Operatoralgebra - Operator algebra

In der Funktionalanalysis , einem Zweig der Mathematik , ist eine Operatoralgebra eine Algebra von stetigen linearen Operatoren auf einem topologischen Vektorraum , wobei die Multiplikation durch die Zusammensetzung der Abbildungen gegeben ist .

Die bei der Untersuchung von Operatoralgebren erhaltenen Ergebnisse sind in algebraischen Begriffen formuliert , während die verwendeten Techniken hochgradig analytisch sind . Obwohl das Studium der Operatoralgebren normalerweise als ein Zweig der Funktionalanalyse klassifiziert wird, hat es direkte Anwendungen auf die Darstellungstheorie , Differentialgeometrie , Quantenstatistische Mechanik , Quanteninformation und Quantenfeldtheorie .

Überblick

Operatoralgebren können verwendet werden, um beliebige Sätze von Operatoren mit geringer algebraischer Beziehung gleichzeitig zu studieren . Unter diesem Gesichtspunkt können Operatoralgebren als eine Verallgemeinerung der Spektraltheorie eines einzelnen Operators betrachtet werden. Im Allgemeinen sind Operatoralgebren nichtkommutative Ringe .

Eine Bedienungsperson ist erforderlich Algebra typischerweise wird geschlossen in einem bestimmten Operator Topologie innerhalb des gesamten Algebra der kontinuierlichen linearer Operatoren. Insbesondere handelt es sich um eine Menge von Operatoren mit sowohl algebraischen als auch topologischen Abschlusseigenschaften. In einigen Disziplinen werden solche Eigenschaften axiomisiert und Algebren mit einer bestimmten topologischen Struktur werden zum Gegenstand der Forschung.

Obwohl Algebren von Operatoren in verschiedenen Kontexten untersucht werden (z. B. Algebren von Pseudodifferentialoperatoren, die auf Verteilungsräume wirken ), wird der Begriff Operatoralgebra normalerweise in Bezug auf Algebren von beschränkten Operatoren auf einem Banach-Raum oder noch spezieller in Verweis auf Algebren von Operatoren auf einem separierbaren Hilbertraum , ausgestattet mit der Operatornormtopologie .

Im Fall von Operatoren auf einem Hilbert-Raum ergibt die hermitesche adjungierte Abbildung auf Operatoren eine natürliche Involution , die eine zusätzliche algebraische Struktur bereitstellt, die der Algebra aufgezwungen werden kann. In diesem Zusammenhang sind die am besten untersuchten Beispiele selbstadjungierte Operatoralgebren, dh sie sind unter adjungierten Bedingungen abgeschlossen. Dazu gehören C*-Algebren , von Neumann-Algebren und AW*-Algebra . C*-Algebren lassen sich leicht abstrakt durch eine Bedingung von Norm, Involution und Multiplikation charakterisieren. Solche abstrakt definierten C * -Algebren kann bis zu einem gewissen geschlossenen identifiziert werden Subalgebra der Algebra der kontinuierlichen linearen Operatoren auf einem geeigneten Hilbert - Raum. Ein ähnliches Ergebnis gilt für von Neumann-Algebren.

Kommutative selbstadjungierte Operatoralgebren können als die Algebra komplexwertiger stetiger Funktionen auf einem lokal kompakten Raum oder als die von messbaren Funktionen auf einem Standardmessraum angesehen werden . Daher werden allgemeine Operatoralgebren oft als nichtkommutative Verallgemeinerungen dieser Algebren oder als Struktur des Basisraums angesehen, auf dem die Funktionen definiert sind. Dieser Standpunkt wird als Philosophie der nichtkommutativen Geometrie ausgearbeitet , die versucht, verschiedene nichtklassische und/oder pathologische Objekte durch nichtkommutative Operatoralgebren zu untersuchen.

Beispiele für Operatoralgebren, die nicht selbstadjungiert sind, sind:

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

  • Blackadar, Bruce (2005). Operatoralgebren: Theorie der C*-Algebren und von Neumann-Algebren . Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 3-540-28486-9.
  • M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I , Springer, 2001.