Parallelpostulat - Parallel postulate

Ist die Summe der Innenwinkel α und β kleiner als 180°, so treffen sich auf dieser Seite die beiden auf unbestimmte Zeit erzeugten Geraden.

In der Geometrie ist das Parallelpostulat , auch Euklids fünftes Postulat genannt, weil es das fünfte Postulat in Euklids Elementen ist, ein charakteristisches Axiom in der euklidischen Geometrie . Es besagt, dass in der zweidimensionalen Geometrie:

Wenn ein Geradensegment zwei Geraden schneidet, die auf derselben Seite zwei Innenwinkel bilden , die in der Summe weniger als zwei rechte Winkel ergeben , dann treffen sich die beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung auf der Seite, auf der die Winkel weniger als zwei rechte Winkel ergeben.

Dieses Postulat spricht nicht speziell von parallelen Linien; es ist nur ein Postulat, das sich auf den Parallelismus bezieht. Euklid gab die Definition von parallelen Linien in Buch I, Definition 23 kurz vor den fünf Postulaten.

Die euklidische Geometrie ist das Studium der Geometrie, das alle Axiome von Euklid erfüllt, einschließlich des Parallelpostulats.

Das Postulat galt lange Zeit als offensichtlich oder unvermeidlich, aber Beweise waren schwer fassbar. Schließlich wurde entdeckt, dass das Invertieren des Postulats gültige, wenn auch unterschiedliche Geometrien ergab. Eine Geometrie, bei der das Parallelpostulat nicht gilt, wird als nichteuklidische Geometrie bezeichnet . Geometrie, die unabhängig von Euklids fünftem Postulat ist (dh nur das moderne Äquivalent der ersten vier Postulate annimmt) ist als absolute Geometrie (oder manchmal "neutrale Geometrie") bekannt.

Äquivalente Eigenschaften

Das wohl bekannteste Äquivalent von Euklids Parallelpostulat, abhängig von seinen anderen Postulaten, ist das nach dem schottischen Mathematiker John Playfair benannte Axiom von Playfair , das besagt:

In einer Ebene kann, wenn eine Linie und ein Punkt nicht darauf gegeben sind, höchstens eine Linie parallel zur gegebenen Linie durch den Punkt gezogen werden.

Dieses Axiom allein ist logisch nicht äquivalent zum euklidischen Parallelpostulat, da es Geometrien gibt, bei denen die eine wahr ist und die andere nicht. In Gegenwart der verbleibenden Axiome, die die euklidische Geometrie ergeben, kann jedoch jedes davon verwendet werden, um das andere zu beweisen, so dass sie im Kontext der absoluten Geometrie äquivalent sind .

Viele andere Aussagen, die dem Parallelpostulat äquivalent sind, wurden vorgeschlagen, von denen einige zunächst ohne Bezug zum Parallelismus zu sein scheinen, und andere scheinen so selbstverständlich zu sein, dass sie unbewusst von Leuten angenommen wurden, die behaupteten, das Parallelpostulat von Euklids anderen Postulaten bewiesen zu haben . Diese gleichwertigen Aussagen umfassen:

  1. Es gibt höchstens eine Linie, die durch einen äußeren Punkt parallel zu einer anderen gezogen werden kann. ( Playfairs Axiom )
  2. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck 180 ° beträgt ( Dreieck Postulat ).
  3. Es gibt ein Dreieck, dessen Winkel zusammen 180° ergeben.
  4. Die Winkelsumme ist für jedes Dreieck gleich.
  5. Es gibt ein Paar ähnlicher , aber nicht deckungsgleicher Dreiecke.
  6. Jedes Dreieck kann umschrieben werden .
  7. Wenn drei Winkel eines Vierecks sind rechte Winkel , dann der vierte Winkel ist auch ein rechter Winkel.
  8. Es gibt ein Viereck, in dem alle Winkel rechte Winkel sind, also ein Rechteck .
  9. Es gibt ein Paar gerader Linien, die einen konstanten Abstand voneinander haben.
  10. Zwei Linien, die parallel zur gleichen Linie liegen, sind auch parallel zueinander.
  11. In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ( Satz des Pythagoras ).
  12. Das Kosinusgesetz , eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.
  13. Es gibt keine Obergrenze für die Fläche eines Dreiecks. ( Wallis-Axiom )
  14. Die Gipfelwinkel des Saccheri-Vierecks betragen 90°.
  15. Wenn eine Linie eine von zwei parallelen Linien schneidet, die beide mit der ursprünglichen Linie koplanar sind, schneidet sie auch die andere. ( Proclus ' Axiom)

Die Alternativen, die das Wort „parallel“ verwenden, erscheinen jedoch nicht mehr so ​​einfach, wenn man erklären muss, welche der vier gängigen Definitionen von „parallel“ gemeint ist – ständige Trennung, nie aufeinandertreffen, gleiche Winkel werden von einer dritten Linie gekreuzt oder dieselben Winkel wurden von jeder dritten Linie gekreuzt – da die Äquivalenz dieser vier selbst eine der unbewusst offensichtlichen Annahmen ist, die dem fünften Postulat von Euklid entsprechen. In der obigen Liste wird immer von sich nicht schneidenden Linien gesprochen. Wenn beispielsweise das Wort "parallel" in Playfairs Axiom so verstanden wird, dass es "konstante Trennung" oder "gleiche Winkel, wo eine dritte Linie gekreuzt wird" bedeutet, dann ist es nicht mehr äquivalent zu Euklids fünftem Postulat und ist aus den ersten vier beweisbar (Das Axiom sagt 'Es gibt höchstens eine Linie...', was damit vereinbar ist, dass es keine solchen Linien gibt). Wenn die Definition jedoch so gewählt wird, dass parallele Linien Linien sind, die sich nicht schneiden oder die eine Linie sie in den gleichen Winkeln schneidet, ist das Axiom von Playfair kontextuell äquivalent zu Euklids fünftem Postulat und ist daher logisch unabhängig von den ersten vier Postulaten. Beachten Sie, dass die beiden letztgenannten Definitionen nicht äquivalent sind, da in der hyperbolischen Geometrie die zweite Definition nur für ultraparallele Linien gilt.

Geschichte

Zweitausend Jahre lang wurden viele Versuche unternommen, das Parallelpostulat mit den ersten vier Postulaten von Euklid zu beweisen. Ein solcher Beweis war vor allem deshalb so begehrt, weil im Gegensatz zu den ersten vier Postulaten das Parallelpostulat nicht selbstverständlich ist. Wenn die Reihenfolge der Postulate in den Elementen von Bedeutung ist, weist dies darauf hin, dass Euklid dieses Postulat nur einschloss, als er erkannte, dass er es nicht beweisen oder ohne es fortfahren konnte. Es wurden viele Versuche unternommen, das fünfte Postulat von den anderen vier zu beweisen, und viele von ihnen wurden lange Zeit als Beweise akzeptiert, bis der Fehler gefunden wurde. Der Fehler bestand immer darin, eine „offensichtliche“ Eigenschaft anzunehmen, die sich als äquivalent zum fünften Postulat ( Playfairs Axiom ) herausstellte . Obwohl aus der Zeit von Proclus bekannt, wurde dies als Playfairs Axiom bekannt, nachdem John Playfair 1795 einen berühmten Kommentar zu Euklid verfasste, in dem er vorschlug, Euklids fünftes Postulat durch sein eigenes Axiom zu ersetzen.

Proclus (410-485) schrieb einen Kommentar zu The Elements, in dem er versuchte Beweise kommentiert, um das fünfte Postulat von den anderen vier abzuleiten; insbesondere stellt er fest, dass Ptolemäus einen falschen „Beweis“ erbracht habe. Proclus fährt dann fort, einen eigenen falschen Beweis zu liefern. Er gab jedoch ein Postulat ab, das dem fünften Postulat entspricht.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), ein arabischer Mathematiker , unternahm den Versuch, das Parallelpostulat mit einem Widerspruchsbeweis zu beweisen, wobei er den Begriff der Bewegung und Transformation in die Geometrie einführte . Er formulierte das Lambert-Viereck , das Boris Abramovich Rozenfeld das "Ibn al-Haytham-Lambert-Viereck" nennt, und sein Beweisversuch enthält Elemente, die denen ähnlich sind, die in Lambert-Vierecks und Playfairs Axiom gefunden werden .

Der persische Mathematiker, Astronom, Philosoph und Dichter Omar Khayyám (1050-1123) versuchte, das fünfte Postulat aus einem anderen explizit gegebenen Postulat (basierend auf dem vierten der fünf Prinzipien des Philosophen ( Aristoteles ), nämlich "Two konvergente Geraden schneiden sich, und es ist unmöglich, dass zwei konvergente Geraden in der Richtung, in der sie zusammenlaufen, auseinanderlaufen." Er leitete einige der früheren Ergebnisse der elliptischen Geometrie und der hyperbolischen Geometrie ab , obwohl sein Postulat die letztere Möglichkeit ausschloss. Das Saccheri-Viereck wurde auch erstmals von Omar Khayyám im späten 11. Jahrhundert in Buch I der Erklärungen der Schwierigkeiten in den Postulaten des Euklid betrachtet.Im Gegensatz zu vielen Kommentatoren über Euklid vor und nach ihm (einschließlich Giovanni Girolamo Saccheri ) versuchte Khayyám nicht, die Parallele zu beweisen Postulat als solches, sondern um es von seinem äquivalenten Postulat abzuleiten.Er erkannte, dass sich drei Möglichkeiten ergaben, wenn Euklid das fünfte Postulat; Wenn zwei Senkrechte zu einer Linie eine andere Linie kreuzen, kann die Wahl der letzten Linie die Innenwinkel, wo sie auf die beiden Senkrechten trifft, gleich machen (sie ist dann parallel zur ersten Linie). Wenn diese gleichen Innenwinkel rechte Winkel sind, erhalten wir das fünfte Postulat von Euklid, andernfalls müssen sie entweder spitz oder stumpf sein. Er zeigte mit seinem Postulat, dass die akuten und stumpfen Fälle zu Widersprüchen führten, aber sein Postulat ist heute als äquivalent zum fünften Postulat bekannt.

Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) schrieb in seiner Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Diskussion, die Zweifel an parallelen Linien beseitigt ) (1250), detaillierte Kritiken des Parallelpostulats und auf Khayyáms Beweisversuch ein Jahrhundert zuvor. Nasir al-Din versuchte, durch Widerspruch zum Parallelpostulat einen Beweis abzuleiten. Er betrachtete auch die Fälle, die heute als elliptische und hyperbolische Geometrie bekannt sind, obwohl er beide ausschloss.

Euklidische, elliptische und hyperbolische Geometrie. Das Parallelpostulat ist nur für Modelle der euklidischen Geometrie erfüllt.

Der Sohn von Nasir al-Din, Sadr al-Din (manchmal auch als " Pseudo-Tusi " bekannt), schrieb 1298 ein Buch zu diesem Thema, basierend auf den späteren Gedanken seines Vaters, das eines der frühesten Argumente für eine nicht-euklidische Hypothese präsentierte entspricht dem Parallelpostulat. "Er revidierte im Wesentlichen sowohl das euklidische System der Axiome und Postulate als auch die Beweise vieler Sätze aus den Elementen ." Seine Arbeit wurde 1594 in Rom veröffentlicht und von europäischen Geometern untersucht. Diese Arbeit markierte den Ausgangspunkt für Saccheris Arbeit zu diesem Thema, die mit einer Kritik an Sadr al-Dins Werk und dem Werk des Wallis begann.

Giordano Vitale (1633-1711) verwendet in seinem Buch Euclid restituo (1680, 1686) das Khayyam-Saccheri-Viereck, um zu beweisen, dass, wenn drei Punkte auf der Basis AB und dem Gipfel CD gleich weit entfernt sind, AB und CD überall gleich weit entfernt sind. Girolamo Saccheri (1667-1733) verfolgte die gleiche Argumentation gründlicher, indem er die Absurdität aus dem stumpfen Fall korrekt herstellte (wie Euklid von der impliziten Annahme ausgeht, dass Linien unbegrenzt verlängert werden können und unendlich lang sind), aber dies nicht widerlegen akuter Fall (obwohl er es geschafft hat, sich fälschlicherweise davon einzureden).

1766 schrieb Johann Lambert die Theorie der Parallellinien , veröffentlichte sie jedoch nicht, in der er wie Saccheri versuchte, das fünfte Postulat zu beweisen. Er arbeitete mit einer Figur, die wir heute Lambert-Viereck nennen , ein Viereck mit drei rechten Winkeln (kann als die Hälfte eines Saccheri-Vierecks betrachtet werden). Er eliminierte schnell die Möglichkeit, dass der vierte Winkel stumpf ist, wie es Saccheri und Khayyám getan hatten, und fuhr dann fort, viele Sätze unter der Annahme eines spitzen Winkels zu beweisen. Im Gegensatz zu Saccheri hatte er nie das Gefühl, mit dieser Annahme in einen Widerspruch geraten zu sein. Er hatte das nichteuklidische Ergebnis bewiesen, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck mit abnehmender Fläche des Dreiecks zunimmt, und dies führte ihn zu Spekulationen über die Möglichkeit eines Modells des akuten Falles auf einer Kugel mit imaginärem Radius. Er hat diese Idee nicht weiter getragen.

Während Khayyám und Saccheri versucht hatten, Euklids fünfte zu beweisen, indem sie die einzig möglichen Alternativen widerlegten, untersuchten Mathematiker im 19. Jahrhundert schließlich diese Alternativen und entdeckten die logisch konsistenten Geometrien, die sich daraus ergeben. Im Jahr 1829 veröffentlichte Nikolai Ivanovich Lobatschewski einen Bericht über die scharfe Geometrie in einer obskuren russischen Zeitschrift (später 1840 in deutscher Sprache wiederveröffentlicht). Im Jahr 1831 fügte János Bolyai in ein Buch seines Vaters einen Anhang über die scharfe Geometrie ein, die er zweifellos unabhängig von Lobatschewsky entwickelt hatte. Carl Friedrich Gauß hatte sich ebenfalls mit dem Problem beschäftigt, veröffentlichte jedoch keines seiner Ergebnisse. Als Gauß in einem Brief von Bolyais Vater Farkas Bolyai von Bolyais Ergebnissen hörte , sagte er:

„Wenn ich damit beginnen würde, dass ich dieses Werk nicht loben kann, würden Sie sicher einen Moment lang überrascht sein. Aber ich kann es nicht anders sagen. Es zu loben wäre, mich selbst zu loben von Ihrem Sohn, die Ergebnisse, zu denen er geführt wird, stimmen fast vollständig mit meinen Meditationen überein, die mich in den letzten dreißig oder fünfunddreißig Jahren teilweise beschäftigt haben."

Die resultierenden Geometrien wurden später von Lobachevsky , Riemann und Poincaré in hyperbolische Geometrie (der spitze Fall) und elliptische Geometrie (der stumpfe Fall) weiterentwickelt. Die Unabhängigkeit des Parallelpostulats von Euklids anderen Axiomen wurde schließlich 1868 von Eugenio Beltrami nachgewiesen .

Umkehrung von Euklids Parallelpostulat

Die Umkehrung des Parallelpostulats: Wenn die Summe der beiden Innenwinkel 180° beträgt, dann sind die Geraden parallel und schneiden sich nie.

Euklid postulierte nicht die Umkehrung seines fünften Postulats, das eine Möglichkeit ist, die euklidische Geometrie von der elliptischen Geometrie zu unterscheiden . Die Elemente enthalten den Beweis einer äquivalenten Aussage (Buch I, Proposition 27): Wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die abwechselnden Winkel einander gleich macht, sind die Geraden parallel zueinander. Wie De Morgan betonte, ist dies logisch äquivalent zu (Buch I, Proposition 16). Diese Ergebnisse hängen nicht vom fünften Postulat ab, aber sie erfordern das zweite Postulat, das in der elliptischen Geometrie verletzt wird.

Kritik

Versuche, das parallele Postulat und nicht das achte Axiom logisch zu beweisen, wurden von Arthur Schopenhauer in The World as Will and Idea kritisiert . Das von Schopenhauer verwendete Argument war jedoch, dass das Postulat durch die Wahrnehmung offensichtlich ist, nicht dass es keine logische Konsequenz der anderen Axiome war.

Zerlegung des Parallelpostulats

Das Parallelpostulat entspricht, wie in gezeigt, der Konjunktion des Lotschnittaxioms und des Aristoteles-Axioms . Ersteres besagt, dass sich die Senkrechten zu den Seiten eines rechten Winkels schneiden, während letzteres besagt, dass es keine Obergrenze für die Längen der Abstände vom Schenkel eines Winkels zum anderen Schenkel gibt. Wie in gezeigt, entspricht das Parallelpostulat der Konjunktion der folgenden inzidenzgeometrischen Formen des Lotschnittaxioms und des Aristoteles-Axioms :

Bei drei parallelen Geraden gibt es eine Gerade, die alle drei schneidet.

Gegeben eine Gerade a und zwei verschiedene sich schneidende Geraden m und n, die sich jeweils von a unterscheiden, gibt es eine Gerade g, die a und m schneidet, aber nicht n.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

Eder, Michelle (2000), Ansichten von Euklids Parallelpostulat im antiken Griechenland und im mittelalterlichen Islam , Rutgers University , abgerufen 2008-01-23