Pi - Pi

Die Zahl π ( / p / ; geschrieben als " pi ") ist eine mathematische Konstante , ungefähr gleich 3,14159. Es wird in definierten euklidischen Geometrie als Verhältnis eines Kreises ist Umfang zu seinem Durchmesser , und auch verschiedene äquivalente Definitionen hat. Die Zahl kommt in vielen Formeln in allen Bereichen der Mathematik und Physik vor . Die früheste bekannte Verwendung des griechischen Buchstabens π , um das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser darzustellen, stammt von dem walisischen Mathematiker William Jones im Jahr 1706. Er wird auch als Archimedes-Konstante bezeichnet .

Da es sich um eine irrationale Zahl handelt , kann π nicht als gewöhnlicher Bruch ausgedrückt werden , obwohl Brüche wie22/7werden häufig verwendet, um es anzunähern . Entsprechend endet seine dezimale Darstellung nie und pendelt sich nie in einem sich ständig wiederholenden Muster ein . Seine dezimalen (oder anderen Basis- ) Ziffern scheinen zufällig verteilt zu sein und es wird vermutet , dass sie einer bestimmten Art statistischer Zufälligkeit genügen .

Es ist bekannt, dass π eine transzendente Zahl ist : Sie ist nicht die Wurzel eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten . Die Transzendenz von π bedeutet , dass es unmöglich ist , die alte Herausforderung zu lösen , die Quadratur des Kreises mit einem Zirkel und Lineal .

Alte Zivilisationen, einschließlich der Ägypter und Babylonier , erforderten für praktische Berechnungen ziemlich genaue Annäherungen von π . Um 250 v. Chr. entwickelte der griechische Mathematiker Archimedes einen Algorithmus, um π mit beliebiger Genauigkeit anzunähern. Im 5. Jahrhundert AD, Chinesisch Mathematik angenähert π zu sieben Stellen, während indische Mathematik eine fünfstellige Näherung gemacht, beide unter Verwendung von geometrischen Techniken. Die erste Berechnungsformel für π , die auf unendlichen Reihen basiert , wurde ein Jahrtausend später entdeckt, als die Madhava-Leibniz-Reihe von der Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik entdeckt wurde , dokumentiert im Yuktibhāṣā , geschrieben um 1530.

Die Erfindung der Infinitesimalrechnung führte bald zur Berechnung von Hunderten von Stellen von π , genug für alle praktischen wissenschaftlichen Berechnungen. Dennoch haben Mathematiker und Informatiker im 20. und 21. Jahrhundert neue Ansätze verfolgt, die in Kombination mit steigender Rechenleistung die dezimale Darstellung von π auf viele Billionen Stellen erweiterten. Die Hauptmotivation für diese Berechnungen ist als Testfall die Entwicklung effizienter Algorithmen zur Berechnung numerischer Reihen sowie das Bestreben, Rekorde zu brechen. Die umfangreichen Berechnungen einbezogen werden auch Tests verwendet worden , Supercomputer und Hochpräzisions - Multiplikation Algorithmen .

Da sich seine elementarste Definition auf den Kreis bezieht, findet sich π in vielen Formeln der Trigonometrie und Geometrie , insbesondere in solchen, die Kreise, Ellipsen und Kugeln betreffen. In der moderneren mathematischen Analysis wird die Zahl stattdessen über die spektralen Eigenschaften des reellen Zahlensystems als Eigenwert oder Periode ohne Bezug zur Geometrie definiert. Es taucht daher in Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften auf, die wenig mit der Geometrie des Kreises zu tun haben, wie Zahlentheorie und Statistik , sowie in fast allen Bereichen der Physik . Die Allgegenwart von π macht es zu einer der bekanntesten mathematischen Konstanten – sowohl innerhalb als auch außerhalb der wissenschaftlichen Gemeinschaft. Mehrere Bücher über π wurden veröffentlicht, und rekordverdächtige Berechnungen der Ziffern von π führen oft zu Schlagzeilen.

Grundlagen

Name

Das von Mathematikern verwendete Symbol, um das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser darzustellen, ist der griechische Kleinbuchstabe π , der manchmal als Pi buchstabiert wird und vom ersten Buchstaben des griechischen Wortes perimetros abgeleitet ist, was Umfang bedeutet. In Englisch, π wird als "pie" ausgesprochen ( / p / PY ). Im mathematischen Gebrauch wird der Kleinbuchstabe π von seinem großgeschriebenen und vergrößerten Gegenstück Π unterschieden , das ein Produkt einer Folge bezeichnet , analog wie Σ die Summe bezeichnet .

Die Wahl des Symbols π wird im Abschnitt Übernahme des Symbols π besprochen .

Definition

Ein Diagramm eines Kreises, wobei die Breite als Durchmesser und der Umfang als Umfang bezeichnet sind
Der Umfang eines Kreises ist etwas mehr als dreimal so lang wie sein Durchmesser. Das genaue Verhältnis heißt π .

π ist allgemein als das definierte Verhältnis eines Kreises ist Umfang C zu seinem Durchmesser d :

Das Verhältnis C / d ist unabhängig von der Kreisgröße konstant. Wenn ein Kreis beispielsweise den doppelten Durchmesser eines anderen Kreises hat, hat er auch den doppelten Umfang, wobei das Verhältnis C / d beibehalten wird . Diese Definition von π verwendet implizit die flache (euklidische) Geometrie ; obwohl der Begriff eines Kreises auf jede Kurvengeometrie (nichteuklidische) erweitert werden kann , erfüllen diese neuen Kreise nicht mehr die Formel π = C / d .

Der Umfang eines Kreises ist hier die Bogenlänge um den Umfang des Kreises, eine Größe, die unabhängig von der Geometrie durch Grenzwerte formal definiert werden kann – ein Begriff in der Infinitesimalrechnung . Zum Beispiel kann man die Bogenlänge der oberen Hälfte des Einheitskreises, gegeben in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung x 2 + y 2 = 1 , direkt als Integral berechnen :

Ein solches Integral wurde als Definition von π von Karl Weierstrass übernommen , der es 1841 direkt als Integral definierte.

Integration wird in einer ersten analytischen Definition nicht mehr häufig verwendet, da, wie Remmert 2012 erklärt, die Differentialrechnung der Integralrechnung im Universitätscurriculum typischerweise vorangeht, so dass es wünschenswert ist, eine Definition von π zu haben , die sich nicht auf letztere stützt . Eine solche Definition auf Grund Richard Baltzer und populär gemacht von Edmund Landau , ist die folgende: π ist zweimal die kleinste positive Zahl ist, bei der der Kosinus - Funktion 0. Der Kosinus gleich unabhängig von der Geometrie als definiert werden Potenzreihe oder als Lösung einer Differentialgleichung .

In einem ähnlichen Sinne, π können Eigenschaften der Verwendung definiert werden komplexe Exponentialfunktion , exp z , einer komplexen variablen z . Wie der Kosinus kann die komplexe Exponentialfunktion auf verschiedene Weise definiert werden. Die Menge der komplexen Zahlen, bei denen exp z gleich eins ist, ist dann eine (imaginäre) arithmetische Folge der Form:

und es gibt eine eindeutige positive reelle Zahl π mit dieser Eigenschaft.

Eine abstraktere Variante auf der gleiche Idee, die Verwendung von anspruchsvollen mathematischen Konzepten zur Herstellung von Topologie und Algebra , ist der folgende Satz: Es ist ein einzigartiger ( bis zu automorphism ) kontinuierlich Isomorphismus aus der Gruppe R / Z der reellen Zahlen unter Addition Modulo ganzer Zahlen ( die Kreisgruppe ), auf die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag eins. Die Zahl π ist dann definiert als der halbe Betrag der Ableitung dieses Homomorphismus.

Irrationalität und Normalität

π ist eine irrationale Zahl , was bedeutet , dass sie nicht als geschrieben werden kann Verhältnis zweier ganzer Zahlen . Brüche wie22/7 und 355/113werden häufig verwendet, um π anzunähern , aber kein gemeinsamer Bruch (Verhältnis ganzer Zahlen) kann den genauen Wert haben. Da π irrational ist, hat es eine unendliche Anzahl von Ziffern in seiner Dezimaldarstellung und setzt sich nicht in ein sich unendlich wiederholendes Ziffernmuster ein. Es gibt mehrere Beweise dafür, dass π irrational ist ; sie erfordern im Allgemeinen Kalkül und beruhen auf der Technik der reductio ad absurdum . Der Grad, bis zu dem π durch rationale Zahlen (das sogenannte Irrationalitätsmaß ) angenähert werden kann, ist nicht genau bekannt; Schätzungen haben ergeben, dass das Irrationalitätsmaß größer ist als das Maß von e oder ln 2, aber kleiner als das Maß der Liouville-Zahlen .

Die Ziffern von π haben kein offensichtliches Muster und haben Tests auf statistische Zufälligkeit bestanden , einschließlich Tests auf Normalität ; eine Zahl unendlicher Länge heißt normal, wenn alle möglichen Ziffernfolgen (beliebiger Länge) gleich oft vorkommen. Die Vermutung , dass π ist normaler hat bewiesen oder widerlegt nicht.

Seit dem Aufkommen von Computern steht eine große Anzahl von Ziffern von π zur Verfügung, um statistische Analysen durchzuführen. Yasumasa Kanada hat detaillierte statistische Analysen der Dezimalstellen von π durchgeführt und festgestellt, dass sie mit der Normalität übereinstimmen; Beispielsweise wurden die Häufigkeiten der zehn Ziffern 0 bis 9 statistischen Signifikanztests unterzogen , und es wurde kein Hinweis auf ein Muster gefunden. Jede zufällige Ziffernfolge enthält beliebig lange Teilfolgen, die nach dem unendlichen Affensatz nicht zufällig erscheinen . Somit wird , da die Folge der π ‚s digits statistische Tests auf Zufälligkeit gibt, enthält sie einige Sequenzen von Ziffern , die nicht-zufällig, wie beispielsweise eine erscheinen Folge von sechs aufeinanderfolgenden 9s , die an der 762. Dezimalstelle der Dezimaldarstellung beginnt π . Dieser wird in der mathematischen Folklore nach Richard Feynman auch als "Feynman-Punkt" bezeichnet , obwohl keine Verbindung zu Feynman bekannt ist.

Transzendenz

Ein Diagramm eines Quadrats und eines Kreises, beide mit identischer Fläche;  die Seitenlänge des Quadrats ist die Quadratwurzel von pi
Da π eine transzendente Zahl ist , ist eine Quadratur des Kreises in endlich vielen Schritten mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und Lineal nicht möglich .

Zusätzlich dazu , dass irrational, π ist auch eine transzendente Zahl , was bedeutet , dass es nicht das ist , Lösung einer nicht konstante Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten, wie zBx 5/120x 3/6+ x = 0 .

Die Überwindung der π hat zwei wichtige Konsequenzen: Erstens, π kann keine finite Kombination von rationalen Zahlen ausgedrückt werden , unter Verwendung und Quadratwurzeln oder n -ten Wurzeln (wie 331 oder 10 ). Zweitens, da mit Zirkel und Lineal keine transzendente Zahl konstruiert werden kann , ist es nicht möglich, den Kreis zu quadrieren. Mit anderen Worten, es ist unmöglich, allein mit Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, dessen Fläche genau der Fläche eines gegebenen Kreises entspricht. Die Quadratur eines Kreises war eines der wichtigsten Geometrieprobleme der klassischen Antike . Amateurmathematiker in der Neuzeit haben manchmal versucht, den Kreis zu quadrieren und den Erfolg zu behaupten – obwohl dies mathematisch unmöglich ist.

Fortsetzungsbrüche

Eine Fotografie des griechischen Buchstabens pi, geschaffen als großes Steinmosaik, das in den Boden eingelassen ist.
Die Konstante π ist in diesem Mosaik außerhalb des Mathematikgebäudes der Technischen Universität Berlin dargestellt .

Wie alle irrationalen Zahlen kann π durch die Definition der irrationalen Zahl (dh keine rationale Zahl) nicht als gewöhnlicher Bruch (auch als einfacher oder vulgärer Bruch bekannt ) dargestellt werden. Aber jede irrationale Zahl, einschließlich π , kann durch eine unendliche Reihe von verschachtelten Brüchen dargestellt werden, die als Kettenbruch bezeichnet werden :

Das Abschneiden des Kettenbruchs an einem beliebigen Punkt ergibt eine rationale Näherung für π ; die ersten vier davon sind 3, 22/7, 333/106 und 355/113. Diese Zahlen gehören zu den bekanntesten und am häufigsten verwendeten historischen Näherungen der Konstanten. Jede auf diese Weise erzeugte Näherung ist eine beste rationale Näherung; das heißt, jeder liegt näher an π als jeder andere Bruch mit demselben oder einem kleineren Nenner. Da π als transzendental bekannt ist, ist es per Definition nicht algebraisch und kann daher kein quadratisches Irrational sein . Daher kann π keinen periodischen Kettenbruch haben . Obwohl der einfache Kettenbruch für π (oben gezeigt) auch kein anderes offensichtliches Muster aufweist, haben Mathematiker mehrere verallgemeinerte Kettenbrüche entdeckt , die dies tun, wie zum Beispiel:

Ungefährer Wert und Ziffern

Einige Näherungen von pi umfassen:

  • Ganzzahlen : 3
  • Brüche : Ungefähre Brüche enthalten (in der Reihenfolge steigender Genauigkeit)22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, und 245850922/78256779. (Die Liste enthält ausgewählte Begriffe aus OEISA063674 und OEISA063673 .)
  • Ziffern : Die ersten 50 Dezimalstellen sind 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ... (siehe OEISA000796 )

Ziffern in anderen Zahlensystemen

Komplexe Zahlen und Eulersche Identität

Ein Diagramm eines Einheitskreises, der im Ursprung in der komplexen Ebene zentriert ist, einschließlich eines Strahls vom Mittelpunkt des Kreises zu seinem Rand, wobei die Dreiecksschenkel mit Sinus- und Kosinusfunktionen beschriftet sind.
Die Assoziation zwischen imaginären Potenzen der Zahl e und Punkten auf dem Einheitskreis , der im Ursprung in der komplexen Ebene zentriert ist, gegeben durch die Eulersche Formel

Jede komplexe Zahl , z. B. z , kann durch ein Paar reeller Zahlen ausgedrückt werden . Im Polarkoordinatensystem wird eine Zahl ( Radius oder r ) verwendet, um den Abstand von z vom Ursprung der komplexen Ebene darzustellen , und die andere (Winkel oder φ ) die Drehung gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Geraden:

wobei i die imaginäre Einheit ist, die i 2 = −1 erfüllt . Das häufige Auftreten von π in der komplexen Analysis kann mit dem Verhalten der Exponentialfunktion einer komplexen Variablen in Verbindung gebracht werden, beschrieben durch die Eulersche Formel :

wobei die Konstante e die Basis des natürlichen Logarithmus ist . Diese Formel stellt eine Entsprechung zwischen imaginären Potenzen von e und Punkten auf dem Einheitskreis her, die im Ursprung der komplexen Ebene zentriert sind. Das Setzen von φ = π in der Eulerschen Formel ergibt die Eulersche Identität , die in der Mathematik berühmt ist, weil sie die fünf wichtigsten mathematischen Konstanten enthält:

Es gibt n verschiedene komplexe Zahlen z, die z n = 1 erfüllen , und diese werden die " n- ten Einheitswurzeln " genannt und sind durch die Formel gegeben:

Geschichte

Antike

Die bekanntesten Näherungen an π- Datierungen vor unserer Zeitrechnung waren auf zwei Dezimalstellen genau; dies wurde insbesondere in der chinesischen Mathematik bis zur Mitte des ersten Jahrtausends auf eine Genauigkeit von sieben Dezimalstellen verbessert . Danach gab es bis ins späte Mittelalter keine weiteren Fortschritte.

Basierend auf den Messungen der Großen Pyramide von Gizeh (ca. 2560 v. Chr.) haben einige Ägyptologen behauptet, dass die alten Ägypter eine Näherung von π as . verwendeten22/7schon aus dem Alten Reich . Dieser Behauptung wird mit Skepsis begegnet. Die frühesten schriftlichen Annäherungen an π finden sich in Babylon und Ägypten, beide innerhalb eines Prozents des wahren Wertes. In Babylon, ein Tontafel vom 1900-1600 BC hat eine geometrische Aussage , dass durch Implikation, behandelt & pgr als25/8 = 3,125. In Ägypten, dem Rhind Papyrus , um 1650 vor Christus datiert aber aus einem Dokument datiert aus dem Jahr 1850 vor Christus kopiert, hat eine Formel für die Fläche eines Kreises , dass Leckereien & pgr als (16/9) 2 3.16.

Astronomische Berechnungen im Shatapatha Brahmana (ca. 4. Jahrhundert v. Chr.) verwenden eine gebrochene Näherung von339/108 ≈ 3,139 (eine Genauigkeit von 9×10 –4 ). Andere indische Quellen um etwa 150 v. Chr. behandeln π als 10  ≈ 3,1622.

Ära der Polygon-Approximation

Diagramm eines Sechsecks und Fünfecks, die außerhalb eines Kreises umschrieben sind
π kann durch Berechnung der Umfänge von umschriebenen und eingeschriebenen Polygonen geschätzt werden.

Der erste aufgezeichnete Algorithmus zur rigorosen Berechnung des Wertes von π war ein geometrischer Ansatz unter Verwendung von Polygonen, der um 250 v. Chr. Von dem griechischen Mathematiker Archimedes entwickelt wurde . Dieser polygonale Algorithmus dominierte über 1.000 Jahre lang, und daher wird π manchmal als "Archimedes-Konstante" bezeichnet. Archimedes berechnete die obere und untere Grenze von π, indem er ein regelmäßiges Sechseck innerhalb und außerhalb eines Kreises zeichnete und sukzessive die Anzahl der Seiten verdoppelte, bis er ein regelmäßiges Polygon mit 96 Seiten erreichte. Indem er die Umfänge dieser Polygone berechnete, bewies er, dass223/71< π <22/7(das ist 3,1408 < π < 3,1429 ). Archimedes' obere Grenze von22/7könnte zu einer weit verbreiteten Meinung geführt haben, dass π gleich ist22/7. Um 150 n. Chr. gab der griechisch-römische Wissenschaftler Ptolemaios in seinem Almagest einen Wert für π von 3,1416 an, den er möglicherweise von Archimedes oder von Apollonius von Perge erhalten hat . Mathematiker, die polygonale Algorithmen verwendeten, erreichten 1630 39 Stellen von π , ein Rekord, der erst 1699 gebrochen wurde, als unendliche Reihen verwendet wurden, um 71 Stellen zu erreichen.

Ein Gemälde von einem studierenden Mann
Archimedes entwickelte den polygonalen Ansatz zur Approximation von π .

Im alten China umfassten die Werte für π 3,1547 (um 1 n. Chr.), 10 (100 n. Chr., ca. 3,1623) und142/45(3. Jahrhundert, ca. 3.1556). Um 265 n. Chr. erstellte der Mathematiker Liu Hui aus dem Königreich Wei einen polygonbasierten iterativen Algorithmus und verwendete ihn mit einem 3.072-seitigen Polygon, um einen Wert von π von 3,1416 zu erhalten. Liu erfand später eine schnellere Methode zur Berechnung von π und erhielt einen Wert von 3,14 mit einem 96-seitigen Polygon, indem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Flächenunterschiede aufeinanderfolgender Polygone eine geometrische Reihe mit dem Faktor 4 bilden. Der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi , um 480 n. Chr., berechnete 3,1415926 < π < 3,1415927 und schlug die Näherungen π ≈ . vor355/113= 3,14159292035... und π22/7= 3,142857142857..., die er Milü (''nahes Verhältnis') bzw. Yuelü ('ungefähres Verhältnis') nannte, unter Verwendung des Algorithmus von Liu Hui, der auf ein 12.288-seitiges Polygon angewendet wurde. Mit einem korrekten Wert für seine sieben ersten Dezimalstellen Stellen blieb dieser Wert von die genaueste Näherung von π, die für die nächsten 800 Jahre verfügbar war.

Der indische Astronom Aryabhata verwendet in seinem Āryabhaṭīya (499 n. Chr.) einen Wert von 3,1416 . Fibonacci in c. 1220 berechnete 3,1418 mit einer polygonalen Methode, unabhängig von Archimedes. Der italienische Autor Dante hat offenbar den Wert 3+ verwendet2/103.14142 .

Der persische Astronom Jamshīd al-Kāshī produzierte 1424 9 Sexagesimalziffern , ungefähr das Äquivalent von 16 Dezimalziffern, unter Verwendung eines Polygons mit 3×2 28 Seiten, was etwa 180 Jahre lang als Weltrekord stand. Der französische Mathematiker François Viète erreichte 1579 9 Ziffern mit einem Polygon von 3×2 17 Seiten. Der flämische Mathematiker Adriaan van Roomen kam 1593 auf 15 Dezimalstellen. 1596 erreichte der niederländische Mathematiker Ludolph van Ceulen 20 Stellen, einen Rekord, den er später auf 35 Stellen erhöhte (daher wurde π in Deutschland bis zum frühes 20. Jahrhundert). Der niederländische Wissenschaftler Willebrord Snellius erreichte 1621 34 Stellen, und der österreichische Astronom Christoph Grienberger erreichte 1630 38 Stellen mit 10 40 Seiten. Christiaan Huygens konnte 1654 mit einer etwas anderen Methode, die der Richardson-Extrapolation entspricht, auf 10 Dezimalstellen kommen .

Unendliche Serie

Vergleich der Konvergenz mehrerer historischer unendlicher Reihen für π . S n ist die Näherung nach n Termen. Jeder nachfolgende Teilplot vergrößert den schattierten Bereich horizontal um das Zehnfache. (für Details klicken)

Die Berechnung von π wurde durch die Entwicklung der Techniken der unendlichen Reihen im 16. und 17. Jahrhundert revolutioniert . Eine unendliche Reihe ist die Summe der Terme einer unendlichen Folge . Unendliche Reihen ermöglichten es Mathematikern, π mit viel größerer Genauigkeit zu berechnen als Archimedes und andere, die geometrische Techniken verwendeten. Obwohl unendliche Reihen für π vor allem von europäischen Mathematikern wie James Gregory und Gottfried Wilhelm Leibniz genutzt wurden , wurde der Ansatz erstmals zwischen 1400 und 1500 n. Chr. in Indien entdeckt . Die erste schriftliche Beschreibung einer unendlichen Reihe, die zur Berechnung von π verwendet werden konnte, wurde in Sanskrit-Versen vom indischen Astronomen Nilakantha Somayaji in seinem Tantrasamgraha um 1500 n. Chr. niedergelegt. Die Reihe wird ohne Beweis präsentiert, aber Beweise werden in einem späteren indischen Werk, Yuktibhāṣā , aus der Zeit um 1530 n. Chr. vorgelegt . Nilakantha schreibt die Serie einem früheren indischen Mathematiker, Madhava von Sangamagrama , zu, der ca. 1350 – c. 1425. Mehrere unendliche Reihen werden beschrieben, darunter Reihen für Sinus, Tangens und Kosinus, die jetzt als Madhava-Reihe oder Gregory-Leibniz-Reihe bezeichnet werden . Madhava verwendete unendliche Reihen, um π um 1400 auf 11 Stellen zu schätzen , aber dieser Wert wurde um 1430 vom persischen Mathematiker Jamshīd al-Kāshī unter Verwendung eines polygonalen Algorithmus verbessert .

Ein formelles Porträt eines Mannes mit langen Haaren
Isaac Newton verwendete unendliche Reihen , um π bis 15 Stellen zu berechnen , und schrieb später "Ich schäme mich, Ihnen zu sagen, wie viele Zahlen ich diese Berechnungen durchgeführt habe".

Die erste in Europa entdeckte unendliche Folge war ein unendliches Produkt (anstelle einer unendlichen Summe , die typischerweise bei π- Berechnungen verwendet wird), die 1593 vom französischen Mathematiker François Viète gefunden wurde:

Die zweite unendliche Sequenz, die 1655 von John Wallis in Europa gefunden wurde , war ebenfalls ein unendliches Produkt:

Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung durch den englischen Wissenschaftler Isaac Newton und den deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz in den 1660er Jahren führte zur Entwicklung vieler unendlicher Reihen zur Approximation von π . Newton selbst verwendete 1665 oder 1666 eine Arcsin-Reihe, um eine 15-stellige Näherung von π zu berechnen , und schrieb später "Ich schäme mich, Ihnen zu sagen, wie viele Zahlen ich diese Berechnungen trug, da ich zu dieser Zeit nichts anderes zu tun hatte."

In Europa wurde Madhavas Formel 1671 vom schottischen Mathematiker James Gregory und 1674 von Leibniz wiederentdeckt :

Diese Formel, die Gregory-Leibniz - Reihe, gleich π / 4 , wenn sie mit ausgewertet z  = 1. In 1699 englischen Mathematiker Abraham Sharp die Gregory-Leibniz Serie für verwendet , um Rechen π bis 71 Stellen, die vorherige Aufzeichnung von 39 Ziffern zu brechen, die wurde mit einem polygonalen Algorithmus eingestellt. Das Gregory-Leibniz für Reihen ist einfach, konvergiert aber sehr langsam (d. h. nähert sich der Antwort allmählich), sodass es in modernen π- Berechnungen nicht verwendet wird.

1706 verwendete John Machin die Gregory-Leibniz-Reihe, um einen Algorithmus zu entwickeln, der viel schneller konvergierte:

Machin erreichte mit dieser Formel 100 Stellen von π . Andere Mathematiker erstellten Varianten, die heute als Machin-ähnliche Formeln bekannt sind, die verwendet wurden, um mehrere aufeinanderfolgende Datensätze für die Berechnung von Ziffern von π festzulegen . Machin artigen Formeln blieb die bekannteste Methode zur Berechnung π gut in das Zeitalter der Computer und wurden für 250 Jahre Satz Aufzeichnungen verwendet, die ihren Höhepunkt in einer 620-stelligen Angleichung im Jahr 1946 von Daniel Ferguson - die beste Annäherung ohne die Hilfe erreicht eines Rechengeräts.

Ein Rekord wurde von dem Rechenwunder Zacharias Dase aufgestellt , der 1844 auf Geheiß des deutschen Mathematikers Carl Friedrich Gauß eine Machin-ähnliche Formel anwendete, um 200 Dezimalstellen von π in seinem Kopf zu berechnen . Der britische Mathematiker William Shanks brauchte bekanntlich 15 Jahre, um π auf 707 Stellen zu berechnen , machte aber einen Fehler bei der 528. Stelle, wodurch alle nachfolgenden Stellen falsch wurden.

Konvergenzrate

Einige unendliche Reihen für π konvergieren schneller als andere. Angesichts der Wahl zwischen zwei unendlichen Reihe für π Mathematiker, wird in der Regel die man verwenden , dass konvergiert schneller , weil eine schnellere Konvergenz der Rechenaufwand reduziert benötigt zur Berechnung π zu jeder gegebenen Genauigkeit. Eine einfache unendliche Reihe für π ist die Gregory-Leibniz-Reihe :

Als einzelne Formulierungen dieser unendlichen Reihe der Summe addiert werden, wird die Gesamt allmählich näher zu π , und - mit einer ausreichenden Anzahl von Begriffen - so nahe erhalten π nach Wunsch. Es konvergiert jedoch recht langsam – nach 500.000 Termen liefert es nur noch fünf korrekte Dezimalstellen von π .

Eine unendliche Reihe für π (veröffentlicht von Nilakantha im 15. Jahrhundert), die schneller konvergiert als die Gregory-Leibniz-Reihe, ist: Beachten Sie, dass ( n  − 1) n ( n  + 1) = n 3  −  n .

Die folgende Tabelle vergleicht die Konvergenzraten dieser beiden Reihen:

Unendliche Reihe für π Nach dem 1. Semester Nach dem 2. Semester Nach dem 3. Semester Nach dem 4. Semester Nach dem 5. Semester Konvergiert zu:
4.0000 2.6666 ... 3.4666 ... 2.8952 ... 3.3396 ... π = 3,1415 ...
3.0000 3.1666 ... 3.1333 ... 3.1452 ... 3.1396 ...

Nach fünf Termen liegt die Summe der Gregory-Leibniz-Reihe innerhalb von 0,2 des korrekten Wertes von π , während die Summe der Nilakantha-Reihe innerhalb von 0,002 des korrekten Wertes von π liegt . Die Reihe von Nilakantha konvergiert schneller und ist nützlicher für die Berechnung von Ziffern von π . Zu den Reihen, die noch schneller konvergieren, gehören die Machin-Reihe und die Chudnovsky-Reihe , wobei letztere 14 korrekte Dezimalstellen pro Term liefert.

Irrationalität und Transzendenz

Nicht alle mathematischen Fortschritte in Bezug auf π zielten darauf ab, die Genauigkeit von Näherungen zu erhöhen. Als Euler 1735 das Basler Problem löste und den exakten Wert der Summe der reziproken Quadrate fand, stellte er eine Verbindung zwischen π und den Primzahlen her , die später zur Entwicklung und Untersuchung der Riemannschen Zetafunktion beitrug :

Schweizer Wissenschaftler Johann Heinrich Lambert im Jahr 1761 bewiesen , dass π ist irrational , was bedeutet , es nicht gleich dem Quotienten von zwei beliebigen ganzen Zahlen ist. Lamberts Beweis nutzte eine Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion. Der französische Mathematiker Adrien-Marie Legendre bewies 1794, dass auch π 2 irrational ist. Im Jahr 1882, deutscher Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen , dass π heißt transzendentale , eine Vermutung von beiden gemacht bestätigt Legendre und Euler. Hardy und Wright stellen fest, dass "die Beweise später von Hilbert, Hurwitz und anderen Autoren modifiziert und vereinfacht wurden".

Übernahme des Symbols π

Die früheste bekannte Verwendung des griechischen Buchstabens π , um das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser darzustellen, stammt vom walisischen Mathematiker William Jones im Jahr 1706
Leonhard Euler popularisierte die Verwendung des griechischen Buchstabens π in Werken, die er 1736 und 1748 veröffentlichte.

In den frühesten Verwendungen war der griechische Buchstabe π eine Abkürzung des griechischen Wortes für Peripherie ( περιφέρεια ) und wurde im Verhältnis mit δ (für Durchmesser ) oder ρ (für Radius ) zu Kreiskonstanten kombiniert . (Vorher benutzten Mathematiker manchmal stattdessen Buchstaben wie c oder p .) Die erste aufgezeichnete Verwendung ist Oughtreds " ", um das Verhältnis von Umfang und Durchmesser in den 1647 und späteren Ausgaben von Clavis Mathematicae auszudrücken . Barrow verwendet ebenfalls " ", um die Konstante 3,14... darzustellen, während Gregory stattdessen " " verwendet, um 6,28... darzustellen.

Die früheste bekannte Verwendung des griechischen Buchstabens π allein, um das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser darzustellen, stammt vom walisischen Mathematiker William Jones in seinem 1706 erschienenen Werk Synopsis Palmariorum Matheseos ; oder, eine neue Einführung in die Mathematik . Der griechische Buchstabe taucht dort erstmals in der Wendung "1/2 Peripherie ( π )" bei der Diskussion eines Kreises mit Radius eins auf. Er schreibt jedoch, dass seine Gleichungen für π aus der "fertigen Feder des wirklich genialen Herrn John Machin " stammen, was zu Spekulationen führt, dass Machin den griechischen Buchstaben vor Jones verwendet haben könnte. Jones' Notation wurde nicht sofort von anderen Mathematikern übernommen, wobei die Bruchnotation noch 1767 verwendet wurde.

Euler begann mit seinem Essay Explaining the Properties of Air von 1727, die Ein-Buchstaben-Form zu verwenden, obwohl er in dieser und einigen späteren Schriften π = 6,28... , das Verhältnis von Peripherie zu Radius, verwendete. Euler verwendete zuerst π = 3,14... in seinem Werk Mechanica von 1736 und setzte es in seinem viel gelesenen Werk Introductio in analysin infinitorum von 1748 fort (er schrieb: "der Kürze halber schreiben wir diese Zahl als π ; daher ist π gleich auf den halben Umfang eines Kreises mit Radius 1"). Da Euler stark mit anderen Mathematikern in Europa korrespondierte, verbreitete sich die Verwendung des griechischen Buchstabens schnell, und die Praxis wurde danach in der westlichen Welt allgemein übernommen , obwohl die Definition noch 1761 zwischen 3,14 und 6,28 schwankte .

Moderne Suche nach mehr Ziffern

Computerzeitalter und iterative Algorithmen

Formelles Foto eines Mannes mit Glatze im Anzug
John von Neumann war Teil des Teams, das erstmals einen digitalen Computer, ENIAC , zur Berechnung von π verwendete .

Der iterative Gauß-Legendre-Algorithmus :
Initialize

Iterieren

Dann ist eine Schätzung für π gegeben durch

Die Entwicklung von Computern Mitte des 20. Jahrhunderts revolutionierte erneut die Jagd nach den Ziffern von π . Die Mathematiker John Wrench und Levi Smith erreichten 1949 mit einem Tischrechner 1.120 Stellen. Unter Verwendung einer unendlichen Reihe von inversen Tangenten (Arctan) erreichte ein Team unter der Leitung von George Reitwiesner und John von Neumann im selben Jahr 2.037 Stellen mit einer Berechnung, die 70 Stunden Computerzeit auf dem ENIAC- Computer benötigte. Der Rekord, der sich immer auf eine arctan-Reihe stützte, wurde wiederholt (7.480 Stellen 1957; 10.000 Stellen 1958; 100.000 Stellen 1961) gebrochen, bis 1973 1 Million Stellen erreicht wurden.

Zwei weitere Entwicklungen um 1980 beschleunigten die Berechnung von π noch einmal . Erstens die Entdeckung neuer iterativer Algorithmen zur Berechnung von π , die viel schneller waren als die unendliche Reihe; und zweitens die Erfindung von schnellen Multiplikationsalgorithmen , die große Zahlen sehr schnell multiplizieren können. Solche Algorithmen sind bei modernen π- Berechnungen besonders wichtig, da die meiste Zeit des Computers der Multiplikation gewidmet ist. Dazu gehören der Karatsuba-Algorithmus , die Toom-Cook-Multiplikation und auf Fourier-Transformationen basierende Methoden .

Die iterativen Algorithmen wurden 1975–1976 unabhängig voneinander vom Physiker Eugene Salamin und dem Wissenschaftler Richard Brent veröffentlicht . Diese vermeiden das Vertrauen auf unendliche Reihen. Ein iterativer Algorithmus wiederholt eine bestimmte Berechnung, wobei jede Iteration die Ausgaben der vorherigen Schritte als Eingaben verwendet und in jedem Schritt ein Ergebnis erzeugt, das auf den gewünschten Wert konvergiert. Tatsächlich wurde der Ansatz über 160 Jahre zuvor von Carl Friedrich Gauss erfunden , in der heute als arithmetisch-geometrischer Mittelwertmethode (AGM-Methode) oder Gauss-Legendre-Algorithmus bezeichneten Methode . In der von Salamin und Brent modifizierten Form wird er auch als Brent-Salamin-Algorithmus bezeichnet.

Die iterativen Algorithmen wurden nach 1980 weit verbreitet verwendet, weil sie schneller sind als Algorithmen für unendliche Reihen: Während unendliche Reihen typischerweise die Anzahl der richtigen Ziffern additiv aufeinanderfolgend erhöhen, multiplizieren iterative Algorithmen im Allgemeinen die Anzahl der richtigen Ziffern bei jedem Schritt. Beispielsweise verdoppelt der Brent-Salamin-Algorithmus die Anzahl der Ziffern in jeder Iteration. 1984 entwickelten die Brüder John und Peter Borwein einen iterativen Algorithmus, der die Anzahl der Stellen in jedem Schritt vervierfacht; und 1987 eine, die die Anzahl der Stellen in jedem Schritt um das Fünffache erhöht. Mit iterativen Methoden hat der japanische Mathematiker Yasumasa Kanada zwischen 1995 und 2002 mehrere Rekorde für die Berechnung von π aufgestellt . Diese schnelle Konvergenz hat ihren Preis: Die iterativen Algorithmen benötigen deutlich mehr Speicher als unendliche Reihen.

Motive für das Rechnen π

Als Mathematiker neue Algorithmen entdeckten und Computer verfügbar wurden, stieg die Zahl der bekannten Dezimalstellen von π dramatisch an. Die vertikale Skala ist logarithmisch .

Für die meisten numerischen Berechnungen mit π bieten eine Handvoll Ziffern eine ausreichende Genauigkeit. Für die meisten kosmologischen Berechnungen reichen laut Jörg Arndt und Christoph Haenel neununddreißig Stellen aus , denn das ist die Genauigkeit, die erforderlich ist, um den Umfang des beobachtbaren Universums mit einer Genauigkeit von einem Atom zu berechnen . Unter Berücksichtigung zusätzlicher Stellen, die zum Kompensieren von rechnerischen Rundungsfehlern benötigt werden , kommt Arndt zu dem Schluss, dass einige hundert Stellen für jede wissenschaftliche Anwendung ausreichen würden. Trotzdem haben die Leute eifrig daran gearbeitet, π in Tausende und Millionen von Stellen zu berechnen . Dieses Bemühen ist teilweise auf den menschlichen Drang zurückzuführen, Rekorde zu brechen, und solche Errungenschaften mit π machen oft weltweit Schlagzeilen. Sie haben auch praktische Vorteile, wie das Testen von Supercomputern , das Testen numerischer Analysealgorithmen (einschließlich hochpräziser Multiplikationsalgorithmen ); und innerhalb der reinen Mathematik selbst, Bereitstellung von Daten zum Bewerten der Zufälligkeit der Ziffern von π .

Schnell konvergente Reihen

Fotoportrait eines Mannes
Srinivasa Ramanujan , isoliert in Indien arbeitend, produzierte viele innovative Serien für Computer π .

Moderne π- Rechner verwenden nicht ausschließlich iterative Algorithmen. In den 1980er und 1990er Jahren wurden neue unendliche Reihen entdeckt, die so schnell wie iterative Algorithmen sind, aber einfacher und weniger speicherintensiv sind. Die schnellen iterativen Algorithmen wurden 1914 vorweggenommen, als der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan Dutzende innovativer neuer Formeln für π veröffentlichte , die sich durch ihre Eleganz, mathematische Tiefe und schnelle Konvergenz auszeichnen. Eine seiner Formeln, die auf modularen Gleichungen basiert , ist

Diese Reihe konvergiert viel schneller als die meisten arctan-Reihen, einschließlich der Formel von Machin. Bill Gosper war der erste, der es für Fortschritte bei der Berechnung von π verwendete und 1985 einen Rekord von 17 Millionen Stellen aufstellte. Ramanujans Formeln antizipierten die modernen Algorithmen, die von den Brüdern Borwein ( Jonathan und Peter ) und den Brüdern Chudnovsky entwickelt wurden . Die 1987 entwickelte Chudnovsky-Formel lautet

Es erzeugt etwa 14 Stellen von π pro Begriff und wurde für mehrere rekordverdächtige π- Berechnungen verwendet, darunter die erste, die 1989 von den Chudnovsky-Brüdern 1 Milliarde (10 9 ) Stellen überstieg, 10 Billionen (10 13 ) Stellen im Jahr 2011 von Alexander Yee und Shigeru Kondo, über 22 Billionen Ziffern im Jahr 2016 von Peter Trueb und 50 Billionen Ziffern von Timothy Mullican im Jahr 2020. Für ähnliche Formeln siehe auch die Ramanujan-Sato-Reihe .

Im Jahr 2006 verwendete der Mathematiker Simon Plouffe den Ganzzahlrelationsalgorithmus PSLQ , um mehrere neue Formeln für π zu generieren , die der folgenden Vorlage entsprechen:

wobei q ist e π (Gelfond Konstante), k ist eine ungerade Zahl ist , und a , b , c sind bestimmte rationale Zahlen , dass Plouffe berechnet.

Monte-Carlo-Methoden

Nadeln der Länge ℓ verstreut auf Streifen mit der Breite t
Buffons Nadel . Die Nadeln a und b werden zufällig fallen gelassen.
Tausende von Punkten, die zufällig ein Quadrat und einen in das Quadrat eingeschriebenen Kreis bedecken.
Zufällige Punkte werden auf dem Quadranten eines Quadrats platziert, in das ein Kreis eingeschrieben ist.
Monte-Carlo-Methoden , die auf Zufallsversuchen basieren, können verwendet werden, um π anzunähern .

Monte-Carlo-Methoden , die die Ergebnisse mehrerer Zufallsversuche auswerten, können verwendet werden, um Näherungen von π zu erstellen . Die Buffon-Nadel ist eine solche Technik: Wenn eine Nadel der Länge n- mal auf eine Fläche fallen gelassen wird, auf der parallele Linien im Abstand von t Einheiten gezeichnet sind, und wenn sie x von diesen Malen beim Kreuzen einer Linie ( x  > 0) zu liegen kommt, dann man kann π anhand der Zählungen annähern :

Eine andere Monte-Carlo-Methode zum Berechnen von π besteht darin, einen in ein Quadrat eingeschriebenen Kreis zu zeichnen und zufällig Punkte in das Quadrat zu setzen. Das Verhältnis der Punkte innerhalb des Kreises zur Gesamtzahl der Punkte wird ungefähr gleich π/4 sein .

Fünf zufällige Spaziergänge mit 200 Schritten. Der Stichprobenmittelwert von | W 200 | ist μ = 56/5 , also liegt 2(200)μ −2 ≈ 3,19 innerhalb von 0,05 von π .

Ein anderer Weg zur Berechnung π Wahrscheinlichkeit verwendet , ist mit einem starten random walk , erzeugt durch eine Folge von (fair) Münzwürfen: unabhängige Zufallsvariablen X k , so daß X k ∈ {-1,1} mit gleichen Wahrscheinlichkeiten. Der zugehörige Random Walk ist

so dass für jeden n , W n aus einem gezogenen verschoben und skaliert Binomialverteilung . Da n variiert, definiert W n einen (diskreten) stochastischen Prozess . Dann kann π berechnet werden durch

Diese Monte-Carlo-Methode ist unabhängig von jeder Beziehung zu Kreisen und ist eine Folge des unten diskutierten zentralen Grenzwertsatzes .

Diese Monte-Carlo-Verfahren zur Approximation von π sind im Vergleich zu anderen Verfahren sehr langsam und geben keine Auskunft über die genaue Anzahl der erhaltenen Stellen. Daher werden sie niemals verwendet, um anzunähern, wenn Geschwindigkeit oder Genauigkeit erwünscht sind.

Spigot-Algorithmen

1995 wurden zwei Algorithmen entdeckt, die der Erforschung von π neue Wege eröffneten . Sie werden Zapfenalgorithmen genannt, weil sie wie Wasser, das von einem Zapfen tropft , einzelne Ziffern von π erzeugen , die nach ihrer Berechnung nicht wiederverwendet werden. Dies steht im Gegensatz zu unendlichen Reihen oder iterativen Algorithmen, die alle Zwischenziffern beibehalten und verwenden, bis das Endergebnis erzeugt wird.

Die Mathematiker Stan Wagon und Stanley Rabinowitz entwickelten 1995 einen einfachen Spigot-Algorithmus. Seine Geschwindigkeit ist vergleichbar mit arctan-Algorithmen, aber nicht so schnell wie iterative Algorithmen.

Ein weiterer Spigot-Algorithmus, der BBP- Ziffernextraktionsalgorithmus , wurde 1995 von Simon Plouffe entdeckt:

Diese Formel kann im Gegensatz zu anderen davor jede einzelne hexadezimale Ziffer von π erzeugen, ohne alle vorhergehenden Ziffern zu berechnen. Einzelne Binärziffern können aus einzelnen Hexadezimalziffern extrahiert werden und Oktalziffern können aus einer oder zwei Hexadezimalziffern extrahiert werden. Variationen des Algorithmus wurden entdeckt, aber es wurde noch kein Ziffernextraktionsalgorithmus gefunden, der schnell Dezimalziffern erzeugt. Eine wichtige Anwendung von Ziffernextraktionsalgorithmen besteht darin, neue Ansprüche von Datensatz- π- Berechnungen zu validieren : Nachdem ein neuer Datensatz beansprucht wurde, wird das dezimale Ergebnis in hexadezimal umgewandelt, und dann wird ein Ziffernextraktionsalgorithmus verwendet, um mehrere zufällige hexadezimale Ziffern gegen Ende zu berechnen; wenn sie übereinstimmen, liefert dies ein Maß für die Gewissheit, dass die gesamte Berechnung korrekt ist.

Zwischen 1998 und 2000, die verteilte Rechen Projekt PiHex verwendete Bellard Formel (eine Modifikation des BBP - Algorithmus) , um die quadrillionth zu berechnen (10 15 th) Bit von π , die 0. In entpuppte September 2010, ein Yahoo! Der Mitarbeiter verwendete die Hadoop- Anwendung des Unternehmens auf tausend Computern über einen Zeitraum von 23 Tagen, um 256 Bits von π mit dem zwei Billiardsten (2 × 10 15 ) Bit zu berechnen , das zufällig auch Null ist.

Rolle und Charakterisierungen in der Mathematik

Da π eng mit dem Kreis verwandt ist, findet man es in vielen Formeln aus der Geometrie und Trigonometrie, insbesondere bei Kreisen, Kugeln oder Ellipsen. Andere Wissenschaftszweige, wie Statistik, Physik, Fourier-Analyse und Zahlentheorie, enthalten ebenfalls π in einigen ihrer wichtigen Formeln.

Geometrie und Trigonometrie

Ein Diagramm eines Kreises mit einem Quadrat, das den oberen rechten Quadranten des Kreises umschließt.
Die Fläche des Kreises entspricht dem -fachen der schattierten Fläche. Die Fläche des Einheitskreises ist π .

π erscheint in Formeln für Flächen und Volumen von geometrischen Formen, die auf Kreisen basieren, wie Ellipsen , Kugeln , Kegel und Tori . Unten sind einige der gebräuchlicheren Formeln, die π beinhalten .

  • Der Umfang eines Kreises mit Radius r beträgt r .
  • Die Fläche eines Kreises mit Radius r ist π r 2 .
  • Das Volumen einer Kugel mit Radius r ist4/3π r 3 .
  • Die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r beträgt r 2 .

Die obigen Formeln sind Spezialfälle des Volumens der n- dimensionalen Kugel und der Oberfläche ihrer Umrandung, der ( n −1)-dimensionalen Kugel , die unten angegeben ist .

Messen der Breite eines Reuleaux-Dreiecks als Abstand zwischen parallelen Stützlinien . Da dieser Abstand nicht von der Linienrichtung abhängt, ist das Reuleaux-Dreieck eine Kurve konstanter Breite.

Außer Kreisen gibt es noch andere Kurven konstanter Breite (Orbiformen). Nach dem Satz von Barbier hat jede Kurve konstanter Breite den Umfang π mal ihre Breite. Das Reuleaux-Dreieck (gebildet durch den Schnittpunkt von drei Kreisen, die jeweils dort zentriert sind, wo sich die anderen beiden Kreise kreuzen) hat die kleinstmögliche Fläche für seine Breite und der Kreis die größte. Es gibt auch nicht kreisförmige glatte Kurven konstanter Breite.

Definite Integrale , die beschreiben Umfang, Fläche, oder das Volumen der Formen , die durch Kreise erzeugt typischerweise haben Werte , die beinhalten π . Ein Integral, das die halbe Fläche eines Kreises mit dem Radius eins angibt, ist beispielsweise gegeben durch:

In diesem Integral stellt die Funktion 1 −  x 2 die obere Hälfte eines Kreises dar (die Quadratwurzel ist eine Folge des Satzes des Pythagoras ), und das Integral 1
-1
berechnet die Fläche zwischen dieser Kreishälfte und der x- Achse .

Diagramm mit Funktionsgraphen
Sinus- und Kosinusfunktionen wiederholen sich mit Periode 2 π .

Die trigonometrischen Funktionen beruhen auf Winkeln, und Mathematiker verwenden im Allgemeinen das Bogenmaß als Maßeinheiten. π spielt eine wichtige Rolle bei Winkeln im Bogenmaß , die so definiert sind, dass ein vollständiger Kreis einen Winkel von 2 π im Bogenmaß aufspannt. Das Winkelmaß von 180° ist gleich π Radiant und 1° = π /180 Radiant.

Gemeinsame trigonometrischen Funktionen haben Perioden , die ein Vielfaches von sind π ; Sinus und Kosinus haben beispielsweise die Periode 2 π , also für jeden Winkel θ und jede ganze Zahl k ,

Eigenwerte

Die Obertöne einer schwingenden Saite sind Eigenfunktionen der zweiten Ableitung und bilden eine harmonische Folge . Die zugehörigen Eigenwerte bilden die arithmetische Folge ganzzahliger Vielfacher von π .

Viele der Erscheinungen von π in den Formeln der Mathematik und der Naturwissenschaften haben mit seiner engen Beziehung zur Geometrie zu tun. Allerdings π erscheint auch in vielen natürlichen Situationen scheinbar nichts mit Geometrie zu tun.

In vielen Anwendungen spielt er als Eigenwert eine herausragende Rolle . Zum Beispiel kann eine idealisierte schwingende Saite als Graph einer Funktion f auf dem Einheitsintervall [0,1] mit festen Enden f (0) = f (1) = 0 modelliert werden . Die Schwingungsmoden der Saite sind Lösungen der Differentialgleichung oder . Somit λ ein Eigenwert des zweiten Ableitung des Bedieners und wird durch eingeschränkte Sturm-Liouville Theorie zu übernehmen , nur bestimmte spezifische Werte. Sie muss positiv sein, da der Operator negativ definit ist , daher ist es bequem, λ = ν 2 zu schreiben , wobei ν > 0 als Wellenzahl bezeichnet wird . Dann erfüllt f ( x ) = sin(π x ) die Randbedingungen und die Differentialgleichung mit ν = π .

Der Wert π ist tatsächlich der kleinste dieser Werte der Wellenzahl und ist mit der Grundschwingung der Saite verbunden. Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, die Energie abzuschätzen , die der Wirtingerschen Ungleichung genügt : für eine Funktion f  : [0, 1] → mit f (0) = f (1) = 0 und f , f ' beide quadratintegrierbar , gilt :

mit Gleichheit genau dann, wenn f ein Vielfaches von sin(π x ) ist . Hier erscheint π als optimale Konstante in der Wirtinger-Ungleichung, und daraus folgt, dass es die kleinste Wellenzahl ist, unter Verwendung der Variationscharakterisierung des Eigenwertes. Folglich ist π der kleinste Singulärwert des Ableitungsoperators auf dem Funktionsraum auf [0,1] , der an beiden Endpunkten verschwindet (der Sobolev-Raum ).

Ungleichungen

Die antike Stadt Karthago war die Lösung eines isoperimetrischen Problems, laut einer Legende von Lord Kelvin ( Thompson 1894 ): jene Ländereien, die an das Meer grenzen, die Königin Dido auf allen anderen Seiten in ein einziges, in Streifen geschnittenes Ochsenfell einschließen konnte.

Die Zahl π dient in ähnlichen Eigenwertproblemen in der höherdimensionalen Analysis. Wie oben erwähnt , lässt sie sich über ihre Rolle als beste Konstante in der isoperimetrischen Ungleichung charakterisieren : Die von einer ebenen Jordan-Kurve des Umfangs P eingeschlossene Fläche A erfüllt die Ungleichung

und für den Kreis wird eindeutig Gleichheit erreicht, da in diesem Fall A = r 2 und P = 2π r .

Letztlich als Folge der isoperimetrischen Ungleichung erscheint π in der optimalen Konstanten für die kritische Sobolev-Ungleichung in n Dimensionen, was damit auch die Rolle von π in vielen physikalischen Phänomenen, beispielsweise denen der klassischen Potentialtheorie , charakterisiert . In zwei Dimensionen ist die kritische Sobolev-Ungleichung

für f eine glatte Funktion mit kompaktem Träger in R 2 , ist die Steigung von f , und beziehen sich jeweils auf die L 2 und L 1 -Norm . Die Sobolev-Ungleichung entspricht der isoperimetrischen Ungleichung (in jeder Dimension) mit den gleichen besten Konstanten.

Die Wirtinger-Ungleichung verallgemeinert auch auf höherdimensionale Poincaré-Ungleichungen , die die besten Konstanten für die Dirichlet-Energie einer n- dimensionalen Membran liefern . Insbesondere ist π die größte Konstante, so dass

für alle konvexen Teilmengen G von R n des Durchmessers 1 und quadratintegrable Funktionen u auf G des Mittelwerts Null. So wie die Wirtinger-Ungleichung die Variationsform des Dirichlet-Eigenwertproblems in einer Dimension ist, ist die Poincaré-Ungleichung die Variationsform des Neumann- Eigenwertproblems in jeder Dimension.

Fourier-Transformation und Heisenberg-Unschärferelation

Eine Animation einer Geodäte in der Heisenberg-Gruppe , die den engen Zusammenhang zwischen der Heisenberg-Gruppe, der Isoperimetrie und der Konstanten π zeigt . Die kumulative Höhe der Geodäte entspricht der Fläche des schattierten Teils des Einheitskreises, während die Bogenlänge (in der Carnot-Carathéodory-Metrik ) gleich dem Umfang ist.

Die Konstante π erscheint auch als ein kritischer spektraler Parameter in der Fourier - Transformation . Dies ist die Integraltransformation , die eine komplexwertige integrierbare Funktion f auf der reellen Geraden zu der Funktion führt, die definiert ist als:

Obwohl es mehrere unterschiedliche Konventionen für die Fourier-Transformation und ihre Umkehrung gibt, muss jede solche Konvention irgendwo π beinhalten . Das obige ist jedoch die kanonischste Definition, die den eindeutigen unitären Operator auf L 2 angibt, der auch ein algebraischer Homomorphismus von L 1 zu L ∞ ist .

Die Heisenbergsche Unschärferelation enthält auch die Zahl π . Die Unschärferelation gibt eine scharfe untere Grenze dafür, inwieweit es möglich ist, eine Funktion sowohl im Raum als auch in der Frequenz zu lokalisieren: Mit unseren Konventionen für die Fourier-Transformation

Die physikalische Konsequenz über die Unsicherheit bei simultanen Orts- und Impulsbeobachtungen eines quantenmechanischen Systems wird weiter unten diskutiert . Das Erscheinen von π in den Formeln der Fourier-Analyse ist letztlich eine Folge des Stone-von-Neumann-Theorems , das die Einzigartigkeit der Schrödinger-Darstellung der Heisenberg-Gruppe bestätigt .

Gaußsche Integrale

Ein Graph der Gaußschen Funktion ƒ ( x ) = e x 2 . Der farbige Bereich zwischen der Funktion und der x- Achse hat die Fläche π .

Die Bereiche Wahrscheinlichkeit und Statistik verwenden häufig die Normalverteilung als einfaches Modell für komplexe Phänomene; Wissenschaftler gehen beispielsweise davon aus, dass der Beobachtungsfehler in den meisten Experimenten einer Normalverteilung folgt. Die Gaußsche Funktion , die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ , enthält natürlich π :

Der Faktor von macht die Fläche unter dem Graphen von f gleich eins, wie es für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung erforderlich ist. Dies folgt aus einer Änderung der Variablen im Gauß-Integral :

das besagt , dass die Fläche unter der Basis - Glockenkurve in der Figur zu der Quadratwurzel gleich π .

π lässt sich aus der Nullstellenverteilung eines eindimensionalen Wiener-Prozesses berechnen

Der zentrale Grenzwertsatz erklärt die zentrale Rolle von Normalverteilungen und damit von π in Wahrscheinlichkeit und Statistik. Dieser Satz hängt letztlich mit der spektralen Charakterisierung von π als dem Eigenwert des Heisenbergschen Unschärferelationsprinzips und der Tatsache zusammen, dass Gleichheit im Unschärferelationsprinzip nur für die Gaußsche Funktion gilt. In äquivalenter, π ist die eindeutige Konstante , die die Gauß'sche Normalverteilung machen e x 2 gleich seiner eigenen Fourier - Transformation. Tatsächlich reduziert sich nach Howe (1980) die "ganze Sache", die fundamentalen Theoreme der Fourier-Analyse aufzustellen, auf das Gaußsche Integral.

Projektive Geometrie

Sei V die Menge aller zweifach differenzierbaren reellen Funktionen , die die gewöhnliche Differentialgleichung erfüllen . Dann ist V ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit zwei Parametern, die einem Paar von Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung entsprechen. Für any sei das Bewertungsfunktional, das jedem den Wert der Funktion f am reellen Punkt t zuordnet . Dann ist für jedes t der Kern von ein eindimensionaler linearer Unterraum von V . Definiert also eine Funktion von der reellen Linie zur reellen projektiven Linie . Diese Funktion ist periodisch, und die Größe π kann als die Periode dieser Abbildung charakterisiert werden.

Topologie

Vereinheitlichung des Klein-Quartiks , einer Fläche der Gattung 3 und Euler-Charakteristik −4, als Quotient der hyperbolischen Ebene durch die Symmetriegruppe PSL(2,7) der Fano-Ebene . Die hyperbolische Fläche eines Fundamentalbereichs beträgt nach Gauss-Bonnet.

Die Konstante π erscheint in der Gauß-Bonnet-Formel, die die Differentialgeometrie von Oberflächen mit ihrer Topologie in Beziehung setzt . Insbesondere wenn eine kompakte Fläche Σ eine Gauß-Krümmung K hat , dann

wobei χ ( Σ ) die Euler-Charakteristik ist , die eine ganze Zahl ist. Ein Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel S der Krümmung 1 (so dass ihr Krümmungsradius , der mit ihrem Radius zusammenfällt, ebenfalls 1 ist) Die Euler-Charakteristik einer Kugel kann aus ihren Homologiegruppen berechnet werden und lautet gleich zwei. Somit haben wir

Reproduzieren Sie die Formel für die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1.

Die Konstante kommt in vielen anderen Integralformeln in der Topologie vor, insbesondere in solchen, die charakteristische Klassen über den Chern-Weil-Homomorphismus beinhalten .

Vektorrechnung

Die Techniken der Vektorrechnung können in Form von Zerlegungen in sphärische Harmonische verstanden werden (gezeigt)

Die Vektorrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Vektorfeldern befasst und viele physikalische Anwendungen wie Elektrizität und Magnetismus hat . Das Newtonsche Potential für eine Punktquelle Q im Ursprung eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems ist

die die potentielle Energie einer Einheitsmasse (oder Ladung) darstellt, platziert in einer Entfernung von | x | von der Quelle, und k ist eine Dimensionskonstante. Das Feld, hier mit E bezeichnet , das das (Newtonsche) Gravitationsfeld oder das (Coulomb) elektrische Feld sein kann , ist der negative Gradient des Potentials:

Sonderfälle sind das Coulombsche Gesetz und das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation . Gauß'sche Gesetz besagt , dass der nach außen gerichteten Fluß des Feldes durch jede glatte, einfache, geschlossene, orientierbare Fläche S mit dem Ursprung gleich 4 π kQ :

\oiint

Es ist Standard, diesen Faktor von in die Konstante k aufzunehmen , aber dieses Argument zeigt, warum er irgendwo auftauchen muss . Außerdem ist die Oberfläche der Einheitskugel, aber wir haben nicht angenommen, dass S die Kugel ist. Aufgrund des Divergenzsatzes ist jedoch , da der vom Ursprung entfernte Bereich vakuumfrei (quellenfrei) ist, nur die Homologieklasse der Fläche S in R 3 \{0} bei der Berechnung des Integrals von Bedeutung, also ist es kann durch jede geeignete Oberfläche in der gleichen Homologieklasse ersetzt werden, insbesondere eine Kugel, bei der Kugelkoordinaten verwendet werden können, um das Integral zu berechnen.

Eine Folge des Gauss-Gesetzes ist, dass der negative Laplace-Operator des Potentials V gleich kQ mal der Dirac-Deltafunktion ist :

Allgemeinere Verteilungen von Materie (oder Ladung) erhält man daraus durch Faltung , was die Poisson-Gleichung ergibt

wobei ρ die Verteilungsfunktion ist.

Einsteins Gleichung besagt, dass die Krümmung der Raumzeit durch den Materie-Energie-Gehalt erzeugt wird.

Eine analoge Rolle spielt die Konstante π auch bei vierdimensionalen Potentialen in Verbindung mit Einsteins Gleichungen , einer Grundformel, die die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie bildet und die fundamentale Wechselwirkung der Gravitation durch die Krümmung der Raumzeit durch Materie und Energie beschreibt :

wo R μν das ist Ricci Krümmungstensor , R das ist Skalarkrümmung , g μν ist die Metriktensor , Λ ist die kosmologische Konstante , G ist Newtons Gravitationskonstante ist , c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, und T μν das ist Stress- Energie-Tensor . Die linke Seite der Einstein-Gleichung ist ein nichtlineares Analogon des Laplace-Operators des metrischen Tensors und reduziert sich auf den im schwachen Feldgrenzwert, wobei der Term die Rolle eines Lagrange-Multiplikators spielt , und die rechte Seite ist das Analogon der Verteilungsfunktion mal .

Cauchys Integralformel

Komplexe analytische Funktionen lassen sich als Ansammlung von Stromlinien und Äquipotentialen, also rechtwinklig schneidenden Kurvensystemen, visualisieren. Hier ist der komplexe Logarithmus der Gamma-Funktion dargestellt.

Eines der wichtigsten Werkzeuge in komplexer Analyse ist Kontur Integration einer Funktion über eine positiv orientierte ( rectifiable ) Jordan Kurve γ . Eine Form von Cauchys Integralformel besagt, dass wenn ein Punkt z 0 innerhalb von γ liegt , dann

Obwohl die Kurve γ kein Kreis ist und daher keinen offensichtlichen Zusammenhang mit der Konstanten π hat , verwendet ein Standardbeweis dieses Ergebnisses den Satz von Morera , der impliziert, dass das Integral unter Homotopie der Kurve invariant ist , so dass es zu einem Kreis verformt und dann explizit in Polarkoordinaten integriert. Allgemeiner gesagt ist es richtig, dass, wenn eine gleichrichtbare geschlossene Kurve γ kein z 0 enthält , das obige Integral i mal die Windungszahl der Kurve ist.

Die allgemeine Form der Integralformel von Cauchy stellt die Beziehung zwischen den Werten einer komplexen analytischen Funktion f ( z ) auf der Jordan-Kurve γ und dem Wert von f ( z ) an einem beliebigen inneren Punkt z 0 von γ her :

vorgesehen f ( z ) analytisch in dem von einem geschlossenen Bereich γ und erstreckt sich kontinuierlich um & gamma . Cauchys Integralformel ist ein Spezialfall des Residuensatzes , dass wenn g ( z ) eine meromorphe Funktion ist, der von γ eingeschlossene Bereich stetig in einer Umgebung von γ ist , dann

wobei die Summe der Reste an den Polen von g ( z ) ist .

Die Gammafunktion und die Stirling-Approximation

Die Hopf-Fibration der 3-Sphäre nach Villarceau-Kreisen über der komplexen projektiven Linie mit ihrer Fubini-Study-Metrik (drei Parallelen sind gezeigt). Die Identität S 3 (1)/ S 2 (1) = π/2 ist eine Konsequenz .

Die Fakultätsfunktion n ! ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n . Die Gamma-Funktion erweitert das Konzept der Fakultät (normalerweise nur für nicht-negative ganze Zahlen definiert) auf alle komplexen Zahlen, mit Ausnahme der negativen reellen ganzen Zahlen. Wenn die Gammafunktion mit halben ganzen Zahlen ausgewertet wird, enthält das Ergebnis π ; zum Beispiel und .

Die Gammafunktion wird durch die Weierstrass-Produktentwicklung definiert :

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist . Ausgewertet bei z = 1/2 und quadriert reduziert sich die Gleichung Γ(1/2) 2 = π auf die Wallis-Produktformel. Die Gammafunktion ist auch mit der Riemannschen Zetafunktion und Identitäten für die funktionale Determinante verbunden , bei der die Konstante π eine wichtige Rolle spielt .

Die Gamma-Funktion wird verwendet, um das Volumen V n ( r ) der n- dimensionalen Kugel mit dem Radius r im euklidischen n- dimensionalen Raum und die Oberfläche S n −1 ( r ) ihres Randes, die ( n −1 )-dimensionale Kugel :

Weiterhin folgt aus der Funktionalgleichung, dass

Mit der Gamma-Funktion lässt sich eine einfache Näherung an die Fakultätsfunktion n erstellen ! für großes n : was als Stirling-Approximation bekannt ist . Äquivalent,

Als geometrische Anwendung Stirlingsche Näherung lassen Δ n den bezeichnet Standard simplex in n - dimensionalen euklidischen Raum, und ( n  + 1) Δ n um einen Faktor bezeichnen all seine Seiten der simplex skalierter up mit n  + 1 . Dann

Ehrharts Volumenvermutung ist, dass dies die (optimale) obere Schranke des Volumens eines konvexen Körpers ist , der nur einen Gitterpunkt enthält .

Zahlentheorie und Riemannsche Zetafunktion

Jede Primzahl hat eine zugeordnete Prüfer-Gruppe , die arithmetische Lokalisierungen des Kreises sind. Auch die L-Funktionen der analytischen Zahlentheorie sind in jeder Primzahl p lokalisiert .
Lösung des Basler Problems mit der Weil-Vermutung : Der Wert von ζ (2) ist die hyperbolische Fläche eines Fundamentalbereichs der modularen Gruppe , mal π /2 .

Die Riemannsche Zetafunktion ζ ( s ) wird in vielen Bereichen der Mathematik verwendet. Bei Auswertung bei s = 2 kann es geschrieben werden als

Eine einfache Lösung für diese unendliche Reihe zu finden war ein berühmtes Problem in der Mathematik, das als Basler Problem bezeichnet wird . Leonhard Euler löste es 1735, als er zeigte, dass es gleich π 2 /6 war . Das Ergebnis von Euler führt zu dem Ergebnis der Zahlentheorie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zufallszahlen relativ prim sind (dh keine gemeinsamen Faktoren haben), gleich 6/π 2 ist . Diese Wahrscheinlichkeit basiert auf der Beobachtung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass jede Zahl durch eine Primzahl p teilbar ist, 1/ p ist (zum Beispiel ist jede 7. ganze Zahl durch 7 teilbar). Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen beide durch diese Primzahl teilbar sind, 1 / p 2 , und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von ihnen nicht ist, beträgt 1 − 1/ p 2 . Für verschiedene Primzahlen sind diese Teilbarkeitsereignisse voneinander unabhängig; die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen relativ prim sind, ist also durch ein Produkt über alle Primzahlen gegeben:

Diese Wahrscheinlichkeit kann mit einem in Verbindung verwendet wird Zufallszahlengenerator zur Annäherung π einen Monte - Carlo - Ansatz.

Die Lösung des Basler Problems impliziert, dass die geometrisch abgeleitete Größe π tief mit der Verteilung der Primzahlen verbunden ist. Dies ist ein Spezialfall von Weils Vermutung über Tamagawa-Zahlen , die die Gleichheit ähnlicher unendlicher Produkte von arithmetischen Größen, lokalisiert bei jeder Primzahl p , und einer geometrischen Größe behauptet : dem Kehrwert des Volumens eines bestimmten lokal symmetrischen Raums . Beim Basler Problem handelt es sich um die hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit SL 2 ( R ) / SL 2 ( Z ) .

Die Zeta-Funktion erfüllt auch die Riemannsche Funktionalgleichung, die sowohl π als auch die Gamma-Funktion beinhaltet:

Weiterhin erfüllt die Ableitung der Zetafunktion

Daraus folgt, dass π aus der funktionalen Determinante des harmonischen Oszillators erhalten werden kann . Diese funktionale Determinante kann über eine Produktentwicklung berechnet werden und entspricht der Wallis-Produktformel. Die Rechnung lässt sich in der Quantenmechanik umformulieren , insbesondere im Variationsansatz des Spektrums des Wasserstoffatoms .

die Fourierreihe

π erscheint in Zeichen p-adischer Zahlen (dargestellt), die Elemente einer Prüfer-Gruppe sind . Tates Dissertation macht von dieser Maschinerie viel Gebrauch.

Die Konstante π erscheint auch natürlich in Fourier - Reihe von periodischen Funktionen . Periodische Funktionen sind Funktionen auf der Gruppe T = R / Z von Bruchteilen reeller Zahlen. Die Fourier-Zerlegung zeigt, dass eine komplexwertige Funktion f auf T als unendliche lineare Superposition von unitären Zeichen von T geschrieben werden kann . Das heißt, kontinuierliche Gruppenhomomorphismen von T bis zur Kreisgruppe U (1) von komplexen Einheitsmodulzahlen. Es ist ein Satz, dass jedes Zeichen von T eine der komplexen Exponentialfunktionen ist .

Es gibt einen eindeutigen Charakter auf T , bis hin zur komplexen Konjugation, das ist ein Gruppenisomorphismus. Mit dem Haar-Maß auf der Kreisgruppe ist die Konstante π halb so groß wie die Radon-Nikodym-Ableitung dieses Zeichens. Die anderen Zeichen haben Ableitungen, deren Beträge positive ganzzahlige Vielfache von 2 π sind . Folglich ist die Konstante π die eindeutige Zahl, so dass die Gruppe T , ausgestattet mit ihrem Haar-Maß, Pontrjagin dual zum Gitter ganzzahliger Vielfacher von 2 π ist . Dies ist eine Version der eindimensionalen Poisson-Summenformel .

Modulare Formen und Theta-Funktionen

Theta-Funktionen transformieren unter dem Gitter der Perioden einer elliptischen Kurve.

Die Konstante π ist eng mit der Theorie der Modulformen und Thetafunktionen verbunden . Zum Beispiel beinhaltet der Chudnovsky-Algorithmus im Wesentlichen die j-Invariante einer elliptischen Kurve .

Modulare Formen sind holomorphe Funktionen in der oberen Halbebene, die durch ihre Transformationseigenschaften unter der modularen Gruppe (oder ihren verschiedenen Untergruppen), einem Gitter in der Gruppe, gekennzeichnet sind . Ein Beispiel ist die Jacobi-Theta-Funktion

Dies ist eine Art modulares Formular, das Jacobi-Form genannt wird . Dies wird manchmal in Bezug auf die schriftlichen nome .

Die Konstante π ist die eindeutige Konstante, die die Jacobi-Theta-Funktion zu einer automorphen Form macht , was bedeutet, dass sie sich auf eine bestimmte Weise transformiert. Bestimmte Identitäten gelten für alle automorphen Formen. Ein Beispiel ist

was impliziert, dass sich θ als Darstellung unter der diskreten Heisenberg-Gruppe transformiert . Allgemeine modulare Formen und andere Thetafunktionen beinhalten auch π , wiederum wegen des Stone-von-Neumann-Theorems .

Cauchy-Verteilung und Potentialtheorie

Die Hexe von Agnesi , benannt nach Maria Agnesi (1718–1799), ist eine geometrische Konstruktion des Graphen der Cauchy-Verteilung.

Die Cauchy-Verteilung

ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion . Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist wegen des Integrals gleich eins:

Die Shannon-Entropie der Cauchy-Verteilung ist gleich ln(4π) , was auch π beinhaltet .

Die Cauchy-Verteilung bestimmt den Durchgang von Brownschen Teilchen durch eine Membran.

Die Cauchy-Verteilung spielt in der Potentialtheorie eine wichtige Rolle , da sie das einfachste Furstenberg-Maß ist , der klassische Poisson-Kernel , der mit einer Brownschen Bewegung in einer Halbebene verbunden ist. Konjugierte harmonische Funktionen und damit auch die Hilbert-Transformation sind mit der Asymptotik des Poisson-Kerns verbunden. Die Hilbert-Transformation H ist die durch den Cauchy-Hauptwert des singulären Integrals gegebene Integraltransformation

Die Konstante π ist der eindeutige (positive) Normierungsfaktor, so dass H eine lineare komplexe Struktur auf dem Hilbertraum quadratintegrierbarer reellwertiger Funktionen auf der reellen Geraden definiert. Die Hilbert-Transformation kann wie die Fourier-Transformation rein durch ihre Transformationseigenschaften auf dem Hilbert-Raum L 2 ( R ) charakterisiert werden : Bis auf einen Normierungsfaktor ist es der eindeutige beschränkte lineare Operator, der mit positiven Dilatationen und Anti- kommutiert mit allen Spiegelungen der reellen Linie. Die Konstante π ist der einzigartige Normierungsfaktor, der diese Transformation einheitliches macht.

Komplexe Dynamik

Eine komplexe schwarze Form auf blauem Grund.
π kann aus der Mandelbrot-Menge berechnet werden , indem die Anzahl der Iterationen gezählt wird, die erforderlich sind, bevor Punkt (−0.75, ε ) divergiert.

Ein Vorkommen von π im Fraktal der Mandelbrot-Menge wurde 1991 von David Boll entdeckt. Er untersuchte das Verhalten der Mandelbrot-Menge in der Nähe des "Hals" bei (−0.75, 0) . Wenn die Punkte mit den Koordinaten (-0.75, ε ) in Betracht gezogen werden, wie ε auf Null geht, multipliziert mit der Anzahl der Iterationen , bis Divergenz für den Punkt durch ε konvergiert zu π . Der Punkt (0,25 + ε , 0) an der Spitze des großen „Tales“ auf der rechten Seite der Mandelbrot - Menge verhält sich ähnlich: die Anzahl der Iterationen , bis Divergenz durch die Quadratwurzel von multipliziert ε zu neigt & pgr .

Außerhalb der Mathematik

Physikalische Phänomene beschreiben

Obwohl es nicht eine physikalische Konstante , π erscheint regelmäßig in den Gleichungen beschreiben grundlegenden Prinzipien des Universums, oft wegen der π ‚s Beziehung zu dem Kreis und zu sphärischen Koordinatensysteme . Eine einfache Formel aus dem Gebiet der klassischen Mechanik gibt die ungefähre Periode T eines einfachen Pendels der Länge L an , das mit einer kleinen Amplitude schwingt ( g ist die Erdbeschleunigung ):

Eine der Schlüsselformeln der Quantenmechanik ist die Unschärferelation von Heisenberg , die zeigt, dass die Unsicherheit bei der Messung von Ort (Δ x ) und Impulsp ) eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig klein sein kann (wobei h die Plancksche Konstante ist ):

Die Tatsache, dass π ungefähr gleich 3 ist, spielt eine Rolle für die relativ lange Lebensdauer von Orthopositronium . Die inverse Lebensdauer nach niedrigster Ordnung in der Feinstrukturkonstanten α ist

wobei m die Masse des Elektrons ist.

π ist in einigen bautechnischen Formeln, wie beispielsweise die Knickformel von Euler abgeleitet, die die maximale axiale Last ergibt F , die eine lange, schlanke Säule mit einer Länge L , Elastizitätsmodul E und Flächenträgheitsmoment I ohne Knicken tragen können :

Das Gebiet der Fluiddynamik enthält π im Stokes'schen Gesetz , das die Reibungskraft F annähert, die auf kleine, kugelförmige Objekte des Radius R ausgeübt wird , die sich mit der Geschwindigkeit v in einer Flüssigkeit mit dynamischer Viskosität η bewegen :

In Elektromagnetismus, die Vakuumdurchlässigkeit konstant & mgr; 0 erscheint in den Maxwell-Gleichungen , die die Eigenschaften von beschreiben elektrischen und magnetischen Feldern und elektromagnetischer Strahlung . Vor dem 20. Mai 2019 wurde es als genau definiert

Eine Beziehung für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c kann aus dem Maxwellschen Gleichungen in dem Medium abgeleitet wird klassischen Vakuum unter Verwendung eine Beziehung zwischen μ 0 und dem elektrischen Konstante (Dielektrizitätskonstante Vakuum) , ε 0 in SI - Einheiten:

Unter idealen Bedingungen (gleichmäßiges leichtes Gefälle auf einem homogen erodierbaren Substrat) nähert sich die Windung eines mäandernden Flusses π . Die Sinuosität ist das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Länge und der geradlinigen Entfernung von der Quelle zur Mündung. Schnellere Strömungen an den Außenkanten von Flussbiegungen verursachen mehr Erosion als an den Innenkanten, wodurch die Biegungen noch weiter nach außen gedrückt werden und die Gesamtschleife des Flusses erhöht wird. Jedoch bewirkt , dass Schleifenförmigkeit schließlich den Fluss doppelt auf sich selbst zurück in Orten und „Kurzschluss“, eine Schaffung von ox-Bogen See in den Prozess. Die Balance zwischen diesen beiden gegensätzlichen Faktoren führt zu einem durchschnittlichen Verhältnis von π zwischen der tatsächlichen Länge und der direkten Entfernung zwischen Quelle und Mündung.

Merken von Ziffern

Piphilologie ist die Praxis des Auswendiglernens einer großen Anzahl von Ziffern von π , und Weltrekorde werden von den Guinness World Records geführt . Der Rekord für das Auswendiglernen von Ziffern von π , zertifiziert von Guinness World Records, beträgt 70.000 Ziffern, rezitiert in Indien von Rajveer Meena in 9 Stunden und 27 Minuten am 21. März 2015. Im Jahr 2006 behauptete Akira Haraguchi , ein pensionierter japanischer Ingenieur, rezitiert zu haben 100.000 Dezimalstellen, aber die Behauptung wurde von Guinness World Records nicht bestätigt.

Eine übliche Technik besteht darin, eine Geschichte oder ein Gedicht auswendig zu lernen, in denen die Wortlängen die Ziffern von π darstellen : Das erste Wort hat drei Buchstaben, das zweite Wort hat einen, das dritte hat vier, das vierte hat einen, das fünfte hat fünf und demnächst. Solche Merkhilfen nennt man Mnemonik . Ein frühes Beispiel für eine Mnemonik für Pi, die ursprünglich vom englischen Wissenschaftler James Jeans entwickelt wurde , ist "Wie ich nach den schweren Vorlesungen über Quantenmechanik einen Drink möchte, natürlich alkoholisch." Wenn ein Gedicht verwendet wird, wird es manchmal als Piem bezeichnet . Gedichte zum Auswendiglernen von π wurden neben Englisch in mehreren Sprachen verfasst. Rekordhalter π verlassen sich normalerweise nicht auf Gedichte, sondern verwenden stattdessen Methoden wie das Erinnern von Zahlenmustern und die Methode der Loci .

Einige Autoren haben die Ziffern der verwendeten π eine neue Form zu schaffen gezwungen Schreiben , in dem die Wortlängen erforderlich sind , um die Ziffern zu repräsentieren π . Die Cadaeic Cadenza enthält auf diese Weise die ersten 3835 Ziffern von π , und das Buch Not a Wake in voller Länge enthält 10.000 Wörter, von denen jedes eine Ziffer von π repräsentiert .

In der Populärkultur

Pi Pie an der Universität Delft
Ein Pi-Kuchen. Pies sind kreisförmig und "pie" und π sind Homophone , was Pie zu einem häufigen Thema von Pi- Wortspielen macht .

Vielleicht wegen der Einfachheit seiner Definition und seiner allgegenwärtigen Präsenz in Formeln wurde π in der Populärkultur mehr repräsentiert als andere mathematische Konstrukte.

In der 2008 auf BBC Four ausgestrahlten Dokumentarfilm-Koproduktion The Story of Maths von Open University und BBC zeigt der britische Mathematiker Marcus du Sautoy eine Visualisierung der – historisch ersten exakten – Formel zur Berechnung von π bei einem Besuch in Indien und der Erkundung seiner Beiträge zur Trigonometrie.

Im Palais de la Découverte (einem Wissenschaftsmuseum in Paris) befindet sich ein runder Raum, der als Pi-Raum bekannt ist . An seiner Wand sind 707 Ziffern von π eingraviert . Die Ziffern sind große Holzzeichen, die an der kuppelartigen Decke befestigt sind. Die Ziffern basierten auf einer Berechnung des englischen Mathematikers William Shanks aus dem Jahr 1874 , die einen Fehler ab der 528. Ziffer enthielt. Der Fehler wurde 1946 entdeckt und 1949 behoben.

In Carl Sagans Roman Contact wird vermutet, dass der Schöpfer des Universums eine Botschaft tief in den Ziffern von π vergraben hat . Die Ziffern von π wurden auch in den Text des Songs "Pi" aus dem Album Aerial von Kate Bush eingearbeitet .

In der Star Trek- Episode Wolf in the Fold wird ein außer Kontrolle geratener Computer eingedämmt, indem er angewiesen wird, "den Wert von π bis zur letzten Ziffer zu berechnen ", obwohl " π eine transzendente Figur ohne Auflösung ist".

In den Vereinigten Staaten fällt der Pi Day auf den 14. März (geschrieben am 14. März im US-Stil) und ist bei Studenten beliebt. π und seine digitale Darstellung werden oft von selbsternannten "Mathe- Freaks " für Insider-Witze unter mathematisch und technisch interessierten Gruppen verwendet. Mehrere College- Jubel am Massachusetts Institute of Technology beinhalten "3.14159". Der Pi-Tag im Jahr 2015 war besonders wichtig, da das Datum und die Uhrzeit 14.03.15, 9:26:53 Uhr viele weitere Stellen von pi widerspiegelten. In Teilen der Welt, in denen Datumsangaben üblicherweise im Format Tag/Monat/Jahr notiert werden, entspricht der 22. Juli dem „Pi-Approximationstag“ als 22/7 = 3,142857.

Während der Auktion 2011 für das Portfolio wertvoller Technologiepatente von Nortel hat Google eine Reihe ungewöhnlich spezifischer Gebote abgegeben, die auf mathematischen und wissenschaftlichen Konstanten basieren, darunter π .

1958 schlug Albert Eagle vor , π durch τ ( tau ) zu ersetzen , wobei τ = π /2 , um die Formeln zu vereinfachen. Es ist jedoch kein anderer Autor bekannt, τ auf diese Weise zu verwenden. Einige Leute verwenden einen anderen Wert, τ = 2 π = 6.28318... , und argumentieren, dass τ als die Anzahl der Bogenmaße in einer Umdrehung oder als das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Radius statt seines Durchmessers natürlicher ist als π und vereinfacht viele Formeln. Über Feiern dieser Zahl, weil sie ungefähr 6,28 entspricht, indem man den 28. Juni zum "Tau-Tag" machte und "das Doppelte der Torte" aß, wurde in den Medien berichtet. Diese Verwendung von τ hat jedoch keinen Weg in die Mainstream-Mathematik gefunden. Tau wurde der Programmiersprache Python (als math.tau) in Version 3.6 hinzugefügt

Im Jahr 1897 versuchte ein Amateur-Mathematiker, die Legislative von Indiana davon zu überzeugen , die Indiana Pi Bill zu verabschieden , die eine Methode zur Quadratur des Kreises beschrieb und Text enthielt, der verschiedene falsche Werte für π implizierte , einschließlich 3,2. Der Gesetzentwurf ist berüchtigt als Versuch, einen Wert der wissenschaftlichen Konstante durch gesetzgeberische Vorgaben festzulegen. Der Gesetzentwurf wurde vom Repräsentantenhaus von Indiana verabschiedet, aber vom Senat abgelehnt, was bedeutet, dass er kein Gesetz wurde.

In der Computerkultur

In der heutigen Internetkultur huldigen Einzelpersonen und Organisationen häufig der Zahl π . So ließ etwa der Informatiker Donald Knuth die Versionsnummern seines Programms TeX herankommen π . Die Versionen sind 3, 3.1, 3.14 usw.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

Zitate

Quellen

Weiterlesen

Externe Links