z der Kompositionsalgebra erfüllt seine Norm For und

O die Kompositionsalgebranorm ist das Quadrat der oben diskutierten Norm. In diesen Fällen ist die Norm eine bestimmte quadratische Form . In anderen Kompositionsalgebren ist die Norm eine isotrope quadratische Form .

Eigenschaften

Für jede Norm auf einem Vektorraum gilt die

umgekehrte Dreiecksungleichung :
Wenn eine kontinuierliche lineare Abbildung zwischen normierten Räumen ist, dann sind die Norm von und die Norm der
Transponierten von gleich.

Für die L p- Normen gilt die Höldersche Ungleichung

Ein Spezialfall davon ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung :
Abbildungen von Einheitskreisen in verschiedenen Normen.

Gleichwertigkeit

Der Begriff des Einheitskreises (der Menge aller Vektoren der Norm 1) ist in verschiedenen Normen unterschiedlich: für die 1-Norm ist der Einheitskreis ein Quadrat , für die 2-Norm (euklidische Norm) die bekannte Einheit Kreis , während für die Unendlichkeit Norm, ist es ein anderer Platz. Für jede p -Norm ist es eine Superellipse mit kongruenten Achsen (siehe beiliegende Abbildung). Aufgrund der Definition der Norm muss der Einheitskreis konvex und zentralsymmetrisch sein (daher kann z. B. die Einheitskugel ein Rechteck, aber kein Dreieck sein, und für eine

p- Norm).

In Bezug auf den Vektorraum definiert die Seminorm eine Topologie auf dem Raum, und dies ist eine Hausdorff- Topologie genau dann, wenn die Seminorm verschiedene Vektoren unterscheiden kann, was wiederum äquivalent dazu ist, dass die Seminorm eine Norm ist. Die so definierte Topologie (entweder durch eine Norm oder eine Seminorm) kann entweder in Form von Folgen oder offenen Mengen verstanden werden. Man sagt, dass eine Folge von Vektoren in der Norm gegen

konvergiert , wenn als Äquivalent die Topologie aus allen Mengen besteht, die als Vereinigung offener Kugeln dargestellt werden können . Wenn ein normierter Raum ist, dann

Zwei Normen und auf einem Vektorraum heißenäquivalent, wenn sie dieselbe Topologie induzieren, was genau dann passiert, wenn positive reelle ZahlenCundD existieren,so dass für alle

Zum Beispiel, wenn an dann

Bestimmtes,

Das ist,
Ist der Vektorraum ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Raum, sind alle Normen äquivalent. Andererseits sind bei unendlichdimensionalen Vektorräumen nicht alle Normen äquivalent.

Äquivalente Normen definieren dieselben Begriffe von Kontinuität und Konvergenz und müssen für viele Zwecke nicht unterschieden werden. Genauer gesagt ist die durch äquivalente Normen auf dem Vektorraum definierte einheitliche Struktur einheitlich isomorph .

Klassifikation der Seminormen: absolut konvexe absorbierende Sätze

Alle Seminormen auf einem Vektorraum lassen sich als

absolut konvex absorbierende Teilmengen A von klassifizieren Jeder dieser Teilmengen entspricht eine Seminorm p A genannt Eichmaß von A , definiert als
wobei 'inf' das Infimum ist , mit der Eigenschaft, dass
Umgekehrt:

Jeder lokal konvexe topologische Vektorraum hat eine lokale Basis, die aus absolut konvexen Mengen besteht. Eine übliche Methode zur Konstruktion einer solchen Basis ist die Verwendung einer Familie ( p ) von Seminormen p , die Punkte trennt : Die Sammlung aller endlichen Schnittmengen von Mengen { p < 1/ n } verwandelt den Raum in einen lokal konvexen topologischen Vektorraum, so dass jedes p ist stetig .

Eine solche Methode wird verwendet, um schwache und schwache* Topologien zu entwerfen .

Normfall:

Angenommen, ( p ) enthält ein einzelnes p : Da ( p ) trennend ist , ist p eine Norm und ihre offene
Einheitskugel . Dann ist A eine absolut konvexe beschränkte Umgebung von 0 und stetig.
Das Umgekehrte geht auf Andrey Kolmogorov zurück : Jeder lokal konvexe und lokal beschränkte topologische Vektorraum ist normierbar . Genau:
Wenn eine absolut konvexe beschränkte Umgebung von 0 ist, ist die Eichung (also eine Norm.

Siehe auch

Verweise

Literaturverzeichnis