Teilfraktionszerlegung - Partial fraction decomposition
In der Algebra ist die Teilbruchzerlegung oder Teilbruchentwicklung eines rationalen Bruchs (d. h. eines Bruchs , bei dem Zähler und Nenner beide Polynome sind ) eine Operation, die darin besteht, den Bruch als Summe eines Polynoms (möglicherweise null ) und einen oder mehrere Brüche mit einfacherem Nenner.
Die Bedeutung der Partialbruchzerlegung liegt in der Tatsache, dass sie Algorithmen für verschiedene Berechnungen mit rationalen Funktionen bereitstellt , einschließlich der expliziten Berechnung von Stammfunktionen , Taylor-Reihenentwicklungen , inversen Z-Transformationen und inversen Laplace-Transformationen . Das Konzept wurde 1702 unabhängig voneinander von Johann Bernoulli und Gottfried Leibniz entdeckt .
In Symbolen ist die partielle Bruchzerlegung eines rationalen Bruchs der Form, in der f und g Polynome sind, der Ausdruck als
wobei p ( x ) ein Polynom ist und für jedes j der Nenner g j ( x ) eine Potenz eines irreduziblen Polynoms (das nicht in Polynome positiven Grades zerlegbar ist) ist und der Zähler f j ( x ) ist ein Polynom kleineren Grades als der Grad dieses irreduziblen Polynoms.
Bei expliziten Berechnungen wird oft eine gröbere Zerlegung bevorzugt, die darin besteht, in der Ergebnisbeschreibung "irreduzibles Polynom" durch " quadratfreies Polynom " zu ersetzen . Dies ermöglicht es, die polynomielle Faktorisierung durch die viel einfacher zu berechnende quadratfreie Faktorisierung zu ersetzen . Dies ist für die meisten Anwendungen ausreichend und vermeidet die Einführung irrationaler Koeffizienten, wenn die Koeffizienten der Eingangspolynome ganze Zahlen oder rationale Zahlen sind .
Grundprinzipien
Lassen
sein , einen rationalen Bruch , wobei F und G sind univariate Polynome in dem unbestimmten x . Die Existenz des Partialbruchs kann durch induktive Anwendung der folgenden Reduktionsschritte nachgewiesen werden.
Polynomteil
Es existieren zwei Polynome E und F 1 mit
und
wobei bezeichnet den Grad des Polynoms P .
Dies ergibt sich unmittelbar aus der euklidischen Division von F durch G , die die Existenz von E und F 1 so behauptet, dass und
Dies erlaubt in den nächsten Schritten anzunehmen, dass
Faktoren des Nenners
Wenn und
wobei G 1 und G 2 sind coprime Polynome , dann es gibt Polynome und derart , daß
und
Dies lässt sich wie folgt beweisen. Die Identität von Bézout behauptet die Existenz von Polynomen C und D mit
(nach der Voraussetzung, 1 ist ein größter gemeinsamer Teiler von G 1 und G 2 ).
Sei with die euklidische Division von DF durch Setzung erhält man
Es bleibt zu zeigen, dass man durch Reduktion der letzten Summe der Brüche auf den gleichen Nenner erhält und somit
Potenzen im Nenner
Bei induktiver Zerlegung erhält man Brüche der Form mit wobei G ein irreduzibles Polynom ist . Wenn k > 1 ist , kann man weiter zerlegen, indem man verwendet, dass ein irreduzibles Polynom ein quadratfreies Polynom ist, dh ein größter gemeinsamer Teiler des Polynoms und seiner Ableitung ist . Wenn die Ableitung von G ist , liefert Bézouts Identität Polynome C und D so dass und somit Die euklidische Division von `durch gibt Polynome und so dass und Einstellung erhält
mit
Die Iteration dieses Prozesses mit anstelle von führt schließlich zu dem folgenden Theorem.
Stellungnahme
Satz — Seien f und g Nicht-Null-Polynome über einem Körper K . Schreiben Sie g als Produkt von Potenzen verschiedener irreduzibler Polynome:
Es gibt (eindeutige) Polynome b und a ij mit deg a ij < deg p i so dass
Wenn Grad f < Grad g , dann ist b = 0 .
Die Eindeutigkeit lässt sich wie folgt beweisen. Sei d = max(1 + deg f , deg g ) . Alle zusammen, b und a ij Habe d Koeffizienten sind . Die Form der Zerlegung definiert eine lineare Abbildung von Koeffizientenvektoren zu Polynomen f mit einem Grad kleiner als d . Der Existenzbeweis bedeutet, dass diese Abbildung surjektiv ist . Da die beiden Vektorräume die gleiche Dimension haben, ist die Abbildung auch injektiv , was Eindeutigkeit der Zerlegung bedeutet. Dieser Beweis leitet übrigens einen Algorithmus zur Berechnung der Zerlegung durch lineare Algebra ein .
Wenn K ein Körper der komplexen Zahlen ist , impliziert der Fundamentalsatz der Algebra , dass alle p i den Grad eins haben und alle Zähler Konstanten sind. Wenn K der Körper der reellen Zahlen ist , können einige der p i quadratisch sein, so dass bei der Partialbruchzerlegung auch Quotienten von linearen Polynomen durch Potenzen von quadratischen Polynomen auftreten können.
Im vorhergehenden Satz kann man "eindeutige irreduzible Polynome" durch " paarweise teilerfremde Polynome, die mit ihrer Ableitung teilerfremd sind " ersetzen . Zum Beispiel können p i die Faktoren der quadratfreien Faktorisierung von g sein . Wenn K der Körper der rationalen Zahlen ist , wie es typischerweise in der Computeralgebra der Fall ist , ermöglicht dies, die Faktorisierung durch die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zu ersetzen, um eine Teilbruchzerlegung zu berechnen.
Anwendung auf symbolische Integration
Zur symbolischen Integration kann das vorhergehende Ergebnis verfeinert werden zu
Satz — Seien f und g Nicht-Null-Polynome über einem Körper K . Schreiben Sie g als Potenzprodukt von paarweise teilerfremden Polynomen, die in einem algebraisch abgeschlossenen Körper keine Mehrfachwurzel haben:
Es gibt (eindeutige) Polynome b und c ij mit deg c ij < deg p i so dass
wobei bezeichnet die Ableitung von
Dadurch reduziert sich die Berechnung der antiderivative einer rationalen Funktion zur Integration der letzten Summe, die genannt wird logarithmischen Teil , weil seine antiderivative eine lineare Kombination von Logarithmen ist. Tatsächlich haben wir
Es gibt verschiedene Methoden, um die obige Zerlegung zu berechnen. Am einfachsten zu beschreiben ist wohl die sogenannte Hermite -Methode. Da der Grad von c ij durch den Grad von p i begrenzt ist und der Grad von b die Differenz der Grade von f und g ist (wenn diese Differenz nicht negativ ist, sonst b = 0), kann man diese Unbekannten schreiben Polynome als Polynome mit unbekannten Koeffizienten. Reduziert man die beiden Elemente der obigen Formel auf denselben Nenner und schreibt, dass die Koeffizienten jeder Potenz von x in den beiden Zählern gleich sind, erhält man ein System linearer Gleichungen, das gelöst werden kann, um die gewünschten Werte für die unbekannten Koeffizienten zu erhalten.
Verfahren
Gegeben zwei Polynome und , wobei die α i unterschiedliche Konstanten sind und deg P < n , werden Partialbrüche im Allgemeinen erhalten, indem angenommen wird, dass
und Auflösen nach den Konstanten c i durch Substitution, durch Gleichsetzen der Termkoeffizienten, die die Potenzen von x beinhalten , oder auf andere Weise. (Dies ist eine Variante der Methode der unbestimmten Koeffizienten .)
Eine direktere Berechnung, die stark mit der Lagrange-Interpolation zusammenhängt, besteht im Schreiben
wo ist die Ableitung des Polynoms .
Dieser Ansatz berücksichtigt nicht mehrere andere Fälle, kann jedoch entsprechend modifiziert werden:
- Wenn dann die euklidische Division von P durch Q unter Verwendung einer polynomialen langen Division erforderlich ist , ergibt P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) mit deg R < n . Dividieren durch Q ( x ) ergibt
- und dann nach Teilbrüchen für den Restbruch suchen (der per Definition Grad R < Grad Q erfüllt ).
- Enthält Q ( x ) Faktoren, die über den gegebenen Körper irreduzibel sind, dann muss der Zähler N ( x ) jedes Teilbruchs mit einem solchen Faktor F ( x ) im Nenner als Polynom mit Grad N < Grad F gesucht werden , sondern als Konstante. Nehmen wir zum Beispiel die folgende Zerlegung über R :
- Angenommen Q ( x ) = ( x − α ) r S ( x ) und S ( α ) 0 , dh α ist eine Wurzel von Q ( x ) der Vielfachheit r . Bei der Partialbruchzerlegung treten die r ersten Potenzen von ( x − α ) als Nenner der Partialbrüche auf (evtl. mit Nullzähler). Wenn beispielsweise S ( x ) = 1 ist, hat die Partialbruchzerlegung die Form
Illustration
In einer beispielhaften Anwendung dieses Verfahrens kann (3 x + 5)/(1 – 2 x ) 2 in die Form
Das Löschen der Nenner zeigt, dass 3 x + 5 = A + B (1 – 2 x ) ist . Erweiterung und Gleichsetzung der Koeffizienten der Potenzen von x ergibt
- 5 = A + B und 3 x = –2 Bx
Das Lösen dieses linearen Gleichungssystems nach A und B ergibt A = 13/2 und B = –3/2 . Somit,
Rückstandsmethode
Über den komplexen Zahlen sei f ( x ) ein rationaler echter Bruch und kann zerlegt werden in
Lassen
dann ist a ij gemäß der Eindeutigkeit der Laurent-Reihe der Koeffizient des Termes ( x − x i ) −1 in der Laurent-Entwicklung von g ij ( x ) um den Punkt x i , also dessen Rest
Dies ergibt sich direkt aus der Formel
oder im Sonderfall, wenn x i eine einfache Wurzel ist,
Wenn
Über den Reals
Partialbrüche werden eingesetzt in Echt variable Integralrechnung reellwertige zu finden Stammfunktionen von rationalen Funktionen . Die partielle Bruchzerlegung reeller rationaler Funktionen wird auch verwendet, um ihre inversen Laplace-Transformationen zu finden . Für Anwendungen der Partialbruchzerlegung über die reellen Zahlen siehe
Gesamtergebnis
Sei f ( x ) eine beliebige rationale Funktion über den reellen Zahlen . Angenommen, es existieren reelle Polynomfunktionen p ( x ) und q ( x )≠ 0, so dass
Indem wir Zähler und Nenner durch den führenden Koeffizienten von q ( x ) dividieren , können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass q ( x ) monisch ist . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra können wir schreiben:
wobei a 1 ,..., a m , b 1 ,..., b n , c 1 ,..., c n reelle Zahlen mit b i 2 − 4 c i < 0 und j 1 ,.. sind. ., j m , k 1 ,..., k n sind positive ganze Zahlen. Die Terme ( x − a i ) sind die linearen Faktoren von q ( x ), die den reellen Wurzeln von q ( x ) entsprechen, und die Terme ( x i 2 + b i x + c i ) sind die irreduziblen quadratischen Faktoren von q ( x ), die Paaren von komplex konjugierten Wurzeln von q ( x ) entsprechen.
Dann ist die Partialbruchzerlegung von f ( x ) wie folgt:
Hier ist P ( x ) ein (möglicherweise null) Polynom, und die A ir , B ir und C ir sind reelle Konstanten. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Konstanten zu finden.
Die einfachste Methode ist die Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner q ( x ). Wir erhalten dann eine Gleichung von Polynomen, deren linke Seite einfach p ( x ) ist und deren rechte Seite Koeffizienten hat, die lineare Ausdrücke der Konstanten A ir , B ir und C ir sind . Da zwei Polynome genau dann gleich sind, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, können wir die Koeffizienten gleicher Terme gleichsetzen. Auf diese Weise erhält man ein lineares Gleichungssystem, das immer eine eindeutige Lösung hat. Diese Lösung kann mit einer der Standardmethoden der linearen Algebra gefunden werden . Es kann auch mit Grenzwerten gefunden werden (siehe Beispiel 5 ).
Beispiele
Beispiel 1
Hier teilt sich der Nenner in zwei unterschiedliche lineare Faktoren:
also haben wir die Partialbruchzerlegung
Durch Multiplikation mit dem Nenner auf der linken Seite erhält man die polynomielle Identität
Einsetzen von x = −3 in diese Gleichung ergibt A = −1/4, und Einsetzen von x = 1 ergibt B = 1/4, so dass
Beispiel 2
Nach langer Aufteilung haben wir
Der Faktor x 2 − 4 x + 8 ist über die reellen Zahlen irreduzibel, da seine Diskriminante (−4) 2 − 4×8 = − 16 negativ ist. Damit hat die Partialbruchzerlegung über die reellen Zahlen die Form
Durch Multiplikation mit x 3 − 4 x 2 + 8 x erhalten wir die polynomielle Identität
Bei x = 0 sehen wir 16 = 8 A , also A = 2. Vergleichen wir die x 2 Koeffizienten, sehen wir, dass 4 = A + B = 2 + B , also B = 2. Vergleichen der linearen Koeffizienten sehen wir, dass − 8 = −4 A + C = −8 + C , also C = 0. Insgesamt
Der Bruch kann mit komplexen Zahlen vollständig zerlegt werden . Gemäß dem Hauptsatz der Algebra jedes komplexe Polynom vom Grad n hat n (Komplex) Wurzeln (von denen einige wiederholt werden kann). Die zweite Fraktion lässt sich zerlegen in:
Durch Multiplizieren mit dem Nenner ergibt sich:
Gleicht man die Koeffizienten von x und die konstanten (in Bezug auf x ) Koeffizienten beider Seiten dieser Gleichung aus, erhält man ein System von zwei linearen Gleichungen in D und E , deren Lösung . ist
Damit haben wir eine vollständige Zerlegung:
Man kann A , D und E auch direkt mit der Residuenmethode berechnen (siehe auch Beispiel 4 unten).
Beispiel 3
Dieses Beispiel veranschaulicht fast alle "Tricks", die wir möglicherweise anwenden müssen, abgesehen davon, dass wir ein Computeralgebrasystem konsultieren .
Nach langer Division und Faktorisierung des Nenners haben wir
Die Partialbruchzerlegung hat die Form
Durch Multiplikation mit dem Nenner auf der linken Seite erhalten wir die polynomielle Identität
Nun verwenden wir verschiedene Werte von x , um die Koeffizienten zu berechnen:
Um dies zu lösen haben wir:
Mit diesen Werten können wir schreiben:
Wir vergleichen die Koeffizienten von x 6 und x 5 auf beiden Seiten und wir haben:
Deswegen:
was uns B = 0 gibt. Damit ist die Partialbruchzerlegung gegeben durch:
Alternativ kann man, statt zu erweitern, andere lineare Abhängigkeiten von den Koeffizienten erhalten, indem man einige Ableitungen in der obigen polynomischen Identität berechnet. (Erinnern Sie sich zu diesem Zweck daran, dass die Ableitung bei x = a von ( x − a ) m p ( x ) verschwindet, wenn m > 1 und gerade p ( a ) für m = 1 ist.) Zum Beispiel die erste Ableitung bei x = 1 gibt
das ist 8 = 4 B + 8, also B = 0.
Beispiel 4 (Rückstandsmethode)
Somit kann f ( z ) in rationale Funktionen zerlegt werden, deren Nenner z +1, z −1, z +i, z −i sind. Da jeder Term von Potenz eins ist, sind −1, 1, − i und i einfache Pole.
Daher sind die Reste, die jedem Pol zugeordnet sind, gegeben durch
sind
bzw. und
Beispiel 5 (Limitmethode)
Grenzwerte können verwendet werden, um eine Teilbruchzerlegung zu finden. Betrachten Sie das folgende Beispiel:
Faktorisieren Sie zunächst den Nenner, der die Zerlegung bestimmt:
Alles mit multiplizieren und das Limit nehmen, wenn wir erhalten
Auf der anderen Seite,
und somit:
Wenn wir mit x multiplizieren und den Grenzwert nehmen, wenn , haben wir
und
Dies impliziert A + B = 0 und so .
Für x = 0 erhalten wir und somit .
Wenn wir alles zusammensetzen, erhalten wir die Zerlegung
Beispiel 6 (integral)
Angenommen, wir haben das unbestimmte Integral :
Vor Zersetzung durchgeführt wird , ist es offensichtlich , dass wir polynomdivision ausführen müssen , und Faktor des Nenners. Dies würde zur Folge haben:
Darauf können wir nun eine partielle Fraktionszerlegung durchführen.
so:
- .
Beim Einsetzen unserer Werte, in diesem Fall, in denen x=1 für B und x=-2 für A aufgelöst wird, erhalten wir:
Wenn wir all dies wieder in unser Integral einfügen, können wir die Antwort finden:
Die Rolle des Taylor-Polynoms
Die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion kann wie folgt mit dem Satz von Taylor in Verbindung gebracht werden. Lassen
seien reelle oder komplexe Polynome nehmen an, dass
erfüllt
Definiere auch
Dann haben wir
genau dann, wenn jedes Polynom das Taylor-Polynom der Ordnung an der Stelle ist :
Der Satz von Taylor (im reellen oder komplexen Fall) liefert dann einen Beweis für die Existenz und Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung und eine Charakterisierung der Koeffizienten.
Skizze des Beweises
Die obige Partialbruchzerlegung impliziert für jedes 1 ≤ i ≤ r eine Polynomentwicklung
ebenso das Taylor-Polynom von , wegen der Eindeutigkeit der polynomischen Ordnungsentwicklung und nach Annahme .
Umgekehrt, wenn die Taylor-Polynome sind, gelten die obigen Entwicklungen an jedem , also gilt auch
was bedeutet, dass das Polynom teilbar ist durch
Denn ist auch durch teilbar , also
ist teilbar durch . Schon seit
wir haben dann
und wir finden die Partialbruchzerlegung dividiert durch .
Brüche von ganzen Zahlen
Die Idee der partiellen Brüche kann auf andere ganzzahlige Bereiche verallgemeinert werden, beispielsweise auf den Ring der ganzen Zahlen, in dem Primzahlen die Rolle von irreduziblen Nennern einnehmen. Zum Beispiel:
Anmerkungen
Verweise
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