Oktal - Octal

Zahlensysteme , Bits und Gray-Code
verhexen dez Okt 3 2 1 0 Schritt
0 hex 00 dez 00 Okt 0 0 0 0 g0
1 Sechseck 01 dez 01 Okt 0 0 0 1 h1
2 hex 02 dez 02 okt 0 0 1 0 J3
3 hex 03 dez 03 okt 0 0 1 1 ich2
4 hex 04 dez 04 okt 0 1 0 0 n7
5 hex 05 dez 05 okt 0 1 0 1 m6
6 Sechseck 06 dez 06 okt 0 1 1 0 k4
7 Sechseck 07 dez 07. Oktober 0 1 1 1 l5
8 hex 08 dez 10. Oktober 1 0 0 0 vF
9 hex 09 dez 11. Oktober 1 0 0 1 duE
Ein Hex 10 dez 12. Oktober 1 0 1 0 SC
B hex 11 dez 13. Oktober 1 0 1 1 TD
C hex 12 dez 14. Oktober 1 1 0 0 Ö8
D hex 13 dez 15 okt 1 1 0 1 P9
E hex 14 dez 16 okt 1 1 1 0 RB
F hex 15 dez 17. Oktober 1 1 1 1 QEIN

Das oktale Zahlensystem , oder kurz oct , ist das Zahlensystem zur Basis 8 und verwendet die Ziffern 0 bis 7, dh 10 steht für 8 dezimal und 100 für 64 dezimal. Englisch verwendet jedoch ein Zahlensystem zur Basis 10 , und daher kann ein echtes Oktalsystem eine andere Sprache verwenden, um Verwechslungen mit dem Dezimalsystem zu vermeiden.

Im Dezimalsystem ist jede Stelle eine Zehnerpotenz . Zum Beispiel:

Im Oktalsystem ist jede Stelle eine Achterpotenz. Zum Beispiel:

Indem wir die obige Berechnung im bekannten Dezimalsystem durchführen, sehen wir, warum 112 in Oktal gleich 64+8+2 = 74 in Dezimal ist.

Oktalzahlen können leicht aus binären Darstellungen (ähnlich einem quaternären Zahlensystem ) umgewandelt werden, indem aufeinanderfolgende binäre Ziffern in Dreiergruppen gruppiert werden (von rechts beginnend für ganze Zahlen). Zum Beispiel ist die binäre Darstellung für Dezimal 74 1001010. Links können zwei Nullen hinzugefügt werden: (00)1 001 010 , entsprechend den oktalen Ziffern 1 1 2 , was die oktale Darstellung 112 ergibt.

Das oktale Einmaleins
× 1 2 3 4 5 6 7 10
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 4 6 10 12 14 16 20
3 3 6 11 14 17 22 25 30
4 4 10 14 20 24 30 34 40
5 5 12 17 24 31 36 43 50
6 6 14 22 30 36 44 52 60
7 7 16 25 34 43 52 61 70
10 10 20 30 40 50 60 70 100

Verwendungszweck

Von amerikanischen Ureinwohnern

  • Die Yuki-Sprache in Kalifornien hat ein Oktalsystem, da die Sprecher mit den Zwischenräumen zwischen ihren Fingern und nicht mit den Fingern selbst zählen.
  • Die Pamean Sprachen in Mexiko haben auch ein Oktalsystem, weil ihre Sprecher auf den Finger von einer geschlossenen Faust zählen.

Von Europäern

  • Es wurde vorgeschlagen, dass das rekonstruierte Proto-Indo-European (PIE) Wort für „neun“ mit dem PIE-Wort für „neu“ verwandt sein könnte. Auf dieser Grundlage haben einige spekuliert, dass Proto-Indoeuropäer ein Oktalzahlensystem verwendet haben, obwohl die Beweise dafür dünn sind.
  • Im Jahr 1668 schlug John Wilkins in An Essay to a Real Character, and a Philosophical Language die Verwendung der Basis 8 anstelle von 10 vor, "weil die Art der Dichotomie oder Zweiteilung die natürlichste und einfachste Art der Unterteilung ist, die Zahl dazu in der Lage ist." zu einer Einheit".
  • Im Jahr 1716 bat König Karl XII. von Schweden Emanuel Swedenborg , ein Zahlensystem basierend auf 64 anstelle von 10 auszuarbeiten. Swedenborg argumentierte jedoch, dass für Menschen mit weniger Intelligenz als der König eine so große Basis zu schwierig wäre, und schlug stattdessen 8 als Basis vor . Im Jahr 1718 schrieb Swedenborg (aber veröffentlichte es nicht) ein Manuskript: "En ny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10" ("Eine neue Arithmetik (oder Zählkunst), die sich bei der Zahl 8 anstelle von ändert". das Übliche bei der Nummer 10"). Die Zahlen 1-7 werden dort durch die Konsonanten l, s, n, m, t, f, u (v) und Null durch den Vokal o bezeichnet. Also 8 = "lo", 16 = "so", 24 = "no", 64 = "loo", 512 = "looo" usw. Zahlen mit aufeinanderfolgenden Konsonanten werden nach einer Sonderregel mit Vokalen dazwischen ausgesprochen.
  • Hugh Jones schrieb im Juli 1745 unter dem Pseudonym "Hirossa Ap-Iccim" in The Gentleman's Magazine (London) und schlug ein Oktalsystem für britische Münzen, Gewichte und Maße vor. "Während uns Vernunft und Bequemlichkeit einen einheitlichen Standard für alle Größen anzeigen, den ich den georgischen Standard nennen werde , und das nur darin besteht, jede ganze Zahl jeder Art in acht gleiche Teile und jeden Teil wieder in 8 reale oder imaginäre Teilchen zu teilen , denn alle Nationen zählen allgemein mit Zehnern (ursprünglich bedingt durch die Zahl der Ziffern auf beiden Händen), doch ist 8 eine weitaus vollständigere und bequemere Zahl, da sie in Hälften, Viertel und halbe Viertel teilbar ist (oder Einheiten) ohne einen Bruchteil, von denen Unterteilung zehn uncapable ist .... „In einer späteren Abhandlung über Octave Berechnung (1753) Jones schlossen:“ Arithmetik von Oktaven scheint am angenehmsten die Natur der Dinge, und deshalb genannt werden können Natürliche Arithmetik im Gegensatz zu der jetzt seit Jahrzehnten gebräuchlichen; die als künstliche Arithmetik angesehen werden kann."
  • Im Jahr 1801 kritisierte James Anderson die Franzosen dafür, dass sie das metrische System auf Dezimalarithmetik basierten . Er schlug die Basis 8 vor, für die er den Begriff oktal prägte . Seine Arbeit war als Freizeitmathematik gedacht, aber er schlug ein rein oktales System von Gewichten und Maßen vor und stellte fest, dass das bestehende System der englischen Einheiten bereits in bemerkenswertem Maße ein oktales System war.
  • In der Mitte des 19. Jahrhunderts, schloss Alfred B. Taylor : „Unser octonary [base 8] Radix ist daher jenseits aller Vergleich der“ bestmöglichen „für ein arithmetisches System.“ Der Vorschlag beinhaltete eine grafische Notation für die Ziffern und neue Namen für die Zahlen, was darauf hindeutet, dass wir „ un , du , the , fo , pa , se , ki , unty , unty-un , unty-du “ usw. zählen sollten. mit aufeinanderfolgenden Vielfachen von acht, die " unty , Pflicht , thety , foty , paty , sety , kity und darunter " genannt werden. So würde zum Beispiel die Zahl 65 (101 im Oktal) im Oktonar als unter-un gesprochen . Taylor veröffentlichte auch einige von Swedenborgs Arbeiten über Oktal als Anhang zu den oben zitierten Veröffentlichungen.

In Computern

Octal wurde bei der Berechnung bei Systemen wie der weit verbreiteten UNIVAC 1050 , PDP-8 , ICL 1900 und IBM - Großrechner eingesetzt 6-Bit , 12-Bit , 24-Bit oder 36-Bit - Worte. Oktal war eine ideale Abkürzung für binär für diese Maschinen, da ihre Wortgröße durch drei teilbar ist (jede oktale Ziffer repräsentiert drei binäre Ziffern). So könnten zwei, vier, acht oder zwölf Ziffern prägnant ein ganzes Maschinenwort darstellen . Es senkte auch die Kosten, indem Nixie-Röhren , Sieben-Segment-Anzeigen und Taschenrechner für die Bedienkonsolen verwendet werden konnten, bei denen Binäranzeigen zu komplex waren, Dezimalanzeigen komplexe Hardware zur Umwandlung von Radikalen und Hexadezimalanzeigen zur Anzeige von mehr Ziffern erforderlich waren .

Alle modernen Computerplattformen verwenden jedoch 16-, 32- oder 64-Bit-Wörter, die weiter in Acht-Bit-Bytes unterteilt sind . Auf solchen Systemen wären drei Oktalziffern pro Byte erforderlich, wobei die höchstwertige Oktalziffer zwei Binärziffern repräsentiert (plus ein Bit des nächsthöheren Bytes, falls vorhanden). Die oktale Darstellung eines 16-Bit-Wortes erfordert 6 Stellen, aber die höchstwertige oktale Stelle repräsentiert (ziemlich unelegant) nur ein Bit (0 oder 1). Diese Darstellung bietet keine Möglichkeit, das höchstwertige Byte einfach zu lesen, da es über vier oktale Stellen verschmiert ist. Daher wird Hexadezimal heute in Programmiersprachen häufiger verwendet, da zwei hexadezimale Ziffern genau ein Byte angeben. Einige Plattformen mit einer Zweierpotenz-Wortgröße haben immer noch Anweisungsunterwörter, die leichter zu verstehen sind, wenn sie oktal angezeigt werden; dazu gehören die PDP-11- und Motorola 68000-Familie . Auch die moderne, allgegenwärtige x86-Architektur gehört in diese Kategorie, allerdings wird Oktal auf dieser Plattform selten verwendet, obwohl bestimmte Eigenschaften der binären Kodierung von Opcodes bei der oktalen Darstellung deutlicher werden, z. B. das ModRM-Byte, das in Felder mit 2, 3 und 3 Bits, daher kann Oktal bei der Beschreibung dieser Codierungen hilfreich sein. Vor der Verfügbarkeit von Assemblern kodierten einige Programmierer ihre Programme in Oktal; zum Beispiel haben Dick Whipple und John Arnold Tiny BASIC Extended direkt in Maschinencode geschrieben, mit Oktal.

Oktal wird manchmal in Computern anstelle von Hexadezimal verwendet, vielleicht am häufigsten in der Neuzeit in Verbindung mit Dateiberechtigungen unter Unix- Systemen (siehe chmod ). Es hat den Vorteil, dass keine zusätzlichen Symbole als Ziffern erforderlich sind (das Hexadezimalsystem ist die Basis 16 und benötigt daher sechs zusätzliche Symbole über 0-9 hinaus). Es wird auch für digitale Anzeigen verwendet.

In Programmiersprachen werden Oktalliterale normalerweise mit einer Vielzahl von Präfixen identifiziert , darunter die Ziffer 0, die Buchstaben ooder q, die Ziffern-Buchstaben-Kombination 0ooder das Symbol &oder $. In der Motorola-Konvention werden Oktalzahlen mit vorangestellt @, während ein Kleinbuchstabe (oder Großbuchstabe) ooder gemäß der Intel-Konventionq als Postfix hinzugefügt wird . In Concurrent DOS , Multiuser DOS und REAL/32 sowie in DOS Plus und DR-DOS unterstützen verschiedene Umgebungsvariablen wie $CLS , $ON , $OFF , $HEADER oder $FOOTER eine oktale Zahlennotation, und DR-DOS DEBUG verwendet auch Oktalzahlen voranzustellen. \nnn\

Zum Beispiel könnte das Literal 73 (Basis 8) als 073, o73, q73, 0o73, \73, @73, &73, $73oder 73oin verschiedenen Sprachen dargestellt werden.

Neuere Sprachen haben das Präfix aufgegeben 0, da Dezimalzahlen oft mit führenden Nullen dargestellt werden. Das Präfix qwurde eingeführt, um zu vermeiden, dass das Präfix omit einer Null verwechselt wird, während das Präfix 0oeingeführt wurde, um zu vermeiden, dass ein numerisches Literal mit einem alphabetischen Zeichen (wie ooder q) beginnt , da dies dazu führen könnte, dass das Literal mit einem Variablennamen verwechselt wird. Das Präfix 0ofolgt auch dem Modell, das durch das Präfix festgelegt 0xwird, das für hexadezimale Literale in der Sprache C verwendet wird ; es wird von Haskell , OCaml , Python ab Version 3.0, Raku , Ruby , Tcl ab Version 9, PHP ab Version 8.1 unterstützt und soll von ECMAScript 6 unterstützt werden (das Präfix 0stand ursprünglich für Basis 8 in JavaScript aber könnte Verwirrung stiften, daher wurde es in ECMAScript 3 abgeraten und in ECMAScript 5 weggelassen).

Oktalzahlen, die in einigen Programmiersprachen (C, Perl , PostScript …) für textuelle/grafische Darstellungen von Byte-Strings verwendet werden, wenn einige Byte-Werte (in einer Codepage nicht dargestellt, nicht grafisch, im aktuellen Kontext eine besondere Bedeutung haben oder anderweitig unerwünscht sind) müssen zu entkommen , wie \nnn. Die oktale Darstellung kann bei Nicht-ASCII-Bytes von UTF-8 besonders praktisch sein , die Gruppen von 6 Bits kodieren und bei denen jedes Startbyte einen Oktalwert \3nnund jedes Fortsetzungsbyte einen Oktalwert hat \2nn.

Octal wurde auch für Fließkommazahlen in den Computern Ferranti Atlas (1962), Burroughs B5500 (1964), Burroughs B5700 (1971), Burroughs B6700 (1971) und Burroughs B7700 (1972) verwendet.

In der Luftfahrt

Transponder in Flugzeugen senden bei der Abfrage durch Bodenradar einen Code aus , der als vierstellige Zahl ausgedrückt wird. Dieser Code wird verwendet, um verschiedene Flugzeuge auf dem Radarbildschirm zu unterscheiden.

Umrechnung zwischen Basen

Umrechnung von Dezimal in Oktal

Methode der sukzessiven euklidischen Division durch 8

Um ganzzahlige Dezimalzahlen in Oktalzahlen umzuwandeln, dividiere die ursprüngliche Zahl durch die größtmögliche Potenz von 8 und dividiere die Reste durch aufeinanderfolgend kleinere Potenzen von 8, bis die Potenz 1 ist Algorithmus. Um beispielsweise 125 10 in Oktal umzuwandeln :

125 = 8 2 × 1 + 61
61 = 8 1 × 7 + 5
5 = 8 0 × 5 + 0

Daher 125 10 = 175 8 .

Ein anderes Beispiel:

900 = 8 3 × 1 + 388
388 = 8 2 × 6 + 4
4 = 8 1 × 0 + 4
4 = 8 0 × 4 + 0

Daher 900 10 = 1604 8 .

Methode der sukzessiven Multiplikation mit 8

Um einen Dezimalbruch in einen Oktalbruch umzuwandeln, multiplizieren Sie mit 8; der ganzzahlige Teil des Ergebnisses ist die erste Ziffer des Oktalbruchs. Wiederholen Sie den Vorgang mit dem Bruchteil des Ergebnisses, bis er null ist oder innerhalb akzeptabler Fehlergrenzen liegt.

Beispiel: Konvertieren Sie 0,1640625 in Oktal:

0,1640625 × 8 = 1,3125 = 1 + 0,3125
0,3125 × 8 = 2,5 = 2 + 0,5
0,5 × 8 = 4,0 = 4 + 0

Daher 0,1640625 10 = 0,124 8 .

Diese beiden Methoden können kombiniert werden, um Dezimalzahlen mit ganzzahligen und gebrochenen Teilen zu verarbeiten, wobei die erste für den ganzzahligen Teil und die zweite für den Bruchteil verwendet wird.

Methode der sukzessiven Vervielfältigung

Um ganzzahlige Dezimalzahlen in Oktalzahlen umzuwandeln, stellen Sie der Zahl eine "0" voran. Führen Sie die folgenden Schritte aus, solange Ziffern auf der rechten Seite der Basis verbleiben: Verdoppeln Sie den Wert auf der linken Seite der Basis nach Oktalregeln , verschieben Sie den Basispunkt um eine Ziffer nach rechts und platzieren Sie dann den verdoppelten Wert unter dem aktuellen Wert, damit die Radixpunkte ausgerichtet werden. Wenn der verschobene Radixpunkt eine Ziffer von 8 oder 9 überquert, wandeln Sie sie in 0 oder 1 um und addieren Sie den Übertrag zur nächsten linken Ziffer des aktuellen Werts. Fügen Sie diese Ziffern oktalal links vom Radix hinzu und ziehen Sie diese Ziffern ohne Änderung einfach nach rechts.

Beispiel:

 0.4 9 1 8 decimal value
  +0
 ---------
   4.9 1 8
  +1 0
  --------
   6 1.1 8
  +1 4 2
  --------
   7 5 3.8
  +1 7 2 6
  --------
 1 1 4 6 6. octal value

Umrechnung von Oktal in Dezimal

Um eine Zahl k in eine Dezimalzahl umzuwandeln , verwenden Sie die Formel, die ihre Basis-8-Darstellung definiert:

In dieser Formel ist a i eine einzelne Oktalziffer, die umgewandelt wird, wobei i die Position der Ziffer ist (von 0 für die Ziffer ganz rechts gezählt).

Beispiel: Konvertieren Sie 764 8 in Dezimal:

764 8 = 7 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 = 448 + 48 + 4 = 500 10

Bei zweistelligen Oktalzahlen wird bei dieser Methode die erste Ziffer mit 8 multipliziert und die zweite Ziffer addiert, um die Summe zu erhalten.

Beispiel: 65 8 = 6 × 8 + 5 = 53 10

Methode der sukzessiven Vervielfältigung

Um Oktalzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln, stellen Sie der Zahl eine "0" voran. Führen Sie die folgenden Schritte aus, solange auf der rechten Seite des Radix Ziffern bleiben: Verdoppeln Sie den Wert auf der linken Seite des Radix, verwenden Sie Dezimalregeln , verschieben Sie den Radix-Punkt um eine Ziffer nach rechts und platzieren Sie dann den verdoppelten Wert unter dem aktuellen Wert, damit die Radixpunkte ausgerichtet werden. Subtrahieren decimally jene Ziffern links von der Radix und einfach fallen nach unten , diese Ziffern rechts, ohne Änderungen.

Beispiel:

 0.1 1 4 6 6  octal value
  -0
 -----------
   1.1 4 6 6
  -  2
  ----------
     9.4 6 6
  -  1 8
  ----------
     7 6.6 6
  -  1 5 2
  ----------
     6 1 4.6
  -  1 2 2 8
  ----------
     4 9 1 8. decimal value

Oktal-zu-Binär-Konvertierung

Um Oktal in Binär umzuwandeln, ersetzen Sie jede Oktalziffer durch ihre binäre Darstellung.

Beispiel: Konvertieren Sie 51 8 in binär:

5 8 = 101 2
1 8 = 001 2

Daher 51 8 = 101 001 2 .

Umrechnung von Binär in Oktal

Der Prozess ist die Umkehrung des vorherigen Algorithmus. Die Binärziffern werden zu Dreien gruppiert, beginnend mit dem niederwertigsten Bit und fortschreitend nach links und rechts. Fügen Sie bei Bedarf führende Nullen (oder nachgestellte Nullen rechts vom Dezimalpunkt) hinzu, um die letzte Dreiergruppe auszufüllen. Ersetzen Sie dann jedes Trio durch die entsprechende Oktalziffer.

Konvertieren Sie beispielsweise binär 1010111100 in oktal:

001 010 111 100
1 2 7 4

Daher 1010111100 2 = 1274 8 .

Konvertieren Sie binär 11100.01001 in oktal:

011 100  .  010 010
3 4  .  2 2

Daher ist 11100.01001 2 = 34,22 8 .

Konvertierung von Oktal in Hexadezimal

Die Umwandlung erfolgt in zwei Schritten unter Verwendung von Binär als Zwischenbasis. Oktal wird in binär und dann binär in hexadezimal umgewandelt, wobei die Ziffern in Vierer gruppiert werden, die jeweils einer hexadezimalen Ziffer entsprechen.

Konvertieren Sie beispielsweise oktal 1057 in hexadezimal:

Zu binär:
1 0 5 7
001 000 101 111
dann zu hexadezimal:
0010 0010 1111
2 2 F

Daher 1057 8 = 22F 16 .

Umrechnung von Hexadezimal in Oktal

Die Umwandlung von Hexadezimal in Oktal schreitet fort, indem zuerst die hexadezimalen Ziffern in 4-Bit-Binärwerte umgewandelt werden und dann die binären Bits in 3-Bit-Oktalzahlen umgruppiert werden.

Um beispielsweise 3FA5 16 zu konvertieren :

Zu binär:
3 F EIN 5
0011 1111 1010 0101
dann zu Oktal:
0 011 111 110 100 101
0 3 7 6 4 5

Daher ist 3FA5 16 = 37645 8 .

Reale Nummern

Brüche

Da sie nur den Faktor zwei haben, haben viele Oktalbrüche sich wiederholende Ziffern, obwohl diese in der Regel ziemlich einfach sind:

Dezimalbasis
Primfaktoren der Basis: 2 , 5
Primfaktoren von einem unter der Basis: 3
Primfaktoren von einem über der Basis: 11
Andere Primfaktoren: 7 13 17 19 23 29 31
Oktalbasis Primfaktoren
der Basis: 2
Primfaktoren von einem unter der Basis: 7
Primfaktoren von einem über der Basis: 3
Andere Primfaktoren: 5 13 15 21 23 27 35 37
Fraktion Primfaktoren
des Nenners
Positionsdarstellung Positionsdarstellung Primfaktoren
des Nenners
Fraktion
1/2 2 0,5 0,4 2 1/2
1/3 3 0. 3333 ... = 0. 3 0. 2525 ... = 0. 25 3 1/3
1/4 2 0,25 0,2 2 1/4
1/5 5 0,2 0. 1463 5 1/5
1/6 2 , 3 0,1 6 0,1 25 2 , 3 1/6
1/7 7 0. 142857 0. 1 7 1/7
1/8 2 0,125 0,1 2 1/10
1/9 3 0. 1 0. 07 3 1/11
1/10 2 , 5 0,1 0,0 6314 2 , 5 1/12
1/11 11 0. 09 0. 0564272135 13 1/13
1/12 2 , 3 0,08 3 0.0 52 2 , 3 1/14
1/13 13 0. 076923 0. 0473 fünfzehn 1/15
1/14 2 , 7 0.0 714285 0.0 4 2 , 7 1/16
1/15 3 , 5 0.0 6 0. 0421 3 , 5 1/17
1/16 2 0,0625 0,04 2 1/20
1/17 17 0. 0588235294117647 0. 03607417 21 1/21
1/18 2 , 3 0.0 5 0,0 34 2 , 3 1/22
1/19 19 0. 052631578947368421 0. 032745 23 1/23
1/20 2 , 5 0,05 0,0 3146 2 , 5 1/24
1/21 3 , 7 0. 047619 0. 03 3 , 7 1/25
1/22 2 , 11 0,0 45 0.0 2721350564 2 , 13 1/26
1/23 23 0. 0434782608695652173913 0. 02620544131 27 1/27
1/24 2 , 3 0,041 6 0.0 25 2 , 3 1/30
1/25 5 0,04 0. 02436560507534121727 5 1/31
1/26 2 , 13 0.0 384615 0.0 2354 2 , 15 1/32
1/27 3 0. 037 0. 022755 3 1/33
1/28 2 , 7 0,03 571428 0.0 2 2 , 7 1/34
1/29 29 0. 0344827586206896551724137931 0. 02151734541006475626043236713 35 1/35
1/30 2 , 3 , 5 0.0 3 0.0 2104 2 , 3 , 5 1/36
1/31 31 0. 032258064516129 0. 02041 37 1/37
1/32 2 0,03125 0,02 2 1/40

Irrationale Zahlen

Die folgende Tabelle gibt die Erweiterungen einiger üblicher irrationaler Zahlen in Dezimal- und Oktalzahlen an.

Nummer Positionsdarstellung
Dezimal Oktal
2 (die Länge der Diagonale einer Einheit square ) 1.414 213 562 373 095 048 ... 1.3240 4746 3177 1674...
3 (die Länge der Diagonalen eines Einheitswürfel ) 1.732 050 807 568 877 293 ... 1.5666 3656 4130 2312...
5 (die Länge der Diagonale eines 1×2- Rechtecks ) 2.236 067 977 499 789 696 ... 2.1706 7363 3457 7224...
φ (phi, der goldene Schnitt = (1+ 5 )/2 ) 1,618 033 988 749 894 848 ... 1.4743 3571 5627 7512...
π (pi, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises) 3.141 592 653 589 793 238 462 643
383 279 502 884 197 169 399 375 105 ...
3.1103 7552 4210 2643...
e (die Basis des natürlichen Logarithmus ) 2,718 281 828 459 045 235 ... 2.5576 0521 3050 5355...

Siehe auch

Verweise

Externe Links