Projektives Objekt - Projective object

In der Kategorietheorie verallgemeinert der Begriff eines projektiven Objekts den Begriff eines projektiven Moduls . Projektive Objekte in abelschen Kategorien werden in der homologischen Algebra verwendet . Der doppelte Begriff eines projektiven Objekts ist der eines injektiven Objekts .

Definition

Ein Objekt in einer Kategorie ist projektiven wenn für irgendeinen Epimorphismus und morphism , ein morphism ist eine solche , dass , das heißt der folgende Diagramm kommutiert :

Projektives Objekt.svg

Das heißt, jeder Morphismus beeinflusst jeden Epimorphismus .

Wenn C ist lokal klein , das heißt, insbesondere ist ein Satz für jedes Objekt X in C ist diese Definition der Bedingung , dass das Äquivalent hom Funktors (auch bekannt als corepresentable Funktors )

bewahrt Epimorphismen .

Projektive Objekte in abelschen Kategorien

Wenn die Kategorie C eine abelsche Kategorie ist, wie zum Beispiel die Kategorie der abelschen Gruppen , dann ist P genau dann projektiv, wenn

ist ein exakter Funktor , wobei Ab die Kategorie der abelschen Gruppen ist .

Eine abelschen Kategorie wird gesagt, hat genug projectives wenn, für jedes Objekt aus , gibt ein projektive Objekt ist von und ein Epimorphismus von P auf A oder, äquivalent, eine kurze exakte Sequenz

Der Zweck dieser Definition besteht darin, sicherzustellen, dass jedes Objekt A eine projektive Auflösung zulässt , dh eine (lange) exakte Sequenz

wo die Objekte projektiv sind.

Projektivität in Bezug auf eingeschränkte Klassen

Semadeni (1963) diskutiert den Begriff der projektiven (und doppelt injektiven) Objekte in Bezug auf eine sogenannte Bikategorie, die aus einem Paar von Unterkategorien von "Injektionen" und "Surjektionen" in der gegebenen Kategorie C besteht . Diese Unterkategorien unterliegen bestimmten formalen Eigenschaften, einschließlich der Anforderung, dass jede Vermutung ein Epimorphismus ist. Ein projektives Objekt (relativ zur festen Klasse von Surjektionen) ist dann ein Objekt P, so dass Hom ( P , -) die feste Klasse von Surjektionen (im Gegensatz zu allen Epimorphismen) in Surjektionen von Mengen (im üblichen Sinne) umwandelt.

Eigenschaften

Beispiele

Die Aussage, dass alle Mengen projektiv sind, entspricht dem Axiom der Wahl .

Die projektiven Objekte in der Kategorie der abelschen Gruppen sind die freien abelschen Gruppen .

Sei ein Ring mit Identität. Betrachten Sie die (abelsche) Kategorie - Mod der linken Module. Die projektiven Objekte in - Mod sind genau die projektiven linken R-Module . Folglich ist selbst ein projektives Objekt in - Mod . Doppelt sind die injektiven Objekte in - Mod genau die injektiven linken R-Module .

Die Kategorie der linken (rechten) Module hat auch genügend Projektive. Dies gilt , da für jeden links (rechts) -Modul , können wir nehmen die frei zu sein (und damit projektiven) durch einen Stromerzeuger erzeugen -Modul für (uns in der Tat nehmen zu sein ). Dann ist die kanonische Projektion die erforderliche Surjektion .

Die projektiven Objekte in der Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume sind genau die extrem getrennten Räume . Dieses Ergebnis ist Gleason (1958) zu verdanken , mit einem vereinfachten Beweis von Rainwater (1959) .

In der Kategorie der Banach-Räume und -Kontraktionen (dh Funktionale, deren Norm höchstens 1 ist) sind die Epimorphismen genau die Karten mit dichtem Bild . Wiweger (1969) zeigt, dass der Nullraum das einzige projektive Objekt in dieser Kategorie ist. Es gibt jedoch nicht triviale Räume, die in Bezug auf die Klasse der surjektiven Kontraktionen projektiv sind. In der Kategorie der normierten Vektorräume mit Kontraktionen (und surjektiven Karten als "Surjektionen") sind die projektiven Objekte genau die -räume.

Verweise

Externe Links

' "Projektives Objekt in nLab" . ncatlab.org . Abgerufen am 17.10.2017 .