Richtige Zeit - Proper time

In der Relativitätstheorie ist die Eigenzeit (aus dem Lateinischen, was eigene Zeit bedeutet ) entlang einer zeitähnlichen Weltlinie definiert als die Zeit , die von einer Uhr gemessen wird, die dieser Linie folgt. Er ist somit unabhängig von Koordinaten und ein Lorentz-Skalar . Das richtige Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen auf einer Weltlinie ist die Änderung der Eigenzeit. Dieses Intervall ist die interessierende Größe, da die Eigenzeit selbst nur bis zu einer beliebigen additiven Konstanten festgelegt ist, nämlich der Einstellung der Uhr bei einem Ereignis entlang der Weltlinie.

Das richtige Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen hängt nicht nur von den Ereignissen ab, sondern auch von der sie verbindenden Weltlinie und damit von der Bewegung der Uhr zwischen den Ereignissen. Sie wird als Integral über die Weltlinie ausgedrückt (analog zur Bogenlänge im euklidischen Raum ). Eine beschleunigte Uhr misst eine kleinere verstrichene Zeit zwischen zwei Ereignissen als eine nicht beschleunigte ( Trägheits- ) Uhr zwischen denselben beiden Ereignissen. Das Zwillingsparadoxon ist ein Beispiel für diesen Effekt.

Die dunkelblaue vertikale Linie stellt einen Trägheitsbeobachter dar, der ein Koordinatenzeitintervall t zwischen den Ereignissen E 1 und E 2 misst . Die rote Kurve stellt eine Uhr dar, die ihr richtiges Zeitintervall τ zwischen denselben beiden Ereignissen misst .

Konventionell wird die Eigenzeit normalerweise durch den griechischen Buchstaben τ ( tau ) dargestellt, um sie von der durch t dargestellten Koordinatenzeit zu unterscheiden . Die Koordinatenzeit ist die Zeit zwischen zwei Ereignissen, die von einem Beobachter gemessen wird, der seine eigene Methode verwendet, einem Ereignis eine Zeit zuzuweisen. Im speziellen Fall eines Trägheitsbeobachters in der speziellen Relativitätstheorie wird die Zeit mit der Uhr des Beobachters und der vom Beobachter festgelegten Gleichzeitigkeit gemessen.

Das Konzept der Eigenzeit wurde 1908 von Hermann Minkowski eingeführt und ist ein wichtiges Merkmal von Minkowski-Diagrammen .

Mathematischer Formalismus

Die formale Definition der Eigenzeit beinhaltet die Beschreibung des Weges durch die Raumzeit , der eine Uhr, einen Beobachter oder ein Testteilchen darstellt, und die metrische Struktur dieser Raumzeit. Die Eigenzeit ist die pseudo-riemannsche Bogenlänge von Weltlinien in der vierdimensionalen Raumzeit. Aus mathematischer Sicht wird davon ausgegangen, dass die Koordinatenzeit vordefiniert ist und ein Ausdruck für die Eigenzeit als Funktion der Koordinatenzeit erforderlich ist. Andererseits wird die Eigenzeit experimentell gemessen und die Koordinatenzeit wird aus der Eigenzeit von Trägheitsuhren berechnet.

Die richtige Zeit kann nur für zeitähnliche Pfade durch die Raumzeit definiert werden, die die Konstruktion eines begleitenden Satzes von physikalischen Linealen und Uhren ermöglichen. Das gleiche Formalismus für raumartig Pfade führt zu einer Messung der richtigen Abstand und nicht die richtige Zeit. Für lichtähnliche Pfade existiert kein Konzept der Eigenzeit und sie ist undefiniert, da das Raumzeitintervall Null ist. Stattdessen muss ein willkürlicher und physikalisch irrelevanter affiner Parameter ohne Zeitbezug eingeführt werden.

In der speziellen Relativitätstheorie

Die Minkowski-Metrik ist definiert durch

und die Koordinaten von
für beliebige Lorentz-Rahmen.

In jedem solchen Rahmen wird ein infinitesimales Intervall, hier angenommen zeitartig , zwischen zwei Ereignissen ausgedrückt als

 

 

 

 

(1)

und trennt Punkte auf einer Flugbahn eines Teilchens (Think Clock). Das gleiche Intervall kann in Koordinaten ausgedrückt werden, so dass das Teilchen zu jedem Zeitpunkt ruht . Ein solcher Rahmen wird als momentaner Ruherahmen bezeichnet, hier durch die Koordinaten für jeden Zeitpunkt bezeichnet. Aufgrund der Invarianz des Intervalls (zu unterschiedlichen Zeiten aufgenommene Momentanruhebilder sind durch Lorentz-Transformationen in Beziehung gesetzt) ​​kann man schreiben

da im momentanen Ruherahmen das Partikel oder der Rahmen selbst in Ruhe ist, dh . Da das Intervall zeitähnlich (dh. ) angenommen wird, ergibt das Ziehen der Quadratwurzel aus obigem
oder
Mit diesem Differentialausdruck für τ ist das richtige Zeitintervall definiert als

          (2)

Hier ist P die Weltlinie von einem Anfangsereignis zu einem Endereignis, wobei die Reihenfolge der Ereignisse durch die Anforderung festgelegt ist, dass das Endereignis gemäß der Uhr später als das Anfangsereignis auftritt.

Mit (1) und wiederum der Invarianz des Intervalls kann man schreiben

          (3)

wobei v ( t ) die Koordinatengeschwindigkeit zur Koordinatenzeit t ist und x ( t ) , y ( t ) und z ( t ) Raumkoordinaten sind. Der erste Ausdruck ist offensichtlich Lorentz-invariant. Sie sind alle Lorentz-invariant, da Eigenzeit und Eigenzeitintervalle per Definition koordinatenunabhängig sind.

Wenn t , x , y , z , durch einen Parameter λ parametriert werden , kann dieser geschrieben werden als

Wenn die Bewegung des Teilchens konstant ist, vereinfacht sich der Ausdruck zu

wobei Δ die Koordinatenänderung zwischen dem Anfangs- und dem Endereignis bedeutet. Die Definition in der Speziellen Relativitätstheorie lässt sich wie folgt direkt auf die Allgemeine Relativitätstheorie verallgemeinern.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie

Die Eigenzeit wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie wie folgt definiert: Gegeben eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer lokalen Koordinaten x μ und ausgestattet mit einem metrischen Tensor g μν , ist der Eigenzeitabstand Δ τ zwischen zwei Ereignissen entlang eines zeitartigen Weges P durch die Linie Integral-

 

 

 

 

(4)

Dieser Ausdruck ist, wie es sich gehört, bei Koordinatenänderungen invariant. Es reduziert sich (in entsprechenden Koordinaten) auf den Ausdruck der speziellen Relativitätstheorie in der flachen Raumzeit .

Genauso wie in der Speziellen Relativitätstheorie Koordinaten so gewählt werden können, dass x 1 , x 2 , x 3 = const ist, ist dies auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie möglich. Dann in diesen Koordinaten

Dieser Ausdruck verallgemeinert Definition (2) und kann als Definition genommen werden. Dann folgt unter Verwendung der Invarianz des Intervalls Gleichung (4) daraus auf die gleiche Weise, wie (3) aus (2) folgt , außer dass hier beliebige Koordinatenänderungen erlaubt sind.

Beispiele in der speziellen Relativitätstheorie

Beispiel 1: Das Zwillings-"Paradoxon"

Für ein Zwillingsparadoxzenario gebe es einen Beobachter A, der sich träge zwischen den A- Koordinaten (0,0,0,0) und (10 Jahre, 0, 0, 0) bewegt . Dies bedeutet, dass A für 10 Jahre der A- Koordinatenzeit bleibt . Das richtige Zeitintervall für A zwischen den beiden Ereignissen ist dann

In einem speziellen Relativitätskoordinatensystem "in Ruhe" zu sein bedeutet also, dass Eigenzeit und Koordinatenzeit gleich sind.

Es gebe nun einen weiteren Beobachter B, der in x- Richtung von (0,0,0,0) für 5 Jahre A- Koordinatenzeit bei 0,866 c bis (5 Jahre, 4,33 Lichtjahre, 0, 0) reist . Dort angekommen beschleunigt B und fährt in die andere Raumrichtung für weitere 5 Jahre der A- Koordinatenzeit bis (10 Jahre, 0, 0, 0). Für jede Etappe der Reise kann das richtige Zeitintervall mit den A- Koordinaten berechnet werden und ist gegeben durch

Die gesamte Eigenzeit für Beobachter B , um von (0,0,0,0) auf (5 Jahre, 4,33 Lichtjahre, 0, 0) und dann auf (10 Jahre, 0, 0, 0) zu gehen, ist

Somit wird gezeigt, dass die Eigenzeitgleichung den Zeitdilatationseffekt beinhaltet. Tatsächlich ist für ein Objekt in einer SR-Raumzeit (spezielle Relativitätstheorie) , das eine Zeit lang mit einer Geschwindigkeit von v reist , das richtige erfahrene Zeitintervall

das ist die SR-Zeitdilatationsformel.

Beispiel 2: Die rotierende Scheibe

Ein Beobachter, der sich um einen anderen Trägheitsbeobachter dreht, befindet sich in einem beschleunigten Bezugssystem. Für einen solchen Beobachter wird die inkrementelle ( ) Form der Eigenzeitgleichung zusammen mit einer parametrisierten Beschreibung des eingeschlagenen Pfads benötigt, wie unten gezeigt.

Es gebe einen Beobachter C auf einer in der xy- Ebene rotierenden Scheibe mit einer Koordinatenwinkelgeschwindigkeit von und der im Abstand r vom Scheibenmittelpunkt mit dem Scheibenmittelpunkt bei x = y = z = 0 ist . Der Weg des Beobachters C ist gegeben durch , wobei die aktuelle Koordinatenzeit ist. Wenn r und konstant sind, und . Die inkrementelle Eigenzeitformel wird dann

Für einen Beobachter, der sich in einem konstanten Abstand von r von einem gegebenen Punkt in der Raumzeit mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von ω zwischen den Koordinatenzeiten und dreht , ist die erlebte Eigenzeit

als v = für einen rotierenden Beobachter. Dieses Ergebnis ist das gleiche wie für das Linearbewegungsbeispiel und zeigt die allgemeine Anwendung der Integralform der Eigenzeitformel.

Beispiele in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Der Unterschied zwischen SR und der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) besteht darin, dass man in GR jede Metrik verwenden kann, die eine Lösung der Einstein-Feldgleichungen ist , nicht nur die Minkowski-Metrik. Da der Trägheitsbewegung in gekrümmten Raumzeiten der einfache Ausdruck fehlt, den sie in SR hat, muss immer die Linienintegralform der Eigenzeitgleichung verwendet werden.

Beispiel 3: Die rotierende Scheibe (wieder)

Eine geeignete Koordinatenkonvertierung anhand der Minkowski-Metrik erstellt Koordinaten, bei denen ein Objekt auf einer rotierenden Scheibe in derselben Raumkoordinatenposition bleibt. Die neuen Koordinaten sind

und

Die t- und z- Koordinaten bleiben unverändert. In diesem neuen Koordinatensystem lautet die inkrementelle Eigenzeitgleichung

Da r , θ und z zeitlich konstant sind, vereinfacht sich dies zu

das ist das gleiche wie in Beispiel 2.

Es sei nun ein Objekt außerhalb der rotierenden Scheibe und in Trägheitsruhe in Bezug auf den Mittelpunkt der Scheibe und im Abstand R von ihr. Dieses Objekt hat eine Koordinatenbewegung , die durch = − ω dt beschrieben wird , die das inertial ruhende Objekt der Gegenrotation im Blick des rotierenden Beobachters beschreibt. Jetzt wird die richtige Zeitgleichung

Für den ruhenden Trägheitsbeobachter wird also wieder festgestellt, dass Koordinatenzeit und Eigenzeit mit der gleichen Geschwindigkeit vergehen, wie es für die innere Konsistenz der Relativitätstheorie erwartet und erforderlich ist.

Beispiel 4: Die Schwarzschild-Lösung – Zeit auf der Erde

Die Schwarzschild-Lösung hat eine inkrementelle Eigenzeitgleichung von

wo
  • t ist die Zeit, die mit einer Uhr kalibriert ist, die von der Erde entfernt ist und sich in Bezug auf diese in Trägheitsruhe befindet,
  • r ist eine radiale Koordinate (die effektiv die Entfernung vom Erdmittelpunkt ist),
  • ɸ ist eine Ko-Breitenkoordinate, der Winkelabstand vom Nordpol im Bogenmaß .
  • θ ist eine Längskoordinate, analog zum Längengrad auf der Erdoberfläche, aber unabhängig von der Erdrotation . Diese wird auch im Bogenmaß angegeben.
  • m ist die geometrisierte Masse der Erde, m = GM / c 2 ,

Um die Verwendung der richtigen Zeitbeziehung zu demonstrieren, werden hier mehrere Unterbeispiele verwendet, die die Erde betreffen.

Für die Erde ist M =5,9742 × 10 24  kg , was bedeutet, dass m =4,4354 × 10 –3  m . Wenn wir auf dem Nordpol stehen, können wir davon ausgehen(das heißt, wir bewegen uns weder nach oben noch nach unten oder entlang der Erdoberfläche). In diesem Fall wird die Eigenzeitgleichung der Schwarzschild-Lösung zu. Wennwirdann den Polarradius der Erde als radiale Koordinate (oder) verwenden, finden wir, dass

Am Äquator beträgt der Radius der Erde r =6 378 137  m . Außerdem muss die Erdrotation berücksichtigt werden. Dies verleiht einem Beobachter eine Winkelgeschwindigkeitvon 2 π geteilt durch die siderische Periode der Erdrotation, 86162,4 Sekunden. Also. Die Eigenzeitgleichung ergibt dann

Aus nicht-relativistischer Sicht hätte dies dem vorherigen Ergebnis entsprechen müssen. Dieses Beispiel zeigt, wie die richtige Zeitgleichung verwendet wird, obwohl die Erde rotiert und daher nicht kugelsymmetrisch ist, wie von der Schwarzschild-Lösung angenommen. Um die Auswirkungen der Rotation genauer zu beschreiben, kann die Kerr-Metrik verwendet werden.

Siehe auch

Fußnoten

Verweise