Einseitige Begrenzung - One-sided limit

Die Funktion f ( x ) = x ² + sign ( x ) hat eine linke Grenze von -1, eine rechte Grenze von +1 und einen Funktionswert von 0 an der Stelle x = 0.

In der Analysis ist ein einseitiger Grenzwert einer der beiden Grenzwerte einer Funktion f ( x ) einer reellen Variablen x, wenn x sich einem bestimmten Punkt entweder von links oder von rechts nähert.

Die Grenze, wenn x im Wert abnimmt, nähert sich a ( x nähert sich a "von rechts" oder "von oben") kann bezeichnet werden:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\ }$oder oder oder${\displaystyle \lim_{x\,\downarrow\,a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim_{x\searrow a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\to}}a}f(x)}$

Die Grenze, wenn x an Wert zunimmt, nähert sich a ( x nähert sich a "von links" oder "von unten") kann wie folgt bezeichnet werden:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\ }$oder oder oder${\displaystyle \lim_{x\,\uparrow\,a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\to}}a}f(x)}$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es üblich, die kurze Schreibweise zu verwenden:

${\displaystyle f(x-)}$für die linke Grenze und für die rechte Grenze.${\displaystyle f(x+)}$

Die zwei einseitigen Grenzwerte existieren und sind gleich, wenn der Grenzwert von f ( x ) existiert, wenn x sich a nähert . In einigen Fällen, in denen die Grenze

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

existiert nicht, die beiden einseitigen Grenzen bestehen dennoch. Folglich wird die Grenze, wenn x sich a nähert, manchmal als "zweiseitige Grenze" bezeichnet.

In einigen Fällen existiert eine der beiden einseitigen Grenzen und die andere nicht, und in einigen Fällen existiert auch keines.

Der rechtsseitige Grenzwert kann streng definiert werden als

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<xa<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

und der linksseitige Grenzwert kann streng definiert werden als

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<ax<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

wobei I ein Intervall darstellt , das innerhalb des Bereichs von f liegt .

Beispiele

Plot der Funktion ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x})}$

Ein Beispiel für eine Funktion mit unterschiedlichen einseitigen Grenzen ist folgendes (vgl. Bild):

${\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

wohingegen

${\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Beziehung zur topologischen Definition von Grenzwert

Der einseitige Grenzwert auf einen Punkt p entspricht der allgemeinen Definition von Grenzwert , wobei der Funktionsbereich auf eine Seite beschränkt ist, indem entweder zugelassen wird, dass der Funktionsbereich eine Teilmenge des topologischen Raums ist, oder indem ein einseitiger Unterraum, einschließlich p . Alternativ kann man die Domäne mit einer halboffenen Intervalltopologie betrachten .

Satz von Abel

Ein bemerkenswerter Satz, der einseitige Grenzen bestimmter Potenzreihen an den Grenzen ihrer Konvergenzintervalle behandelt, ist der Satz von Abel .

Verweise

Siehe auch

• Projektiv verlängerte Reallinie
• Semidifferenzierbarkeit
• Limit Superior und Limit Inferior