Permutationsanalyse der Varianz - Permutational analysis of variance

Die permutationelle multivariate Varianzanalyse ( PERMANOVA ) ist ein nichtparametrischer multivariater statistischer Test . PERMANOVA wird verwendet, um Gruppen von Objekten zu vergleichen und die Nullhypothese zu testen , dass die Schwerpunkte und die Streuung der Gruppen, wie durch den Messraum definiert, für alle Gruppen äquivalent sind. Eine Ablehnung der Nullhypothese bedeutet, dass entweder der Schwerpunkt und/oder die Streuung der Objekte zwischen den Gruppen unterschiedlich ist. Daher basiert der Test auf der vorherigen Berechnung des Abstands zwischen zwei beliebigen Objekten, die in das Experiment einbezogen wurden. PERMANOVA hat eine gewisse Ähnlichkeit mit ANOVA, bei der beide die Quadratsumme innerhalb und zwischen den Gruppen messen und den F-Test verwenden , um die Varianz innerhalb der Gruppe mit der zwischen den Gruppen zu vergleichen. Während die ANOVA jedoch die Signifikanz des Ergebnisses auf der Annahme der Normalität basiert, zieht PERMANOVA Tests auf Signifikanz, indem sie das tatsächliche F-Testergebnis mit dem aus zufälligen Permutationen der Objekte zwischen den Gruppen gewonnenen vergleicht. Außerdem, während Permanova für auf einem gewählten Abstandsmaß basierten Ähnlichkeitstests, Tests ANOVA für Ähnlichkeit der Gruppenmittelwerte .

Berechnung der Statistik

Im einfachen Fall eines einzelnen Faktors mit p Gruppen und n Objekten in jeder Gruppe wird die Summe der Quadrate wie folgt bestimmt:

${\displaystyle SS_{T}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}d_{ij} ^{2}}$

wobei N die Gesamtzahl der Objekte und der quadrierte Abstand zwischen den Objekten i und j ist . ${\displaystyle d_{ij}^{2}}$

In ähnlicher Weise wird die Quadratsumme innerhalb von Gruppen bestimmt:

${\displaystyle SS_{W}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}d_{ij} ^{2}\epsilon_{ij}}$

wobei nimmt den Wert 1 an, wenn Beobachtung i und Beobachtung j in derselben Gruppe sind, andernfalls nimmt sie den Wert null an. Dann kann die Summe der Quadrate zwischen den Gruppen ( ) als Differenz zwischen der Gesamtsumme und der Summe der Quadrate innerhalb der Gruppe berechnet werden: ${\displaystyle \epsilon_{ij}}$${\displaystyle SS_{A}}$

${\displaystyle SS_{A}=SS_{T}-SS_{W}}$

Schließlich wird eine Pseudo-F-Statistik berechnet:

${\displaystyle F={\frac {\left({\dfrac {SS_{A}}{p-1}}\right)}{\left({\dfrac {SS_{W}}{Np}}\right )}}}$

wobei p die Anzahl der Gruppen ist.

Zeichenbedeutung

Schließlich zieht die PERMANOVA-Prozedur die Signifikanz für die tatsächliche F-Statistik, indem sie mehrere Permutationen der Daten durchführt. In jedem dieser Elemente werden die Elemente zwischen den Gruppen gemischt. Für jede solche Permutation der Daten wird die Permutations-F-Statistik berechnet. Der p-Wert wird dann berechnet durch:

${\displaystyle P={\frac {({\text{Anzahl}}F^{p}\geq F)+1}{({\text{Gesamtanzahl}}F^{p})+1}}}$

Wo ist die F-Statistik, die aus den Originaldaten erhalten wurde, und ist eine Permutations-F-Statistik. ${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{p}}$

Implementierung und Nutzung

PERMANOVA ist im Bereich der Ökologie weit verbreitet und wird in mehreren Softwarepaketen implementiert, darunter PERMANOVA-Software, PRIMER und R (Programmiersprache) Vegan und lmPerm-Pakete.

Verweise

Externe Links

Alejandro Ordonez, Testen von Hypothesen zu Unterschieden zwischen Gruppen mit multiplen Antwortvariablen, Universität Groningen