Perfektes Set-Eigentum - Perfect set property

In der deskriptiven Mengenlehre hat eine Teilmenge eines polnischen Raums die perfekte Mengeneigenschaft, wenn sie entweder zählbar ist oder eine nicht leere perfekte Teilmenge hat (Kechris 1995, S. 150). Beachten Sie, dass die perfekte Set-Eigenschaft nicht mit einer perfekten Menge identisch ist .

Da nicht leere perfekte Mengen in einem polnischen Raum immer die Kardinalität des Kontinuums haben und die Reals einen polnischen Raum bilden, kann eine Menge von Reals mit der Eigenschaft der perfekten Menge kein Gegenbeispiel zur Kontinuumshypothese sein , die in der Form angegeben ist, dass jede unzählige Menge of reals hat die Kardinalität des Kontinuums.

Das Cantor-Bendixson-Theorem besagt, dass geschlossene Mengen eines polnischen Raums X in einer besonders starken Form die perfekte Mengeneigenschaft haben: Jede geschlossene Teilmenge von X kann eindeutig als disjunkte Vereinigung einer perfekten Menge und einer zählbaren Menge geschrieben werden. Insbesondere hat jeder unzählige polnische Raum die perfekte Mengeneigenschaft und kann als disjunkte Vereinigung einer perfekten Menge und einer zählbaren offenen Menge geschrieben werden.

Das Axiom der Wahl impliziert die Existenz von Mengen von Realitäten, die nicht die perfekte Mengeneigenschaft haben, wie z. B. Bernstein-Mengen . In Solovays Modell , das alle Axiome von ZF erfüllt, aber nicht das Axiom der Wahl, hat jede Menge von Real die perfekte Mengeneigenschaft, so dass die Verwendung des Axioms der Wahl notwendig ist. Jedes analytische Set hat die perfekte Set-Eigenschaft. Aus der Existenz ausreichend großer Kardinäle folgt, dass jede projektive Menge die perfekte Mengeneigenschaft besitzt.

Verweise

  • Kechris, AS (1995), Klassische deskriptive Mengenlehre , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9