Polynomring - Polynomial ring

Algebraische Struktur → Ringtheorie Ringtheorie
Grundlegendes Konzept Ringe • Unterringe • Ideal • Quotientenring • Bruchideal • Gesamtquotientenring • Produktring • Freies Produkt assoziativer Algebren • Tensorprodukt von Ringen Ringhomomorphismen • Kernel • Innerer Automorphismus • Frobenius-Endomorphismus Algebraische Strukturen • Modul • Assoziative Algebra • Abgestufter Ring • Involutiver Ring • Kategorie der Ringe • Anfangsruf ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • Klemmring ${\displaystyle 0=\mathbb{Z} _{1}}$ Verwandte Strukturen • Feld • Endlicher Körper • Nicht-assoziativer Ring • Lügenring • Jordan-Ring • Halbring • Halbfeld
Kommutative Algebra Kommutative Ringe • Integrale Domäne • Integral geschlossene Domäne • GCD-Domäne • Einzigartige Faktorisierungsdomäne • Hauptidealer Bereich • Euklidische Domäne • Feld • Endlicher Körper • Kompositionsring • Polynomring • Formaler Potenzreihenring Algebraische Zahlentheorie • Algebraisches Zahlenfeld • Ring von ganzen Zahlen • algebraische Unabhängigkeit • Transzendentale Zahlentheorie • Transzendenzgrad p -adische Zahlentheorie und Dezimalzahlen • Direktes Limit / Inverses Limit • Nullring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Ganzzahlen modulo p n ${\displaystyle \mathbb{Z} /p^{n}\mathbb{Z}}$ • Prüfer p- Ring ${\displaystyle \mathbb{Z} (p^{\infty})}$ • Basis - p- Kreisring ${\displaystyle \mathbb{T}}$ • Basis - p ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • p -adische Rationale ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Basis - p reelle Zahlen ${\displaystyle \mathbb{R}}$ • p -adische ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$ • p -adische Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Q} _{p}}$ • p -adischer Magnet ${\displaystyle \mathbb{T} _{p}}$ Algebraische Geometrie • Affine Vielfalt
Nichtkommutative Algebra Nichtkommutative Ringe • Teilungsring • Halbprimitiver Ring • Einfacher Ring • Kommutator Nichtkommutative algebraische Geometrie Freie Algebra Clifford-Algebra • Geometrische Algebra Operatoralgebra
v T e

In der Mathematik , insbesondere auf dem Gebiet der Algebra , ist ein Polynomring oder eine Polynomalgebra ein Ring (der auch eine kommutative Algebra ist ), der aus der Menge von Polynomen in einer oder mehreren Unbestimmten (traditionell auch Variablen genannt ) mit Koeffizienten in einem anderen Ring gebildet wird. oft ein Feld .

Oft bezieht sich der Begriff "Polynomring" implizit auf den Spezialfall eines Polynomrings in einem Unbestimmten über einem Körper. Die Bedeutung solcher Polynomringe beruht auf der hohen Anzahl von Eigenschaften, die sie mit dem Ring der ganzen Zahlen gemeinsam haben .

Polynomringe kommen vor und sind in vielen Bereichen der Mathematik, wie der Zahlentheorie , der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, oft grundlegend . In der Ringtheorie wurden viele Klassen von Ringen, wie einzigartige Faktorisierungsbereiche , reguläre Ringe , Gruppenringe , Ringe formaler Potenzreihen , Erzpolynome , abgestufte Ringe , eingeführt, um einige Eigenschaften von Polynomringen zu verallgemeinern.

Ein eng verwandter Begriff ist der des Rings von Polynomfunktionen auf einem Vektorraum und allgemeiner der Ring von regulären Funktionen auf einer algebraischen Varietät .

Definition (univariater Fall)

Der Polynomring , K [ X ] , in X über einem Körper (oder allgemeiner ein kommutativer Ring ) K kann definiert werden (es gibt andere äquivalente Definitionen, die häufig verwendet werden) als die Menge von Ausdrücken, die Polynome in X genannt werden. des Formulars

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{ m},}$

wobei p ₀ , p ₁ , …, p _m , die Koeffizienten von p , Elemente von K sind , p _m ≠ 0 falls m > 0 , und X , X ² , …, Symbole sind, die als "Potenzen" von . betrachtet werden X , und folgen Sie den üblichen Exponentiationsregeln : X ⁰ = 1 , X ¹ = X und für alle nichtnegativen ganzen Zahlen k und l . Das Symbol X wird als unbestimmt oder variabel bezeichnet. (Der Begriff "Variable" stammt aus der Terminologie der Polynomfunktionen . Hier hat X jedoch keinen Wert (außer sich selbst) und kann nicht variieren, da er eine Konstante im Polynomring ist.) ${\displaystyle X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}}$

Zwei Polynome sind gleich, wenn die entsprechenden Koeffizienten jedes X ^k gleich sind.

Man kann sich den Ring K [ X ] als aus K entstehend vorstellen, indem man ein neues Element X hinzufügt , das außerhalb von K ist , mit allen Elementen von K kommutiert und keine weiteren spezifischen Eigenschaften hat. (Dies kann zum Definieren von Polynomringen verwendet werden.)

Der Polynomring in X über K ist mit einer Addition, einer Multiplikation und einer Skalarmultiplikation ausgestattet , die ihn zu einer kommutativen Algebra machen . Diese Operationen werden gemäß den üblichen Regeln zum Manipulieren algebraischer Ausdrücke definiert. Insbesondere wenn

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},}$

und

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},}$

dann

${\displaystyle p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},}$

und

${\displaystyle pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},}$

wobei k = max( m , n ), l = m + n ,

${\displaystyle r_{i}=p_{i}+q_{i}}$

und

${\displaystyle s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.}$

In diesen Formeln werden die Polynome p und q durch Hinzufügen von "Dummy-Termen" mit Nullkoeffizienten erweitert, so dass alle in den Formeln vorkommenden p _i und q _i definiert sind. Insbesondere dann , wenn m < n , dann p _i = 0 für m < i ≤ n .

Die Skalarmultiplikation ist der Spezialfall der Multiplikation, bei der p = p ₀ auf seinen konstanten Term (den von X unabhängigen Term) reduziert wird ; das ist

${\displaystyle p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{ 0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}}$

Es ist leicht zu verifizieren, dass diese drei Operationen die Axiome einer kommutativen Algebra über K erfüllen . Daher werden Polynomringe auch Polynomalgebren genannt .

Eine andere äquivalente Definition wird oft bevorzugt, wenn auch weniger intuitiv, weil es einfacher ist, sie vollständig rigoros zu machen, die darin besteht, ein Polynom als eine unendliche Folge ( p ₀ , p ₁ , p ₂ , …) von Elementen von K zu definieren , mit der Eigenschaft, dass nur eine endliche Anzahl der Elemente von Null verschieden ist, oder äquivalent eine Folge, für die es einige m gibt, so dass p _n = 0 für n > m . In diesem Fall werden p ₀ und X als alternative Notationen für die Sequenzen ( p ₀ , 0, 0, …) bzw. (0, 1, 0, 0, …) betrachtet . Eine einfache Anwendung der Operationsregeln zeigt, dass der Ausdruck

${\displaystyle p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}}$

ist dann eine alternative Notation für die Folge

( p ₀ , p ₁ , p ₂ , …, p _m , 0, 0, …) .

Terminologie

Lassen

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{ m},}$

sei ein von Null verschiedenes Polynom mit ${\displaystyle p_{m}\neq 0}$

Der konstante Term von p ist Er ist Null im Fall des Nullpolynoms. ${\displaystyle p_{0}.}$

Der Grad von p , geschrieben deg ( p ) ist die größte k derart , daß der Koeffizient von X ^k nicht Null ist . ${\displaystyle m,}$

Der führende Koeffizient von p ist${\displaystyle p_{m}.}$

Im Spezialfall des Nullpolynoms, dessen Koeffizienten alle Null sind, ist der führende Koeffizient undefiniert, und der Grad wurde verschiedentlich undefiniert gelassen, als –1 definiert oder als a –∞ definiert .

Ein konstantes Polynom ist entweder das Nullpolynom oder ein Polynom vom Grad Null.

Ein Polynom ungleich Null ist monisch, wenn sein führender Koeffizient${\displaystyle 1.}$

Gegeben zwei Polynome p und q gilt

${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),}$

und über einem Körper oder allgemeiner einem integralen Bereich ,

${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$

Daraus folgt sofort, dass wenn K ein ganzzahliges Gebiet ist, dann auch K [ X ] .

Daraus folgt auch, dass, wenn K ein ganzzahliger Bereich ist, ein Polynom genau dann eine Einheit ist (dh es hat eine multiplikative Inverse ), wenn es konstant und eine Einheit in K ist .

Zwei Polynome sind assoziiert, wenn eines das Produkt des anderen um eine Einheit ist.

Über einem Körper ist jedes von Null verschiedene Polynom mit einem eindeutigen monischen Polynom verbunden.

Sind zwei Polynome, p und q , sagt man , daß p dividieren q , p a Teiler von q oder q ist ein Vielfaches von p , wenn es ein Polynom r , so dass q = pr .

Ein Polynom ist irreduzibel, wenn es nicht das Produkt zweier nicht konstanter Polynome ist, oder äquivalent, wenn seine Teiler entweder konstante Polynome sind oder den gleichen Grad haben.

Polynomauswertung

Sei K ein Körper oder allgemeiner ein kommutativer Ring und R ein Ring, der K enthält . Für jedes Polynom p in K [ X ] und jedes Element a in R definiert die Substitution von X für a in p ein Element von R , das als P ( a ) bezeichnet wird . Dieses Element wird erhalten, indem in R nach der Substitution die Operationen ausgeführt werden, die durch den Ausdruck des Polynoms angezeigt werden. Diese Berechnung wird als Auswertung von P bei a bezeichnet . Zum Beispiel, wenn wir

${\displaystyle P=X^{2}-1,}$

wir haben

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\ rechts)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{ausgerichtet}}}$

(im ersten Beispiel R = K , und im zweiten R = K [ X ] ). Ersetzen von X für sich selbst ergibt

${\displaystyle P=P(X),}$

zu erklären, warum die Sätze "Pay P be a polynomial" und "Let P ( X ) be a polynomial " äquivalent sind.

Die Polynom - Funktion durch ein Polynom definiert P ist die Funktion von K zu K , das definiert ist durch Wenn K ist ein unendliches Feld, zwei verschiedene Polynome definieren verschiedene Polynomfunktionen, aber diese Eigenschaft ist falsch für endliche Felder. Ist K beispielsweise ein Körper mit q Elementen, dann definieren die Polynome 0 und X ^q − X beide die Nullfunktion. ${\displaystyle x\mapsto P(x).}$

Für jedes a in R definiert die Auswertung bei a , d. h. die Abbildung, einen algebraischen Homomorphismus von K [ X ] bis R , der der eindeutige Homomorphismus von K [ X ] bis R ist , der K fixiert und X auf a abbildet . Mit anderen Worten, K [ X ] hat die folgende universelle Eigenschaft . Für jeden Ring R , der K enthält , und jedes Element a von R gibt es einen eindeutigen algebraischen Homomorphismus von K [ X ] zu R , der K fixiert und X auf a abbildet . Wie alle universellen Eigenschaften definiert dies das Paar ( K [ X ], X ) bis auf einen eindeutigen Isomorphismus und kann daher als Definition von K [ X ] aufgefasst werden . ${\displaystyle P\mapsto P(a)}$

Univariate Polynome über einem Körper

Wenn K ein Körper ist , hat der Polynomring K [ X ] viele Eigenschaften, die denen des Rings der ganzen Zahlen ähneln. Die meisten dieser Ähnlichkeiten resultieren aus der Ähnlichkeit zwischen der langen Division von ganzen Zahlen und der langen Division von Polynomen . ${\displaystyle\mathbb{Z}.}$

Die meisten der in diesem Abschnitt aufgeführten Eigenschaften von K [ X ] bleiben nicht wahr, wenn K kein Körper ist oder wenn man Polynome in mehreren Unbestimmten betrachtet.

Wie bei ganzen Zahlen hat die euklidische Division von Polynomen eine Eindeutigkeitseigenschaft. Das heißt, bei zwei Polynomen a und b ≠ 0 in K [ X ] gibt es ein eindeutiges Paar ( q , r ) von Polynomen mit a = bq + r , und entweder r = 0 oder deg( r ) < deg( b ) . Dies macht K [ X ] zu einem euklidischen Gebiet . Die meisten anderen euklidischen Bereiche (mit Ausnahme von ganzen Zahlen) haben jedoch weder eine Eindeutigkeitseigenschaft für die Division noch einen einfachen Algorithmus (wie eine lange Division) zum Berechnen der euklidischen Division.

Die euklidische Division ist die Grundlage des euklidischen Algorithmus für Polynome , der einen polynomischen größten gemeinsamen Teiler von zwei Polynomen berechnet . Hier bedeutet "am größten" "einen maximalen Abschluss haben" oder äquivalent für die durch den Abschluss definierte Vorordnung maximal zu sein . Bei einem gegebenen größten gemeinsamen Teiler von zwei Polynomen werden die anderen größten gemeinsamen Teiler durch Multiplikation mit einer von Null verschiedenen Konstanten erhalten (d. h. alle größten gemeinsamen Teiler von a und b werden verknüpft). Insbesondere haben zwei Polynome, die nicht beide Null sind, einen eindeutigen größten gemeinsamen Teiler, der monisch ist (führender Koeffizient gleich1 )).

Der erweiterte euklidische Algorithmus ermöglicht die Berechnung (und den Beweis) der Identität von Bézout . Im Fall von K [ X ] kann es wie folgt angegeben werden. Gegeben zwei Polynome p und q der jeweiligen Grade m und n , wenn ihr größter gemeinsamer Teiler g den Grad d hat , dann gibt es ein eindeutiges Paar ( a , b ) von Polynomen mit

${\displaystyle ap+bq=g,}$

und

${\displaystyle \deg(a)\leq nd,\quad \deg(b)<md.}$

(Um dies im Grenzfall m = d oder n = d wahr zu machen, muss man den Grad des Nullpolynoms als negativ definieren. Außerdem kann die Gleichheit nur auftreten, wenn p und q verknüpft sind.) Die Eindeutigkeitseigenschaft ist eher spezifisch für K [ X ] . Im Fall der ganzen Zahlen gilt die gleiche Eigenschaft, wenn Grade durch absolute Werte ersetzt werden, aber um Eindeutigkeit zu haben, muss man a > 0 fordern . ${\displaystyle \deg(a)=nd}$

Das Lemma von Euklid gilt für K [ X ] . Das heißt, wenn ein dividieren bc und ist teilerfremd mit b , dann a dividieren c . Koprime bedeutet hier, dass der monische größte gemeinsame Teiler ist1 . Beweis: Nach Voraussetzung und Bézout Identität gibt es e , p und q , so dass ae = bc und 1 = ap + bq . So ${\displaystyle c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).}$

Die einzigartige Faktorisierungseigenschaft ergibt sich aus dem Lemma von Euklid. Bei ganzen Zahlen ist dies der Grundsatz der Arithmetik . Im Fall von K [ X ] kann man sagen: Jedes nichtkonstante Polynom kann auf einzigartige Weise als Produkt einer Konstanten und eines oder mehrerer irreduzibler monischer Polynome ausgedrückt werden; diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Anders ausgedrückt ist K [ X ] ein eindeutiger Faktorisierungsbereich . Wenn K der Körper der komplexen Zahlen ist, besagt der Fundamentalsatz der Algebra , dass ein univariates Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn sein Grad eins ist. In diesem Fall kann die eindeutige Faktorisierungseigenschaft wie folgt formuliert werden: Jedes nichtkonstante univariate Polynom über die komplexen Zahlen kann auf einzigartige Weise als Produkt einer Konstanten und einem oder mehreren Polynomen der Form X − r ausgedrückt werden ; diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Für jeden Faktor ist r eine Wurzel des Polynoms, und die Häufigkeit des Vorkommens eines Faktors ist die Multiplizität der entsprechenden Wurzel.

Ableitung

Die (formale) Ableitung des Polynoms

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

ist das Polynom

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}$

Im Fall von Polynomen mit realen oder komplexen Koeffizienten, ist dies der Standard - Derivat . Die obige Formel definiert die Ableitung eines Polynoms auch dann, wenn die Koeffizienten zu einem Ring gehören, für den kein Grenzwert definiert ist. Die Ableitung macht den Polynomring zu einer Differentialalgebra .

Die Existenz der Ableitung ist eine der Haupteigenschaften eines Polynomrings, die nicht mit ganzen Zahlen geteilt wird, und macht einige Berechnungen auf einem Polynomring einfacher als auf ganzen Zahlen.

Quadratfreie Faktorisierung

Lagrange-Interpolation

Polynomzerlegung

Faktorisierung

Mit Ausnahme Faktorisierung alle bisherigen Eigenschaften von K [ X ] sind wirksam , da ihre Beweise, wie oben skizziert, zugeordnet sind , Algorithmen für die Eigenschaft zu testen und die Berechnung der Polynome , deren Existenz geltend gemacht werden. Darüber hinaus sind diese Algorithmen effizient, da ihre Rechenkomplexität eine quadratische Funktion der Eingabegröße ist.

Ganz anders verhält es sich bei der Faktorisierung: Der Beweis der eindeutigen Faktorisierung gibt keinen Hinweis auf eine Methode zur Faktorisierung. Bereits für die ganzen Zahlen ist kein Algorithmus bekannt, um sie in polynomieller Zeit zu faktorisieren . Dies ist die Grundlage des RSA-Kryptosystems , das häufig für die sichere Internetkommunikation verwendet wird.

Im Fall von K [ X ] hängen die Faktoren und die Methoden zu ihrer Berechnung stark von K ab . Über den komplexen Zahlen sind die irreduziblen Faktoren (die nicht weiter faktorisiert werden können) alle vom Grad eins, während es über den reellen Zahlen irreduzible Polynome vom Grad 2 gibt und über den rationalen Zahlen gibt es irreduzible Polynome beliebiger Grad. Zum Beispiel ist das Polynom über den rationalen Zahlen irreduzibel, wird wie über den reellen Zahlen und wie über den komplexen Zahlen faktorisiert . ${\displaystyle X^{4}-2}$${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})}$${\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(Xi{\sqrt[{4}]{2}})( X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$

Die Existenz eines Faktorisierungsalgorithmus hängt auch vom Grundfeld ab. Im Fall der reellen oder komplexen Zahlen zeigt das Abel-Ruffini-Theorem , dass die Wurzeln einiger Polynome und damit die irreduziblen Faktoren nicht exakt berechnet werden können. Daher kann ein Faktorisierungsalgorithmus nur Näherungen der Faktoren berechnen. Zur Berechnung solcher Näherungen wurden verschiedene Algorithmen entwickelt, siehe Wurzelfindung von Polynomen .

Es ist ein Beispiel für ein Feld K , so dass es existiert genaue Algorithmen für die arithmetischen Operationen von K , aber es kann existiert keinen Algorithmus für die Entscheidung , ob ein Polynom der Form ist nicht reduzierbar oder ist ein Produkt der Polynome niedrigeren Grades. ${\displaystyle X^{p}-a}$

Andererseits ist die Situation über den rationalen Zahlen und über endlichen Körpern besser als bei der ganzzahligen Faktorisierung , da es Faktorisierungsalgorithmen gibt , die eine polynomielle Komplexität haben . Sie sind in den meisten Allzweck- Computeralgebrasystemen implementiert .

Minimales Polynom

Wenn θ ein Element eines ist assoziativ K -Algebra L , die Polynombewertung bei θ ist die einzigartige Algebra Homomorphismus φ von K [ X ] in L , die Karten X auf & theta; und wirkt sich nicht auf die Elemente von K selbst (es ist die Identität Karte auf K ). Es besteht darin, in jedem Polynom X durch θ zu ersetzen . Das ist,

${\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_ {m}\theta^{m}+a_{m-1}\theta^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}$

Das Bild dieses Bewertungshomomorphismus ist die von x erzeugte Subalgebra , die notwendigerweise kommutativ ist. Wenn φ injektiv ist, ist die von θ erzeugte Subalgebra isomorph zu K [ X ] . In diesem Fall wird diese Subalgebra oft mit K [ θ ] bezeichnet . Die Mehrdeutigkeit der Notation ist aufgrund des Isomorphismus im Allgemeinen harmlos.

Wenn der Bewertungshomomorphismus nicht injektiv ist, bedeutet dies, dass sein Kern ein Nicht-Null- Ideal ist , das aus allen Polynomen besteht, die Null werden, wenn X durch θ ersetzt wird . Dieses Ideal besteht aus allen Vielfachen eines monischen Polynoms, das als minimales Polynom von x bezeichnet wird . Der Begriff minimal ist dadurch motiviert, dass sein Grad unter den Graden der Elemente des Ideals minimal ist.

Es gibt zwei Hauptfälle, in denen minimale Polynome betrachtet werden.

In der Feldtheorie und der Zahlentheorie , ein Element θ eines Erweiterungsfeld L von K ist algebraisch über K , wenn es sich um eine Wurzel ein Polynom mit Koeffizienten in ist K . Das minimale Polynom über K von θ ist also das monische Polynom minimalen Grades, das θ als Wurzel hat. Da L ein Körper ist, ist dieses minimale Polynom notwendigerweise über K irreduzibel . Zum Beispiel ist das minimale Polynom (über die reellen Zahlen sowie über das rationals) der komplexen Zahl i ist . Die zyklotomischen Polynome sind die minimalen Polynome der Einheitswurzeln . ${\displaystyle X^{2}+1}$

In der linearen Algebra bilden die n × n quadratischen Matrizen über K eine assoziative K -Algebra endlicher Dimension (als Vektorraum). Daher kann der Bewertungshomomorphismus nicht injektiv sein, und jede Matrix hat ein minimales Polynom (nicht unbedingt irreduzibel). Nach dem Cayley-Hamilton-Theorem bildet der Bewertungshomomorphismus das charakteristische Polynom einer Matrix auf Null ab . Daraus folgt, dass das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt und daher der Grad des Minimalpolynoms höchstens n beträgt .

Quotientenring

Im Fall von K [ X ] kann der Quotientenring durch ein Ideal wie im allgemeinen Fall als Menge von Äquivalenzklassen gebildet werden . Da jedoch jede Äquivalenzklasse genau ein Polynom minimalen Grades enthält, ist eine andere Konstruktion oft bequemer.

Bei einem Polynom p vom Grad d kann der Quotientenring von K [ X ] durch das von p erzeugte Ideal mit dem Vektorraum der Polynome vom Grad d kleiner als d identifiziert werden , mit der "Multiplikation modulo p " als Multiplikation, die Multiplikation modulo p bestehend aus dem Rest unter der Division durch p des (üblichen) Produkts von Polynomen. Dieser Quotientenring wird verschiedentlich als oder einfach bezeichnet ${\displaystyle K[X]/pK[X],}$ ${\displaystyle K[X]/\langle p\rangle,}$ ${\displaystyle K[X]/(p),}$${\displaystyle K[X]/p.}$

Der Ring ist genau dann ein Körper, wenn p ein irreduzibles Polynom ist . Tatsächlich ist, wenn p irreduzibel ist, jedes von Null verschiedene Polynom q niedrigeren Grades mit p teilerfremd , und die Identität von Bézout erlaubt es, r und s so zu berechnen, dass sp + qr = 1 ; so, r ist die multiplikative Inverse von q modulo p . Umgekehrt, wenn p reduzierbar ist, gibt es Polynome a, b mit Graden kleiner als deg( p ), so dass ab = p  ; so a, b sind ungleich Null Nullteilern Modulo p , und nicht umkehrbar sein kann. ${\displaystyle K[X]/(p)}$

Zum Beispiel lässt sich die Standarddefinition des Körpers der komplexen Zahlen so zusammenfassen, dass es der Quotientenring ist

${\displaystyle \mathbb{C} =\mathbb{R} [X]/(X^{2}+1),}$

und dass das Bild von X in mit i bezeichnet wird . Tatsächlich besteht dieser Quotient nach obiger Beschreibung aus allen Polynomen vom Grad eins in i , die die Form a + bi haben , mit a und b in Der Rest der euklidischen Division, die für die Multiplikation zweier Elemente des Quotientenrings benötigt wird erhält man, indem man i ² durch −1 in ihrem Produkt als Polynome ersetzt (dies ist genau die übliche Definition des Produkts komplexer Zahlen). ${\displaystyle \mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$

Sei θ ein algebraisches Element in einer K -Algebra A . Mit algebraisch meint man, dass θ ein minimales Polynom p hat . Der erste Ringisomorphismussatz besagt , dass der Substitutionshomomorphismus einen Isomorphismus von auf das Bild K [ θ ] des Substitutionshomomorphismus induziert . Insbesondere wenn A eine einfache Erweiterung von K ist, die durch θ erzeugt wird , ermöglicht dies die Identifizierung von A und Diese Identifizierung wird in der algebraischen Zahlentheorie häufig verwendet . ${\displaystyle K[X]/(p)}$${\displaystyle K[X]/(p).}$

Module

Der Struktursatz für endlich erzeugte Module über einem idealen Hauptgebiet gilt für K [ X ], wenn K ein Körper ist. Dies bedeutet, dass jeder endlich erzeugte Modul über K [ X ] in eine direkte Summe aus einem freien Modul und endlich vielen Modulen der Form zerlegt werden kann , wobei P ein irreduzibles Polynom über K und k eine positive ganze Zahl ist. ${\displaystyle K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle}$

Definition (multivariater Fall)

Gegeben n Symbole, die man Unbestimmtes nennt , ein Monom (auch Potenzprodukt genannt ) ${\displaystyle X_{1},\dots,X_{n},}$

${\displaystyle X_{1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n}^{\alpha_{n}}}$

ist ein formales Produkt dieser Unbestimmten, möglicherweise in eine nichtnegative Potenz erhoben. Exponenten gleich Eins und Faktoren mit Exponent Null können wie üblich weggelassen werden. Bestimmtes,${\displaystyle X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.}$

Das Tupel der Exponenten α = ( α ₁ , ..., α _n ) wird , um die genannte multidegree oder Exponent Vektor des Monom. Für eine weniger umständliche Notation ist die Abkürzung

${\displaystyle X^{\alpha}=X_{1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n}^{\alpha_{n}}}$

wird oft verwendet. Der Grad eines Monoms X ^α , häufig als deg α oder | . bezeichnet α | , ist die Summe seiner Exponenten:

${\displaystyle \deg\alpha =\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}.}$

Ein Polynom in diesen Unbestimmten, mit Koeffizienten in einem Körper, oder allgemeiner ein Ring , K ist eine endliche Linearkombination von Monomen

${\displaystyle p=\sum _{\alpha}p_{\alpha}X^{\alpha}}$

mit Koeffizienten in K . Der Grad eines von Null verschiedenen Polynoms ist das Maximum der Grade seiner Monome mit von Null verschiedenen Koeffizienten.

Die Menge der Polynome in bezeichnet ist also ein Vektorraum (oder ein freier Modul , wenn K ein Ring ist), der die Monome als Basis hat. ${\displaystyle X_{1},\dots,X_{n},}$${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}],}$

${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}]}$natürlich ausgestattet ist (siehe unten) mit einer Multiplikation, der eine macht Ring und eine assoziative Algebra über K , genannt Polynomring in n indeterminates über K (den bestimmten Artikel der reflektiert , dass es eindeutig auf den Namen und die Reihenfolge definiert ist von die Unbestimmten. Wenn der Ring K ist kommutativ , ist auch ein kommutativer Ring. ${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}]}$

Operationen in K [ X ₁ , ..., X _n ]

Addition und skalare Multiplikation von Polynomen sind die eines Vektorraums oder freien Moduls, ausgestattet mit einer bestimmten Basis (hier die Basis der Monome). Explizit sei, wobei I und J endliche Mengen von Exponentenvektoren sind. ${\displaystyle p=\sum_{\alpha\in I}p_{\alpha}X^{\alpha},\quad q=\sum_{\beta\in J}q_{\beta}X^{\ Beta },}$

Die Skalarmultiplikation von p und einem Skalar ist ${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle cp=\sum_{\alpha\in I}cp_{\alpha}X^{\alpha}.}$

Die Addition von p und q ist

${\displaystyle p+q=\sum_{\alpha\in I\cup J}(p_{\alpha}+q_{\alpha})X^{\alpha},}$

wo wenn und wenn Außerdem, wenn man für einige hat, wird der entsprechende Nullterm aus dem Ergebnis entfernt. ${\displaystyle p_{\alpha}=0}$${\displaystyle \alpha\not\in I,}$${\displaystyle q_{\beta}=0}$${\displaystyle \beta\not\in J.}$${\displaystyle p_{\alpha}+q_{\alpha}=0}$${\displaystyle \alpha\in I\cap J,}$

Die Multiplikation ist

${\displaystyle pq=\sum_{\gamma\in I+J}\left(\sum_{\alpha,\beta\mid\alpha+\beta=\gamma}p_{\alpha}q_{\beta} \right)X^{\gamma},}$

wo ist die Menge der Summen eines Exponentenvektors in I und eines anderen in J (übliche Summe von Vektoren). Insbesondere ist das Produkt zweier Monome ein Monom, dessen Exponentenvektor die Summe der Exponentenvektoren der Faktoren ist. ${\displaystyle I+J}$

Die Verifikation der Axiome einer assoziativen Algebra ist einfach.

Polynomausdruck

Ein polynomialer Ausdruck ist ein Ausdruck, der aus Skalaren (Elementen von K ), Unbestimmten und den Operatoren der Addition, Multiplikation und Exponentiation zu nichtnegativen ganzzahligen Potenzen aufgebaut ist.

Da alle diese Operationen in einem Polynom definiert sind, stellt der Ausdruck ein Polynom dar, das ist ein Element von Die Definition eines Polynoms als Linearkombination von Monomen ist ein bestimmter polynomischer Ausdruck, der oft als kanonische Form , Normalform oder erweiterte Form des Polynoms. Bei einem gegebenen polynomischen Ausdruck kann man die erweiterte Form des repräsentierten Polynoms berechnen, indem man mit dem Distributivgesetz alle Produkte expandiert, deren Faktoren eine Summe haben, und dann Kommutativität (außer dem Produkt zweier Skalare) und Assoziativität zur Transformation verwendet die Bedingungen der resultierenden Summe in Produkte eines Skalars und eines Monoms; dann erhält man die kanonische Form, indem man die gleichen Begriffe umgruppiert . ${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}]}$${\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}].}$

Die Unterscheidung zwischen einem polynomischen Ausdruck und dem Polynom, das er repräsentiert, ist relativ neu und wird hauptsächlich durch den Aufstieg der Computeralgebra motiviert , wo beispielsweise der Test, ob zwei polynomische Ausdrücke dasselbe Polynom darstellen, eine nichttriviale Berechnung sein kann.

Kategoriale Charakterisierung

Wenn K ein kommutativer Ring, die Polynomring K [ X ₁ , ..., X _n ] hat folgende universelle Eigenschaft : Für jeden kommutativen K -Algebra A , und jeden n - Tupel ( x ₁ , ..., x _n ) der Elemente von A , ein einzigartigen besteht Algebra Homomorphismus von K [ X ₁ , ..., X _N ] zu A , dass die Karten jeweils auf die entsprechenden diesen Homomorphismus wird , um die Auswertung Homomorphismus , die in Substituieren besteht für die in jedem Polynom. ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}.}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

Wie bei jeder universellen Eigenschaft charakterisiert dies das Paar bis auf einen eindeutigen Isomorphismus . ${\displaystyle (K[X_{1},\dots,X_{n}],(X_{1},\dots,X_{n}))}$

Dies kann auch im Sinne von adjungierten Funktoren interpretiert werden . Genauer gesagt seien SET und ALG die Kategorien von Mengen bzw. kommutativen K -Algebren (hier und im Folgenden sind die Morphismen trivial definiert). Es gibt einen vergesslichen Funktor , der Algebren auf ihre zugrunde liegenden Mengen abbildet. Andererseits definiert die Karte einen Funktor in die andere Richtung. (Wenn X unendlich ist, ist K [ X ] die Menge aller Polynome in endlich vielen Elementen von X .) ${\displaystyle \mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET} }$${\displaystyle X\mapsto K[X]}$${\displaystyle \mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}}$

Die universelle Eigenschaft der Polynomrings bedeutet , dass F und POL ist Adjunktion . Das heißt, es gibt eine Bijektion

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET} }(X,\operatorname {F} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG} }(K[X],A ).}$

Dies kann auch dadurch ausgedrückt werden, dass Polynomringe freie kommutative Algebren sind , da sie freie Objekte in der Kategorie der kommutativen Algebren sind. In ähnlicher Weise ist ein Polynomring mit ganzzahligen Koeffizienten der freie kommutative Ring über seiner Menge von Variablen, da kommutative Ringe und kommutative Algebren über den ganzen Zahlen dasselbe sind.

Abgestufte Struktur

Univariat über einen Ring vs. multivariat

Ein Polynom in kann als univariates Polynom im Unbestimmten über dem Ring betrachtet werden, indem die Terme, die die gleiche Potenz enthalten, umgruppiert werden, d. h. unter Verwendung der Identität ${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n-1}],}$${\displaystyle X^{n},}$

${\displaystyle \sum_{(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})\in I}c_{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}}X_{ 1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n}^{\alpha_{n}}=\sum_{i}\left(\sum_{(\alpha_{1},\ldots ,\alpha_{n-1})\mid (\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n-1},i)\in I}c_{\alpha_{1},\ldots, \alpha_{n-1}}X_{1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha_{n-1}}\right)X_{n}^{ ich},}$

die sich aus der Distributivität und Assoziativität von Ringoperationen ergibt.

Das heißt, man hat einen Algebra-Isomorphismus

${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]\cong (K[X_{1},\ldots,X_{n-1}])[X_{n}]}$

die jedes Unbestimmte auf sich selbst abbildet. (Dieser Isomorphismus wird oft als Gleichheit geschrieben, was damit begründet wird, dass Polynomringe bis auf einen eindeutigen Isomorphismus definiert sind.)

Mit anderen Worten, ein multivariater Polynomring kann als ein univariates Polynom über einem kleineren Polynomring betrachtet werden. Dies wird häufig verwendet, um die Eigenschaften multivariater Polynomringe durch Induktion über die Anzahl der Unbestimmten zu beweisen .

Die wichtigsten dieser Eigenschaften sind unten aufgeführt.

Eigenschaften, die von R nach R gehen [ X ]

In diesem Abschnitt ist R ein kommutativer Ring, K ist ein Körper, X bezeichnet ein einzelnes Unbestimmtes und ist wie üblich der Ring der ganzen Zahlen. Hier ist die Liste der wichtigsten Ringeigenschaften, die beim Übergang von R zu R [ X ] wahr bleiben . ${\displaystyle \mathbb{Z}}$

• Wenn R ein ganzzahliges Gebiet ist, dann gilt dasselbe für R [ X ] (da der führende Koeffizient eines Produkts von Polynomen, wenn nicht null, das Produkt der führenden Koeffizienten der Faktoren ist).
  • Insbesondere und sind integrale Domänen.${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb{Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Wenn R ein eindeutiger Faktorisierungsbereich ist, gilt das gleiche für R [ X ] . Dies ergibt sich aus dem Lemma von Gauß und der einzigartigen Faktorisierungseigenschaft, wobei L der Körper der Brüche von R ist . ${\displaystyle L[X],}$
  • Insbesondere und sind eindeutige Faktorisierungsdomänen.${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb{Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Ist R ein Noetherscher Ring , so gilt das gleiche für R [ X ] .
  • Insbesondere und sind Noethersche Ringe; Dies ist der Basissatz von Hilbert .${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb{Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Wenn R ein Noetherscher Ring ist, dann bezeichnet " " die Krull-Dimension . ${\displaystyle \dim R[X]=1+\dim R,}$${\displaystyle \dim}$
  • Insbesondere und${\displaystyle \dim K[X_{1},\ldots,X_{n}]=n}$${\displaystyle \dim\mathbb{Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.}$
• Ist R ein regulärer Ring , so gilt das gleiche für R [ X ] ; in diesem Fall hat man
  $${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$$

  
  wobei " " die globale Dimension bezeichnet . ${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim }$
  • Insbesondere und sind regelmäßige Ringe, und Die letztere Gleichheit ist
  Hilberts Syzygiesatz .${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle \mathbb{Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1,}$${\displaystyle \operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.}$

Mehrere Unbestimmte über ein Feld

Polynomringe in mehreren Variablen über einem Körper sind grundlegend in der Invariantentheorie und der algebraischen Geometrie . Einige ihrer Eigenschaften, wie die oben beschriebenen, können auf den Fall eines einzelnen Unbestimmten reduziert werden, aber dies ist nicht immer der Fall. Insbesondere wegen der geometrischen Anwendungen müssen viele interessante Eigenschaften bei affinen oder projektiven Transformationen der Unbestimmten invariant sein . Dies impliziert oft, dass man keines der Unbestimmten für eine Wiederholung auf den Unbestimmten auswählen kann.

Bézout Theorem , Hilberts Nullstellensatz und Jacobi - Vermutung gehört zu den bekanntesten Eigenschaften , die spezifisch für multivariate Polynome über ein Feld sind.

Hilberts Nullstellensatz

Der Nullstellensatz (deutsch für "Zero-Locus-Theorem") ist ein zuerst von David Hilbert bewiesener Satz, der einige Aspekte des Fundamentalsatzes der Algebra auf den multivariaten Fall erweitert . Sie ist grundlegend für die algebraische Geometrie , da sie eine starke Verbindung zwischen den algebraischen Eigenschaften von und den geometrischen Eigenschaften von algebraischen Varietäten herstellt , die (grob gesagt) eine Menge von Punkten sind, die durch implizite Polynomgleichungen definiert sind . ${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$

Der Nullstellensatz hat drei Hauptversionen, von denen jede eine Folge einer anderen ist. Zwei dieser Versionen sind unten aufgeführt. Für die dritte Version wird der Leser auf den Hauptartikel zum Nullstellensatz verwiesen.

Die erste Version verallgemeinert die Tatsache, dass ein univariates Polynom ungleich Null genau dann eine komplexe Null hat, wenn es keine Konstante ist. Die Aussage lautet: Eine Menge von Polynomen S in hat eine gemeinsame Nullstelle in einem algebraisch abgeschlossenen Körper , der K enthält , genau dann, wenn ${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$ 1 nicht zu dem von S erzeugten Ideal gehört , d. h. wenn 1 keine Linearkombination von Elementen von ist S mit Polynomkoeffizienten .

Die zweite Version verallgemeinert die Tatsache , dass die nicht reduzierbare univariate Polynome über den komplexen Zahlen sind Gesellschafter zu einem Polynom der Form der Anweisung lautet: Wenn K algebraisch abgeschlossen, dann die maximalen Ideale von der Form haben${\displaystyle X-\alpha .}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle \langle X_{1}-\alpha_{1},\ldots,X_{n}-\alpha_{n}\rangle.}$

Satz von Bézout

Bézout Theorem kann als multivariate Verallgemeinerung der Version des eingesehen wird Fundamentalsatzes der Algebra , die behaupten , dass ein univariate Polynom vom Grad n hat n komplexe Wurzeln, wenn sie mit ihren Mannigfaltigkeiten gezählt.

Bei bivariaten Polynomen besagt sie, dass zwei Polynome der Grade d und e in zwei Variablen, die keine gemeinsamen Faktoren positiven Grades haben, in einem algebraisch abgeschlossenen Körper , der die Koeffizienten enthält, genau de gemeinsame Nullstellen haben , wenn die Nullstellen mit gezählt werden ihre Multiplizität und schließen die Nullstellen im Unendlichen ein .

Um den allgemeinen Fall anzugeben und "Null im Unendlichen" nicht als spezielle Nullstellen zu betrachten, ist es praktisch, mit homogenen Polynomen zu arbeiten und Nullstellen in einem projektiven Raum zu betrachten . In diesem Zusammenhang ist eine projektive Nullstelle eines homogenen Polynoms bis auf eine Skalierung ein ( n + 1) - Tupel von Elementen von K unterschiedlicher Form (0, …, 0) , und so dass . Hier bedeutet "bis zu einer Skalierung", dass und für alle Nicht-Null-Nullstellen dieselbe Nullstelle angesehen wird. Mit anderen Worten, eine Nullstelle ist eine Menge homogener Koordinaten eines Punktes in einem projektiven Raum der Dimension n . ${\displaystyle P(X_{0},\ldots,X_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle P(x_{0},\ldots,x_{n})=0}$${\displaystyle (x_{0},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle (\lambda x_{0},\ldots,\lambda x_{n})}$${\displaystyle\lambda\in K.}$

Dann besagt der Satz von Bézout: Gegeben n homogene Polynome vom Grade in n + 1 Unbestimmten, die nur endlich viele gemeinsame projektive Nullstellen in einer algebraisch abgeschlossenen Erweiterung von K haben , dann ist die Summe der Multiplizitäten dieser Nullstellen das Produkt${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}.}$

Jacobi-Vermutung

Verallgemeinerungen

Polynomringe können auf viele Arten verallgemeinert werden, darunter Polynomringe mit verallgemeinerten Exponenten, Potenzreihenringe, nichtkommutative Polynomringe , schiefe Polynomringe und Polynom- Rigs .

Unendlich viele Variablen

Eine leichte Verallgemeinerung von Polynomringen besteht darin, unendlich viele Unbestimmte zuzulassen. Jedes Monom enthält immer noch nur eine endliche Anzahl von Unbestimmten (so dass sein Grad endlich bleibt), und jedes Polynom ist immer noch eine (endliche) Linearkombination von Monomen. Somit beinhaltet jedes einzelne Polynom nur endlich viele Unbestimmte, und jede endliche Berechnung, die Polynome einbezieht, verbleibt in einem Teilring von Polynomen in endlich vielen Unbestimmten. Diese Verallgemeinerung hat die gleiche Eigenschaft von gewöhnlichen Polynomringen, die freie kommutative Algebra zu sein , der einzige Unterschied besteht darin, dass sie ein freies Objekt über einer unendlichen Menge ist.

Man kann auch einen streng größeren Ring betrachten, indem man als verallgemeinertes Polynom eine unendliche (oder endliche) formale Summe von Monomen mit beschränktem Grad definiert. Dieser Ring ist größer als der übliche Polynomring, da er unendliche Summen von Variablen enthält. Er ist jedoch in unendlich vielen Variablen kleiner als der Ring der Potenzreihen . Ein solcher Ring wird verwendet, um den Ring symmetrischer Funktionen über eine unendliche Menge zu konstruieren .

Verallgemeinerte Exponenten

Eine einfache Verallgemeinerung ändert nur die Menge, aus der die Exponenten der Variablen gezogen werden. Die Formeln für Addition und Multiplikation sind sinnvoll, solange man Exponenten addieren kann: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Eine Menge, für die eine Addition sinnvoll ist (abgeschlossen und assoziativ ist), wird als Monoid bezeichnet . Die Menge von Funktionen von einem Monoid N zu einem Ring R, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden sind, kann die Struktur eines Rings namens R [ N ] geben, des Monoidrings von N mit Koeffizienten in R . Die Addition wird komponentenweise definiert, so dass wenn c = a + b , dann c _n = a _n + b _n für jedes n in N ist . Die Multiplikation ist als das Cauchy-Produkt definiert, so dass, wenn c = a ⋅ b , dann für jedes n in N , c _n die Summe aller a _i b _{j ist,} wobei i , j über alle Paare von Elementen von N reicht, deren Summe zu n .

Wenn N kommutativ ist, ist es zweckmäßig, die Funktion a in R [ N ] als formale Summe zu bezeichnen:

${\displaystyle \sum_{n\in N}a_{n}X^{n}}$

und dann sind die Formeln für Addition und Multiplikation die bekannten:

${\displaystyle \left(\sum_{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum_{n\in N}b_{n}X^{n}\ rechts)=\sum_{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}$

und

${\displaystyle \left(\sum_{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum_{n\in N}b_{n}X^{n} \right)=\sum_{n\in N}\left(\sum_{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

wobei die letztere Summe über alle i , j in N genommen wird , diese Summe zu n .

Einige Autoren wie ( Lang 2002 , II,§3) gehen sogar so weit, diese Monoiddefinition als Ausgangspunkt zu nehmen, und reguläre einvariable Polynome sind der Spezialfall, bei dem N das Monoid von nichtnegativen ganzen Zahlen ist. Polynome in mehreren Variablen nehmen einfach an, dass N das direkte Produkt mehrerer Kopien des Monoids nicht negativer ganzer Zahlen ist. Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLang2002 ( Hilfe )

Mehrere interessante Beispiele für Ringe und Gruppen werden gebildet, indem man N als das additive Monoid von nicht-negativen rationalen Zahlen annimmt ( Osbourne 2000 , §4.4) . Siehe auch Puiseux-Reihe . Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFOsbourne2000 ( Hilfe )

Leistungsreihe

Potenzreihen verallgemeinern die Wahl des Exponenten in eine andere Richtung, indem sie unendlich viele Terme ungleich Null zulassen. Dies erfordert verschiedene Hypothesen über das für die Exponenten verwendete Monoid N , um sicherzustellen, dass die Summen im Cauchy-Produkt endliche Summen sind. Alternativ kann man eine Topologie auf den Ring legen und dann auf konvergente unendliche Summen beschränken. Für die Standardwahl von N , den nicht-negativen ganzen Zahlen, gibt es keine Schwierigkeiten, und der Ring der formalen Potenzreihen ist definiert als die Menge von Funktionen von N zu einem Ring R mit komponentenweiser Addition und Multiplikation gegeben durch die Cauchy Produkt. Der Ring der Potenzreihen kann auch als Ringvervollständigung des Polynomrings bezüglich des von x erzeugten Ideals angesehen werden .

Nichtkommutative Polynomringe

Für Polynomringe mit mehr als einer Variablen werden die Produkte X ⋅ Y und Y ⋅ X einfach als gleich definiert. Eine allgemeinere Vorstellung von Polynomring erhält man, wenn die Unterscheidung zwischen diesen beiden formalen Produkten beibehalten wird. Formal ist der Polynomring in n nichtkommutierenden Variablen mit Koeffizienten im Ring R der Monoidring R [ N ], wobei das Monoid N das freie Monoid auf n Buchstaben ist, auch bekannt als Menge aller Strings über einem Alphabet von n Symbolen , wobei die Multiplikation durch Verkettung gegeben ist. Weder die Koeffizienten noch die Variablen müssen untereinander kommutieren, sondern die Koeffizienten und Variablen kommutieren miteinander.

So wie der Polynomring in n Variablen mit Koeffizienten im Kommutativring R die freie kommutative R -Algebra vom Rang n ist , ist der nichtkommutative Polynomring in n Variablen mit Koeffizienten im Kommutativring R die freie assoziative, unitale R -Algebra auf n Generatoren, was nichtkommutativ ist, wenn n  > 1 ist.

Differential- und Skew-Polynom-Ringe

Andere Verallgemeinerungen von Polynomen sind Differential- und Skew-Polynom-Ringe.

Ein differentieller Polynomring ist ein Ring von Differentialoperatoren, der aus einem Ring R und einer Ableitung δ von R in R gebildet wird . Diese Ableitung arbeitet mit R und wird mit X bezeichnet , wenn sie als Operator betrachtet wird. Die Elemente von R wirken auch auf R durch Multiplikation. Die Zusammensetzung der Operatoren wird als übliche Multiplikation bezeichnet. Daraus folgt, dass die Beziehung δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b umgeschrieben werden kann als

${\displaystyle X\cdot a=a\cdot X+\delta (a).}$

Diese Beziehung kann erweitert werden, um eine Schrägmultiplikation zwischen zwei Polynomen in X mit Koeffizienten in R zu definieren , die sie zu einem nicht kommutativen Ring machen.

Der Standard Beispiel eine angerufene Weyl Algebra , nimmt R a (üblicher) Polynomrings seine k [ Y ] und δ der Standard Polynom - Derivat zu sein . Nimmt man a = Y in obiger Relation, so erhält man die kanonische Kommutierungsrelation , X ⋅ Y − Y ⋅ X = 1. Die Erweiterung dieser Relation um Assoziativität und Distributivität erlaubt die explizite Konstruktion der Weyl-Algebra . ( Lam 2001 , §1,ex1.9 ). ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial Y}}}$

Der Skew-Polynomrings ist in ähnlicher Weise für einen Ring definiert , R und einen Ring endomorphism f von R durch Verlängern der Multiplikation aus der Beziehung, X ⋅ r = f ( r ) ⋅ X zu erzeugen , eine assoziative Multiplikation, die produzieren vertreibt über die Standardaddition. Allgemeiner ausgedrückt erlaubt die Formel X ⁿ ⋅ r = F ( n )( r )⋅ X ⁿ bei einem gegebenen Homomorphismus F vom Monoid N der positiven ganzen Zahlen in den Endomorphismusring von R die Konstruktion eines Skew-Polynomrings. ( Lam 2001 , §1,ex 1.11) Skew-Polynomringe sind eng mit gekreuzten Produktalgebren verwandt .

Polynom-Rigs

Die Definition eines Polynomrings kann verallgemeinert werden, indem die Anforderung, dass die algebraische Struktur R ein Körper oder ein Ring ist, auf die Anforderung, dass R nur ein Halbkörper oder ein Rig ist , gelockert wird ; die resultierende polynomiale Struktur/Erweiterung R [ X ] ist ein polynomialer Rig . Zum Beispiel ist die Menge aller multivariaten Polynome mit natürlichen Zahlenkoeffizienten ein polynomialer Rig.

Siehe auch

• Additives Polynom
• Laurent-Polynom

Verweise

• Halle, FM (1969). "Abschnitt 3.6". Eine Einführung in die abstrakte Algebra . 2 . Cambridge University Press. ISBN 0521084849.
• Herstein, IN (1975). "Abschnitt 3.9". Themen in Algebra . Wiley. ISBN 0471010901. polynomischer Ring.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised 3. Aufl.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Osborne, M. Scott (2000), Basic Homological Algebra , Graduate Texts in Mathematics, 196 , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1278-2 , ISBN 978-0-387-98934-1, HERR  1757274