Eigentum von Baire - Property of Baire

Eine Teilmenge eines topologischen Raums hat die Eigenschaft von Baire ( Baire-Eigenschaft , benannt nach René-Louis Baire ) oder wird als fast offene Menge bezeichnet, wenn sie sich von einer offenen Menge durch eine magere Menge unterscheidet . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$

Definitionen

Eine Teilmenge eines topologischen Raum heißt fast offen und wird gesagt, hat die Eigenschaft , Baireschen oder Baireschen Eigenschaft , wenn es eine offene Menge ist eine solche , die eine ist magere Teilmenge , wobei die an symmetrische Differenz . Des Weiteren hat die Baireschen Eigenschaft im Sinne beschränkt , wenn für jede Teilmenge von der Kreuzung , um die Baireschen Eigenschaft gegen hat . ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ bigtriangleup U}$${\ displaystyle \ bigtriangleup}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ cap E}$${\ displaystyle E}$

Eigenschaften

Die Familie der Mengen mit der Eigenschaft von Baire bildet eine σ-Algebra . Das heißt, das Komplement einer fast offenen Menge ist fast offen, und jede zählbare Vereinigung oder Schnittmenge fast offener Mengen ist wieder fast offen. Da jeder offene Satz fast offen ist (der leere Satz ist dürftig), folgt daraus, dass jeder Borel-Satz fast offen ist.

Wenn eine Teilmenge von einem polnischen Raum die Eigenschaft Baireschen hat, dann sein entsprechendes Banach-Mazur Spiel wird bestimmt . Das Gegenteil gilt nicht; Wenn jedoch jedes Spiel in einer bestimmten angemessenen Punktklasse bestimmt wird, hat jeder Satz die Eigenschaft von Baire. Aus der projektiven Bestimmtheit , die sich wiederum aus ausreichend großen Kardinälen ergibt, folgt daher , dass jede projektive Menge (in einem polnischen Raum) die Eigenschaft von Baire besitzt. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Aus dem Axiom der Wahl folgt, dass es Realmengen ohne das Eigentum von Baire gibt. Insbesondere besitzt das Vitali-Set nicht das Eigentum von Baire. Bereits schwächere Versionen der Wahl sind ausreichend: Der Idealsatz der Booleschen Primzahl impliziert, dass die Menge der natürlichen Zahlen einen nicht-prinzipiellen Ultrafilter enthält ; Jeder dieser Ultrafilter induziert über binäre Darstellungen von Real eine Menge von Real ohne die Baire-Eigenschaft.

Siehe auch

• Fast offene Karte
• Satz der Baire-Kategorie
• Offene Menge  - Grundlegende Teilmenge eines topologischen Raums

Verweise

Externe Links

• Springer Encyclopaedia of Mathematics Artikel über Baire Eigentum