Poisson-Zahl - Poisson's ratio

Die Poissonzahl eines Materials definiert das Verhältnis von Querdehnung (x-Richtung) zu axialer Dehnung (y-Richtung)

In den Materialwissenschaften und der Festkörpermechanik ist die Poisson-Zahl ( nu ) ein Maß für den Poisson-Effekt , die Verformung (Ausdehnung oder Kontraktion) eines Materials in Richtungen senkrecht zur spezifischen Belastungsrichtung . Der Wert des Poisson-Verhältnisses ist das Negativ des Verhältnisses der Querdehnung zu axialer Belastung . Für kleine Werte dieser Änderungen ist die Höhe der Querdehnung durch die Höhe der axial unterteilt Kompression . Die meisten Materialien haben Poisson-Verhältnis-Werte im Bereich zwischen 0,0 und 0,5. Bei weichen Materialien wie Gummi, bei denen der Volumenmodul viel höher ist als der Schermodul, liegt das Poisson-Verhältnis nahe 0,5. Bei offenzelligen Polymerschäumen liegt die Poisson-Zahl nahe Null, da die Zellen bei Kompression zum Kollabieren neigen. Viele typische Feststoffe haben Poisson-Verhältnisse im Bereich von 0,2 bis 0,3. Das Verhältnis ist nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Poisson benannt .

Herkunft

Die Poisson-Zahl ist ein Maß für den Poisson-Effekt, das Phänomen, bei dem ein Material dazu neigt, sich in Richtungen senkrecht zur Kompressionsrichtung auszudehnen. Umgekehrt, wenn das Material eher gestreckt als gestaucht wird, neigt es gewöhnlich dazu, sich in den Richtungen quer zur Streckrichtung zusammenzuziehen. Es ist eine häufige Beobachtung, dass ein Gummiband, wenn es gedehnt wird, merklich dünner wird. Auch hier ist die Poisson-Zahl das Verhältnis von relativer Kontraktion zu relativer Expansion und hat den gleichen Wert wie oben. In einigen seltenen Fällen schrumpft ein Material tatsächlich in Querrichtung, wenn es komprimiert wird (oder dehnt sich aus, wenn es gedehnt wird), was einen negativen Wert der Poisson-Zahl ergibt.

Die Poissonzahl eines stabilen, isotropen , linear elastischen Materials muss zwischen -1,0 und +0,5 liegen, da der Youngsche Modul , der Schubmodul und der Volumenmodul positive Werte haben müssen. Die meisten Materialien haben Poisson-Verhältnis-Werte im Bereich zwischen 0,0 und 0,5. Ein vollkommen inkompressibles isotropes Material, das sich bei kleinen Dehnungen elastisch verformt, hätte eine Poissonzahl von genau 0,5. Die meisten Stähle und starren Polymere weisen bei Verwendung innerhalb ihrer Auslegungsgrenzen (vor der Streckgrenze ) Werte von etwa 0,3 auf, die für die Verformung nach der Streckgrenze, die weitgehend bei konstantem Volumen auftritt, auf 0,5 ansteigen. Gummi hat eine Poisson-Zahl von fast 0,5. Das Poisson-Verhältnis von Kork liegt nahe 0, zeigt eine sehr geringe seitliche Ausdehnung, wenn es komprimiert wird, und Glas liegt zwischen 0,18 und 0,30. Einige Materialien, zB einige Polymerschäume, Origami-Falten und bestimmte Zellen können eine negative Poissonzahl aufweisen und werden als auxetische Materialien bezeichnet . Wenn diese auxetischen Materialien in eine Richtung gestreckt werden, werden sie in senkrechter Richtung dicker. Im Gegensatz dazu können einige anisotrope Materialien, wie beispielsweise Kohlenstoffnanoröhren , auf Zickzack basierende gefaltete Blattmaterialien und auxetische Wabenmetamaterialien, um nur einige zu nennen, in bestimmten Richtungen eine oder mehrere Poisson-Verhältnisse über 0,5 aufweisen.

Angenommen, das Material wird nur in eine Richtung gedehnt oder gestaucht (die x- Achse im Diagramm unten):

wo

ist die resultierende Poissonzahl,
ist Querdehnung (negativ für axialen Zug (Dehnung), positiv für axialen Druck)
ist die axiale Dehnung (positiv für axiale Spannung, negativ für axiale Kompression).

Poissonzahl aus Geometrieänderungen

Längenänderung

Abbildung 1: Ein Würfel mit Seiten der Länge L eines isotropen linear elastischen Materials unter Zugspannung entlang der x-Achse mit einer Poissonzahl von 0,5. Der grüne Würfel ist nicht gedehnt, der rote wird durch Spannung in x- Richtung um gedehnt und in y- und z- Richtung um kontrahiert .

Für einen in x- Richtung gestreckten Würfel (siehe Abbildung 1) mit einer Längenzunahme von in x- Richtung und einer Längenabnahme von in y- und z- Richtung sind die infinitesimalen Diagonaldehnungen gegeben durch

Wenn die Poisson-Zahl durch Deformation konstant ist, ergibt die Integration dieser Ausdrücke und die Verwendung der Definition der Poisson-Zahl

Auflösen und Potenzieren, die Beziehung zwischen und ist dann

Für sehr kleine Werte von und liefert die Näherung erster Ordnung:

Volumenänderung

Die relative Volumenänderung ΔV / V eines Würfels aufgrund der Dehnung des Materials kann nun berechnet werden. Verwendung und :

Unter Verwendung der oben abgeleiteten Beziehung zwischen und :

und für sehr kleine Werte von und liefert die Näherung erster Ordnung:

Für isotrope Materialien können wir die Lamé-Beziehung verwenden

wo ist Bulkmodul und ist Young - Modul .

Breitenänderung

Abbildung 2: Vergleich zwischen den beiden Formeln, eine für kleine Verformungen, eine andere für große Verformungen

Wenn ein Stab mit Durchmesser (oder Breite oder Dicke) d und Länge L unter Zugspannung steht, so dass sich seine Länge um ΔL ändert, dann ändert sich sein Durchmesser d um:

Die obige Formel gilt nur bei kleinen Verformungen; bei großen Verformungen kann folgende (präzisere) Formel verwendet werden:

wo

ist Originaldurchmesser
ist Stabdurchmesseränderung
ist die Poissonzahl
ist Originallänge, vor der Dehnung
ist die Längenänderung.

Der Wert ist negativ, da er mit zunehmender Länge abnimmt

Charakteristische Materialien

Isotrop

Bei einem linear isotropen Material, das nur Druckkräften (dh Normalkräften) ausgesetzt ist, erzeugt die Verformung eines Materials in Richtung einer Achse eine Verformung des Materials entlang der anderen Achse in drei Dimensionen. Somit ist es möglich, das Hookesche Gesetz (für Druckkräfte) in drei Dimensionen zu verallgemeinern :

wo:

, und sind Dehnung in Richtung von , und Achse
, und sind Spannungen in Richtung von , und Achse
ist der Elastizitätsmodul (in allen Richtungen gleich: , und für isotrope Materialien)
ist die Poissonzahl (in allen Richtungen gleich: , und für isotrope Materialien)

diese Gleichungen können alle wie folgt synthetisiert werden:

Im allgemeinsten Fall auch Schubspannungen durch sowie normale Spannungen und die volle Verallgemeinerung des Hookeschen Gesetzes gegeben halten:

Wo liegt das Kronecker Delta . Die Einstein - Notation wird in der Regel angenommen:

um die Gleichung einfach wie folgt zu schreiben:

Anisotrop

Bei anisotropen Materialien hängt die Poissonzahl von der Dehnungsrichtung und der Querverformung ab

Hier ist die Poissonzahl, ist der Elastizitätsmodul , ist der Einheitsvektor, der entlang der Erstreckungsrichtung gerichtet ist, ist der Einheitsvektor, der senkrecht zur Erstreckungsrichtung gerichtet ist. Die Poisson-Zahl hat je nach Art der Anisotropie eine unterschiedliche Anzahl von Sonderrichtungen.

Orthotrop

Orthotrope Materialien weisen in ihren Materialeigenschaften drei zueinander senkrechte Symmetrieebenen auf. Ein Beispiel ist Holz, das entlang der Maserung am steifsten (und stärksten) ist und in den anderen Richtungen weniger.

Dann kann das Hookesche Gesetz in Matrixform ausgedrückt werden als

wo

ist der Elastizitätsmodul entlang der Achse
ist der Schubmodul in Richtung auf der Ebene, deren Normale in Richtung . liegt
ist die Poissonzahl, die einer Kontraktion in Richtung entspricht, wenn eine Dehnung in Richtung angewendet wird .

Die Poissonzahl eines orthotropen Materials ist in jeder Richtung (x, y und z) unterschiedlich. Die Symmetrie der Spannungs- und Dehnungstensoren impliziert jedoch, dass nicht alle sechs Poisson-Zahlen in der Gleichung unabhängig sind. Es gibt nur neun unabhängige Materialeigenschaften: drei Elastizitätsmodule, drei Schubmodule und drei Poisson-Zahlen. Die verbleibenden drei Poisson-Zahlen erhält man aus den Beziehungen

Aus den obigen Beziehungen können wir sehen, dass wenn dann . Die größere Poisson-Zahl (in diesem Fall ) wird als große Poisson-Zahl bezeichnet, während die kleinere (in diesem Fall ) als kleinere Poisson-Zahl bezeichnet wird . Wir können ähnliche Beziehungen zwischen den anderen Poisson-Zahlen finden.

Transversal isotrop

Querisotrope Materialien haben eine Isotropieebene, in der die elastischen Eigenschaften isotrop sind. Wenn wir annehmen, dass diese Isotropieebene ist , dann hat das Hookesche Gesetz die Form

wobei wir die Isotropieebene verwendet haben , um die Anzahl der Konstanten zu reduzieren, dh .

Die Symmetrie der Spannungs- und Dehnungstensoren impliziert, dass

Damit bleiben uns sechs unabhängige Konstanten . Jedoch gibt transversale Isotropie zu einer weiteren Einschränkung zwischen und worin

Daher gibt es fünf unabhängige elastische Materialeigenschaften, von denen zwei Poisson-Zahlen sind. Für die angenommene Symmetrieebene ist der größere von und die Haupt-Poissonzahl. Die anderen großen und kleinen Poisson-Verhältnisse sind gleich.

Werte der Poissonzahl für verschiedene Materialien

Einflüsse ausgewählter Glaskomponentenzusätze auf die Poissonzahl eines bestimmten Basisglases.
Material Poissonzahl
Gummi 0,4999
Gold 0,42–0,44
gesättigter Ton 0,40–0,49
Magnesium 0,252–0,289
Titan 0,265–0,34
Kupfer 0,33
Aluminium - Legierung 0,32
Lehm 0,30–0,45
rostfreier Stahl 0,30–0,31
Stahl 0,27–0,30
Gusseisen 0,21–0,26
Sand 0,20–0,455
Beton 0,1–0,2
Glas 0,18–0,3
metallische Brillen 0,276–0,409
Schaum 0,10–0,50
Kork 0.0
Material Symmetrieebene
Nomex Wabenkern , Band in Richtung 0,49 0.69 0,01 2,75 3.88 0,01
Glasfaser - Epoxidharz 0,29 0,32 0,06 0,06 0,32

Materialien mit negativer Poissonzahl

Einige als auxetische Materialien bekannte Materialien weisen eine negative Poissonzahl auf. Bei einer positiven Dehnung in einer Längsachse ist die Querdehnung im Material tatsächlich positiv (dh sie würde die Querschnittsfläche vergrößern). Bei diesen Materialien ist dies normalerweise auf einzigartig ausgerichtete, gelenkige Molekülbindungen zurückzuführen. Damit sich diese Verklebungen in Längsrichtung dehnen können, müssen sich die Scharniere in Querrichtung „öffnen“, wodurch eine positive Dehnung entsteht. Auch dies kann strukturiert erfolgen und zu neuen Aspekten im Materialdesign wie bei mechanischen Metamaterialien führen .

Studien haben gezeigt , dass bestimmte feste Holzarten während einer Kompression ausschließlich negativen Poisson-Verhältnis anzuzeigen Kriechen Test. Der Kompressionskriechtest zeigt anfangs positive Poisson-Zahlen, nimmt jedoch allmählich ab, bis er negative Werte erreicht. Damit zeigt sich auch, dass die Poissonzahl für Holz bei konstanter Belastung zeitabhängig ist, dh die Dehnungen in axialer und transversaler Richtung steigen nicht gleich schnell an.

Medien mit technischer Mikrostruktur können eine negative Poissonzahl aufweisen. In einem einfachen Fall wird Auxetizität erreicht, indem Material entfernt und ein periodisches poröses Medium erzeugt wird. Gitter können niedrigere Werte der Poissonzahl erreichen, die im isotropen Fall unendlich nahe am Grenzwert –1 liegen können.

Mehr als 300 kristalline Materialien haben eine negative Poissonzahl. Zum Beispiel Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn, Sr, Sb, MoS und andere.

Poisson-Funktion

Bei endlichen Stämmen , die Beziehung zwischen der Quer- und axialen Dehnungen und wird in der Regel nicht gut von der Poisson-Verhältnis beschrieben. Tatsächlich wird die Poissonzahl oft als Funktion der angelegten Dehnung im Bereich großer Dehnungen betrachtet. In solchen Fällen wird die Poisson-Zahl durch die Poisson-Funktion ersetzt, für die es mehrere konkurrierende Definitionen gibt. Definition der Querstreckung und Axialstreckung , wobei die Querstreckung eine Funktion der Axialstreckung ist (dh ), die häufigsten sind die Hencky-, Biot-, Green- und Almansi-Funktionen

Anwendungen des Poisson-Effekts

Ein Bereich, in dem der Poisson-Effekt einen erheblichen Einfluss hat, ist die Rohrströmung unter Druck. Wenn die Luft oder Flüssigkeit in einem Rohr unter hohem Druck steht, übt sie eine gleichmäßige Kraft auf die Innenseite des Rohres aus, was zu einer Ringspannung im Rohrmaterial führt. Aufgrund des Poisson-Effekts führt diese Ringspannung dazu, dass der Durchmesser des Rohres zunimmt und die Länge leicht abnimmt. Insbesondere die Längenabnahme kann sich spürbar auf die Rohrverbindungen auswirken, da sich der Effekt für jeden in Reihe geschalteten Rohrabschnitt kumuliert. Ein eingespanntes Gelenk kann auseinander gezogen werden oder anderweitig fehleranfällig sein.

Ein weiteres Anwendungsgebiet des Poisson-Effekts liegt im Bereich der Strukturgeologie . Wie die meisten Materialien unterliegen auch Gesteine ​​unter Belastung dem Poisson-Effekt. In einer geologischen Zeitskala kann eine übermäßige Erosion oder Sedimentation der Erdkruste entweder große vertikale Spannungen auf dem darunter liegenden Gestein erzeugen oder beseitigen. Dieses Gestein wird sich als direkte Folge der angelegten Spannung in vertikaler Richtung ausdehnen oder zusammenziehen, und es wird sich aufgrund des Poisson-Effekts auch in horizontaler Richtung verformen. Diese Dehnungsänderung in horizontaler Richtung kann Fugen und ruhende Spannungen im Gestein beeinflussen oder ausbilden.

Obwohl Kork in der Vergangenheit aus anderen Gründen zum Verschließen von Weinflaschen gewählt wurde (einschließlich seiner inerten Natur, Undurchlässigkeit, Flexibilität, Versiegelungsfähigkeit und Widerstandsfähigkeit), bietet das Poisson-Verhältnis von Null von Kork einen weiteren Vorteil. Beim Einführen des Korkens in die Flasche dehnt sich das noch nicht eingesetzte Oberteil beim axialen Zusammendrücken im Durchmesser nicht aus. Die Kraft, die zum Einführen eines Korkens in eine Flasche benötigt wird, entsteht allein durch die Reibung zwischen Korken und Flasche aufgrund der radialen Kompression des Korkens. Wäre der Stopfen beispielsweise aus Gummi (mit einem Poisson-Verhältnis von etwa 1/2), wäre eine relativ große zusätzliche Kraft erforderlich, um die radiale Ausdehnung des oberen Teils des Gummistopfens zu überwinden.

Den meisten Kfz-Mechanikern ist bekannt, dass es schwierig ist, einen Gummischlauch (zB einen Kühlmittelschlauch) von einem Metallrohrstutzen abzuziehen, da durch die Zugspannung der Schlauchdurchmesser schrumpft und der Stutzen fest umklammert wird. Schläuche lassen sich leichter von Stutzen schieben, statt mit einem breiten Flachmesser.

Siehe auch

Verweise

Externe Links

Umrechnungsformeln
Homogene isotrope linear-elastische Materialien haben ihre elastischen Eigenschaften, die eindeutig durch irgendwelche zwei beliebigen Moduli unter diesen bestimmt werden; daher kann jeder andere der Elastizitätsmoduli nach diesen Formeln berechnet werden, wenn zwei beliebige gegeben sind.
Anmerkungen

Es gibt zwei gültige Lösungen.
Das Pluszeichen führt zu .

Das Minuszeichen führt zu .

Kann nicht verwendet werden, wenn