Vorläufer (Physik) - Precursor (physics)

Vorläufer sind charakteristische Wellenmuster, die durch Streuung der Frequenzkomponenten eines Impulses verursacht werden, wenn dieser sich durch ein Medium ausbreitet. Klassischerweise stehen Vorläufer dem Hauptsignal voraus, obwohl sie in bestimmten Situationen auch diesem folgen können. Vorläuferphänomene existieren für alle Arten von Wellen, da ihr Auftreten nur auf der Bedeutung von Dispersionseffekten in einem bestimmten Wellenausbreitungsmodus beruht. Diese Unspezifität wurde durch die Beobachtung von Vorläufermustern bei verschiedenen Arten elektromagnetischer Strahlung ( Mikrowellen , sichtbares Licht und Terahertz-Strahlung ) sowie bei Oberflächenwellen und seismischen Wellen bestätigt .

Geschichte

Vorläufer wurden erstmals 1914 von Arnold Sommerfeld theoretisch für den Fall der Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung durch ein neutrales Dielektrikum in einem Bereich normaler Dispersion vorhergesagt . Sommerfelds Arbeit wurde in den folgenden Jahren von Léon Brillouin erweitert , der die Sattelpunktnäherung zur Berechnung der beteiligten Integrale verwendete. Es dauerte jedoch bis 1969, bis Vorläufer erstmals experimentell für den Fall der Ausbreitung von Mikrowellen in einem Wellenleiter bestätigt wurden, und ein Großteil der experimentellen Arbeiten zur Beobachtung von Vorläufern in anderen Wellentypen wurde erst seit dem Jahr 2000 durchgeführt. Diese experimentelle Verzögerung ist hauptsächlich Aufgrund der Tatsache, dass Vorläufer in vielen Situationen eine viel kleinere Amplitude haben als die Signale, die sie hervorrufen (eine von Brillouin angegebene Basiszahl ist sechs Größenordnungen kleiner). Infolgedessen konnten experimentelle Bestätigungen erst durchgeführt werden, nachdem Technologie zum Nachweis von Vorläufern verfügbar wurde.

Grundlegende Theorie

Als dispersives Phänomen kann die Amplitude in jeder Entfernung und Zeit einer Vorläuferwelle, die sich in einer Dimension ausbreitet, durch das Fourier-Integral ausgedrückt werden

${\ displaystyle f (x, t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int {\ hat {\ zeta}} _ {0} (\ omega) \ exp \ left [-i \ left ( k (\ omega) x- \ omega t \ right) \ right] d \ omega}$

Dabei ist die Fourier-Transformation des Anfangsimpulses und das komplexe Exponential die einzelnen Komponenten- Wavelets, die im Integral summiert sind. Um die Auswirkungen der Dispersion zu berücksichtigen, muss die Phase des Exponentials die Dispersionsrelation (hier den Faktor) für das bestimmte Medium enthalten, in dem sich die Welle ausbreitet. ${\ displaystyle {\ hat {\ zeta}} _ {0} (\ omega)}$${\ displaystyle \ exp \ left [-i \ left (k (\ omega) x- \ omega t \ right) \ right]}$${\ displaystyle k (\ omega)}$

Das obige Integral kann nur in geschlossener Form gelöst werden , wenn idealisierte Annahmen über den Anfangsimpuls und die Dispersionsbeziehung getroffen werden, wie in Sommerfelds Ableitung unten. In den meisten realistischen Fällen ist eine numerische Integration erforderlich, um das Integral zu berechnen.

Sommerfelds Ableitung für elektromagnetische Wellen in einem neutralen Dielektrikum

Angenommen, der anfängliche Impuls hat die Form einer Sinuskurve, die zur Zeit abrupt eingeschaltet wird. ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle f (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0 & t <0 \\\ sin {\ frac {2 \ pi t} {\ tau}} & t \ geq 0 \ end {array }}\Recht.,}$

dann können wir das im vorherigen Abschnitt angegebene Integral allgemeiner Form als schreiben

${\ displaystyle f (x, t) = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int e ^ {- i (k (\ omega) x- \ omega t)} {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2} - (2 \ pi / \ tau) ^ {2}}}.}$

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die beteiligten Frequenzen alle in einem Bereich normaler Dispersion für das Medium liegen, und wir lassen die Dispersionsbeziehung die Form annehmen

${\ displaystyle k (\ omega) = {\ frac {\ omega} {c}} {\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}$

Dabei handelt es sich um die Anzahl der Atomoszillatoren im Medium und die Ladung und Masse jedes einzelnen, die Eigenfrequenz der Oszillatoren und die Vakuumpermittivität . Dies ergibt das Integral ${\ displaystyle a ^ {2} = {\ frac {Nq ^ {2}} {m \ epsilon _ {0} \ omega _ {0} ^ {2}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$

${\ displaystyle f (x, t) = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ exp \ left [-i \ left (x {\ frac {\ omega} {c}} {\ sqrt { 1 + {\ frac {a ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}}}} - \ omega t \ right ) \ right] {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2} - (2 \ pi / \ tau) ^ {2}}}.}$

Um dieses Integral zu lösen, drücken wir zuerst die Zeit in Form der verzögerten Zeit aus , die erforderlich ist, um sicherzustellen, dass die Lösung die Kausalität nicht verletzt, indem sie sich schneller als ausbreitet . Wir behandeln auch als groß und ignorieren den Begriff unter Berücksichtigung des Begriffs zweiter Ordnung . Zuletzt ersetzen wir , bekommen ${\ displaystyle t '= t - {\ frac {x} {c}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | \ omega |}$${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ tau}}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ xi = {\ frac {a ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}} {2c}} x}$

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ exp \ left [-i \ left ({\ frac {\ xi} {\ omega}} + \ omega t '\ right) \ right] {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2}}}}$

Umschreiben als

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ exp \ left [-i {\ sqrt {\ xi t'}} \ left ({\ frac { 1} {\ omega}} {\ sqrt {\ frac {\ xi} {t '}}} + \ omega {\ sqrt {\ frac {t'} {\ xi}}} \ right) \ right] {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2}}}}$

und die Substitutionen vornehmen

${\ displaystyle \ omega {\ sqrt {\ frac {t '} {\ xi}} = e ^ {ik}, \ qquad {\ frac {d \ omega} {\ omega}} = idk, \ qquad {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2}}} = i {\ sqrt {\ frac {t '} {\ xi}}} e ^ {- ik} dk}$

ermöglicht die Transformation des Integrals in

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = - {\ frac {i} {\ tau}} {\ sqrt {\ frac {t'} {\ xi}}} \ int \ exp \ left [-2i { \ sqrt {\ xi t '}} \ cos k \ right] e ^ {- ik} dk,}$

wo ist einfach eine Dummy-Variable und schließlich ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = {\ frac {2 \ pi} {\ tau}} {\ sqrt {\ frac {t'} {\ xi}}} J_ {1} \ left (2 { \ sqrt {\ xi t '}} \ right),}$

wo ist eine Bessel-Funktion der ersten Art. Diese Lösung, bei der es sich um eine Oszillationsfunktion mit Amplitude und Periode handelt, die beide mit zunehmender Zeit zunehmen, ist charakteristisch für einen bestimmten Vorläufertyp, der als Sommerfeld-Vorläufer bekannt ist . ${\ displaystyle J_ {1}}$

Stationäre Phasenannäherungsbasierte Periodenanalyse

Die stationäre Phasennäherung kann verwendet werden, um die Form von Vorläuferwellen zu analysieren, ohne das im obigen Abschnitt "Grundlegende Theorie" angegebene Integral allgemeiner Form zu lösen. Die stationäre Phasennäherung besagt, dass für jede Geschwindigkeit der Wellenausbreitung, die aus jeder Entfernung und Zeit bestimmt wird , die dominante Frequenz des Vorläufers die Frequenz ist, deren Gruppengeschwindigkeit gleich ist : ${\ displaystyle {\ frac {x} {t}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ omega _ {D}}$${\ displaystyle {\ frac {x} {t}}}$

${\ displaystyle v_ {g} (\ omega _ {D}) = \ left. {\ frac {d \ omega} {dk}} \ right | _ {\ omega _ {D}} = {\ frac {x} {t}}.}$

Daher kann man die ungefähre Periode einer Vorläuferwellenform in einer bestimmten Entfernung und Zeit bestimmen, indem man die Periode der Frequenzkomponente berechnet, die zu dieser Entfernung und Zeit auf der Grundlage ihrer Gruppengeschwindigkeit ankommen würde. In einem Bereich normaler Dispersion haben hochfrequente Komponenten eine schnellere Gruppengeschwindigkeit als niederfrequente, daher sollte die Vorderseite des Vorläufers eine Periode haben, die der der hochfrequenten Komponente des ursprünglichen Impulses entspricht. Mit zunehmender Zeit kommen Komponenten mit immer niedrigeren Frequenzen an, so dass die Periode des Vorläufers immer länger wird, bis die Komponente mit der niedrigsten Frequenz ankommt. Wenn immer mehr Komponenten eintreffen, nimmt auch die Amplitude des Vorläufers zu. Der besondere Vorläufertyp, der durch zunehmende Periode und Amplitude gekennzeichnet ist, ist als hochfrequenter Sommerfeld-Vorläufer bekannt .

In einem Bereich anomaler Dispersion, in dem niederfrequente Komponenten schnellere Gruppengeschwindigkeiten aufweisen als hochfrequente, tritt das Gegenteil der obigen Situation auf: Der Beginn des Vorläufers ist durch eine lange Periode gekennzeichnet, und die Periode des Signals nimmt mit ab Zeit. Diese Art von Vorläufer wird als niederfrequenter Sommerfeld-Vorläufer bezeichnet .

In bestimmten Situationen der Wellenausbreitung (zum Beispiel Fluidoberflächenwellen) können zwei oder mehr Frequenzkomponenten für bestimmte Frequenzbereiche die gleiche Gruppengeschwindigkeit haben; Dies wird typischerweise von einem lokalen Extremum in der Gruppengeschwindigkeitskurve begleitet. Dies bedeutet, dass für bestimmte Zeit- und Entfernungswerte die Vorläuferwellenform aus einer Überlagerung von nieder- und hochfrequenten Sommerfeld-Vorläufern besteht. Alle lokalen Extrema entsprechen nur einzelnen Frequenzen, sodass an diesen Punkten ein Beitrag von einem Vorläufersignal mit einer konstanten Periode erfolgt. Dies ist als Brillouin-Vorläufer bekannt .

Verweise