Peano-Axiome - Peano axioms

In der mathematischen Logik sind die Peano-Axiome , auch bekannt als Dedekind-Peano-Axiome oder Peano-Postulate , Axiome für die natürlichen Zahlen, die vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano aus dem 19 . Diese Axiome wurden nahezu unverändert in einer Reihe von verwendetem metamathematischen Untersuchungen, einschließlich der Erforschung grundlegende Fragen, ob die Zahlentheorie ist konsistent und vollständig .

Die Notwendigkeit, die Arithmetik zu formalisieren, wurde erst in der Arbeit von Hermann Grassmann anerkannt , der in den 1860er Jahren zeigte, dass viele Fakten in der Arithmetik aus grundlegenderen Fakten über die Nachfolgeoperation und Induktion abgeleitet werden können . 1881 lieferte Charles Sanders Peirce eine Axiomatisierung der Arithmetik mit natürlichen Zahlen. Im Jahr 1888 schlug Richard Dedekind eine weitere Axiomatisierung der Arithmetik mit natürlichen Zahlen vor, und 1889 veröffentlichte Peano eine vereinfachte Version davon als Sammlung von Axiomen in seinem Buch Die Prinzipien der Arithmetik präsentiert durch eine neue Methode ( Latein :Arithmetices principia, nova methodo exposita ).

Die neun Peano-Axiome enthalten drei Arten von Aussagen. Das erste Axiom behauptet die Existenz mindestens eines Mitglieds der Menge der natürlichen Zahlen. Die nächsten vier sind allgemeine Aussagen zur Gleichheit ; in modernen Behandlungen werden diese oft nicht als Teil der Peano-Axiome angesehen, sondern eher als Axiome der "unterliegenden Logik". Die nächsten drei Axiome sind Aussagen erster Ordnung über natürliche Zahlen, die die fundamentalen Eigenschaften der Nachfolgeoperation ausdrücken. Das neunte, letzte Axiom ist eine Aussage zweiter Ordnung des Prinzips der mathematischen Induktion über die natürlichen Zahlen. Ein schwächeres System erste Ordnung genannt Peano - Arithmetik wird durch explizites Hinzufügen der Additionsund Multiplikations - Operationssymbole und Ersetzen des erhaltenen zweite Ordnung Induktions Axioms mit einem ersten Ordnung Axiom - Schema .

Formulierung

Als Peano seine Axiome formulierte, steckte die Sprache der mathematischen Logik noch in den Kinderschuhen. Das von ihm entwickelte logische Notationssystem zur Darstellung der Axiome erwies sich nicht als populär, obwohl es die Genese der modernen Notation für Mengenmitgliedschaft (∈, die von Peanos stammt) und Implikation (⊃, die von Peanos umgekehrter C'.) Peano behielt eine klare Unterscheidung zwischen mathematischen und logischen Symbolen bei, die in der Mathematik noch nicht üblich war; eine solche Trennung war erstmals in der 1879 erschienenen Begriffsschrift von Gottlob Frege eingeführt worden. Peano war sich der Arbeit von Frege nicht bewusst und erstellte unabhängig seinen logischen Apparat basierend auf der Arbeit von Boole und Schröder neu .

Die Peano Axiome definieren die arithmetischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen , in der Regel als dargestellten Satz N oder Die nicht-logischen Symbole für die Axiome bestehen aus einem konstanten Symbol 0 und ein unären Funktionssymbol S . ${\displaystyle\mathbb{N}.}$

Das erste Axiom besagt, dass die Konstante 0 eine natürliche Zahl ist:

Die nächsten vier Axiome beschreiben die Gleichheit Beziehung . Da sie in der Logik erster Ordnung mit Gleichheit logisch gültig sind, werden sie in modernen Behandlungen nicht als Teil der "Peano-Axiome" angesehen.

Die übrigen Axiome definieren die arithmetischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen. Es wird angenommen, dass die Naturals unter einer einwertigen " Nachfolge " -Funktion S abgeschlossen sind .

Peanos ursprüngliche Formulierung der Axiome verwendete 1 statt 0 als "erste" natürliche Zahl. Da 0 jedoch die additive Identität in der Arithmetik ist, beginnen die meisten modernen Formulierungen der Peano-Axiome bei 0.

Die Kette der hellen Dominosteine, beginnend mit dem nächsten, kann N darstellen , die Axiome 1–8 werden jedoch auch von der Menge aller hellen und dunklen Dominosteine ​​erfüllt. Das 9. Axiom ( Induktion ) beschränkt N auf die Kette der leichten Steine ​​("kein Müll"), da nur leichte Dominosteine ​​fallen, wenn der nächste gestürzt wird.

Die Axiome 1, 6, 7, 8 definieren eine unäre Darstellung des intuitiven Begriffs der natürlichen Zahlen: Die Zahl 1 kann als S (0), 2 als S ( S (0)) usw. definiert werden. Betrachtet man jedoch den Begriff Natürliche Zahlen als durch diese Axiome definiert implizieren die Axiome 1, 6, 7, 8 nicht, dass die Nachfolgerfunktion alle von 0 verschiedenen natürlichen Zahlen erzeugt andere natürliche Zahl.

Die intuitive Vorstellung, dass jede natürliche Zahl erhalten werden kann, indem Nachfolger ausreichend oft auf Null angewendet werden, erfordert ein zusätzliches Axiom, das manchmal als Induktionsaxiom bezeichnet wird .

Das Induktionsaxiom wird manchmal in der folgenden Form angegeben:

In Peanos ursprünglicher Formulierung ist das Induktionsaxiom ein Axiom zweiter Ordnung . Es ist heute üblich, dieses Prinzip zweiter Ordnung durch ein schwächeres Induktionsschema erster Ordnung zu ersetzen . Es gibt wichtige Unterschiede zwischen den Formulierungen zweiter und erster Ordnung, wie im Abschnitt § Theorie der Arithmetik erster Ordnung weiter unten diskutiert wird.

Arithmetik

Die Peano-Axiome können durch Additions- und Multiplikationsoperationen und die übliche totale (lineare) Ordnung auf N erweitert werden . Die jeweiligen Funktionen und Beziehungen sind in Mengenlehre oder Logik zweiter Ordnung konstruiert und können mit den Peano-Axiomen als eindeutig gezeigt werden.

Zusatz

Addition ist eine Funktion, die zwei natürliche Zahlen (zwei Elemente von N ) auf eine andere abbildet . Es ist rekursiv definiert als:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2) }}\end{ausgerichtet}}}$

Zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}a+1&=a+S(0)&{\mbox{per Definition}}\\&=S(a+0)&{\mbox{unter Verwendung von (2)}}\ \&=S(a),&{\mbox{unter Verwendung von (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{per Definition}}\\&=S(a+ 1)&{\mbox{unter Verwendung von (2)}}\\&=S(S(a))&{\mbox{unter Verwendung von }}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+ S(2)&{\mbox{per Definition}}\\&=S(a+2)&{\mbox{unter Verwendung von (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{ \mbox{mit }}a+2=S(S(a))\\{\text{etc.}}&\\\end{ausgerichtet}}}$

Die Struktur ( N ,+) ist ein kommutatives Monoid mit Identitätselement 0. ( N ,+) ist ebenfalls ein stornierendes Magma und somit in eine Gruppe einbettbar . Die kleinste Gruppe, die N einbettet, sind die ganzen Zahlen .

Multiplikation

Ähnlich ist die Multiplikation eine Funktion, die zwei natürliche Zahlen auf eine andere abbildet. Zusätzlich wird es rekursiv definiert als:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{aligned}}}$

Es ist leicht zu erkennen, dass (oder "1" in der vertrauten Sprache der Dezimaldarstellung ) die multiplikative rechte Identität ist : ${\displaystyle S(0)}$

${\displaystyle a\cdot S(0)=a+(a\cdot 0)=a+0=a}$

Um zu zeigen, dass dies auch die multiplikative linke Identität ist, erfordert das Induktionsaxiom aufgrund der Definition der Multiplikation: ${\displaystyle S(0)}$

• ${\displaystyle S(0)}$ist die linke Identität von 0: .${\displaystyle S(0)\cdot 0=0}$
• Wenn ist die linke Identität von (also ), dann ist auch die linke Identität von : .${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S(0)\cdot a=a}$${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle S(a)}$${\displaystyle S(0)\cdot S(a)=S(0)+S(0)\cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+0)=S( ein)}$

Daher ist nach dem Induktionsaxiom die multiplikative linke Identität aller natürlichen Zahlen. Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass die Multiplikation kommutativ ist und über die Addition verteilt: ${\displaystyle S(0)}$

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.

Also ist ein kommutativer Halbring . ${\displaystyle (\mathbb{N} ,+,0,\cdot ,S(0))}$

Ungleichungen

Die übliche Ordnungsrelation ≤ auf natürlichen Zahlen kann wie folgt definiert werden, wenn 0 eine natürliche Zahl ist:

Für alle a , b ∈ N , einer ≤ b , wenn und nur wenn es einige existiert c ∈ N , so daß a + c = b .

Diese Beziehung ist stabil unter Addition und Multiplikation: für , wenn a ≤ b , dann gilt: ${\displaystyle a,b,c\in\mathbb{N}}$

• a + c ≤ b + c , und
• a · c ≤ b · c .

Somit ist die Struktur ( N , +, ·, 1, 0, ) ein geordneter Halbring ; da es zwischen 0 und 1 keine natürliche Zahl gibt, handelt es sich um einen diskreten geordneten Halbring.

Das Induktionsaxiom wird manchmal in der folgenden Form angegeben, die eine stärkere Hypothese verwendet und die Ordnungsrelation "≤" verwendet:

Für jedes Prädikat φ , wenn

• φ (0) ist wahr, und
• für jedes n , k ∈ N , wenn k ≤ n Daraus ergibt sich φ ( k ) wahr ist , dann φ ( S ( n )) wahr ist ,

dann für jedes n ∈ N , φ ( n ) wahr ist .

Diese Form des Induktionsaxioms, die als starke Induktion bezeichnet wird , ist eine Konsequenz der Standardformulierung, eignet sich jedoch oft besser für die Argumentation über die ≤-Ordnung. Um zum Beispiel zu zeigen, dass die Naturals wohlgeordnet sind – jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element – kann man wie folgt argumentieren . Es sei ein nichtleeres X ⊆ N gegeben und X habe kein kleinstes Element.

• Da 0 das kleinste Element von N ist , muss 0 ∉ X sein .
• Für jeden n ∈ N , nehme für jeden k ≤ n , k ∉ X . Dann S ( n ) ∉ X , denn sonst wäre es das kleinste Element der seine X .

Somit wird durch die starke Induktion Prinzip für jedes n ∈ N , n ∉ X . Somit ist X ∩ N = ∅ , was widerspricht, dass X eine nichtleere Teilmenge von N ist . Also hat X ein kleinstes Element.

Theorie erster Ordnung der Arithmetik

Alle Peano-Axiome außer dem neunten Axiom (dem Induktionsaxiom) sind Aussagen in der Logik erster Ordnung . Die arithmetischen Operationen Addition und Multiplikation sowie die Ordnungsrelation können auch mit Axiomen erster Ordnung definiert werden. Das Induktionsaxiom ist in zweiter Ordnung , da es über Prädikate quantifiziert (äquivalent Mengen natürlicher Zahlen statt natürlicher Zahlen), aber es kann in ein Axiomschema erster Ordnung der Induktion umgewandelt werden. Ein solches Schema enthält ein Axiom pro Prädikat, das in der Sprache erster Ordnung der Peano-Arithmetik definierbar ist, was es schwächer macht als das Axiom zweiter Ordnung. Der Grund dafür, dass es schwächer ist, ist, dass die Anzahl der Prädikate in der Sprache erster Ordnung abzählbar ist, während die Anzahl der Mengen natürlicher Zahlen abzählbar ist. Es gibt also Mengen, die in der Sprache erster Ordnung nicht beschrieben werden können (tatsächlich haben die meisten Mengen diese Eigenschaft).

Axiomatisierungen erster Ordnung der Peano-Arithmetik haben eine weitere technische Einschränkung. In zweiter Ordnung Logik ist es möglich , die Additions- und Multiplikationsoperationen von dem zu definieren Nachfolgebetrieb , aber dies kann nicht in der restriktivere Einstellung der Logik ersten Ordnung durchgeführt werden. Daher sind die Additions- und Multiplikationsoperationen direkt in der Signatur der Peano-Arithmetik enthalten, und es sind Axiome enthalten, die die drei Operationen miteinander in Beziehung setzen.

Dazu reicht die folgende Liste von Axiomen (neben den üblichen Gleichheitsaxiomen), die sechs der sieben Axiome der Robinson-Arithmetik enthält :

• ${\displaystyle \forall x\ (0\neq S(x))}$
• ${\displaystyle \forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)}$
• ${\displaystyle \forall x\ (x+0=x)}$
• ${\displaystyle \forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))}$
• ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 0=0)}$
• ${\displaystyle \forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)}$

Neben dieser Liste numerischer Axiome enthält die Peano-Arithmetik das Induktionsschema, das aus einer rekursiv aufzählbaren Menge von Axiomen besteht . Für jede Formel φ ( x , y ₁ , ..., y _k ) in der Sprache der Peano-Arithmetik ist das Induktionsaxiom erster Ordnung für φ der Satz

${\displaystyle \forall {\bar{y}}((\varphi (0,{\bar{y}})\land \forall x(\varphi (x,{\bar{y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar{y}})))\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar{y}}))}$

wobei eine Abkürzung für y ₁ ,..., y _{k ist} . Das Induktionsschema erster Ordnung beinhaltet jede Instanz des Induktionsaxioms erster Ordnung, dh es enthält das Induktionsaxiom für jede Formel φ . ${\displaystyle {\bar {y}}}$

Äquivalente Axiomatisierungen

Es gibt viele verschiedene, aber gleichwertige Axiomatisierungen der Peano-Arithmetik. Während einige Axiomatisierungen, wie die gerade beschriebene, eine Signatur verwenden, die nur Symbole für 0 und die Nachfolge-, Additions- und Multiplikationsoperationen enthält, verwenden andere Axiomatisierungen die Sprache der geordneten Halbringe , einschließlich eines zusätzlichen Ordnungsbeziehungssymbols. Eine solche Axiomatisierung beginnt mit den folgenden Axiomen, die einen diskreten geordneten Halbring beschreiben.

1. ${\displaystyle \forall x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z))}$, dh Addition ist assoziativ .
2. ${\displaystyle \forall x,y\ (x+y=y+x)}$, dh Addition ist kommutativ .
3. ${\displaystyle \forall x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))}$, dh die Multiplikation ist assoziativ.
4. ${\displaystyle \forall x,y\ (x\cdot y=y\cdot x)}$, dh Multiplikation ist kommutativ.
5. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z))}$, dh Multiplikation verteilt über Addition.
6. ${\displaystyle \forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0)}$, dh Null ist eine Identität für die Addition und ein absorbierendes Element für die Multiplikation (eigentlich überflüssig).
7. ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 1=x)}$, dh eins ist eine Identität für die Multiplikation.
8. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z)}$, dh der Operator '<' ist transitiv .
9. ${\displaystyle \forall x\ (\neg (x<x))}$, dh der '<'-Operator ist unflexibel .
10. ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x)}$, dh die Ordnung genügt der Trichotomie .
11. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)}$, dh die Ordnung bleibt unter Hinzufügung des gleichen Elements erhalten.
12. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z)}$, dh die Ordnung bleibt bei Multiplikation mit dem gleichen positiven Element erhalten.
13. ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exists z\ (x+z=y))}$, dh wenn zwei unterschiedliche Elemente gegeben sind, ist das größere das kleinere plus ein weiteres Element.
14. ${\displaystyle 0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1)}$, dh Null und Eins sind verschieden und es gibt kein Element zwischen ihnen. Mit anderen Worten, 0 wird durch 1 abgedeckt , was darauf hindeutet, dass natürliche Zahlen diskret sind.
15. ${\displaystyle \forall x\ (x\geq 0)}$, dh null ist das minimale Element.

Die durch diese Axiome definierte Theorie ist als PA ^{− bekannt} ; die Theorie PA wird durch Hinzufügen des Induktionsschemas erster Ordnung erhalten. Eine wichtige Eigenschaft von PA ⁻ ist, dass jede Struktur, die diese Theorie erfüllt, ein Anfangssegment (geordnet nach ) hat, das zu isomorph ist . Elemente in diesem Segment werden als Standardelemente bezeichnet , während andere Elemente als Nichtstandardelemente bezeichnet werden. ${\displaystyle M}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \mathbb{N}}$

Modelle

Ein Modell der Peano-Axiome ist ein Tripel ( N , 0, S ) , wobei N eine (notwendigerweise unendliche) Menge ist, 0 ∈ N und S : N → N die obigen Axiome erfüllt. Dedekind bewies in seinem 1888 erschienenen Buch The Nature and Bedeutung der Zahlen ( deutsch : Was sind und was sollen die Zahlen? , dh „Was sind die Zahlen und wofür sind sie gut?“) einschließlich des Induktionsaxioms zweiter Ordnung) sind isomorph . Insbesondere gibt es bei zwei Modellen ( N _A , 0 _A , S _A ) und ( N _B , 0 _B , S _B ) der Peano-Axiome einen eindeutigen Homomorphismus f  : N _A → N _B erfüllend

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned }}}$

und es ist eine Bijektion . Dies bedeutet, dass die Peano-Axiome zweiter Ordnung kategorisch sind . Dies ist jedoch bei keiner Neuformulierung der Peano-Axiome erster Ordnung der Fall.

Mengentheoretische Modelle

Die Peano-Axiome lassen sich aus mengentheoretischen Konstruktionen der natürlichen Zahlen und Axiomen der Mengenlehre wie ZF ableiten . Die Standardkonstruktion der Naturals nach John von Neumann beginnt mit einer Definition von 0 als leere Menge ∅ und einem Operator s auf Mengen, die definiert sind als:

${\displaystyle s(a)=a\cup \{a\}}$

Die Menge der natürlichen Zahlen N ist definiert als der Durchschnitt aller unter s abgeschlossenen Mengen , die die leere Menge enthalten. Jede natürliche Zahl ist gleich (als Menge) der Menge der natürlichen Zahlen kleiner als sie:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\ }\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{ 0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0, 1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{ausgerichtet}}}$

und so weiter. Die Menge N zusammen mit 0 und der Nachfolgefunktion s  : N → N erfüllt die Peano-Axiome.

Die Peano-Arithmetik ist mit mehreren schwachen Systemen der Mengenlehre äquikonsistent . Ein solches System ist ZFC, bei dem das Axiom der Unendlichkeit durch seine Negation ersetzt wird. Ein weiteres solches System besteht aus der allgemeinen Mengenlehre ( Extensionalität , Existenz der leeren Menge und das Axiom der Adjunktion ), ergänzt durch ein Axiomenschema, das besagt, dass eine Eigenschaft, die für die leere Menge gilt, und eine Adjunktion gilt, wenn sie für die Adjunkte gilt muss für alle Sätze gelten.

Interpretation in der Kategorientheorie

Die Peano-Axiome können auch mit Hilfe der Kategorientheorie verstanden werden . Sei C eine Kategorie mit terminalem Objekt 1 _C , und definiere die Kategorie der spitzen unären Systeme US ₁ ( C ) wie folgt:

• Die Gegenstände der US ₁ ( C ) sind Tripel ( X , 0 _X , S _X ) in denen X ein Gegenstand ist C , und 0 _x  1 _C → X und S _X  : X → X sind C -morphisms.
• Ein Morphismus φ  : ( X , 0 _X , S _X ) → ( Y , 0 _Y , S _Y ) ist ein C - Morphismus φ  : X → Y mit φ 0 _X = 0 _Y und φ S _X = S _Y φ .

Dann soll C die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, wenn US ₁ ( C ) ein Anfangsobjekt hat; dieses Anfangsobjekt ist in C als natürliches Zahlenobjekt bekannt . Wenn ( N , 0, S ) dieses Ausgangsobjekt ist und ( X , 0 _X , S _X ) irgendein anderes Objekt ist, dann ist die eindeutige Abbildung u  : ( N , 0, S ) → ( X , 0 _X , S _X ) ist so, dass

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0_{X},\\u(Sx)&=S_{X}(ux).\end{aligned}}}$

Dies ist genau die rekursive Definition von 0 _X und S _X .

Nichtstandardisierte Modelle

Obwohl die üblichen natürlichen Zahlen die Axiome von PA erfüllen , gibt es auch andere Modelle (so genannte „ Nicht-Standard-Modelle “); Der Kompaktheitssatz impliziert, dass die Existenz von Nicht-Standard-Elementen in der Logik erster Ordnung nicht ausgeschlossen werden kann. Der aufwärts gerichtete Satz von Löwenheim-Skolem zeigt, dass es Nichtstandardmodelle der PA aller unendlichen Kardinalitäten gibt. Dies ist bei den ursprünglichen Peano-Axiomen (zweiter Ordnung), die nur ein Modell haben, bis auf Isomorphie nicht der Fall. Dies veranschaulicht einen Weg, wie das PA-System erster Ordnung schwächer ist als die Peano-Axiome zweiter Ordnung.

Wenn er als Beweis innerhalb einer Mengentheorie erster Ordnung wie ZFC interpretiert wird , zeigt Dedekinds Kategorisierungsbeweis für PA, dass jedes Modell der Mengentheorie ein einzigartiges Modell der Peano-Axiome hat, bis hin zum Isomorphismus, das als ein Anfangssegment von allen eingebettet ist andere Modelle von PA, die in diesem Modell der Mengenlehre enthalten sind. Im Standardmodell der Mengenlehre ist dieses kleinste Modell von PA das Standardmodell von PA; in einem nicht standardmäßigen Modell der Mengenlehre kann es jedoch ein nicht standardmäßiges Modell von PA sein. Diese Situation lässt sich mit keiner Formalisierung der Mengenlehre erster Ordnung vermeiden.

Es ist natürlich zu fragen, ob ein abzählbares Nicht-Standard-Modell explizit konstruiert werden kann. Die Antwort ist bejahend, da Skolem 1933 eine explizite Konstruktion eines solchen nicht standardisierten Modells vorlegte . Andererseits zeigt das 1959 bewiesene Theorem von Tennenbaum , dass es kein abzählbares Nichtstandardmodell der PA gibt, in dem entweder die Additions- oder Multiplikationsoperation berechenbar ist . Dieses Ergebnis zeigt, dass es schwierig ist, die Additions- und Multiplikationsoperationen eines zählbaren Nicht-Standardmodells von PA vollständig explizit zu beschreiben. Es gibt nur eine mögliche Auftragsart eines zählbaren Nicht-Standard-Modells. Letting ω die Auftragsart der natürlichen Zahlen, ζ die Auftragsart der ganzen Zahlen sein, und n die Auftragsart des rationals sein, die Auftragsart eines zählbaren Nicht - Standard - Modells der PA ist ω + ζ · η , die sein kann visualisiert als eine Kopie der natürlichen Zahlen gefolgt von einer dichten linearen Anordnung von Kopien der ganzen Zahlen.

Überlauf

Ein Schnitt in einem Nicht - Standard - Modell M ist eine nicht - leere Teilmenge C von M , so daß C nach unten geschlossen ist ( x < y und y ∈ C ⇒ x ∈ C ) und C wird unter Nachfolger geschlossen. Ein echter Schnitt ist ein Schnitt, der eine echte Teilmenge von M ist . Jedes nicht standardisierte Modell hat viele richtige Schnitte, einschließlich eines, der den natürlichen Standardzahlen entspricht. Das Induktionsschema in der Peano-Arithmetik verhindert jedoch, dass ein richtiger Schnitt definiert werden kann. Das Overspill-Lemma, das erstmals von Abraham Robinson bewiesen wurde, formalisiert diese Tatsache.

Konsistenz

Als die Peano-Axiome zum ersten Mal vorgeschlagen wurden, stimmten Bertrand Russell und andere darin überein, dass diese Axiome implizit definieren, was wir unter einer "natürlichen Zahl" verstehen. Henri Poincaré war vorsichtiger und sagte, sie definiere natürliche Zahlen nur, wenn sie konsistent seien ; wenn es einen Beweis gibt, der nur von diesen Axiomen ausgeht und einen Widerspruch wie 0 = 1 herleitet, dann sind die Axiome inkonsistent und definieren nichts. Im Jahr 1900 stellte David Hilbert als zweites seiner dreiundzwanzig Probleme das Problem, ihre Konsistenz nur mit finitistischen Methoden zu beweisen . 1931 bewies Kurt Gödel seinen zweiten Unvollständigkeitssatz , der zeigt, dass ein solcher Konsistenzbeweis nicht innerhalb der Peano-Arithmetik selbst formalisiert werden kann.

Obwohl allgemein behauptet wird, dass der Satz von Gödel die Möglichkeit eines finitistischen Konsistenzbeweis für die Peano-Arithmetik ausschließt, hängt dies genau davon ab, was man unter einem finitistischen Beweis versteht. Gödel selbst wies auf die Möglichkeit hin, einen finitistischen Konsistenzbeweis der Peano-Arithmetik oder stärkerer Systeme durch Verwendung finitistischer Methoden zu führen, die in der Peano-Arithmetik nicht formalisierbar sind, und 1958 veröffentlichte Gödel eine Methode zum Beweis der Konsistenz der Arithmetik mit Hilfe der Typentheorie . 1936 lieferte Gerhard Gentzen einen Beweis für die Konsistenz von Peanos Axiomen, indem er transfinite Induktion bis zu einer Ordinalzahl namens ε _{0 verwendete} . Gentzen erklärte: „Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Konsistenz der elementaren Zahlentheorie zu beweisen bzw. die Frage der Konsistenz auf bestimmte Grundprinzipien zu reduzieren“. Gentzens Beweis ist wohl finitistic, da die transfiniter Ordnungs ε ₀ kann in Bezug auf den endlichen Objekte codiert werden (beispielsweise als Turing - Maschine eine geeignete Reihenfolge auf den ganzen Zahlen beschreibt oder mehr abstrakt als die aus den endlichen Bäumen , in geeigneter Weise linear geordnet) . Ob Gentzens Beweis die von Hilbert gestellten Anforderungen erfüllt oder nicht, ist unklar: Es gibt keine allgemein akzeptierte Definition dessen, was genau unter einem finitistischen Beweis zu verstehen ist, und Hilbert selbst hat nie eine genaue Definition gegeben.

Die überwiegende Mehrheit der zeitgenössischen Mathematiker glaubt, dass Peanos Axiome konsistent sind, und verlassen sich entweder auf die Intuition oder die Akzeptanz eines Konsistenzbeweises wie dem von Gentzen . Eine kleine Anzahl von Philosophen und Mathematikern, von denen einige auch den Ultrafinitismus befürworten , lehnen Peanos Axiome ab, weil die Annahme der Axiome der Annahme der unendlichen Sammlung natürlicher Zahlen gleichkommt. Insbesondere werden Addition (einschließlich der Nachfolgefunktion) und Multiplikation als total angenommen . Seltsamerweise gibt es selbstverifizierende Theorien , die PA ähnlich sind, aber Subtraktion und Division anstelle von Addition und Multiplikation haben, die so axiomatisiert sind, dass sie den Beweis von Sätzen vermeiden, die der Gesamtheit von Addition und Multiplikation entsprechen, aber dennoch in der Lage sind um alle wahren Sätze von PA zu beweisen , und kann dennoch zu einer konsistenten Theorie erweitert werden, die ihre eigene Konsistenz beweist (angegeben als die Nichtexistenz eines Hilbert-Stil-Beweises von "0 = 1"). ${\displaystyle \Pi_{1}}$

Siehe auch

• Grundlagen der Mathematik
• Der Satz von Frege
• Goodsteins Theorem
• Neologizismus
• Nicht-Standard-Modell der Arithmetik
• Paris-Harrington-Theorem
• Presburger Arithmetik
• Robinson-Arithmetik
• Arithmetik zweiter Ordnung
• Typografische Zahlentheorie

Anmerkungen

Verweise

Zitate

Quellen

Weiterlesen

• Raymond M. Smullyan (19. September 2013). Das Godelian Puzzle Book: Rätsel, Paradoxe und Beweise . Kuriergesellschaft. ISBN 978-0-486-49705-1.

Externe Links

• Murzi, Mauro. "Henri Poincaré" . Internet-Enzyklopädie der Philosophie . Enthält eine Diskussion von Poincarés Kritik an den Peano-Axiomen.
• Podnieks, Karlis (2015-01-25). "3. Arithmetik erster Ordnung". Was ist Mathematik: Gödels Theorem und Umgebung . S. 93–121.
• "Peano Axiome" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Peanos Axiome" . MathWorld .
• Burris, Stanley N. (2001). "Was sind Zahlen und was bedeuten sie?: Dedekind" . Kommentar zu Dedekinds Werk.

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