Zahlensystem - Numeral system

Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben.

Ein Zahlensystem (oder Zahlensystem ) ist ein Schriftsystem zum Ausdrücken von Zahlen; das heißt, eine mathematische Notation zum Darstellen von Zahlen einer gegebenen Menge unter Verwendung von Ziffern oder anderen Symbolen auf konsistente Weise.

Dieselbe Folge von Symbolen kann unterschiedliche Zahlen in unterschiedlichen Zahlensystemen darstellen. Zum Beispiel steht "11" für die Zahl elf im dezimalen Zahlensystem (verwendet im alltäglichen Leben), die Zahl drei im binären Zahlensystem (verwendet in Computern ) und die Zahl zwei im einstelligen Zahlensystem (z. B. beim Zählen verwendet) Noten).

Die Zahl, die die Zahl darstellt, wird als Wert bezeichnet. Nicht alle Zahlensysteme können alle Zahlen darstellen, die in der heutigen Zeit berücksichtigt werden; römische Ziffern haben beispielsweise keine Null.

Im Idealfall wird ein Zahlensystem:

  • Stellen Sie eine nützliche Menge von Zahlen dar (z. B. alle ganzen Zahlen oder rationale Zahlen )
  • Geben Sie jeder dargestellten Zahl eine eindeutige Darstellung (oder zumindest eine Standarddarstellung)
  • Reflektieren Sie die algebraische und arithmetische Struktur der Zahlen.

Zum Beispiel kann die übliche Dezimaldarstellung gibt jeder von Null verschiedenen natürlichen Zahl eine eindeutige Darstellung als endliche Folge von Ziffern , mit einer Ziffer ungleich Null beginnen.

Zahlensysteme werden manchmal Zahlensysteme genannt , aber dieser Name ist mehrdeutig, da er sich auf verschiedene Zahlensysteme beziehen könnte, wie das System der reellen Zahlen , das System der komplexen Zahlen , das System der p- adischen Zahlen usw. Solche Systeme sind jedoch nicht Thema dieses Artikels.

Hauptzahlensysteme

Das am häufigsten verwendete Zahlensystem ist das Dezimalsystem . Indischen Mathematikern wird die Entwicklung der ganzzahligen Version, des hindu-arabischen Zahlensystems, zugeschrieben . Aryabhata von Kusumapura entwickelte im 5. Jahrhundert die Stellenwertnotation und ein Jahrhundert später führte Brahmagupta das Symbol für die Null ein . Das System breitete sich aufgrund ihrer kommerziellen und militärischen Aktivitäten mit Indien langsam auf andere umliegende Regionen wie Arabien aus. Mathematiker aus dem Nahen Osten erweiterten das System um negative Zehnerpotenzen ( Brüche ), wie in einer Abhandlung des syrischen Mathematikers Abu'l-Hasan al-Uqlidisi aus den Jahren 952–953 aufgezeichnet wurde, und die Dezimalpunktschreibweise wurde von Sind ibn Ali eingeführt . der auch die früheste Abhandlung über arabische Ziffern verfasste. Das hindu-arabische Zahlensystem verbreitete sich dann aufgrund des Handels der Händler nach Europa, und die in Europa verwendeten Ziffern werden arabische Zahlen genannt , da sie sie von den Arabern gelernt haben.

Das einfachste Zahlensystem ist das unäre Zahlensystem , bei dem jede natürliche Zahl durch eine entsprechende Anzahl von Symbolen repräsentiert wird. Wenn beispielsweise das Symbol / gewählt wird, wird die Zahl Sieben durch /////// dargestellt . Zählmarken stellen ein solches System dar, das immer noch gebräuchlich ist. Das unäre System ist nur für kleine Zahlen sinnvoll, obwohl es in der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle spielt . Die Elias-Gamma-Codierung , die häufig bei der Datenkomprimierung verwendet wird , drückt Zahlen beliebiger Größe aus, indem sie unär verwendet, um die Länge einer binären Zahl anzugeben.

Die unäre Notation kann abgekürzt werden, indem für bestimmte neue Werte andere Symbole eingeführt werden. Sehr häufig handelt es sich bei diesen Werten um Zehnerpotenzen; wenn also zum Beispiel / für eins steht, − für zehn und + für 100, dann kann die Zahl 304 kompakt als +++ //// und die Zahl 123 als + − − /// ohne Null dargestellt werden . Dies wird als Vorzeichen-Wert-Notation bezeichnet . Das altägyptische Zahlensystem war von dieser Art, und das römische Zahlensystem war eine Modifikation dieser Idee.

Noch nützlicher sind Systeme, die spezielle Abkürzungen für Wiederholungen von Symbolen verwenden; verwendet man beispielsweise die ersten neun Buchstaben des Alphabets für diese Abkürzungen, wobei A für „ein Vorkommen“, B „zwei Vorkommen“ usw. steht, könnte man dann C+ D/ für die Zahl 304 schreiben. Dieses System wird verwendet beim Schreiben chinesischer Ziffern und anderer ostasiatischer Ziffern, die auf Chinesisch basieren. Das Zahlensystem der englischen Sprache ist von diesem Typ ("dreihundert [und] vier"), wie auch das der anderen gesprochenen Sprachen , unabhängig davon, welche Schriftsysteme sie übernommen haben. Viele Sprachen verwenden jedoch Basenmischungen und andere Merkmale, zum Beispiel ist 79 im Französischen soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) und im Walisischen ist pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) oder (etwas archaisch) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ). Auf Englisch könnte man "vier Punkte weniger eins" sagen, wie in der berühmten Gettysburg-Adresse, die "87 Jahre zuvor" als "vier Punkte und sieben Jahre zuvor" darstellt.

Eleganter ist ein Positionssystem , auch Stellenwertnotation genannt. Wieder in der Basis 10 werden zehn verschiedene Ziffern 0, ..., 9 verwendet und die Position einer Ziffer wird verwendet, um die Zehnerpotenz anzugeben, mit der die Ziffer multipliziert werden soll, wie in 304 = 3×100 + 0 ×10 + 4×1 oder genauer 3×10 2 + 0×10 1 + 4×10 0 . Von entscheidender Bedeutung ist hier die Null, die in den anderen Systemen nicht benötigt wird, um eine Potenz „überspringen“ zu können. Das hindu-arabische Zahlensystem, das seinen Ursprung in Indien hat und heute auf der ganzen Welt verwendet wird, ist ein Positionssystem zur Basis 10.

Arithmetik ist in Positionssystemen viel einfacher als in den früheren additiven; außerdem benötigen additive Systeme eine Vielzahl unterschiedlicher Symbole für die unterschiedlichen Zehnerpotenzen; ein Positionssystem benötigt nur zehn verschiedene Symbole (vorausgesetzt, es verwendet die Basis 10).

Das Positionsdezimalsystem wird derzeit universell in der menschlichen Schrift verwendet. Die Basis 1000 wird auch (wenn auch nicht universell) verwendet, indem die Ziffern gruppiert und eine Folge von drei Dezimalziffern als eine einzige Ziffer betrachtet werden. Dies ist die Bedeutung der gebräuchlichen Schreibweise 1.000.234.567, die für sehr große Zahlen verwendet wird.

In Computern werden die Hauptzahlensysteme basierend auf dem Positionssystem in der Basis 2 ( binäres Zahlensystem ), mit zwei Binärziffern , 0 und 1.er Positional durch Gruppieren von Binärziffern erhaltenen Systemen durch drei ( oktale Zahlensystem ) oder vier ( hexadezimale Ziffer System ) werden häufig verwendet. Bei sehr großen ganzen Zahlen werden die Basen 2 32 oder 2 64 (Gruppierung von Binärziffern nach 32 oder 64, der Länge des Maschinenwortes ) verwendet, wie zB in GMP .

In bestimmten biologischen Systemen wird das unäre Kodierungssystem verwendet. Unäre Ziffern, die in den neuronalen Schaltkreisen verwendet werden, die für die Vogelgesangproduktion verantwortlich sind. Der Kern im Gehirn der Singvögel, der sowohl beim Lernen als auch bei der Erzeugung von Vogelgesang eine Rolle spielt, ist das HVC ( High Vocal Center ). Die Befehlssignale für verschiedene Töne im Vogelgesang gehen von verschiedenen Stellen im HVC aus. Diese Codierung funktioniert als Raumcodierung, die aufgrund ihrer inhärenten Einfachheit und Robustheit eine effiziente Strategie für biologische Schaltkreise ist.

Die beim Schreiben von Zahlen mit Ziffern oder Symbolen verwendeten Zahlen können in zwei Arten unterteilt werden, die als arithmetische Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) und die geometrischen Zahlen (1 , 10, 100, 1000, 10000 ...). Die Vorzeichen-Wert-Systeme verwenden nur die geometrischen Zahlen und die Positionssysteme verwenden nur die arithmetischen Zahlen. Ein Vorzeichen-Wert-System benötigt keine arithmetischen Zahlen, da sie durch Wiederholung erzeugt werden (außer beim ionischen System ), und ein Positionssystem benötigt keine geometrischen Zahlen, weil sie durch Position gebildet werden. Die gesprochene Sprache verwendet jedoch sowohl arithmetische als auch geometrische Ziffern.

In bestimmten Bereichen der Informatik wird ein modifiziertes Positionssystem zur Basis k verwendet, das als bijektive Numerierung bezeichnet wird , wobei die Ziffern 1, 2, ..., k ( k 1 ) und Null durch eine leere Zeichenfolge dargestellt werden. Dies stellt eine Bijektion zwischen der Menge all dieser Ziffernfolgen und der Menge nicht-negativer Ganzzahlen her, wodurch die durch führende Nullen verursachte Nichteindeutigkeit vermieden wird. Die bijektive Basis- k- Nummerierung wird auch k- adische Notation genannt, nicht zu verwechseln mit p- adischen Zahlen . Die bijektive Basis 1 ist die gleiche wie die unäre.

Positionssysteme im Detail

In einem Zahlensystem mit Positionsbasis b (wobei b eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die als Radix bekannt ist ), werden b Grundsymbole (oder Ziffern) verwendet, die den ersten b natürlichen Zahlen einschließlich Null entsprechen. Um die restlichen Ziffern zu generieren, wird die Position des Symbols in der Figur verwendet. Das Symbol an der letzten Position hat seinen eigenen Wert, und wenn es sich nach links bewegt, wird sein Wert mit b multipliziert .

Im Dezimalsystem (Basis 10) bedeutet die Zahl 4327 beispielsweise ( 4 ×10 3 ) + ( 3 ×10 2 ) + ( 2 ×10 1 ) + ( 7 ×10 0 ) , wobei 10 0 = 1 .

Im Allgemeinen, wenn b die Basis ist, schreibt man eine Zahl in das Zahlensystem der Basis b, indem man sie in der Form a n b n + a n − 1 b n − 1 + a n − 2 b n − 2 + ausdrückt . .. + a 0 b 0 und Schreiben der aufgezählten Ziffern a n a n − 1 a n − 2 ... a 0 in absteigender Reihenfolge. Die Ziffern sind natürliche Zahlen zwischen 0 und b − 1 einschließlich.

Wenn ein Text (wie dieser) mehrere Basen behandelt und eine Mehrdeutigkeit vorliegt, wird die Basis (selbst in der Basis 10 dargestellt) rechts von der Zahl tiefgestellt hinzugefügt, wie folgt: Zahlbasis . Sofern nicht durch den Kontext angegeben, werden Zahlen ohne tiefgestellten Index als dezimal betrachtet.

Indem man die Ziffern mit einem Punkt in zwei Gruppen aufteilt, kann man auch Brüche im Stellensystem schreiben. Zum Beispiel bezeichnet die Zahl 10.11 zur Basis 2 1×2 1 + 0×2 0 + 1×2 −1 + 1×2 −2 = 2,75 .

Im Allgemeinen haben Zahlen im System zur Basis b die Form:

Die Zahlen b k und b k sind die Gewichte der entsprechenden Ziffern. Die Position k ist der Logarithmus des entsprechenden Gewichts w , also . Die höchste belegte Position liegt in der Größenordnung der Zahl.

Die Anzahl der Zählstriche in der erforderlichen Unärsystem für das Gewicht zu beschreiben wäre gewesen , w . Im Positionssystem ist die Anzahl der Stellen, die erforderlich sind, um es zu beschreiben , für k ≥ 0 nur . Um zum Beispiel das Gewicht 1000 zu beschreiben, werden vier Stellen benötigt, weil . Die Anzahl der erforderlichen Stellen zur Beschreibung der Position ist (in den Positionen 1, 10, 100,... nur der Einfachheit halber im Dezimalbeispiel).

Eine Zahl hat eine abschließende oder sich wiederholende Erweiterung genau dann, wenn sie rational ist ; dies hängt nicht von der Basis ab. Eine Zahl, die in einer Basis endet, kann sich in einer anderen wiederholen (also 0,3 10 = 0,0100110011001... 2 ). Eine irrationale Zahl bleibt in allen ganzzahligen Basen aperiodisch (mit unendlich vielen sich nicht wiederholenden Ziffern). So kann zum Beispiel in der Basis 2 π = 3,1415926... 10 als aperiodisch 11.001001000011111... 2 geschrieben werden .

Das Setzen von Überstrichen , n oder Punkten, , über die gemeinsamen Ziffern ist eine Konvention, die verwendet wird, um sich wiederholende rationale Erweiterungen darzustellen. Daher:

14/11 = 1,272727272727... = 1, 27   oder 321,3217878787878... = 321,321 78 .

Wenn b = p eine Primzahl ist , kann man Zahlen zur Basis p definieren, deren Expansion nach links niemals aufhört; diese werden die p- adischen Zahlen genannt .

Verallgemeinerte Ganzzahlen variabler Länge

Allgemeiner ist die Verwendung einer gemischten Radix- Notation (hier Little-Endian geschrieben ) wie für usw.

Dies wird in Punycode verwendet , ein Aspekt davon ist die Darstellung einer Folge von nicht negativen ganzen Zahlen beliebiger Größe in Form einer Folge ohne Trennzeichen, von "Ziffern" aus einer Sammlung von 36: a–z und 0–9 , die 0–25 bzw. 26–35 darstellen. Eine Ziffer kleiner als ein Schwellenwert kennzeichnet die höchstwertige Ziffer und damit das Ende der Zahl. Der Schwellenwert hängt von der Position in der Nummer ab. Wenn beispielsweise der Schwellenwert für die erste Ziffer b (dh 1) ist, markiert a (dh 0) das Ende der Zahl (sie hat nur eine Stelle), sodass bei Zahlen mit mehr als einer Stelle der Bereich nur b . ist –9 (1–35), daher ist das Gewicht b 1 35 statt 36. Angenommen, die Schwellenwerte für die zweite und dritte Stelle sind c (2), dann hat die dritte Stelle ein Gewicht von 35 b 2 , bestimmt aus

mit dem tiefgestellten PC, der sich auf den beschriebenen Code bezieht, und wir haben die folgende Sequenz:

a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), bca (71), .., 99a (1260), BC (1261), .., 99b (2450).

Im Gegensatz zu einem regulären Zahlensystem gibt es Zahlen wie 9b, wobei 9 und b jeweils 35 darstellen; dennoch ist die Darstellung eindeutig, weil ac und aca nicht erlaubt sind – das erste a würde die Zahl beenden.

Allgemeiner gesagt, wenn t n der Schwellenwert für die n- te Ziffer ist, ist es leicht zu zeigen, dass .

Die Flexibilität bei der Auswahl von Schwellenwerten ermöglicht eine Optimierung in Abhängigkeit von der Häufigkeit des Auftretens von Zahlen unterschiedlicher Größe.

Der Fall, bei dem alle Schwellenwerte gleich 1 sind, entspricht der bijektiven Numerierung , wobei die Nullen Trennzeichen von Zahlen mit Ziffern entsprechen, die nicht Null sind.

Siehe auch

  • 0,999... - jede ungleich Null endende Dezimalstelle hat zwei gleiche Darstellungen
  • Verweise

    1. ^ David Eugene Smith; Louis-Charles-Karpinski (1911). Die hindu-arabischen Ziffern . Ginn und Unternehmen.
    2. ^ Chowdhury, Arnab. Entwurf eines effizienten Multiplikators mit DBNS . GIAP-Zeitschriften. ISBN 978-93-33006-18-2.
    3. ^ Fiete, IR; Seung, HS (2007). „Neurale Netzwerkmodelle der Vogelgesangproduktion, des Lernens und der Codierung“. In Knappe, L.; Albright, T.; Bloom, F.; Gage, F.; Spitzer, N. Neue Enzyklopädie der Neurowissenschaften.

    Quellen

    Externe Links