Bestellter Ring - Ordered ring

Die reellen Zahlen sind ein geordneter Ring, der auch ein geordneter Körper ist . Die ganzen Zahlen , eine Teilmenge der reellen Zahlen, sind ein geordneter Ring, der kein geordneter Körper ist.

In der abstrakten Algebra ist ein geordneter Ring ein (normalerweise kommutativer ) Ring R mit einer Gesamtordnung ≤, so dass für alle a , b und c in R gilt :

• wenn a ≤ b dann a + c ≤ b + c .
• wenn 0 a und 0 ≤ b dann 0 ≤ ab .

Beispiele

Geordnete Ringe sind aus der Arithmetik bekannt . Beispiele sind die ganzen Zahlen , die rationalen und die reellen Zahlen . (Die rationalen und reellen Zahlen bilden tatsächlich geordnete Körper .) Die komplexen Zahlen hingegen bilden keinen geordneten Ring oder Körper, da zwischen den Elementen 1 und i keine inhärente Ordnungsbeziehung besteht .

Positive Elemente

Analog zu den reellen Zahlen nennen wir ein Element c eines geordneten Rings R positiv, wenn 0 < c , und negativ, wenn c < 0. 0 gilt weder als positiv noch als negativ.

Die Menge der positiven Elemente eines geordneten Rings R wird oft mit R _{+ bezeichnet} . Eine alternative Notation, die in einigen Disziplinen bevorzugt wird, besteht darin, R ₊ für die Menge der nichtnegativen Elemente und R ₊₊ für die Menge der positiven Elemente zu verwenden.

Absolutwert

Wenn ein Element eines geordneten Rings R ist , dann ist der Absolutwert von , bezeichnet mit , wie folgt definiert: ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}$

wobei die additive Inverse von und 0 das additive Identitätselement ist . ${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

Diskret bestellte Ringe

Ein diskret geordneter Ring oder ein diskret geordneter Ring ist ein geordneter Ring, in dem es kein Element zwischen 0 und 1 gibt. Die ganzen Zahlen sind ein diskret geordneter Ring, die rationalen Zahlen jedoch nicht.

Grundeigenschaften

Für alle a , b und c in R :

• Wenn ein ≤ b und 0 ≤ c , dann ac ≤ bc . Diese Eigenschaft wird manchmal verwendet, um geordnete Ringe anstelle der zweiten Eigenschaft in der obigen Definition zu definieren.
• | ab | = | ein | | b |.
• Ein geordneter Ring, der nicht trivial ist, ist unendlich.
• Genau eine der folgenden Aussagen ist wahr: a ist positiv, - a ist positiv oder a = 0. Diese Eigenschaft folgt aus der Tatsache, dass geordnete Ringe abelsche , linear geordnete Gruppen bezüglich der Addition sind.
• In einem geordneten Ring ist kein negatives Element ein Quadrat. Dies liegt daran, wenn a 0 und a = b ² dann b ≠ 0 und a = (– b ) ² ; entweder als b oder - b positiv ist, ein muss nicht negativ sein.

Siehe auch

• Geordnetes Feld
• Bestellte Gruppe
• Geordneter topologischer Vektorraum
• Geordneter Vektorraum
• Teilweise bestellter Ring  – Ring mit einer kompatiblen Teilbestellung
• Teilweise geordneter Raum  – Teilweise geordneter topologischer Raum
• Riesz-Raum  – teilweise geordneter Vektorraum, als Gitter geordnet
• Vektorgitter

Anmerkungen

Die folgende Liste enthält Verweise auf Theoreme, die vom IsarMathLib- Projekt formal verifiziert wurden .