Poincaré-Vermutung - Poincaré conjecture

Poincaré-Vermutung
P1S2all.jpg
Eine kompakte 2-dimensionale Fläche ohne Rand ist topologisch homöomorph zu einer 2-Kugel, wenn jede Schleife stetig zu einem Punkt zusammengezogen werden kann. Die Poincaré-Vermutung behauptet, dass das gleiche für dreidimensionale Räume gilt.
Gebiet Geometrische Topologie
Vermutet von Henri Poincaré
Vermutet in 1904
Erster Beweis von Grigori Perelman
Erster Beweis in 2002
Behauptet von
Gleichwertig
Verallgemeinerungen Verallgemeinerte Poincaré-Vermutung

In der Mathematik , die Poincaré Vermutung ( UK : / p w æ k aer / , US : / ˌ p w æ k ɑː r / , Französisch:  [pwɛkaʁe] ) ist ein Satz von über die Charakterisierung der 3-sphere , das ist die Hypersphäre , die die Einheitskugel im vierdimensionalen Raum begrenzt.

Die Vermutung besagt:

Jede einfach zusammenhängende , abgeschlossene 3- Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre .

Eine äquivalente Form der Vermutung beinhaltet eine gröbere Form der Äquivalenz als der Homöomorphismus, die Homotopieäquivalenz genannt wird : Wenn eine 3-Mannigfaltigkeit der 3-Sphäre homotopieäquivalent ist , dann ist sie notwendigerweise homöomorph zu ihr.

Ursprünglich von Henri Poincaré vermutet , betrifft das Theorem einen Raum, der lokal wie ein gewöhnlicher dreidimensionaler Raum aussieht, aber zusammenhängend, endlich in der Größe und ohne jegliche Grenze (eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ). Die Poincaré-Vermutung behauptet, dass, wenn ein solcher Raum die zusätzliche Eigenschaft hat, dass jede Schleife im Raum kontinuierlich zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, es notwendigerweise eine dreidimensionale Kugel ist. Die analogen Vermutungen für alle höheren Dimensionen wurden bewiesen, bevor ein Beweis der ursprünglichen Vermutung gefunden wurde.

Nach fast einem Jahrhundert der Bemühungen von Mathematikern präsentierte Grigori Perelman einen Beweis für die Vermutung in drei Papieren, die 2002 und 2003 auf arXiv veröffentlicht wurden . Der Beweis baute auf dem Programm von Richard S. Hamilton auf, den Ricci-Fluss zu verwenden, um zu versuchen, das Problem zu lösen. Hamilton führte später eine Modifikation des Standard-Ricci-Flusses ein, genannt Ricci-Fluss mit Chirurgie , um singuläre Regionen während ihrer Entwicklung systematisch und kontrolliert herauszuschneiden, konnte jedoch nicht beweisen, dass diese Methode in drei Dimensionen "konvergiert" war. Perelman vervollständigte diesen Teil des Beweises. Mehrere Teams von Mathematikern bestätigten, dass Perelmans Beweis richtig war.

Die Poincaré-Vermutung war, bevor sie bewiesen wurde, eine der wichtigsten offenen Fragen in der Topologie . Im Jahr 2000 wurde es zu einem der sieben Millennium Prize Probleme ernannt , für die das Clay Mathematics Institute einen Preis von 1 Million US-Dollar für die erste richtige Lösung aussprach. Perelmans Arbeit überlebte die Überprüfung und wurde 2006 bestätigt, was dazu führte, dass ihm eine Fields-Medaille angeboten wurde , die er jedoch ablehnte. Perelman wurde am 18. März 2010 mit dem Millennium-Preis ausgezeichnet. Am 1. Juli 2010 lehnte er den Preis ab und sagte, er glaube, sein Beitrag zum Beweis der Poincaré-Vermutung sei nicht größer als der von Hamilton. Mit Stand vom 17. Oktober 2021 ist die Poincaré-Vermutung das einzige gelöste Millennium-Problem.

Am 22. Dezember 2006 ehrte die Zeitschrift Science Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung zum wissenschaftlichen „ Durchbruch des Jahres “, erstmals wurde diese Ehrung im Bereich der Mathematik verliehen.

Geschichte

Keine der beiden farbigen Schlaufen an diesem Torus lässt sich durchgehend bis zu einem gewissen Punkt festziehen. Ein Torus ist nicht homöomorph zu einer Kugel.

Poincarés Frage

Henri Poincaré arbeitete an den Grundlagen der Topologie – was später als kombinatorische Topologie und dann als algebraische Topologie bezeichnet wurde . Ihn interessierte insbesondere, welche topologischen Eigenschaften eine Kugel charakterisieren .

Poincaré behauptete 1900 , dass Homologie , ein Werkzeug , das er basierend auf früheren Arbeiten von Enrico Betti entwickelt hatte , ausreicht , um zu sagen , ob eine 3-Mannigfaltigkeit eine 3-Sphäre ist . In einem Artikel von 1904 beschrieb er jedoch ein Gegenbeispiel zu dieser Behauptung, einen Raum, der heute als Poincaré-Homologiesphäre bezeichnet wird . Die Poincaré-Kugel war das erste Beispiel einer Homologiekugel , einer Mannigfaltigkeit, die die gleiche Homologie wie eine Kugel hatte, von der inzwischen viele andere konstruiert wurden. Um festzustellen, dass sich die Poincaré-Sphäre von der 3-Sphäre unterscheidet, führte Poincaré eine neue topologische Invariante , die Fundamentalgruppe , ein und zeigte, dass die Poincaré-Sphäre eine Fundamentalgruppe der Ordnung 120 hatte, während die 3-Sphäre eine triviale Fundamentalgruppe hatte. Daraus konnte er schließen, dass diese beiden Räume tatsächlich verschieden waren.

In derselben Arbeit fragte sich Poincaré, ob eine 3-Mannigfaltigkeit mit der Homologie einer 3-Sphäre und auch einer trivialen Fundamentalgruppe eine 3-Sphäre sein müsse. Poincarés neue Bedingung – dh „triviale Fundamentalgruppe“ – kann wie folgt formuliert werden: „Jede Schleife kann auf einen Punkt verkleinert werden“.

Die ursprüngliche Formulierung lautete wie folgt:

Betrachten Sie eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit V ohne Rand. Ist es möglich, dass die Fundamentalgruppe von V trivial ist, obwohl V nicht homöomorph zur 3-dimensionalen Sphäre ist?

Poincaré hat nie erklärt, ob er glaubte, dass diese zusätzliche Bedingung die 3-Sphäre charakterisieren würde, aber dennoch ist die Aussage, die dies tut, als Poincaré-Vermutung bekannt. Hier ist die Standardform der Vermutung:

Jede einfach zusammenhängende , abgeschlossene 3- Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre.

Beachten Sie, dass "abgeschlossen" hier, wie auf diesem Gebiet üblich, die Bedingung der Kompaktheit in Bezug auf die Mengentopologie und auch ohne Rand bedeutet (3-dimensionaler euklidischer Raum ist ein Beispiel für eine einfach zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zur 3 . ist -Sphäre; aber sie ist nicht kompakt und daher kein Gegenbeispiel).

Lösungen

Dieses Problem schien zu schlummern, bis JHC Whitehead das Interesse an der Vermutung wiederbelebte, als er in den 1930er Jahren zuerst einen Beweis forderte und ihn dann zurückzog. Dabei entdeckte er einige Beispiele einfach zusammenhängender (tatsächlich kontrahierbarer, dh homotopisch äquivalent zu einem Punkt) nicht kompakter 3-Mannigfaltigkeiten, die nicht zu homöomorph sind , deren Prototyp heute als Whitehead-Mannigfaltigkeit bezeichnet wird .

In den 1950er und 1960er Jahren versuchten andere Mathematiker, die Vermutung zu beweisen, nur um festzustellen, dass sie Fehler enthielten. Einflussreiche Mathematiker wie Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise und Christos Papakyriakopoulos versuchten, die Vermutung zu beweisen. 1958 bewies Bing eine schwache Version der Poincaré-Vermutung: Wenn jede einfache geschlossene Kurve einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit in einer 3-Kugel enthalten ist, dann ist die Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre. Bing beschrieb auch einige der Fallstricke beim Versuch, die Poincaré-Vermutung zu beweisen.

Włodzimierz Jakobsche zeigte 1978, dass, wenn die Bing-Borsuk-Vermutung in Dimension 3 wahr ist, auch die Poincaré-Vermutung wahr sein muss.

Im Laufe der Zeit erlangte die Vermutung den Ruf, besonders knifflig zu sein. John Milnor kommentierte, dass die Fehler in falschen Beweisen manchmal "ziemlich subtil und schwer zu erkennen" sein können. Die Arbeit an der Vermutung verbesserte das Verständnis von 3-Mannigfaltigkeiten. Experten auf diesem Gebiet zögerten oft, Beweise zu verkünden, und neigten dazu, solche Ankündigungen mit Skepsis zu betrachten. In den 1980er und 1990er Jahren gab es einige gut publizierte irreführende Beweise (die nicht tatsächlich in Peer-Review- Form veröffentlicht wurden).

Eine Darstellung der Versuche, diese Vermutung zu beweisen, findet sich in dem nichttechnischen Buch Poincaré's Prize von George Szpiro .

Maße

Die Klassifikation geschlossener Oberflächen beantwortet die analoge Frage in zwei Dimensionen bejahend. Für Dimensionen größer als drei kann man die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung aufstellen : Ist eine Homotopie- n- Sphäre homöomorph zur n- Sphäre? Eine stärkere Annahme ist erforderlich; in Dimensionen vier und höher gibt es einfach zusammenhängende, geschlossene Mannigfaltigkeiten, die nicht homotopieäquivalent zu einer n- Kugel sind.

Während die Vermutung in Dimension drei in der Vergangenheit plausibel erschien, wurde die verallgemeinerte Vermutung für falsch gehalten. 1961 schockierte Stephen Smale die Mathematiker, indem er die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung für Dimensionen größer als vier bewies und erweiterte seine Techniken, um den fundamentalen Satz des h-Kobordismus zu beweisen . 1982 bewies Michael Freedman die Poincaré-Vermutung in vier Dimensionen. Freedmans Arbeit ließ die Möglichkeit offen, dass es eine glatte Viermannigfaltigkeit zur Vierersphäre gibt, die zur Vierersphäre nicht diffeomorph ist. Diese sogenannte glatte Poincaré-Vermutung in Dimension vier bleibt offen und gilt als sehr schwierig. Milnor ‚s exotische Sphären zeigen , dass die glatte Poincaré - Vermutung in Dimension sieben, zum Beispiel falsch ist.

Diese früheren Erfolge in höheren Dimensionen ließen den Fall der drei Dimensionen in der Schwebe. Die Poincaré-Vermutung war im Wesentlichen sowohl in der vierten Dimension als auch in allen höheren Dimensionen aus wesentlich unterschiedlichen Gründen wahr. In der dritten Dimension hatte die Vermutung einen unsicheren Ruf, bis die Geometrisierungsvermutung sie in einen Rahmen einfügte, der alle 3-Mannigfaltigkeiten regelte. John Morgan schrieb:

Ich bin der Ansicht, dass vor Thurstons Arbeit über hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten und . . . der Geometrisierungsvermutung gab es unter den Experten keinen Konsens darüber, ob die Poincaré-Vermutung wahr oder falsch war. Nach Thurstons Arbeit, ungeachtet der Tatsache, dass sie keinen direkten Einfluss auf die Poincaré-Vermutung hatte, entwickelte sich ein Konsens, dass die Poincaré-Vermutung (und die Geometrisierungs-Vermutung) wahr waren.

Hamiltons Programm und Lösung

Mehrere Stufen des Ricci-Flusses auf einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit

Hamiltons Programm wurde in seiner 1982 erschienenen Arbeit begonnen, in der er den Ricci-Fluss auf einer Mannigfaltigkeit einführte und zeigte, wie man ihn verwendet, um einige Spezialfälle der Poincaré-Vermutung zu beweisen. In den folgenden Jahren erweiterte er diese Arbeit, konnte die Vermutung jedoch nicht beweisen. Die eigentliche Lösung wurde erst gefunden, als Grigori Perelman seine Arbeiten veröffentlichte.

Ende 2002 und 2003 veröffentlichte Perelman drei Artikel über das arXiv . In diesen Papieren skizzierte er einen Beweis der Poincaré-Vermutung und eine allgemeinere Vermutung, Thurstons Geometrisierungsvermutung , die das zuvor von Richard S. Hamilton skizzierte Ricci-Fluss-Programm vervollständigte .

Von Mai bis Juli 2006 präsentierten mehrere Gruppen Papiere, die die Details von Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung wie folgt ergänzten:

  • Bruce Kleiner und John W. Lott veröffentlichten im Mai 2006 einen Artikel auf dem arXiv, der die Details von Perelmans Beweis der Geometrisierungsvermutung nach seit 2003 öffentlich zugänglichen Teilversionen ausführte. Ihr Manuskript wurde in der Zeitschrift "Geometry and Topologie" im Jahr 2008. In den Jahren 2011 und 2013 wurden einige wenige Korrekturen vorgenommen; zum Beispiel verwendete die erste Version ihres veröffentlichten Papiers eine falsche Version von Hamiltons Kompaktheitssatz für Ricci-Fluss.
  • Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu veröffentlichten in der Juni-Ausgabe 2006 des Asian Journal of Mathematics einen Artikel mit einer Darstellung des vollständigen Beweises der Poincaré- und Geometrisierungsvermutungen. Im einleitenden Absatz ihres Papiers heißt es:

In diesem Beitrag werden wir die Hamilton-Perelman-Theorie der Ricci-Strömung vorstellen. Darauf aufbauend geben wir die erste schriftliche Darstellung eines vollständigen Beweises der Poincaré-Vermutung und der Geometrisierungsvermutung von Thurston. Während die gesamte Arbeit eine akkumulierte Anstrengung vieler geometrischer Analytiker ist, sind die wichtigsten Mitwirkenden zweifellos Hamilton und Perelman.

Einige Beobachter interpretierten Cao und Zhu als Anerkennung für Perelmans Arbeit. Später veröffentlichten sie eine überarbeitete Version mit neuem Wortlaut auf dem arXiv. Darüber hinaus war eine Seite ihrer Exposition im Wesentlichen identisch mit einer Seite in einem der frühen öffentlich zugänglichen Entwürfe von Kleiner und Lott; dies wurde auch in der überarbeiteten Fassung geändert, zusammen mit einer Entschuldigung durch die Redaktion der Zeitschrift.
  • John Morgan und Gang Tian veröffentlichten im Juli 2006 einen Artikel über das arXiv, der einen detaillierten Beweis nur für die Poincaré-Vermutung lieferte (die etwas einfacher ist als die vollständige Geometrisierungsvermutung) und dies zu einem Buch erweiterten. Im Jahr 2015 wies Abbas Bahri darauf hin, dass die Seiten 441-445 der Darstellung von Morgan und Tian falsch waren. Der Fehler wurde später von Morgan und Tian behoben.

Alle drei Gruppen stellten fest, dass die Lücken in Perelmans Papieren gering waren und mit seinen eigenen Techniken geschlossen werden konnten.

Am 22. August 2006 verlieh das ICM Perelman die Fields-Medaille für seine Arbeit an der Vermutung, aber Perelman lehnte die Medaille ab. John Morgan sprach am 24. August 2006 im ICM über die Poincaré-Vermutung und erklärte, dass "Perelman 2003 die Poincaré-Vermutung gelöst hat".

Im Dezember 2006 ehrte die Zeitschrift Science den Beweis der Poincaré-Vermutung als Durchbruch des Jahres und veröffentlichte ihn auf ihrem Cover.

Ricci Flow mit Operation

Hamiltons Programm zum Beweis der Poincaré-Vermutung beinhaltet zunächst das Anlegen einer Riemannschen Metrik auf die unbekannte einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit. Die Grundidee besteht darin, zu versuchen, diese Metrik zu "verbessern". Wenn beispielsweise die Metrik so verbessert werden kann, dass sie eine konstante positive Krümmung hat, dann muss es nach klassischen Ergebnissen der Riemannschen Geometrie die 3-Sphäre sein. Hamilton verschrieb zur Verbesserung der Metrik die „ Ricci-Strömungsgleichungen “;

wobei g die Metrik und R die Ricci-Krümmung ist, und man hofft, dass die Mannigfaltigkeit mit zunehmender Zeit t leichter verständlich wird. Ricci-Strömung dehnt den Teil mit negativer Krümmung des Verteilers aus und kontrahiert den Teil mit positiver Krümmung.

In einigen Fällen konnte Hamilton zeigen, dass dies funktioniert; zum Beispiel war zu seinem ursprünglichen Durchbruch dass zeigen , wenn die Riemannschen Mannigfaltigkeit überall positive Ricci Krümmung hat, dann kann das obige Verfahren nur für einen beschränkten Intervall von Parameterwerten folgen, mit , und mehr deutlich, dass es Zahlen , so dass , wie , die Riemannschen Metriken konvergieren glatt zu einer konstanten positiven Krümmung. Nach der klassischen Riemannschen Geometrie ist die Kugel die einzige einfach zusammenhängende kompakte Mannigfaltigkeit, die eine Riemannsche Metrik konstanter positiver Krümmung unterstützen kann. Tatsächlich zeigte Hamilton also einen Spezialfall der Poincaré-Vermutung: Wenn eine kompakte einfach zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik positiver Ricci-Krümmung unterstützt, muss sie zur 3-Sphäre diffeomorph sein.

Hat man stattdessen nur eine beliebige Riemannsche Metrik, müssen die Ricci-Strömungsgleichungen zu komplizierteren Singularitäten führen. Perelmans größte Leistung bestand darin zu zeigen, dass diese Singularitäten aus einer bestimmten Perspektive, wenn sie in endlicher Zeit erscheinen, nur wie schrumpfende Kugeln oder Zylinder aussehen können. Mit einem quantitativen Verständnis dieses Phänomens schneidet er die Mannigfaltigkeit entlang der Singularitäten, teilt die Mannigfaltigkeit in mehrere Teile auf und fährt dann mit dem Ricci-Fluss auf jedem dieser Teile fort. Dieses Verfahren ist als Ricci-Flow mit Operation bekannt.

Perelman lieferte ein separates Argument basierend auf dem Kurvenverkürzungsfluss, um zu zeigen, dass auf einem einfach verbundenen kompakten 3-Manifold jede Lösung des Ricci-Flusses mit Chirurgie in endlicher Zeit ausstirbt. Ein alternatives Argument, basierend auf der Min-Max-Theorie der Minimalflächen und der geometrischen Maßtheorie, wurde von Tobias Colding und William Minicozzi geliefert . Daher ist im einfach zusammenhängenden Kontext nur das obige Phänomen des Ricci-Flusses mit der Operation in endlicher Zeit relevant. Dies gilt sogar dann, wenn die Fundamentalgruppe ein freies Produkt aus endlichen Gruppen und zyklischen Gruppen ist.

Diese Bedingung an die Fundamentalgruppe erweist sich als notwendig und ausreichend für endliche Extinktion. Es ist äquivalent zu sagen, dass die Primzerlegung der Mannigfaltigkeit keine azyklischen Komponenten hat, und stellt sich als äquivalent zu der Bedingung heraus, dass alle geometrischen Teile der Mannigfaltigkeit Geometrien basierend auf den beiden Thurston-Geometrien S 2 × R und S 3 haben . In dem Zusammenhang, dass man keinerlei Annahmen über die Fundamentalgruppe macht, führte Perelman eine weitere technische Untersuchung des Grenzwertes der Mannigfaltigkeit für unendlich große Zeiten durch und bewies damit Thurstons Geometrisierungsvermutung: Die Mannigfaltigkeit hat zu großen Zeiten eine dicke dünne Zerlegung , deren dickes Stück eine hyperbolische Struktur hat und deren dünnes Stück eine Graphenmannigfaltigkeit ist . Aufgrund der Ergebnisse von Perelman und Colding und Minicozzi sind diese weiteren Ergebnisse jedoch unnötig, um die Poincaré-Vermutung zu beweisen.

Lösung

Am 13. November 2002 veröffentlichte der russische Mathematiker Grigori Perelman den ersten von drei eprints auf arXiv , in dem er eine Lösung der Poincaré-Vermutung skizziert. Perelmans Beweis verwendet eine modifizierte Version eines Ricci-Flow- Programms, das von Richard S. Hamilton entwickelt wurde . Im August 2006 wurde Perelman die Fields-Medaille (im Wert von 15.000 CAD) für seinen Beweis verliehen, aber abgelehnt . Am 18. März 2010 verlieh das Clay Mathematics Institute Perelman in Anerkennung seines Beweises den Millennium Prize in Höhe von 1 Million US-Dollar . Auch diesen Preis lehnte Perelman ab.

Perelman bewies die Vermutung, indem er den Verteiler mithilfe der Ricci-Strömung verformte (die sich ähnlich wie die Wärmegleichung verhält , die die Diffusion von Wärme durch ein Objekt beschreibt). Die Ricci-Strömung verformt die Mannigfaltigkeit normalerweise in eine rundere Form, außer in einigen Fällen, in denen sie die Mannigfaltigkeit von sich selbst zu sogenannten Singularitäten streckt . Perelman und Hamilton zerhacken dann die Mannigfaltigkeit an den Singularitäten (ein Vorgang, der als "Chirurgie" bezeichnet wird), wodurch die einzelnen Teile zu kugelähnlichen Formen geformt werden. Wesentliche Schritte beim Beweis sind das Aufzeigen, wie sich Mannigfaltigkeiten verhalten, wenn sie durch den Ricci-Fluss verformt werden, zu untersuchen, welche Art von Singularitäten sich entwickeln, festzustellen, ob dieser Operationsprozess abgeschlossen werden kann und festzustellen, dass die Operation nicht unendlich oft wiederholt werden muss.

Der erste Schritt besteht darin, den Verteiler mithilfe des Ricci-Flusses zu verformen . Die Ricci-Strömung wurde von Richard S. Hamilton als eine Möglichkeit definiert, Mannigfaltigkeiten zu verformen. Die Formel für die Ricci-Strömung ist eine Nachahmung der Wärmegleichung, die den Wärmefluss in einem Festkörper beschreibt. Wie der Wärmestrom tendiert auch der Ricci-Strom zu einem gleichmäßigen Verhalten. Im Gegensatz zum Wärmestrom könnte der Ricci-Strom in Singularitäten geraten und nicht mehr funktionieren. Eine Singularität in einer Mannigfaltigkeit ist eine Stelle, an der sie nicht differenzierbar ist: wie eine Ecke oder eine Spitze oder ein Kneifen. Der Ricci-Fluss wurde nur für glatte differenzierbare Mannigfaltigkeiten definiert. Hamilton benutzte den Ricci-Fluss, um zu beweisen, dass einige kompakte Mannigfaltigkeiten zu Kugeln diffeomorph sind , und hoffte, damit die Poincaré-Vermutung zu beweisen. Er musste die Singularitäten verstehen.

Hamilton erstellte eine Liste möglicher Singularitäten, die sich bilden könnten, aber er war besorgt, dass einige Singularitäten zu Schwierigkeiten führen könnten. Er wollte die Mannigfaltigkeit an den Singularitäten abschneiden und in Kappen einfügen und dann den Ricci-Fluss erneut durchlaufen lassen, also musste er die Singularitäten verstehen und zeigen, dass bestimmte Arten von Singularitäten nicht auftreten. Perelman entdeckte, dass die Singularitäten alle sehr einfach waren: im Wesentlichen dreidimensionale Zylinder aus Kugeln, die sich entlang einer Linie erstrecken. Ein gewöhnlicher Zylinder wird hergestellt, indem Kreise entlang einer Linie gezogen werden. Perelman bewies dies mit dem sogenannten "Reduced Volume", das eng mit einem Eigenwert einer bestimmten elliptischen Gleichung zusammenhängt .

Manchmal reduziert sich eine ansonsten komplizierte Operation auf die Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl). Solche Zahlen werden Eigenwerte dieser Operation genannt. Eigenwerte stehen in engem Zusammenhang mit Schwingungsfrequenzen und werden bei der Analyse eines bekannten Problems verwendet: Hören Sie die Form einer Trommel? Im Wesentlichen ist ein Eigenwert wie eine Note, die von der Mannigfaltigkeit gespielt wird. Perelman bewies, dass diese Note nach oben geht, wenn der Verteiler durch die Ricci-Strömung verformt wird. Dies half ihm, einige der problematischeren Singularitäten zu beseitigen, die Hamilton betrafen, insbesondere die Zigarren-Soliton-Lösung, die wie ein Strang aussah, der aus einem Verteiler herausragte und auf der anderen Seite nichts war. Im Wesentlichen zeigte Perelman, dass alle Stränge, die sich bilden, geschnitten und gekappt werden können und keiner nur auf einer Seite herausragt.

Um den Beweis zu vervollständigen, nimmt Perelman jede kompakte, einfach zusammenhängende, dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand und beginnt, den Ricci-Fluss zu berechnen. Dadurch wird der Verteiler in runde Stücke mit dazwischen verlaufenden Strängen verformt. Er schneidet die Stränge ab und verformt die Mannigfaltigkeit weiter, bis er schließlich eine Ansammlung runder dreidimensionaler Kugeln übrig hat. Dann baut er die ursprüngliche Mannigfaltigkeit wieder auf, indem er die Kugeln mit dreidimensionalen Zylindern zusammenfügt, formt sie in eine runde Form und sieht, dass die Mannigfaltigkeit trotz aller anfänglichen Verwirrung tatsächlich zu einer Kugel homöomorph war.

Eine unmittelbare Frage war, wie man sicher sein kann, dass nicht unendlich viele Schnitte notwendig sind. Dies wurde aufgrund des möglicherweise ewig fortschreitenden Schneidens angehoben. Perelman hat bewiesen, dass dies nicht möglich ist, indem er minimale Oberflächen auf dem Verteiler verwendet. Eine minimale Oberfläche ist im Wesentlichen ein Seifenfilm. Hamilton hatte gezeigt, dass die Fläche einer minimalen Fläche abnimmt, wenn die Mannigfaltigkeit Ricci-Fluss erfährt. Perelman überprüfte, was mit dem Bereich der minimalen Oberfläche passiert, wenn die Mannigfaltigkeit geschnitten wurde. Er bewies, dass die Fläche schließlich so klein ist, dass jeder Schnitt nach der Fläche so klein ist, dass er nur dreidimensionale Kugeln und keine komplizierteren Stücke abhacken kann. Dies wird von Sormani in Szpiros unten zitiertem Buch als Kampf mit einer Hydra beschrieben . Dieser letzte Teil des Beweises erschien in Perelmans dritter und letzter Arbeit zu diesem Thema.

Verweise

Weiterlesen

Externe Links