Normierter Vektorraum - Normed vector space

Hierarchie mathematischer Räume. Normierte Vektorräume sind eine Obermenge innerer Produkträume und eine Untermenge metrischer Räume , die wiederum eine Untermenge topologischer Räume ist .

In der Mathematik ist ein normierter Vektorraum oder normierter Raum ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen, auf dem eine Norm definiert ist. Eine Norm ist die Formalisierung und Verallgemeinerung des intuitiven Begriffs "Länge" in der realen Welt auf reelle Vektorräume. Eine Norm ist eine im Vektorraum definierte reellwertige Funktion , die allgemein bezeichnet wird und die folgenden Eigenschaften hat: ${\displaystyle x\mapsto \|x\|,}$

1. Sie ist nichtnegativ, d. h. für jeden Vektor x gilt${\displaystyle \|x\|\geq 0.}$
2. Sie ist positiv auf Vektoren ungleich Null, d. h.

   ${\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}$

3. Für jeden Vektor x und jedes skalare hat man ${\displaystyle\alpha,}$

   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}$

4. Die Dreiecksungleichung gilt; d.h. für alle Vektoren x und y gilt

   ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Eine Norm induziert eine Distanz , ihre (norm-)induzierte Metrik , nach der Formel

${\displaystyle d(x,y)=\|yx\|.}$

die aus jedem normierten Vektorraum einen metrischen Raum und einen topologischen Vektorraum machen . Wenn diese Metrik ist vollständig dann der normierter Raum ist ein Banachraum . Jeder normierte Vektorraum kann "eindeutig" zu einem Banach-Raum erweitert werden, wodurch normierte Räume eng mit Banach-Räumen verbunden sind. Jeder Banachraum ist ein normierter Raum, aber umgekehrt gilt nicht. Zum Beispiel kann die Menge der endlichen Folgen reeller Zahlen mit der euklidischen Norm normiert werden , aber sie ist für diese Norm nicht vollständig. ${\displaystyle d}$

Ein innerer Produktraum ist ein normierter Vektorraum, dessen Norm die Quadratwurzel des inneren Produkts eines Vektors und sich selbst ist. Die euklidische Norm eines euklidischen Vektorraums ist ein Spezialfall, der es erlaubt, den euklidischen Abstand durch die Formel

${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$

Das Studium normierter Räume und Banach-Räume ist ein grundlegender Teil der Funktionalanalysis , die ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik ist.

Definition

Ein normierter Vektorraum ist ein mit einer Norm ausgestatteter Vektorraum . Ein seminormierter Vektorraum ist ein Vektorraum, der mit einer Seminorm ausgestattet ist .

Eine nützliche Variation der Dreiecksungleichung ist

${\displaystyle \left\|xy\right\|\geq {\bigl |}\left\|x\right\|-\left\|y\right\|{\bigr |}}$für beliebige Vektoren x und y .

Dies zeigt auch, dass eine Vektornorm eine stetige Funktion ist .

Eigenschaft 2 hängt von der Wahl der Norm auf dem Skalarfeld ab. Wenn das Skalarfeld (oder allgemeiner eine Teilmenge von ) ist, wird dies normalerweise als gewöhnlicher Absolutwert angesehen , aber es sind auch andere Optionen möglich. Zum Beispiel könnte man für einen Vektorraum darüber die p- adische Norm annehmen . ${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle |\alpha |}$

Topologische Struktur

Wenn ( V , ‖·‖) ein normierter Vektorraum ist, induziert die Norm ‖·‖ eine Metrik (einen Abstandsbegriff ) und damit eine Topologie auf V . Diese Metrik ist auf natürliche Weise definiert: Der Abstand zwischen zwei Vektoren u und v ist gegeben durch ‖ u  −  v ‖. Diese Topologie ist genau die schwächste Topologie, die ‖·‖ stetig macht und die mit der linearen Struktur von V im folgenden Sinne kompatibel ist :

1. Die Vektoraddition + : V × V → V ist bezüglich dieser Topologie gemeinsam stetig. Dies folgt direkt aus der Dreiecksungleichung .
2. Die Skalarmultiplikation · : K  ×  V  →  V , wobei K das zugrundeliegende Skalarfeld von V ist , ist gemeinsam stetig. Dies folgt aus der Dreiecksungleichung und Homogenität der Norm.

In ähnlicher Weise können wir für jeden halbnormierten Vektorraum den Abstand zwischen zwei Vektoren u und v als ‖ u  −  v ‖ definieren. Dies verwandelt den seminormierten Raum in einen pseudometrischen Raum (beachten Sie, dass dies schwächer ist als eine Metrik) und ermöglicht die Definition von Begriffen wie Stetigkeit und Konvergenz . Abstrakter ausgedrückt ist jeder seminormierte Vektorraum ein topologischer Vektorraum und trägt somit eine durch die Seminorm induzierte topologische Struktur .

Von besonderem Interesse sind vollständige normierte Räume, die Banachräume genannt werden . Jeder normierte Vektorraum V sitzt als dichter Unterraum in einem Banachraum; dieser Banach-Raum ist im Wesentlichen eindeutig durch V definiert und wird die Vervollständigung von V genannt .

Zwei Normen auf demselben Vektorraum heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie definieren . Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent, aber dies gilt nicht für unendlichdimensionale Vektorräume.

Alle Normen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind aus topologischer Sicht äquivalent, da sie dieselbe Topologie induzieren (obwohl die resultierenden metrischen Räume nicht gleich sein müssen). Und da jeder euklidische Raum vollständig ist, können wir daraus schließen, dass alle endlichdimensionalen normierten Vektorräume Banachräume sind. Ein normierter Vektorraum V ist genau dann lokal kompakt, wenn die Einheitskugel B  = { x  : ‖ x ‖ ≤ 1} kompakt ist , was genau dann der Fall ist, wenn V endlichdimensional ist; dies ist eine Folge des Lemmas von Riesz . (Tatsächlich gilt ein allgemeineres Ergebnis: Ein topologischer Vektorraum ist genau dann lokal kompakt, wenn er endlichdimensional ist. Der Punkt hier ist, dass wir nicht davon ausgehen, dass die Topologie von einer Norm abstammt.)

Die Topologie eines seminormierten Vektorraums hat viele schöne Eigenschaften. Gegeben ein Nachbarschaftssystem um 0 können wir alle anderen Nachbarschaftssysteme konstruieren als ${\displaystyle {\mathcal{N}}(0)}$

${\displaystyle {\mathcal{N}}(x)=x+{\mathcal{N}}(0):=\{x+N\mid N\in {\mathcal{N}}(0)\}}$

mit

${\displaystyle x+N:=\{x+n\mid n\in N\}}$.

Außerdem existiert eine Nachbarschaftsbasis für 0, die aus absorbierenden und konvexen Mengen besteht . Da diese Eigenschaft in der Funktionalanalysis sehr nützlich ist , werden Verallgemeinerungen von normierten Vektorräumen mit dieser Eigenschaft unter dem Namen lokal konvexe Räume untersucht .

Normale Räume

Ein topologischer Vektorraum heißt normierbar, wenn es eine Norm auf X gibt, so dass die kanonische Metrik die Topologie auf X induziert . Der folgende Satz geht auf Kolmogorov zurück : ${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \|yx\|}$${\displaystyle \tau}$

Satz Ein topologischer Vektorraum nach Hausdorff ist genau dann normierbar, wenn es eine konvexe, von Neumann-beschränkte Umgebung von gibt . ${\displaystyle 0\in X}$

Ein Produkt einer Familie normierbarer Räume ist genau dann normierbar, wenn nur endlich viele der Räume nicht-trivial sind (dh ). Außerdem ist der Quotient eines normierbaren Raums X durch einen abgeschlossenen Vektorunterraum C normierbar und wenn zusätzlich die Topologie von X durch eine Norm gegeben ist, dann ist die durch gegebene Abbildung eine wohldefinierte Norm auf X/C , die die Quotiententopologie auf induziert X/C . ${\displaystyle \neq \{0\}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X/C\to\mathbb{R}}$${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$

Wenn X ein lokal konvexer topologischer Vektorraum nach Hausdorff ist, dann sind äquivalent:

1. X ist normgerecht.
2. X hat eine beschränkte Umgebung des Ursprungs.
3. das starke Dual von X ist normierbar.${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$
4. das starke Dual von X ist metrisierbar .${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

Außerdem ist X genau dann endlichdimensional, wenn es normierbar ist (hier bezeichnet mit der schwachen* Topologie ausgestattet ). ${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$

Lineare Karten und duale Räume

Die wichtigsten Abbildungen zwischen zwei normierten Vektorräumen sind die stetigen linearen Abbildungen . Zusammen mit diesen Karten bilden normierte Vektorräume eine Kategorie .

Die Norm ist eine stetige Funktion auf ihrem Vektorraum. Alle linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen sind ebenfalls stetig.

Eine Isometrie zwischen zwei normierten Vektorräumen ist eine lineare Abbildung f, die die Norm beibehält (d. h. f ( v )‖ = ‖ v ‖ für alle Vektoren v ). Isometrien sind immer stetig und injektiv . Eine surjektive Isometrie zwischen den normierten Vektorräumen V und W heißt isometrischer Isomorphismus , und V und W heißen isometrisch isomorph . Isometrisch isomorph normierte Vektorräume sind für alle praktischen Zwecke identisch.

Wenn wir von normierten Vektorräumen sprechen, erweitern wir den Begriff des dualen Raums , um die Norm zu berücksichtigen. Das duale V  ' eines normierten Vektorraums V ist der Raum aller stetigen linearen Abbildungen von V bis zum Basiskörper (die Komplexe oder die reellen Zahlen) — solche linearen Abbildungen werden "Funktionale" genannt. Die Norm eines Funktionals φ ist definiert als das Supremum von |φ( v )| wobei v über alle Einheitsvektoren (dh Vektoren der Norm 1) in V reicht . Dadurch wird V  ' zu einem normierten Vektorraum. Ein wichtiger Satz über stetige lineare Funktionale auf normierten Vektorräumen ist der Satz von Hahn-Banach .

Normierte Räume als Quotientenräume von seminormierten Räumen

Die Definition vieler normierter Räume (insbesondere Banach-Räume ) beinhaltet eine auf einem Vektorraum definierte Seminorm und dann wird der normierte Raum als Quotientenraum durch den Unterraum der Elemente der Seminorm Null definiert. Mit den L ^p -Räumen ist beispielsweise die Funktion definiert durch

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$

ist eine Seminorm auf dem Vektorraum aller Funktionen, auf denen das Lebesgue-Integral auf der rechten Seite definiert und endlich ist. Die Seminorm ist jedoch für jede Funktion, die von einem Satz von Lebesgue- Maßnull unterstützt wird, gleich Null. Diese Funktionen bilden einen Unterraum, den wir "herausquotieren", wodurch sie der Nullfunktion äquivalent sind.

Endliche Produkträume

Gegeben n seminormierte Räume X _i mit Seminormen q _{i können} wir den Produktraum definieren als

${\displaystyle X:=\prod_{i=1}^{n}X_{i}}$

mit Vektoraddition definiert als

${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})+(y_{1},\ldots,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots,x_{ n}+y_{n})}$

und Skalarmultiplikation definiert als

${\displaystyle \alpha(x_{1},\ldots,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{n})}$.

Wir definieren eine neue Funktion q

${\displaystyle q:X\to\mathbb{R}}$

zum Beispiel als

${\displaystyle q:(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto \sum_{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})}$.

was eine Seminorm auf X ist . Die Funktion q ist genau dann eine Norm, wenn alle q _i Normen sind.

Allgemeiner ausgedrückt gilt für jedes reelle p ≥1 die Seminorm:

${\displaystyle q:(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto \left(\sum_{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})^{p} \right)^{\frac {1}{p}}.}$

Für jedes p definiert dies denselben topologischen Raum.

Ein einfaches Argument mit elementarer linearer Algebra zeigt, dass die einzigen endlichdimensionalen seminormierten Räume diejenigen sind, die als Produktraum eines normierten Raums und eines Raums mit trivialer Seminorm entstehen. Folglich treten viele der interessanteren Beispiele und Anwendungen von seminormierten Räumen für unendlichdimensionale Vektorräume auf.

Siehe auch

• Banachraum , normierte Vektorräume, die bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik vollständig sind
• Banach–Mazur compactum  – Menge von n-dimensionalen Unterräumen eines normierten Raums, die zu einem kompakten metrischen Raum gemacht werden.
• Finsler-Mannigfaltigkeit , wobei die Länge jedes Tangentenvektors durch eine Norm bestimmt wird
• Innerer Produktraum , normierte Vektorräume, bei denen die Norm durch ein inneres Produkt gegeben ist
• Normabilitätskriterium von Kolmogorov
• Lokalkonvexer topologischer Vektorraum – ein Vektorraum mit einer Topologie, die durch konvexe offene Mengen definiert ist
• Space (Mathematik) – mathematisches Set mit etwas zusätzlicher Struktur
• Topologischer Vektorraum – ein Vektorraum mit dem Begriff der Nähe

Verweise

Literaturverzeichnis

• Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse . Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Rolewicz, Stefan (1987), Funktionale Analyse und Kontrolltheorie: Lineare Systeme , Mathematik und ihre Anwendungen (Osteuropäische Reihe), 29 (Übersetzt aus dem Polnischen von Ewa Bednarczuk Hrsg.), Dordrecht; Warschau: D. Reidel Publishing Co.; PWN – Polish Scientific Publishers, S. xvi+524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371 , OCLC  13064804
• Schäfer, HH (1999). Topologische Vektorräume . New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit normierten Räumen bei Wikimedia Commons