Pauli-Ausschlussprinzip - Pauli exclusion principle

Wolfgang Pauli formulierte das Gesetz, das besagt, dass zwei Elektronen nicht die gleiche Menge von Quantenzahlen haben können.

Teil einer Artikelserie über
Quantenmechanik
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi(t)\rangle ={\hat{H}}|\psi(t)\rangle}$ Schrödinger-Gleichung
Einführung Glossar Geschichte
Hintergrund Klassische Mechanik Alte Quantentheorie Bra–ket-Notation Hamiltonian Interferenz
Grundlagen Komplementarität Dekohärenz Verstrickung Energielevel Messung Nichtlokalität Quantenzahl Bundesland Überlagerung Symmetrie Tunnelbau Unsicherheit Wellenfunktion Zusammenbruch
Experimente Bellsche Ungleichung Davisson-Germer Doppelschlitz Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Leggett-Garg-Ungleichung Mach–Zehnder Popper Quantenradierer Verzögerte Wahl Schrödingers Katze Stern–Gerlach Wheelers verzögerte Wahl
Formulierungen Überblick Heisenberg Interaktion Matrix Phasenraum Schrödinger Summen-über-Historien (Pfadintegral)
Gleichungen Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretationen Überblick Bayesian Konsistente Historien Kopenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Versteckte Variable Lokal Viele-Welten Zielkollaps Quantenlogik relational Transaktional
Fortgeschrittene Themen Relativistische Quantenmechanik Quantenfeldtheorie Quanteninformatik Quanten-Computing Quantenchaos Dichtematrix Streutheorie Statistische Quantenmechanik Quantenmaschinelles Lernen
Wissenschaftler Aharonov Klingel Blackett Bloch Böhm Bohr Geboren Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordanien Kramers Pauli Lamm Landauer Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v T e

Das Pauli-Ausschlussprinzip ist das quantenmechanische Prinzip, das besagt, dass zwei oder mehr identische Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin ) nicht gleichzeitig den gleichen Quantenzustand innerhalb eines Quantensystems einnehmen können. Dieses Prinzip wurde 1925 vom österreichischen Physiker Wolfgang Pauli für Elektronen formuliert und später mit seinem Spin-Statistik-Theorem von 1940 auf alle Fermionen ausgedehnt .

Im Fall von Elektronen in Atomen kann man folgendes sagen: Es ist unmöglich, dass zwei Elektronen eines Polyelektronenatoms die gleichen Werte der vier Quantenzahlen haben : n , die Hauptquantenzahl ; ℓ , die azimutale Quantenzahl ; m _ℓ , die magnetische Quantenzahl ; und m _s , die Spinquantenzahl . Wenn sich beispielsweise zwei Elektronen im gleichen Orbital befinden , sind ihre Werte für n , ℓ und m _ℓ gleich; daher müssen ihre m _s unterschiedlich sein, und daher müssen die Elektronen entgegengesetzte halbzahlige Spinprojektionen von 1/2 und −1/2 haben.

Teilchen mit ganzzahligem Spin oder Bosonen unterliegen nicht dem Pauli-Ausschlussprinzip: Beliebig viele identische Bosonen können denselben Quantenzustand einnehmen, wie zum Beispiel von einem Laser erzeugte Photonen oder Atome in einem Bose-Einstein-Kondensat .

Eine strengere Aussage ist , dass, in Bezug auf den Austausch von zwei identischen Partikeln, wobei die Gesamt (Vielteilchen-) Wellenfunktion ist , antisymmetrische für Fermionen und symmetrisch zur Bosonen. Das heißt, wenn die Raum- und Spinkoordinaten zweier identischer Teilchen vertauscht werden, dann ändert die Gesamtwellenfunktion für Fermionen ihr Vorzeichen und ändert sich für Bosonen nicht.

Befänden sich zwei Fermionen im gleichen Zustand (zum Beispiel das gleiche Orbital mit dem gleichen Spin im gleichen Atom), würde ihr Austausch nichts ändern und die Gesamtwellenfunktion wäre unverändert. Die Gesamtwellenfunktion kann nur bei Fermionen das Vorzeichen beliebig ändern und auch unverändert bleiben, indem diese Funktion überall Null sein muss, der Zustand also nicht existieren kann. Diese Argumentation gilt nicht für Bosonen, da sich das Vorzeichen nicht ändert.

Überblick

Das Pauli-Ausschlussprinzip beschreibt das Verhalten aller Fermionen (Teilchen mit „halbzahligem Spin “), während Bosonen (Teilchen mit „ganzzahligem Spin“) anderen Prinzipien unterliegen. Fermionen umfassen Elementarteilchen wie Quarks , Elektronen und Neutrinos . Darüber hinaus sind Baryonen wie Protonen und Neutronen ( subatomare Teilchen aus drei Quarks) und einige Atome (wie Helium-3 ) Fermionen und werden daher ebenfalls durch das Pauli-Ausschlussprinzip beschrieben. Atome können einen unterschiedlichen Gesamt-"Spin" haben, der bestimmt, ob es sich um Fermionen oder Bosonen handelt - zum Beispiel hat Helium-3 den Spin 1/2 und ist daher ein Fermion, im Gegensatz zu Helium-4, das Spin 0 hat und ein Boson ist. Als solches untermauert das Pauli-Ausschlussprinzip viele Eigenschaften der alltäglichen Materie, von ihrer Stabilität im großen Maßstab bis hin zum chemischen Verhalten von Atomen .

"Halbzahliger Spin" bedeutet, dass der intrinsische Drehimpulswert von Fermionen (reduzierte Plancksche Konstante ) mal eine halbe ganze Zahl (1/2, 3/2, 5/2 usw.) ist. In der Theorie der Quantenmechanik werden Fermionen durch antisymmetrische Zustände beschrieben . Im Gegensatz dazu haben Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen genannt) symmetrische Wellenfunktionen; im Gegensatz zu Fermionen können sie die gleichen Quantenzustände teilen. Zu den Bosonen gehören das Photon , die Cooper-Paare, die für die Supraleitung verantwortlich sind , und die W- und Z-Bosonen . (Fermionen haben ihren Namen von der statistischen Fermi-Dirac-Verteilung , der sie gehorchen, und Bosonen von ihrer Bose-Einstein-Verteilung .) ${\displaystyle \hbar =h/2\pi}$

Geschichte

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts zeigte sich, dass Atome und Moleküle mit gerader Elektronenzahl chemisch stabiler sind als solche mit ungerader Elektronenzahl. In dem 1916 erschienenen Artikel "The Atom and the Molecule" von Gilbert N. Lewis beispielsweise besagt das dritte seiner sechs Postulate des chemischen Verhaltens, dass das Atom dazu neigt, eine gerade Anzahl von Elektronen in jeder gegebenen Schale zu halten, und insbesondere acht Elektronen, von denen angenommen wird, dass sie typischerweise symmetrisch an den acht Ecken eines Würfels angeordnet sind . 1919 schlug der Chemiker Irving Langmuir vor, dass das Periodensystem erklärt werden könnte, wenn die Elektronen in einem Atom in irgendeiner Weise verbunden oder geclustert wären. Es wurde angenommen, dass Gruppen von Elektronen eine Reihe von Elektronenschalen um den Kern herum besetzen . 1922 aktualisierte Niels Bohr sein Atommodell, indem er annahm, dass bestimmte Elektronenzahlen (zB 2, 8 und 18) stabilen "geschlossenen Schalen" entsprechen.

Pauli suchte nach einer Erklärung für diese zunächst nur empirischen Zahlen . Gleichzeitig versuchte er, experimentelle Ergebnisse des Zeeman-Effekts in der Atomspektroskopie und im Ferromagnetismus zu erklären . Einen wesentlichen Hinweis fand er in einer Veröffentlichung von 1924 von Edmund C. Stoner , die darauf hinwies, dass bei einem gegebenen Wert der Hauptquantenzahl ( n ) die Anzahl der Energieniveaus eines einzelnen Elektrons in den Alkalimetallspektren in einem externen Magnetfeld, in dem alle entarteten Energieniveaus getrennt sind, ist bei gleichem Wert von n gleich der Anzahl der Elektronen in der geschlossenen Hülle der Edelgase . Dies führte Pauli zu der Erkenntnis, dass die komplizierten Elektronenzahlen in geschlossenen Schalen auf die einfache Regel von einem Elektron pro Zustand reduziert werden können, wenn die Elektronenzustände mit vier Quantenzahlen definiert werden. Zu diesem Zweck führte er eine neue zweiwertige Quantenzahl ein, die von Samuel Goudsmit und George Uhlenbeck als Elektronenspin bezeichnet wurde .

Verbindung zur Quantenzustandssymmetrie

In seinem Nobelvortrag verdeutlichte Pauli die Bedeutung der Quantenzustandssymmetrie für das Ausschlussprinzip:

Unter den verschiedenen Symmetrieklassen sind die wichtigsten (die übrigens für zwei Teilchen die einzigen sind) die Symmetrieklasse , bei der die Wellenfunktion ihren Wert nicht ändert, wenn die Raum- und Spinkoordinaten zweier Teilchen vertauscht werden, und die antisymmetrische Klasse , bei der für eine solche Permutation die Wellenfunktion ihr Vorzeichen ändert...[Die antisymmetrische Klasse ist] die korrekte und allgemeine wellenmechanische Formulierung des Ausschlussprinzips.

Das Pauli-Ausschlussprinzip mit einer einwertigen Vielteilchen-Wellenfunktion ist äquivalent zu der Forderung, dass die Wellenfunktion in Bezug auf den Austausch antisymmetrisch ist . Wenn und über die Basisvektoren des Hilbert-Raums reichen , die ein Ein-Teilchen-System beschreiben, dann erzeugt das Tensorprodukt die Basisvektoren des Hilbert-Raums, die ein System aus zwei solchen Teilchen beschreiben. Jeder Zwei-Teilchen-Zustand kann als Superposition (dh Summe) dieser Basisvektoren dargestellt werden: ${\displaystyle |x\rangle}$${\displaystyle |y\rangle}$${\displaystyle |x,y\rangle =|x\rangle\otimes |y\rangle}$

${\displaystyle |\psi\rangle =\sum_{x,y}A(x,y)|x,y\rangle,}$

wobei jedes A ( x , y ) ein (komplexer) Skalarkoeffizient ist. Antisymmetrie unter Austausch bedeutet, dass A ( x , y ) = − A ( y , x ) ist . Dies impliziert A ( x , y ) = 0, wenn x = y ist , was eine Pauli-Ausschließung ist. Dies gilt für jede Basis, da lokale Änderungen der Basis antisymmetrische Matrizen antisymmetrisch halten.

Umgekehrt, wenn die Diagonalgrößen A ( x , x ) in jeder Basis Null sind , dann ist die Wellenfunktionskomponente

${\displaystyle A(x,y)=\langle\psi |x,y\rangle =\langle\psi |{\Big (}|x\rangle\otimes |y\rangle {\Big)}}$

ist zwangsläufig antisymmetrisch. Betrachten Sie zum Beweis das Matrixelement

${\displaystyle \langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.}$

Dies ist null, da die Wahrscheinlichkeit, dass sich beide Teilchen im Überlagerungszustand befinden, null ist . Aber das ist gleich ${\displaystyle |x\rangle +|y\rangle}$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .}$

Der erste und der letzte Term sind diagonale Elemente und sind null, und die Gesamtsumme ist gleich null. Die Elemente der Wellenfunktionsmatrix gehorchen also:

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,}$

oder

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x).}$

Für ein System mit n > 2 Teilchen werden die Mehrteilchen-Basiszustände zu n- fachen Tensorprodukten von Einteilchen-Basiszuständen, und die Koeffizienten der Wellenfunktion werden durch n Einteilchen-Zustände identifiziert . Die Bedingung der Antisymmetrie besagt, dass die Koeffizienten jedes Mal das Vorzeichen umkehren müssen, wenn zwei beliebige Zustände ausgetauscht werden: für alle . Das Ausschlussprinzip ist die Konsequenz, dass wenn für überhaupt dann Dies zeigt, dass keines der n Teilchen im gleichen Zustand sein kann. ${\displaystyle A(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle A(\ldots,x_{i},\ldots,x_{j},\ldots)=-A(\ldots,x_{j},\ldots,x_{i},\ldots)}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle i\neq j,}$${\displaystyle A(\ldots,x_{i},\ldots,x_{j},\ldots)=0.}$

Fortgeschrittene Quantentheorie

Nach dem Spin-Statistik-Theorem besetzen Teilchen mit ganzzahligem Spin symmetrische Quantenzustände und Teilchen mit halbzahligem Spin antisymmetrische Zustände; außerdem sind nach den Prinzipien der Quantenmechanik nur ganzzahlige oder halbzahlige Spinwerte zulässig. In der relativistischen Quantenfeldtheorie folgt das Pauli-Prinzip aus der Anwendung eines Rotationsoperators in imaginärer Zeit auf Teilchen mit halbzahligem Spin.

In einer Dimension können sowohl Bosonen als auch Fermionen dem Ausschlussprinzip gehorchen. Ein eindimensionales Bose-Gas mit abstoßenden Wechselwirkungen mit Deltafunktion von unendlicher Stärke entspricht einem Gas aus freien Fermionen. Der Grund dafür ist, dass in einer Dimension der Austausch von Teilchen erfordert, dass sie sich gegenseitig durchdringen; bei unendlich starker Abstoßung kann dies nicht passieren. Dieses Modell wird durch eine quantennichtlineare Schrödinger-Gleichung beschrieben . Im Impulsraum gilt das Ausschlussprinzip auch für endliche Abstoßung in einem Bose-Gas mit Delta-Funktions-Wechselwirkungen, sowie für wechselwirkende Spins und Hubbard-Modell in einer Dimension und für andere durch den Bethe-Ansatz lösbare Modelle . Der Grundzustand in Modellen, die durch den Bethe-Ansatz lösbar sind, ist eine Fermi-Kugel .

Anwendungen

Atome

Das Pauli-Ausschlussprinzip hilft, eine Vielzahl physikalischer Phänomene zu erklären. Eine besonders wichtige Konsequenz des Prinzips ist die ausgeklügelte Elektronenschalenstruktur von Atomen und die Art und Weise, wie Atome Elektronen teilen, was die Vielfalt der chemischen Elemente und deren chemische Kombinationen erklärt. Ein elektrisch neutrales Atom enthält gebundene Elektronen in gleicher Anzahl wie die Protonen im Kern . Elektronen, die Fermionen sind, können nicht denselben Quantenzustand wie andere Elektronen einnehmen, daher müssen Elektronen innerhalb eines Atoms "stapeln", dh unterschiedliche Spins haben, während sie sich im gleichen Elektronenorbital befinden, wie unten beschrieben.

Ein Beispiel ist das neutrale Heliumatom , das zwei gebundene Elektronen besitzt, die beide durch entgegengesetzte Spins die Zustände niedrigster Energie ( 1s ) einnehmen können; Da der Spin Teil des Quantenzustands des Elektrons ist, befinden sich die beiden Elektronen in unterschiedlichen Quantenzuständen und verletzen nicht das Pauli-Prinzip. Der Spin kann jedoch nur zwei verschiedene Werte ( Eigenwerte ) annehmen . In einem Lithiumatom mit drei gebundenen Elektronen kann sich das dritte Elektron nicht in einem 1s- Zustand befinden und muss stattdessen einen der höherenergetischen 2s- Zustände einnehmen . In ähnlicher Weise müssen sukzessiv größere Elemente Schalen mit sukzessiv höherer Energie haben. Die chemischen Eigenschaften eines Elements hängen weitgehend von der Anzahl der Elektronen in der äußersten Schale ab; Atome mit unterschiedlicher Anzahl besetzter Elektronenschalen, aber gleicher Elektronenzahl in der äußersten Schale haben ähnliche Eigenschaften, woraus sich das Periodensystem der Elemente ergibt .

Um das Pauli-Ausschlussprinzip für das He-Atom zu testen, führte Gordon Drake sehr genaue Berechnungen für hypothetische Zustände des He-Atoms durch, die es verletzen, die als paronische Zustände bezeichnet werden . Später haben K. Deilamian et al. verwendeten ein Atomstrahlspektrometer, um nach dem von Drake berechneten paronischen Zustand 1s2s ¹ S ₀ zu suchen . Die Suche war erfolglos und zeigte, dass das statistische Gewicht dieses paronischen Zustands eine Obergrenze von . hat5 × 10 ^-6 . (Das Ausschlussprinzip impliziert ein Gewicht von Null.)

Festkörpereigenschaften

In Leitern und Halbleitern gibt es sehr viele Molekülorbitale, die effektiv eine kontinuierliche Bandstruktur von Energieniveaus bilden . In starken Leitern ( Metallen ) sind Elektronen so entartet, dass sie nicht einmal viel zur Wärmekapazität eines Metalls beitragen können . Viele mechanische, elektrische, magnetische, optische und chemische Eigenschaften von Festkörpern sind die direkte Folge des Pauli-Ausschlusses.

Stabilität der Materie

Die Stabilität jedes Elektronenzustands in einem Atom wird durch die Quantentheorie des Atoms beschrieben, die zeigt, dass eine enge Annäherung eines Elektrons an den Kern notwendigerweise die kinetische Energie des Elektrons erhöht, eine Anwendung der Unschärferelation von Heisenberg. Die Stabilität großer Systeme mit vielen Elektronen und vielen Nukleonen ist jedoch eine andere Frage und erfordert das Pauli-Ausschlussprinzip.

Es hat sich gezeigt, dass das Pauli-Ausschlussprinzip dafür verantwortlich ist, dass gewöhnliche Schüttgüter stabil sind und Volumen einnehmen. Dieser Vorschlag wurde erstmals 1931 von Paul Ehrenfest gemacht , der darauf hinwies, dass die Elektronen jedes Atoms nicht alle in das niedrigste Orbital fallen können und sukzessive größere Schalen besetzen müssen. Atome nehmen daher ein Volumen ein und können nicht zu eng zusammengedrückt werden.

Einen strengeren Beweis lieferten 1967 Freeman Dyson und Andrew Lenard ( de ), die das Gleichgewicht zwischen anziehenden (Elektron-Kern) und abstoßenden (Elektron-Elektron und Kern-Kern) Kräften betrachteten und zeigten, dass gewöhnliche Materie kollabieren und besetzen würde ein viel kleineres Volumen ohne das Pauli-Prinzip.

Die Konsequenz des Pauli-Prinzips ist hier, dass Elektronen mit gleichem Spin durch eine abstoßende Austauschwechselwirkung , die ein Nahbereichseffekt ist und gleichzeitig mit der langreichweitigen elektrostatischen oder Coulomb-Kraft wirkt, auseinander gehalten werden . Dieser Effekt ist mitverantwortlich für die alltägliche Beobachtung in der makroskopischen Welt, dass sich zwei feste Objekte nicht gleichzeitig am selben Ort befinden können.

Astrophysik

Dyson und Lenard haben die extremen magnetischen oder Gravitationskräfte, die in einigen astronomischen Objekten auftreten, nicht berücksichtigt . 1995 zeigten Elliott Lieb und Mitarbeiter, dass das Pauli-Prinzip in intensiven Magnetfeldern wie in Neutronensternen immer noch zu Stabilität führt , wenn auch bei einer viel höheren Dichte als in gewöhnlicher Materie. Es ist eine Folge der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass in ausreichend starken Gravitationsfeldern Materie zu einem Schwarzen Loch kollabiert .

Die Astronomie liefert eine spektakuläre Demonstration der Wirkung des Pauli-Prinzips in Form von Weißen Zwergen und Neutronensternen . In beiden Körpern wird die Atomstruktur durch extremen Druck zerstört, aber die Sterne werden durch Entartungsdruck , auch Fermi-Druck genannt, im hydrostatischen Gleichgewicht gehalten . Diese exotische Form der Materie wird als entartete Materie bezeichnet . Die immense Gravitationskraft der Masse eines Sterns wird normalerweise durch den thermischen Druck im Gleichgewicht gehalten, der durch die Wärme entsteht, die bei der thermonuklearen Fusion im Kern des Sterns entsteht. Bei Weißen Zwergen, die keiner Kernfusion unterliegen, wird durch den Elektronenentartungsdruck eine Gegenkraft zur Schwerkraft erzeugt . In Neutronensternen , die noch stärkeren Gravitationskräften ausgesetzt sind, haben sich Elektronen mit Protonen zu Neutronen verschmolzen. Neutronen sind in der Lage, einen noch höheren Entartungsdruck, Neutronenentartungsdruck, zu erzeugen , wenn auch über einen kürzeren Bereich. Dies kann Neutronensterne vor einem weiteren Kollaps stabilisieren, jedoch bei geringerer Größe und höherer Dichte als ein Weißer Zwerg. Neutronensterne sind die "starrsten" bekannten Objekte; ihr Young-Modul (oder genauer gesagt, Bulk-Modul ) ist 20 Größenordnungen größer als das von Diamant . Aber auch diese enorme Starrheit kann durch das Gravitationsfeld einer Neutronensternmasse überwunden werden, die die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Grenze überschreitet und zur Bildung eines Schwarzen Lochs führt .

Siehe auch

Verweise

Allgemein

Externe Links

• Nobel Lecture: Ausschlussprinzip und Quantenmechanik Paulis Darstellung der Entwicklung des Ausschlussprinzips.