Produkttopologie - Product topology

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik ist ein Produktraum das kartesische Produkt einer Familie topologischer Räume, die mit einer natürlichen Topologie , der Produkttopologie, ausgestattet sind . Diese Topologie unterscheidet sich von einer anderen, vielleicht offensichtlicheren Topologie namens Boxtopologie , die auch einem Produktraum gegeben werden kann und die mit der Produkttopologie übereinstimmt, wenn das Produkt nur über endlich viele Räume ist. Die Produkttopologie ist jedoch insofern "korrekt", als sie den Produktraum zu einem kategorialen Produkt seiner Faktoren macht, während die Boxtopologie zu fein ist ; in diesem Sinne ist die Produkttopologie die natürliche Topologie des kartesischen Produkts.

Definition

Durchweg wird ein nicht leerer Indexsatz und für jeden Index ein topologischer Raum sein . Lassen ${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle X:=\prod_{i\in I}X_{i}}$

das seine kartesische Produkt der Sätze und die bezeichnen kanonische Projektionen durch The Produkttopologie , manchmal die genannte Tychonoff Topologie auf definierte das seine gröbste Topologie (dh die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen) , für die alle Vorsprünge sind kontinuierliche . Das mit der Produkttopologie ausgestattete kartesische Produkt heißt Produktraum . Die Produkttopologie wird aufgrund der folgenden Tatsache auch als Topologie der punktweisen Konvergenz bezeichnet : Eine Folge (oder Netz ) konvergiert genau dann, wenn alle ihre Projektionen auf die Räume konvergieren. Insbesondere dann , wenn man den Raum der Ansicht aller realen Werte Funktionen auf Konvergenz in der Produkttopologie ist die gleiche wie punktweise Konvergenz von Funktionen. ${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle X:=\prod_{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X=\mathbb{R} ^{I}}$${\displaystyle ich,}$

Die offenen Mengen in der Produkttopologie sind Gewerkschaften (endlich oder unendlich) von Sätzen von der Form , wo jeder ist offen und für nur endlich viele Insbesondere für ein endliches Produkt (insbesondere für das Produkt von zwei topologische Räumen), das Set aller kartesischen Produkte zwischen einem Basiselement von jedem ergibt eine Grundlage für das Produkt Topologie das heißt, für eine endliche Produkt, die Menge aller in dem ein Element der (gewählten) Basis ist eine Grundlage für die Produkttopologie${\displaystyle \prod_{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \prod_{i\in I}X_{i}.}$${\displaystyle \prod_{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle \prod_{i\in I}X_{i}.}$

Die Produkttopologie on ist die Topologie, die von Mengen der Form erzeugt wird, wobei und eine offene Teilmenge von ist. Mit anderen Worten, die Mengen ${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$

${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)~:~i\in I{\text{ und }}U_{i}\subseteq X_{i} {\text{ ist geöffnet in }}X_{i}\right\}}$

bilden eine Sauberkeitsschicht für die Topologie auf A Teilmenge von nur , wenn und offen ist , wenn es sich um eine (möglicherweise unendliche) ist Vereinigung von Kreuzungen von endlich vielen Mengen der Form der manchmal genannt werden offene Zylinder und deren Kreuzungen sind Zylinder - Sets . ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

Das Produkt der Topologien jeder bildet eine Grundlage für das, was das heißt Box Topologie auf Im Allgemeinen ist die Box - Topologie feiner als die Produkttopologie, sondern für die Finite - Produkte , die sie zusammenfallen. ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X.}$

Beispiele

Wenn die reelle Linie mit ihrer Standardtopologie ausgestattet ist, dann ist die Produkttopologie das Produkt von Kopien gleich der gewöhnlichen euklidischen Topologie auf${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{n}.}$

Die Cantor-Menge ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien des diskreten Raums und der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen , wobei wiederum jede Kopie die diskrete Topologie trägt. ${\displaystyle \{0,1\}}$

Mehrere zusätzliche Beispiele sind im Artikel über die Ausgangstopologie aufgeführt .

Eigenschaften

Der Produktraum lässt sich zusammen mit den kanonischen Projektionen durch folgende universelle Eigenschaft charakterisieren : Ist ein topologischer Raum und für jeden eine stetige Abbildung, dann existiert genau eine stetige Abbildung, so dass für jede das folgende Diagramm kommutiert : ${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle i\in I}$

Dies zeigt, dass der Produktraum ein Produkt der Kategorie der topologischen Räume ist . Aus der obigen universellen Eigenschaft folgt, dass eine Abbildung genau dann stetig ist, wenn sie für alle stetig ist. In vielen Fällen ist es einfacher zu überprüfen, ob die Komponentenfunktionen stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Karte kontinuierlich ist, ist normalerweise schwieriger; man versucht sich die Tatsache zunutze zu machen, dass die in irgendeiner Weise kontinuierlich sind. ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle p_{i}}$

Die kanonischen Projektionen sind nicht nur kontinuierlich, sondern auch offene Karten . Dies bedeutet , dass jede offene Teilmenge des Produktraumes offen bleibt , wenn der projizierten unten das Umgekehrte nicht wahr ist : wenn a Subraum des Produktraumes deren Projektionen bis alle offen sind, dann nicht offen sein müssen (man denke beispielsweise ) Die kanonischen Projektionen sind im Allgemeinen keine geschlossenen Abbildungen (denken Sie zum Beispiel an die geschlossene Menge, deren Projektionen auf beide Achsen sind ). ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W=\mathbb{R}^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$${\displaystyle \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:xy=1\right\},}$${\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{0\}}$

Angenommen ist ein Produkt der beliebigen Teilmengen, in denen für jeden Wenn alle ist nicht leer , dann eine abgeschlossene Teilmenge des Produktraumes ist , wenn und nur wenn jeder eine abgeschlossene Teilmenge von ist ganz allgemein die Schließung des Produkts beliebiger Teilmengen im Produkt Raum ist gleich dem Produkt der Abschlüsse: ${\displaystyle \prod_{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \prod_{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle \prod_{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}\left(\prod_{i\in I}S_{i}\right)=\prod_{i\in I}\left(\operatorname {Cl} _ {X_{i}}S_{i}\right).}$

Jedes Produkt von Hausdorff-Räumen ist wieder ein Hausdorff-Raum.

Der Satz von Tychonoff , der dem Auswahlaxiom äquivalent ist , besagt, dass jedes Produkt kompakter Räume ein kompakter Raum ist. Eine Spezialisierung des Satzes von Tychonoff , die nur das Ultrafilter-Lemma (und nicht die volle Stärke des Auswahlaxioms) erfordert, besagt, dass jedes Produkt kompakter Hausdorff- Räume ein kompakter Raum ist.

Wenn fest ist, dann ist der Satz ${\displaystyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\colon x_{i}=z_{i}{\text{ für alle außer höchstens endlich viele }}i\rechts\}}$

ist eine dichte Teilmenge des Produktraums . ${\displaystyle X}$

Beziehung zu anderen topologischen Begriffen

Trennung

• Jedes Produkt von T ₀ Räumen ist T ₀
• Jedes Produkt von T ₁ Räumen ist T ₁
• Jedes Produkt von Hausdorff-Räumen ist Hausdorff
• Jedes Produkt von regulären Räumen ist regulär
• Jedes Produkt von Tychonoff-Räumen ist Tychonoff
• Ein Produkt von Normalräumen muss nicht normal sein

Kompaktheit

• Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt ( Theorem von Tychonoff )
• Ein Produkt lokal kompakter Räume muss nicht lokal kompakt sein. Ein beliebiges Produkt lokal kompakter Räume, in denen alle bis auf endlich viele kompakt sind, ist jedoch lokal kompakt (diese Bedingung ist ausreichend und notwendig).

Verbundenheit

• Jedes Produkt zusammenhängender (bzw. wegzusammenhängender) Räume ist zusammenhängend (bzw. wegzusammenhängend)
• Jedes Produkt erblich getrennter Räume ist erblich getrennt.

Metrische Räume

• Abzählbare Produkte metrischer Räume sind metrisierbare Räume

Axiom der Wahl

Eine von vielen Möglichkeiten, das Auswahlaxiom auszudrücken, besteht darin, zu sagen, dass es äquivalent zu der Aussage ist, dass das kartesische Produkt einer Sammlung nichtleerer Mengen nichtleer ist. Der Beweis, dass dies der Aussage des Axioms in Bezug auf Auswahlfunktionen äquivalent ist, ist unmittelbar: Man braucht nur ein Element aus jeder Menge herauszupicken, um einen Repräsentanten im Produkt zu finden. Umgekehrt ist ein Repräsentant des Produkts eine Menge, die aus jeder Komponente genau ein Element enthält.

Das Auswahlaxiom tritt auch beim Studium (topologischer) Produkträume wieder auf; zum Beispiel Satz von Tychonoff auf kompakte Mengen ist ein komplexes und subtiles Beispiel für eine Aussage , die das Auswahlaxiom erfordert und entsprechen in seiner allgemeinsten Formulierung, und zeigt , warum die Produkttopologie desto nützliche Topologie betrachtet werden kann platzieren auf einem kartesischen Produkt.

Siehe auch

• Disjunkte Vereinigung (Topologie)
• Endgültige Topologie  – feinste Topologie, die einige Funktionen kontinuierlich macht
• Anfangstopologie  – gröbste Topologie, die bestimmte Funktionen stetig macht – Manchmal auch als projektive Grenztopologie bezeichnet
• Inverse Grenze
• Punktweise Konvergenz  – Konvergenzbegriff in der Mathematik
• Quotientenraum (Topologie)
• Unterraum (Topologie)
• Schwache Topologie  – Topologie, bei der die Konvergenz von Punkten durch die Konvergenz ihres Bildes unter stetigen linearen Funktionalen definiert ist

Anmerkungen

Verweise

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Allgemeine Topologie: Kapitel 1–4 [ Topologie Générale ]. Elemente der Mathematik . Berlin New York: Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Willard, Stephen (1970). Allgemeine Topologie . Lesen, Massachusetts: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Abgerufen am 13. Februar 2013 .