Satz von Hurwitz (Zusammensetzungsalgebren) - Hurwitz's theorem (composition algebras)

In Mathematik , Hurwitz Theorem ein Satz von ist Adolf Hurwitz (1859-1919), veröffentlicht posthum im Jahre 1923, die Lösung von Hurwitz Problem für die Finite-dimensionale unital echte nicht-assoziativen Algebren ausgestattet mit einer positiv-definite quadratische Form . Der Satz besagt, dass, wenn die quadratische Form einen Homomorphismus in die positiven reellen Zahlen auf dem Nicht-Null-Teil der Algebra definiert, die Algebra zu den reellen Zahlen , den komplexen Zahlen , den Quaternionen oder den Oktonionen isomorph sein muss . Solche Algebren, manchmal Hurwitz-Algebren genannt , sind Beispiele für Kompositionsalgebren .

Die Theorie der Kompositionsalgebren wurde anschließend auf beliebige quadratische Formen und beliebige Körper verallgemeinert . Der Satz von Hurwitz impliziert, dass multiplikative Formeln für Quadratsummen nur in 1, 2, 4 und 8 Dimensionen auftreten können, ein Ergebnis, das ursprünglich 1898 von Hurwitz bewiesen wurde. Es ist ein Spezialfall des Hurwitz-Problems , das auch in Radon (1922) gelöst wurde . Nachfolgende Beweise für die Beschränkungen der Dimension lieferten Eckmann (1943) mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen und von Lee (1948) und Chevalley (1954) mit Clifford-Algebren . Der Satz von Hurwitz wurde in der algebraischen Topologie auf Probleme von Vektorfeldern auf Kugeln und den Homotopiegruppen der klassischen Gruppen und in der Quantenmechanik auf die Klassifikation einfacher Jordanalgebren angewendet .

Euklidische Hurwitz-Algebren

Definition

Eine Hurwitz-Algebra oder Kompositionsalgebra ist eine endlichdimensionale nicht notwendigerweise assoziative Algebra A mit Identität, die mit einer nicht entarteten quadratischen Form q ausgestattet ist, so dass q ( a b ) = q ( a )  q ( b ) . Wenn das zugrunde liegende Koeffizientenfeld die reellen Zahlen ist und q positiv-definit ist, so dass ( a ,  b ) = 1/2[ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )] ein inneres Produkt ist , dann heißt A eine euklidische Hurwitz-Algebra oder (endlich-dimensionale) normierte Divisionsalgebra .

Wenn A eine euklidische Hurwitz-Algebra ist und a in A ist , definieren Sie die Involution und die rechten und linken Multiplikationsoperatoren durch

Offenbar hat die Involution die zweite Periode und bewahrt das innere Produkt und die Norm. Diese Operatoren haben die folgenden Eigenschaften:

  • die Involution ist ein Antiautomorphismus, dh ( a b )*= b *  a *
  • a a * = ‖  a  ‖ 2  1 = a *  a
  • L ( a *) = L ( a )* , R ( a *) = R ( a )* , so dass die Involution auf der Algebra dem Nehmen von Adjungierten entspricht
  • Re( a b ) = Re( b a ) falls Re  x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
  • Re( a b )  c = Re  a ( b c )
  • L ( a 2 ) = L ( a ) 2 , R ( a 2 ) = R ( a ) 2 , so dass A eine alternative Algebra ist .

Diese Eigenschaften werden ausgehend von der polarisierten Version der Identität ( a b ,  a b ) = ( a ,  a )( b ,  b ) bewiesen :

Setzen von b = 1 oder d = 1 ergibt L ( a *) = L ( a )* und R ( c *) = R ( c )* .

Also Re( a b ) = ( a b , 1)1 = ( a ,  b *)1 = ( b a , 1)1 = Re( b a ) .

Ähnlich Re ( a b ) c = (( a b ) c ,1)1 = ( a b ,  c *)1 = ( b ,  a *  c *)1 = ( bc , a *)1 = ( a ( bc ),1 )1 = Re a ( b c ) .

Daher (( ab )*,c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b * ( a * c *)) = (1, ( b * a *) c * ) = ( b * a *, c ) , so dass ( ab ) * = b * a * .

Durch die polarisierten Identität ‖  a  ‖ 2  ( c ,  d ) = ( a c ,  a d ) = ( a * ( a c ),  d ) so L ( a *)  L ( a ) = L (‖  a  ‖ 2 ) . Auf 1 angewendet ergibt dies a *  a = ‖  a  ‖ 2 1 . Das Ersetzen von a durch ein * gibt die andere Identität.

Einsetzen der Formel für a * in L ( a * )  L ( a ) = L ( a *  a ) ergibt L ( a ) 2 = L ( a 2 ) . Die Formel R ( a 2 ) = R ( a ) 2 wird analog bewiesen.

Einstufung

Es ist Routine zu überprüfen, ob die reellen Zahlen R , die komplexen Zahlen C und die Quaternionen H Beispiele für assoziative euklidische Hurwitz-Algebren mit ihren Standardnormen und Involutionen sind. Außerdem gibt es natürliche Einschlüsse RCH .

Die Analyse einer solchen Inklusion führt zur Cayley-Dickson-Konstruktion , die von AA Albert formalisiert wurde . Sei A eine euklidische Hurwitz-Algebra und B eine echte unitale Subalgebra, also eine eigenständige euklidische Hurwitz-Algebra. Wähle einen Einheitsvektor j in A orthogonal zu B . Da ( j , 1) = 0 , folgt j * = − j und damit j 2 = −1 . Sei C eine von B und j erzeugte Subalgebra . Sie ist unital und wieder eine euklidische Hurwitz-Algebra. Es erfüllt die folgenden Cayley-Dickson-Multiplikationsgesetze :

B und B j sind orthogonal, da j orthogonal zu B ist . Wenn a in B ist , dann ist j a = a *  j , da nach Orthogonal 0 = 2 ( j ,  a *) = j aa *  j . Die Formel für die Involution folgt. Um zu zeigen, dass BB j abgeschlossen ist unter Multiplikation Bj = j B . Da B j orthogonal zu 1 ist ( b j )* = − b j .

  • b ( c j ) = ( c b ) j , da ( b ,  j ) = 0 , so daß für x in A , ( b ( c j ),  x ) = ( b ( j x ),  j ( c j )) = - ( b ( JX ),  c *) = - ( C b , ( j x ) *) = - (( C b ) , j ,  x *) = (( c b ) j ,  x ) .
  • ( j c ) b = j ( b c ) wobei die obigen Adjungierten verwendet werden.
  • ( B j ) , ( c j ) = - c *  b da ( b ,  c j ) = 0, so daß für x in A , (( B j ) , ( c j ),  x ) = - (( C j ) x *,  b j ) = ( bx *, ( cj ) j ) = –( c *  b ,  x ) .

Das Auferlegen der Multiplikativität der Norm auf C für a + b j und c + d j ergibt:

was dazu führt

Daher d ( a c ) = ( d a ) c , so daß B muss assoziativ sein .

Diese Analyse gilt für die Aufnahme von R in C und C in H . Wenn man O = HH mit dem obigen Produkt und dem inneren Produkt nimmt, erhält man eine nichtkommutative nichtassoziative Algebra, die durch J = (0, 1) erzeugt wird . Dies stellt die übliche Definition der Oktonionen oder Cayley-Zahlen wieder her . Wenn A eine euklidische Algebra ist, muss sie R enthalten . Wenn es strikt größer als R ist , zeigt das obige Argument, dass es C enthält . Wenn es größer ist , als C , es enthält H . Wenn es noch größer ist, muss es O enthalten . Aber dort muss der Prozess aufhören, weil O nicht assoziativ ist. Tatsächlich ist H nicht kommutativ und a ( b j ) = ( b a ) j ( a b ) j in O .

Satz. Die einzigen euklidischen Hurwitz-Algebren sind die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen.

Andere Beweise

Die Beweise von Lee (1948) und Chevalley (1954) verwenden Clifford-Algebren, um zu zeigen, dass die Dimension N von A 1, 2, 4 oder 8 sein muss. Tatsächlich erfüllen die Operatoren L ( a ) mit ( a , 1) = 0 L ( a ) 2 = −‖  a  ‖ 2 und bilden so eine reelle Clifford-Algebra. Ist a ein Einheitsvektor, dann ist L ( a ) schiefadjungiert mit Quadrat I . Also muss N entweder gerade oder 1 sein (in diesem Fall enthält A keine zu 1 orthogonalen Einheitsvektoren). Die reelle Clifford-Algebra und ihre Komplexifizierung wirken auf die Komplexifizierung von A , einem N- dimensionalen komplexen Raum. Wenn N gerade ist, ist N − 1 ungerade, also hat die Clifford-Algebra genau zwei komplexe irreduzible Darstellungen der Dimension 2 N /2 − 1 . Diese Zweierpotenz muss also N teilen . Es ist leicht zu erkennen, dass dies impliziert, dass N nur 1, 2, 4 oder 8 sein kann.

Der Beweis von Eckmann (1954) verwendet die Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder die projektive Darstellungstheorie elementarer abelscher 2-Gruppen, von denen bekannt ist, dass sie der Darstellungstheorie reeller Clifford-Algebren äquivalent sind. In der Tat führt eine Orthonormalbasis e i des orthogonalen Komplements von 1 zu Operatoren U i = L ( e i ), die

Dies ist eine projektive Darstellung eines direkten Produkts von N − 1 Gruppen 2. Ordnung. ( N wird größer als 1 angenommen.) Die Operatoren U i sind konstruktionsbedingt schiefsymmetrisch und orthogonal. Tatsächlich konstruierte Eckmann Operatoren dieses Typs auf etwas andere, aber äquivalente Weise. Es ist tatsächlich die Methode, die ursprünglich von Hurwitz (1923) verfolgt wurde . Angenommen, es gibt ein Kompositionsgesetz für zwei Formen

wobei z i in x und y bilinear ist . Daher

wobei die Matrix T ( x ) = ( a ij ) ist linear in x . Die obigen Beziehungen sind äquivalent zu

Schreiben

die Beziehungen werden

Setze nun V i = ( T N ) t T i . Somit sind V N = I und die V 1 , ... ,  V N − 1 schief-adjungiert, orthogonal und erfüllen genau die gleichen Beziehungen wie die U i s:

Da V i eine orthogonale Matrix mit Quadrat I auf einem reellen Vektorraum ist, ist N gerade.

Sei G die endliche Gruppe, die von Elementen v i erzeugt wird, so dass

wobei ε die Mitte von 2. Ordnung ist. Die Kommutatoruntergruppe [ G ,  G ] besteht nur aus 1 und ε . Wenn N ungerade ist, fällt dies mit dem Zentrum zusammen, während wenn N gerade ist, hat das Zentrum die Ordnung 4 mit zusätzlichen Elementen γ = v 1 ... v N − 1 und ε  γ . Wenn g in G nicht im Zentrum liegt, ist seine Konjugationsklasse genau g und ε g . Somit gibt es 2 N − 1 + 1 Konjugationsklassen für N ungerade und 2 N − 1 + 2 für N gerade. G hat | G / [ G ,  G ] | = 2 N − 1 1-dimensionale komplexe Darstellungen. Die Gesamtzahl der irreduziblen komplexen Darstellungen ist die Zahl der Konjugationsklassen. Da N gerade ist, gibt es zwei weitere irreduzible komplexe Darstellungen. Da die Summe der Quadrate der Dimensionen gleich | G  | und die Dimensionen teilen | G  | , müssen die beiden irreduziblen Dimensionen 2 ( N − 2)/2 haben . Wenn N gerade ist, gibt es zwei und ihre Dimension muss die Ordnung der Gruppe teilen, also eine Potenz von zwei, also müssen sie beide Dimension 2 ( N − 2)/2 haben . Der Raum, auf dem die V i wirken, kann komplexiert werden. Es wird eine komplexe Dimension N haben . Es zerfällt in einige komplexe irreduzible Darstellungen von G , die alle die Dimension 2 ( N − 2)/2 haben . Insbesondere ist diese Dimension N , also ist N kleiner oder gleich 8. Wenn N = 6 ist , ist die Dimension 4, was nicht 6 teilt. N kann also nur 1, 2, 4 oder 8 sein.

Anwendungen für jordanische Algebren

Sei A eine euklidische Hurwitz-Algebra und sei M n ( A ) die Algebra von n mal n Matrizen über A . Es ist eine unitale nichtassoziative Algebra mit einer Involution gegeben durch

Die Spur Tr( X ) ist definiert als die Summe der diagonalen Elemente von X und der reellwertigen Spur durch Tr R ( X ) = Re Tr( X ) . Der reellwertige Trace erfüllt:

Dies sind unmittelbare Konsequenzen der bekannten Identitäten für n = 1 .

In A definieren Sie den Assoziator durch

Sie ist trilinear und verschwindet identisch, wenn A assoziativ ist. Da A eine alternative Algebra ist [ a ,  a ,  b ] = 0 und [ b ,  a ,  a ] = 0 . Polarisierend folgt, dass der Assoziator in seinen drei Einträgen antisymmetrisch ist. Wenn a , b oder c in R liegen, dann ist [ a ,  b ,  c ] = 0 . Diese Tatsachen implizieren, dass M 3 ( A ) bestimmte Kommutierungseigenschaften besitzt. In der Tat, wenn X eine Matrix in M 3 ( A ) mit reellen Einträgen auf der Diagonalen ist, dann

mit einem in A . Tatsächlich gilt, wenn Y = [ X ,  X 2 ] , dann

Da die diagonalen Einträge von X reell sind, verschwinden die nichtdiagonalen Einträge von Y. Jeder diagonale Eintrag von Y ist eine Summe von zwei Assoziatoren, die nur Terme außerhalb der Diagonalen von X beinhalten . Da die Assoziatoren unter zyklischen Permutationen invariant sind, sind die diagonalen Einträge von Y alle gleich.

Sei H n ( A ) der Raum der selbstadjungierten Elemente in M n ( A ) mit dem Produkt XY =1/2( X Y + Y X ) und die innere Produkt ( X ,  Y ) = Tr R ( X Y ) .

Satz. H n ( A ) ist eine euklidische Jordanalgebra, wenn A assoziativ ist (die reellen Zahlen, komplexen Zahlen oder Quaternionen) und n ≥ 3 oder wenn A nicht assoziativ ist (die Oktonionen) und n = 3 .

Die außergewöhnliche Jordan-Algebra H 3 ( O ) wird nach AA Albert Albert-Algebra genannt .

Um zu überprüfen, ob H n ( A ) die Axiome für eine euklidische Jordan-Algebra erfüllt, definiert die reelle Spur eine symmetrische Bilinearform mit ( X ,  X ) = Σ ‖  x ij  ‖ 2 . Es ist also ein inneres Produkt. Es erfüllt die Assoziativität Eigenschaft ( ZX ,  Y ) = ( X ,  ZY ) aufgrund der Eigenschaften der realen Messkurve. Das wichtigste zu überprüfende Axiom ist die Jordan-Bedingung für die Operatoren L ( X ) definiert durch L ( X ) Y = XY :

Dies ist leicht zu überprüfen, wenn A assoziativ ist, da M n ( A ) eine assoziative Algebra ist, also eine Jordan-Algebra mit XY =1/2( XY + YX ) . Bei A = O und n = 3 ist ein spezielles Argument erforderlich, von dem eines der kürzesten von Freudenthal (1951) stammt .

In der Tat, wenn T in H 3 ( O ) mit Tr  T = 0 ist , dann

definiert eine schiefadjungierte Ableitung von H 3 ( O ) . In der Tat,

so dass

Polarisierende Erträge:

Das Setzen von Z = 1 zeigt, dass D schief-adjungiert ist. Die Ableitung Eigenschaft D ( XY ) = D ( X ) ∘ Y + XD ( Y ) folgt , durch diese und die Assoziativität Eigenschaft des inneren Produkts in der Identität oben.

Mit A und n wie in der Aussage des Satzes sei K die Gruppe der Automorphismen von E = H n ( A ), die das innere Produkt invariant lässt. Es ist eine geschlossene Untergruppe von O ( E ), also eine kompakte Lie-Gruppe. Seine Lie-Algebra besteht aus schief-adjungierten Ableitungen. Freudenthal (1951) zeigte, dass für X in E ein Automorphismus k in K existiert, so dass k ( X ) eine Diagonalmatrix ist. (Durch Selbstadjunktion sind die Diagonaleinträge reell.) Freudenthals Diagonalisierungssatz impliziert sofort die Jordan-Bedingung, da Jordan-Produkte durch reelle Diagonalmatrizen auf M n ( A ) für jede nicht-assoziative Algebra A kommutieren .

Um den Diagonalisierungssatz zu beweisen, nehme man X in E . Durch Kompaktheit kann k in K gewählt werden, indem die Summen der Quadrate der Normen der nichtdiagonalen Terme von k ( X ) minimiert werden . Da K die Summen aller Quadrate beibehält, ist dies gleichbedeutend mit der Maximierung der Summen der Quadrate der Normen der Diagonalterme von k ( X ) . Ersetzt man X durch k X , kann angenommen werden, dass das Maximum bei X erreicht wird . Da die symmetrische Gruppe S n , die durch Vertauschung der Koordinaten wirkt, in K liegt , wenn X nicht diagonal ist, kann angenommen werden, dass x 12 und sein Adjungierter x 21 von Null verschieden sind. Sei T die schief-adjungierte Matrix mit (2, 1) Eintrag a , (1, 2) Eintrag a * und 0 an anderer Stelle und sei D die Ableitung ad T von E . Sei k t = exp  tD in K . Dann werden nur die ersten beiden diagonalen Einträge in X ( t ) = k t X unterscheiden sich von denen von X . Die diagonalen Einträge sind reell. Die Ableitung von x 11 ( t ) bei t = 0 ist die (1, 1) -Koordinate von [ T ,  X ] , dh a *  x 21 + x 12 a = 2( x 21 ,  a ) . Diese Ableitung ist nicht Null, wenn a = x 21 . Andererseits bewahrt die Gruppe k t die reellwertige Spur. Da es nur x 11 und x 22 ändern kann, behält es ihre Summe bei. Auf der Linie x + y = konstant hat x 2 + y 2 jedoch kein lokales Maximum (nur ein globales Minimum), ein Widerspruch. Daher muss X diagonal sein.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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