Zeichen (Mathematik) - Sign (mathematics)

Die Plus- und Minussymbole werden verwendet, um das Vorzeichen einer Zahl anzuzeigen.

In der Mathematik ist das Vorzeichen einer reellen Zahl ihre Eigenschaft, entweder positiv, negativ oder null zu sein . Abhängig von lokalen Konventionen kann Null weder als positiv noch als negativ angesehen werden (kein Vorzeichen oder ein eindeutiges drittes Vorzeichen aufweisend) oder kann sowohl als positiv als auch als negativ (mit beiden Vorzeichen) betrachtet werden. Wenn nicht ausdrücklich erwähnt, hält sich dieser Artikel an die erste Konvention.

In manchen Kontexten ist es sinnvoll, eine Null mit Vorzeichen zu berücksichtigen (z. B. Gleitkommadarstellungen reeller Zahlen in Computern). In Mathematik und Physik ist der Ausdruck "Vorzeichenwechsel" mit der Erzeugung der additiven Umkehrung (Negation oder Multiplikation mit −1 ) eines beliebigen Objekts verbunden, das diese Konstruktion zulässt, und ist nicht auf reelle Zahlen beschränkt. Sie gilt unter anderem für Vektoren, Matrizen und komplexe Zahlen, die nicht nur positiv, negativ oder null sein sollen. Das Wort "Zeichen" wird auch oft verwendet, um andere binäre Aspekte mathematischer Objekte anzuzeigen, die Positivität und Negativität ähneln, wie ungerade und gerade ( Vorzeichen einer Permutation ), Orientierungs- oder Rotationssinn ( cw/ccw ), einseitige Grenzen , und andere Konzepte, die in § Andere Bedeutungen unten beschrieben sind.

Zeichen einer Zahl

Zahlen aus verschiedenen Zahlensystemen, wie ganze Zahlen , rationale Zahlen , komplexe Zahlen , Quaternionen , Oktonionen , ... können mehrere Attribute haben, die bestimmte Eigenschaften einer Zahl festlegen. Wenn ein Zahlensystem die Struktur eines geordneten Rings trägt , zum Beispiel die ganzen Zahlen, muss es eine Zahl enthalten, die beim Hinzufügen keine Zahl ändert (ein additives Identitätselement ). Diese Zahl wird im Allgemeinen als 0 bezeichnet. Aufgrund der Gesamtordnung in diesem Ring gibt es Zahlen größer als Null, die als positive Zahlen bezeichnet werden. Für andere Eigenschaften, die innerhalb eines Rings erforderlich sind, gibt es für jede solche positive Zahl eine Zahl kleiner als 0, die, wenn sie zur positiven Zahl addiert wird, das Ergebnis 0 ergibt . Diese Zahlen kleiner als 0 werden negative Zahlen genannt. Die Zahlen in jedem dieser Paare sind ihre jeweiligen additiven Umkehrungen . Dieses Attribut einer Zahl, entweder ausschließlich wobei Null (0) , positiv (+) oder negativ (-) , wird seine genannten Zeichen und wird oft auf die reellen Zahlen codiert 0, 1 und -1, jeweils (ähnlich wie die Vorzeichenfunktion definiert ist). Da rationale und reelle Zahlen auch geordnete Ringe (gerade Felder ) sind, teilen diese Zahlensysteme das gleiche Vorzeichenattribut .

Während in der Arithmetik ein Minuszeichen normalerweise als Darstellung der binären Subtraktionsoperation angesehen wird, wird es in der Algebra normalerweise als Darstellung der unären Operation angesehen, die die additive Inverse (manchmal als Negation bezeichnet ) des Operanden ergibt . Während 0 seine eigene additive Umkehrung (−0 = 0) ist, ist die additive Umkehrung einer positiven Zahl negativ und die additive Umkehrung einer negativen Zahl positiv. Eine doppelte Anwendung dieser Operation wird als −(−3) = 3 geschrieben. Das Pluszeichen wird in der Algebra hauptsächlich verwendet, um die binäre Additionsoperation zu bezeichnen, und nur selten, um die Positivität eines Ausdrucks hervorzuheben.

In der üblichen Zahlennotation (in der Arithmetik und anderswo verwendet) wird das Vorzeichen einer Zahl oft explizit gemacht, indem ein Plus- oder Minuszeichen vor die Zahl gestellt wird. Zum Beispiel bezeichnet +3 "positive drei" und -3 bezeichnet "negative drei" (algebraisch: die additive Umkehrung von 3 ). Ohne spezifischen Kontext (oder wenn kein explizites Vorzeichen angegeben ist) wird eine Zahl standardmäßig als positiv interpretiert. Diese Notation stellt eine starke Assoziation des Minuszeichens „ “ mit negativen Zahlen und des Pluszeichens „+“ mit positiven Zahlen her.

Nullzeichen

Innerhalb der Konvention von Null weder positiv noch negativ mit einem speziellen Zeichen-Wert ist, 0 kann mit dem Zahlenwert zugeordnet wird 0 . Dies wird in der -Funktion ausgenutzt , wie sie für reelle Zahlen definiert ist. In der Arithmetik bezeichnen +0 und −0 beide dieselbe Zahl 0 . Eine Verwechslung des Wertes mit seinem Vorzeichen besteht grundsätzlich nicht, obwohl die Konvention, beide Vorzeichen auf 0 zu setzen, diese Unterscheidung nicht sofort zulässt.

In einigen Kontexten, insbesondere in der Informatik , ist es nützlich, vorzeichenbehaftete Versionen von Nullen zu betrachten, wobei Nullen mit Vorzeichen auf verschiedene diskrete Zahlendarstellungen verweisen ( weitere Informationen finden Sie unter Darstellungen von vorzeichenbehafteten Zahlen ).

Die Symbole +0 und –0 erscheinen selten als Ersatz für 0 + und 0 , die in der Analysis und der mathematischen Analyse für einseitige Grenzen (rechtsseitige Grenze bzw. linksseitige Grenze) verwendet werden. Diese Notation bezieht sich auf das Verhalten einer Funktion, wenn sich ihre reale Eingangsvariable bei positiven (bzw. negativen) Werten 0 nähert ; die beiden Grenzen müssen nicht existieren oder übereinstimmen.

Terminologie für Zeichen

Wenn 0 weder positiv noch negativ ist, können sich die folgenden Sätze auf das Vorzeichen einer Zahl beziehen:

  • Eine Zahl ist positiv, wenn sie größer als Null ist.
  • Eine Zahl ist negativ, wenn sie kleiner als Null ist.
  • Eine Zahl ist nicht negativ, wenn sie größer oder gleich Null ist.
  • Eine Zahl ist nicht positiv, wenn sie kleiner oder gleich Null ist.

Wenn 0 sowohl positiv als auch negativ sein soll, werden modifizierte Ausdrücke verwendet, um sich auf das Vorzeichen einer Zahl zu beziehen:

  • Eine Zahl ist streng positiv, wenn sie größer als Null ist.
  • Eine Zahl ist streng negativ, wenn sie kleiner als Null ist.
  • Eine Zahl ist positiv, wenn sie größer oder gleich Null ist.
  • Eine Zahl ist negativ, wenn sie kleiner oder gleich Null ist.

Zum Beispiel ist der Absolutwert einer reellen Zahl immer "nicht negativ", aber in der ersten Interpretation nicht unbedingt "positiv", während er in der zweiten Interpretation "positiv" genannt wird - wenn auch nicht unbedingt "streng positiv". .

Dieselbe Terminologie wird manchmal für Funktionen verwendet , die reelle oder andere vorzeichenbehaftete Werte liefern. Beispielsweise würde eine Funktion als positive Funktion bezeichnet, wenn ihre Werte für alle Argumente ihres Bereichs positiv sind, oder als nicht-negative Funktion, wenn alle ihre Werte nicht-negativ sind.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen lassen sich nicht ordnen, können also nicht die Struktur eines geordneten Rings tragen und können dementsprechend nicht in positive und negative komplexe Zahlen unterteilt werden. Sie teilen jedoch mit den reellen Zahlen ein Attribut, das als absoluter Wert oder Betrag bezeichnet wird . Beträge sind immer nicht-negative reelle Zahlen, und zu jeder von Null verschiedenen Zahl gehört eine positive reelle Zahl, ihr Absolutwert .

Zum Beispiel sind der Absolutwert von −3 und der Absolutwert von 3 beide gleich 3. Dies wird in Symbolen als | . geschrieben −3 | = 3 und | 3 | = 3.

Im Allgemeinen kann jeder beliebige reelle Wert durch seinen Betrag und sein Vorzeichen angegeben werden. Bei der Standardcodierung wird jeder reelle Wert durch das Produkt aus Betrag und Vorzeichen in der Standardcodierung angegeben. Diese Beziehung kann verallgemeinert werden, um ein Vorzeichen für komplexe Zahlen zu definieren .

Da sowohl die reellen als auch die komplexen Zahlen einen Körper bilden und die positiven reellen Zahlen enthalten, enthalten sie auch die Kehrwerte der Beträge aller von Null verschiedenen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede von Null verschiedene Zahl mit dem Kehrwert ihrer Größe multipliziert, dh durch ihre Größe dividiert werden kann. Es ist unmittelbar, dass der Quotient einer beliebigen reellen Zahl ungleich Null durch ihre Größe genau ihr Vorzeichen ergibt. Analog lässt sich das Vorzeichen einer komplexen Zahl z als Quotient von z und seinem Betrag | . definieren z | . Da der Betrag der komplexen Zahl geteilt wird , repräsentiert das resultierende Vorzeichen der komplexen Zahl in gewisser Weise ihr komplexes Argument. Dies ist mit dem Vorzeichen reeller Zahlen zu vergleichen, außer bei der Definition einer komplexen Vorzeichenfunktion. siehe § Komplexe Vorzeichenfunktion unten.

Zeichenfunktionen

Vorzeichenfunktion y = sgn( x )

Beim Umgang mit Zahlen ist es oft praktisch, ihr Vorzeichen als Zahl zur Verfügung zu haben. Dies wird durch Funktionen erreicht, die das Vorzeichen einer beliebigen Zahl extrahieren und auf einen vordefinierten Wert abbilden, bevor sie für weitere Berechnungen zur Verfügung gestellt werden. Beispielsweise kann es von Vorteil sein, einen komplizierten Algorithmus nur für positive Werte zu formulieren und sich erst danach um das Vorzeichen zu kümmern.

Echtzeichenfunktion

Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion extrahiert das Vorzeichen einer reellen Zahl, indem sie die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der drei reellen Zahlen abbildet. Es kann wie folgt definiert werden:

Somit ist sgn( x ) 1, wenn x positiv ist, und sgn( x ) ist –1, wenn x negativ ist. Für Werte von x ungleich Null kann diese Funktion auch durch die Formel definiert werden

wo | x | ist der absolute Wert von x .

Komplexe Vorzeichenfunktion

Während eine reelle Zahl eine 1-dimensionale Richtung hat, hat eine komplexe Zahl eine 2-dimensionale Richtung. Die komplexe Vorzeichenfunktion benötigt die Größe ihres Arguments z = x + iy , die berechnet werden kann als

Analog zu oben extrahiert die Funktion komplexes Vorzeichen das komplexe Vorzeichen einer komplexen Zahl, indem sie die Menge der komplexen Zahlen ungleich null auf die Menge der unimodularen komplexen Zahlen und 0 auf 0 abbildet: Sie kann wie folgt definiert werden:

Sei z auch durch seine Größe und eines seiner Argumente φ ausgedrückt als z = | z |⋅ e , dann

Diese Definition kann auch als normalisierter Vektor erkannt werden, dh als Vektor, dessen Richtung unverändert ist und dessen Länge auf Eins festgelegt ist . Wenn der ursprüngliche Wert R,θ in Polarform war, dann ist sign(R, θ) 1 θ. Die Erweiterung von sign() oder signum() auf beliebig viele Dimensionen ist offensichtlich, wurde aber bereits als Normierung eines Vektors definiert.

Schilder pro Konvention

In Situationen, in denen es für ein Attribut genau zwei gleichberechtigte Möglichkeiten gibt, werden diese oft per Konvention als plus bzw. minus bezeichnet. In einigen Kontexten ist die Wahl dieser Zuweisung (dh welcher Wertebereich als positiv und welcher als negativ angesehen wird) natürlich, während in anderen Kontexten die Wahl willkürlich ist, was eine explizite Vorzeichenkonvention erforderlich macht und die einzige Anforderung die konsequente Verwendung von . ist Das Treffen.

Vorzeichen eines Winkels

Messung des von der x-Achse , Winkel am Einheitskreis Zahl als positiv im Gegenuhrzeigersinn - Richtung und negativ im Uhrzeigersinn - Richtung.

In vielen Zusammenhängen ist es üblich, einem Winkelmaß , insbesondere einem orientierten Winkel oder einem Drehwinkel, ein Vorzeichen zuzuordnen . In einer solchen Situation zeigt das Vorzeichen an, ob der Winkel im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn verläuft. Obwohl verschiedene Konventionen verwendet werden können, ist es in der Mathematik üblich , Winkel gegen den Uhrzeigersinn als positiv und Winkel im Uhrzeigersinn als negativ zu zählen.

Es ist auch möglich, einem Drehwinkel in drei Dimensionen ein Vorzeichen zuzuordnen, vorausgesetzt, die Drehachse wurde orientiert. Insbesondere zählt eine rechtshändige Drehung um eine orientierte Achse typischerweise als positiv, während eine linkshändige Drehung als negativ zählt.

Zeichen einer Veränderung

Wenn sich eine Größe x im Laufe der Zeit ändert, wird die Änderung des Wertes von x typischerweise durch die Gleichung

Nach dieser Konvention zählt eine Zunahme von x als positive Änderung, während eine Abnahme von x als negative Änderung zählt. In der Infinitesimalrechnung wird dieselbe Konvention bei der Definition der Ableitung verwendet . Als Ergebnis hat jede ansteigende Funktion eine positive Ableitung, während jede abnehmende Funktion eine negative Ableitung hat.

Wegweiser

In der analytischen Geometrie und Physik ist es üblich, bestimmte Richtungen als positiv oder negativ zu bezeichnen. Für ein einfaches Beispiel wird der Zahlenstrahl normalerweise mit positiven Zahlen rechts und negativen Zahlen links gezeichnet:

Number-line.svg

Infolgedessen wird bei der Diskussion über lineare Bewegung , Verschiebung oder Geschwindigkeit eine Bewegung nach rechts normalerweise als positiv angesehen, während eine ähnliche Bewegung nach links als negativ angesehen wird.

Auf der kartesischen Ebene werden die Rechts- und Aufwärtsrichtungen normalerweise als positiv angesehen, wobei rechts die positive x- Richtung und nach oben die positive y- Richtung ist. Wenn eine Verschiebung oder Geschwindigkeitsvektor in seine getrennt Vektorkomponenten , so wird der horizontale Teil auf der linken Seite für die Bewegungs nach rechts und negativ für positive Bewegung sein, während der vertikale Teil für die Bewegungs positiv sein wird nach oben und nach unten negativ für Bewegung.

Signedness in der Informatik

höchstwertiges Bit
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1 = -1
1 1 1 1 1 1 1 0 = -2
1 0 0 0 0 0 0 1 = −127
1 0 0 0 0 0 0 0 = -128
Die meisten Computer verwenden das Zweierkomplement , um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen.

Bei der Berechnung kann ein ganzzahliger Wert entweder mit Vorzeichen oder ohne Vorzeichen sein, je nachdem, ob der Computer ein Vorzeichen für die Zahl verfolgt. Indem eine Integer- Variable nur auf nicht negative Werte beschränkt wird, kann ein weiteres Bit zum Speichern des Werts einer Zahl verwendet werden. Aufgrund der Art und Weise, wie ganzzahlige Arithmetik in Computern durchgeführt wird, speichern vorzeichenbehaftete Zahlendarstellungen normalerweise das Vorzeichen nicht als einzelnes unabhängiges Bit, sondern verwenden beispielsweise das Zweierkomplement .

Im Gegensatz dazu werden reelle Zahlen als Gleitkommawerte gespeichert und manipuliert . Die Gleitkommawerte werden mit drei separaten Werten dargestellt, Mantisse, Exponent und Vorzeichen. Mit diesem separaten Vorzeichenbit ist es möglich, sowohl positive als auch negative Null darzustellen. Die meisten Programmiersprachen behandeln normalerweise positive Nullen und negative Nullen als gleichwertige Werte, obwohl sie Mittel zur Verfügung stellen, mit denen die Unterscheidung erkannt werden kann.

Andere Bedeutungen

Die elektrische Ladung kann positiv oder negativ sein.

Neben dem Vorzeichen einer reellen Zahl wird das Wortzeichen auch in der Mathematik und anderen Wissenschaften auf verschiedene Weise verwendet:

  • Wörter bis zum Vorzeichen bedeuten, dass für eine Größe q bekannt ist, dass entweder q = Q oder q = − Q für ein bestimmtes Q gilt . Es wird oft als q = ± Q ausgedrückt . Für reelle Zahlen bedeutet dies, dass nur der Absolutwert | q | der Menge ist bekannt. Für komplexe Zahlen und Vektoren , eine Menge an Zeichen bekannt up ist eine stärkere Bedingung als eine Menge mit bekannter Größenordnung : beiseite Q und - Q , es gibt viele anderen möglichen Werte von q , so dass | q | = | Q | .
  • Das Vorzeichen einer Permutation ist positiv, wenn die Permutation gerade ist, und negativ, wenn die Permutation ungerade ist.
  • In der Graphentheorie , eine signierte Graph ist ein Graph , in dem jeder Rand mit einem positiven oder negativen Vorzeichen gekennzeichnet.
  • In der mathematischen Analyse ist ein Maß mit Vorzeichen eine Verallgemeinerung des Maßkonzepts, bei dem das Maß einer Menge positive oder negative Werte haben kann.
  • In einer signierten stellige Darstellung , jede Ziffer einer Zahl kann ein positives oder negatives Vorzeichen hat.
  • Die Begriffe Vorzeichenbereich und Vorzeichenvolumen werden manchmal verwendet, wenn es für bestimmte Bereiche oder Volumina zweckmäßig ist, als negativ zu zählen. Dies gilt insbesondere für die Determinantentheorie . In einem (abstrakt) orientierten Vektorraum kann jede geordnete Basis für den Vektorraum entweder als positiv oder negativ orientiert klassifiziert werden.
  • In der Physik hat jede elektrische Ladung ein positives oder negatives Vorzeichen. Konventionell ist eine positive Ladung eine Ladung mit dem gleichen Vorzeichen wie die eines Protons und eine negative Ladung eine Ladung mit dem gleichen Vorzeichen wie die eines Elektrons .

Siehe auch

Verweise

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  2. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Zeichen" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen 26.08.2020 .
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  5. ^ "Winkelzeichen | Was ist ein Winkel? | Positiver Winkel | Negativer Winkel" . Nur Mathe Mathe . Abgerufen 26.08.2020 .