Primitive Vorstellung - Primitive notion

In Mathematik , Logik , Philosophie und formalen Systemen ist ein primitiver Begriff ein Konzept, das nicht in Bezug auf zuvor definierte Konzepte definiert ist. Sie ist oft informell motiviert, meist durch einen Appell an Intuition und Alltagserfahrung. In einer axiomatischen Theorie werden Beziehungen zwischen primitiven Begriffen durch Axiome eingeschränkt . Einige Autoren bezeichnen letztere als "Definition" primitiver Begriffe durch ein oder mehrere Axiome, aber dies kann irreführend sein. Formale Theorien können unter Androhung eines unendlichen Regresses (gemäß dem Regressproblem ) nicht auf primitive Vorstellungen verzichten .

In der zeitgenössischen Geometrie sind beispielsweise Punkt , Linie und enthält einige primitive Begriffe. Anstatt zu versuchen, sie zu definieren, wird ihr Zusammenspiel (in Hilberts Axiomensystem ) von Axiomen wie "Für alle zwei Punkte existiert eine Linie, die sie beide enthält" beherrscht .

Einzelheiten

Alfred Tarski erklärte die Rolle primitiver Begriffe wie folgt:

Wenn wir uns daran machen, eine bestimmte Disziplin zu konstruieren, unterscheiden wir zunächst eine gewisse kleine Gruppe von Ausdrücken dieser Disziplin, die uns sofort verständlich erscheinen; die Ausdrücke in dieser Gruppe nennen wir PRIMITIVE TERMS oder UNDEFINED TERMS, und wir verwenden sie, ohne ihre Bedeutung zu erklären. Gleichzeitig übernehmen wir den Grundsatz: keine der anderen Ausdrücke der betrachteten Disziplin zu verwenden, es sei denn, ihre Bedeutung wurde zuvor mit Hilfe von primitiven Begriffen und solchen Ausdrücken der Disziplin, deren Bedeutungen zuvor erklärt wurden, bestimmt. Der Satz, der auf diese Weise die Bedeutung eines Begriffs bestimmt, heißt DEFINITION,...

Ein unvermeidlicher Rückfall zu primitiven Begriffen in der Erkenntnistheorie wurde von Gilbert de B. Robinson erklärt :

Für Nicht-Mathematiker ist es oft überraschend, dass es unmöglich ist, alle verwendeten Begriffe explizit zu definieren. Dies ist kein oberflächliches Problem, sondern liegt allen Erkenntnissen zugrunde; es ist notwendig, irgendwo anzufangen, und um Fortschritte zu machen, muss man die undefinierten Elemente und Beziehungen und die selbstverständlichen Eigenschaften klar angeben.

Beispiele

Die Notwendigkeit primitiver Begriffe wird in mehreren axiomatischen Grundlagen der Mathematik veranschaulicht:

  • Mengenlehre : Das Konzept der Menge ist ein Beispiel für einen primitiven Begriff. Wie Mary Tiles schreibt: [Die] 'Definition' von 'Menge' ist weniger eine Definition als ein Versuch der Explikation von etwas, dem der Status eines primitiven, undefinierten Begriffs gegeben wird. Als Beleg zitiert sie Felix Hausdorff : „Eine Menge entsteht durch die Gruppierung einzelner Objekte zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine als Einheit gedachte Pluralität.“
  • Naive Mengenlehre : Die leere Menge ist ein primitiver Begriff. Zu behaupten, dass es existiert, wäre ein implizites Axiom .
  • Peano-Arithmetik : Die Nachfolgerfunktion und die Zahl Null sind primitive Begriffe. Da die Peano-Arithmetik in Bezug auf die Eigenschaften der Zahlen nützlich ist, sind die Objekte, die die primitiven Begriffe repräsentieren, möglicherweise nicht von Bedeutung.
  • Axiomatische Systeme : Die primitiven Begriffe hängen von der Menge der für das System gewählten Axiome ab. Alessandro Padoa diskutierte diese Auswahl 1900 auf dem Internationalen Kongress für Philosophie in Paris. Die Begriffe selbst müssen nicht unbedingt angegeben werden; Susan Haack (1978) schreibt: "Manchmal sagt man von einer Reihe von Axiomen, dass sie eine implizite Definition ihrer primitiven Begriffe geben."
  • Euklidische Geometrie : Unter Hilberts Axiomensystem sind die primitiven Begriffe Punkt, Linie, Ebene, Kongruenz, Zwischen und Inzidenz .
  • Euklidische Geometrie : Unter Peanos Axiomensystem sind die primitiven Begriffe Punkt, Segment und Bewegung .

Russells Primitive

In seinem Buch über die Philosophie der Mathematik , The Principles of Mathematics, verwendet Bertrand Russell diese Begriffe: Für die Klassenrechnung ( Mengentheorie ) verwendete er Beziehungen , wobei er die Mengenzugehörigkeit als einen primitiven Begriff annahm. Um Mengen zu etablieren, benötigt er auch propositionale Funktionen als primitiv, sowie den Ausdruck "so dass", wie er in der Set-Builder-Notation verwendet wird . (S. 18,9) In Bezug auf Relationen nimmt Russell als primitive Begriffe die umgekehrte Relation und die komplementäre Relation eines gegebenen xRy . Außerdem sind logische Relationsprodukte und relative Relationsprodukte primitiv. (S. 25) Was die Bezeichnung von Objekten durch Beschreibung angeht, erkennt Russell an, dass es sich um einen primitiven Begriff handelt. (S. 27) Die These von Russells Buch lautet: "Reine Mathematik verwendet nur wenige Begriffe, und das sind logische Konstanten." (p xxi)

Siehe auch

Verweise