Teilfunktion - Partial function

In der Mathematik ist eine Teilfunktion f von einer Menge X zu einer Menge Y eine Funktion von einer Teilmenge S von X (möglicherweise X selbst) zu Y . Die Teilmenge S , die das ist, Domäne von f als eine Funktion betrachtet, den genannten Definitionsbereich von f . Wenn S gleich X , das heißt, wenn f auf jedem Element definiert ist , X , dann f gesagt werden insgesamt .

Technisch gesehen ist eine Teilfunktion eine binäre Beziehung über zwei Mengen , die jedes Element der ersten Menge höchstens einem Element der zweiten Menge zuordnet; es ist somit eine funktionale binäre Beziehung . Es verallgemeinert das Konzept einer (Gesamt-) Funktion, indem es nicht erfordert, dass jedes Element der ersten Menge genau einem Element der zweiten Menge zugeordnet ist.

Eine Teilfunktion wird häufig verwendet, wenn ihr genauer Definitionsbereich nicht bekannt oder schwer zu spezifizieren ist. Dies ist in der Analysis der Fall , wo beispielsweise der Quotient zweier Funktionen eine Teilfunktion ist, deren Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners nicht enthalten kann . Aus diesem Grund wird in der Analysis und allgemeiner in der mathematischen Analysis eine Teilfunktion im Allgemeinen einfach als Funktion bezeichnet . In der Berechenbarkeitstheorie ist eine allgemeine rekursive Funktion eine Teilfunktion von den ganzen Zahlen zu den ganzen Zahlen; für viele von ihnen kann kein Algorithmus existieren, um zu entscheiden, ob sie tatsächlich total sind.

Wenn Pfeil Notation für Funktionen verwendet wird, eine Teilfunktion von bis wird manchmal als geschrieben f : XY , oder aber es gibt keine allgemeine Konvention, und diese Notation wird häufig auch für verwendet injektiv Funktionen ..

Insbesondere für eine Teilfunktion und jede hat entweder:

  • (es ist ein einzelnes Element in Y ), oder
  • ist nicht definiert.

Wenn zum Beispiel die Quadratwurzelfunktion auf die ganzen Zahlen beschränkt ist

definiert von:
dann und nur dann, wenn,

dann ist nur definiert, wenn es sich um ein perfektes Quadrat handelt (also ). Also ist aber undefiniert.

Grundlegendes Konzept

Ein Beispiel für eine partielle Funktion, die injektiv ist .
Ein Beispiel für eine Funktion , die nicht injektiv ist.

Eine Teilfunktion heißt injektiv , surjektiv oder bijektiv, wenn die durch die Beschränkung der Teilfunktion auf ihren Definitionsbereich gegebene Funktion injektiv , surjektiv bzw. bijektiv ist.

Da eine Funktion trivial surjektiv ist, wenn sie auf ihr Bild beschränkt ist, bezeichnet der Begriff partielle Bijektion eine partielle Funktion, die injektiv ist.

Eine injektive Teilfunktion kann in eine injektive Teilfunktion invertiert werden, und eine Teilfunktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, hat eine injektive Funktion als invers. Außerdem kann eine injektive Funktion in eine injektive Teilfunktion invertiert werden.

Der Begriff der Transformation kann auch auf Teilfunktionen verallgemeinert werden. Eine partielle Transformation ist eine Funktion, bei der sowohl und als auch Teilmengen einer Menge sind

Funktion

Eine Funktion ist eine binäre Beziehung, die funktional (auch rechts-eindeutig genannt) und seriell (auch links-gesamt genannt) ist. Dies ist eine stärkere Definition als die einer Teilfunktion, die nur die funktionale Eigenschaft erfordert.

Funktionsräume

Die Menge aller Teilfunktionen von einer Menge zu einer Menge, die mit bezeichnet wird, ist die Vereinigung aller Funktionen, die auf Teilmengen von mit gleichem Kobereich definiert sind :

letztere auch geschrieben als Im endlichen Fall ist ihre Kardinalität

weil jede Teilfunktion um einen beliebigen festen Wert, der nicht in enthalten ist, zu einer Funktion erweitert werden kann, so dass die Codomain eine injektive (eindeutige und durch Einschränkung invertierbare) Operation ist.

Diskussion und Beispiele

Das erste Diagramm oben im Artikel stellt eine Teilfunktion dar, die keine Funktion ist, da das Element 1 in der linken Menge mit nichts in der rechten Menge verknüpft ist. Das zweite Diagramm hingegen stellt eine Funktion dar, da jedem Element der linken Menge genau ein Element der rechten Menge zugeordnet ist.

Natürlicher Logarithmus

Betrachten Sie die Funktion des natürlichen Logarithmus , die die reellen Zahlen auf sich selbst abbildet. Der Logarithmus einer nicht positiven reellen Zahl ist keine reelle Zahl, daher ordnet die Funktion des natürlichen Logarithmus keine reelle Zahl in der Kodomäne einer nicht positiven reellen Zahl in der Domäne zu. Daher ist die natürliche Logarithmusfunktion keine Funktion, wenn sie als Funktion von den reellen Zahlen zu sich selbst betrachtet wird, sondern eine Teilfunktion. Wenn die Domäne darauf beschränkt ist, nur die positiven reellen Zahlen zu enthalten (d. h. wenn die natürliche Logarithmusfunktion als eine Funktion von den positiven reellen Zahlen zu den reellen Zahlen betrachtet wird), dann ist der natürliche Logarithmus eine Funktion.

Subtraktion natürlicher Zahlen

Die Subtraktion natürlicher Zahlen (nicht negative ganze Zahlen ) kann als Teilfunktion betrachtet werden:

Es ist nur definiert, wenn

Unteres Element

In der denotationalen Semantik wird eine partielle Funktion als Rückgabe des unteren Elements angesehen, wenn sie nicht definiert ist.

In der Informatik entspricht eine Teilfunktion einer Unterroutine, die eine Ausnahme auslöst oder eine Endlosschleife durchläuft. Der IEEE-Gleitkomma- Standard definiert einen Nicht-Zahl- Wert, der zurückgegeben wird, wenn eine Gleitkomma-Operation undefiniert ist und Ausnahmen unterdrückt werden, zB wenn die Quadratwurzel einer negativen Zahl angefordert wird.

In einer Programmiersprache, in der Funktionsparameter statisch typisiert sind , kann eine Funktion als Teilfunktion definiert werden, da das Typsystem der Sprache den genauen Bereich der Funktion nicht ausdrücken kann, sodass der Programmierer ihr stattdessen den kleinsten als Typ ausdrückbaren Bereich gibt und enthält den Definitionsbereich der Funktion.

In der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie , wenn man die Operation der Morphismuskomposition in konkreten Kategorien betrachtet , ist die Kompositionsoperation genau dann eine Funktion, wenn sie ein Element hat. Der Grund dafür ist, dass zwei Morphismen und nur so zusammengesetzt werden können, als ob der Kobereich von gleich dem Bereich von . sein muss

Die Kategorie der Mengen und Teilfunktionen ist äquivalent , aber nicht isomorph mit der Kategorie der spitzen Mengen und punkterhaltenden Abbildungen. In einem Lehrbuch heißt es: „Diese formale Vervollständigung von Mengen und Teilabbildungen durch Hinzufügen von ‚uneigentlich‘ ‚unendlichen‘ Elementen wurde insbesondere in der Topologie ( Einpunktkompaktifizierung ) und in der theoretischen Informatik vielfach neu erfunden .

Die Kategorie der Mengen und partiellen Bijektionen entspricht ihrem dualen . Es ist die prototypische inverse Kategorie .

In abstrakter Algebra

Die partielle Algebra verallgemeinert den Begriff der universellen Algebra auf partielle Operationen . Ein Beispiel wäre ein Feld , in dem die multiplikative Inversion die einzige richtige Teiloperation ist (weil die Division durch Null nicht definiert ist).

Die Menge aller Teilfunktionen (Teiltransformationen ) auf einem Basissatz angegeben, bildet eine reguläre Halbgruppe die Halbgruppe aller Teil Transformationen (oder die teilweise Umwandlung Halbgruppe auf genannt ), die typischerweise durch bezeichnet die Menge aller Teil Bijektionen auf Formen der symmetrischen inverse Halbgruppe .

Karten und Atlanten für Verteiler und Faserbündel

Diagramme in den Atlanten, die den Aufbau von Mannigfaltigkeiten und Faserbündeln angeben, sind Teilfunktionen. Bei Mannigfaltigkeiten ist die Domäne die Punktmenge der Mannigfaltigkeit. Bei Faserbündeln ist die Domäne der Raum des Faserbündels. In diesen Anwendungen ist die wichtigste Konstruktion die Transition Map , die die Zusammensetzung eines Diagramms mit der Umkehrung eines anderen ist. Die anfängliche Klassifikation von Mannigfaltigkeiten und Faserbündeln wird weitgehend durch Beschränkungen dieser Übergangskarten ausgedrückt.

Der Grund für die Verwendung von Teilfunktionen anstelle von Funktionen besteht darin, die Darstellung allgemeiner globaler Topologien durch Zusammenfügen lokaler Patches zur Beschreibung der globalen Struktur zu ermöglichen. Die "Patches" sind die Domänen, in denen die Diagramme definiert sind.

Siehe auch

Verweise

  • Martin Davis (1958), Berechenbarkeit und Unlösbarkeit , McGraw-Hill Book Company, Inc, New York. 1982 von Dover neu veröffentlicht. ISBN  0-486-61471-9 .
  • Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Niederlande, 10. Druck mit Korrekturen am 7. Druck (1974). ISBN  0-7204-2103-9 .
  • Harold S. Stone (1972), Einführung in die Computerorganisation und Datenstrukturen , McGraw-Hill Book Company, New York.