Zyklische Symmetrie in drei Dimensionen - Cyclic symmetry in three dimensions

Punktgruppen in drei Dimensionen
Kugelsymmetriegruppe cs.png
Involutionssymmetrie
C s , (*)
[] = CDel-Knoten c2.png 		Kugelsymmetriegruppe c3v.png
Zyklische Symmetrie
C nv , (* nn)
[n] = CDel-Knoten c1.pngCDel n.pngCDel-Knoten c1.png 		Kugelsymmetriegruppe d3h.png
Dieder-Symmetrie
D nh , (* n22)
[n, 2] = CDel-Knoten c1.pngCDel n.pngCDel-Knoten c1.pngCDel 2.pngCDel-Knoten c1.png
Polyedrische Gruppe , [n, 3], (* n32)
Kugelsymmetriegruppe td.png
Tetraedrische Symmetrie
T d , (* 332)
[3,3] = CDel-Knoten c1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten c1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten c1.png 		Kugelsymmetriegruppe oh.png
Oktaedrische Symmetrie
O h , (* 432)
[4,3] = CDel-Knoten c2.pngCDel 4.pngCDel-Knoten c1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten c1.png 		Kugelsymmetriegruppe ih.png
Ikosaedrische Symmetrie
I h , (* 532)
[5,3] = CDel-Knoten c2.pngCDel 5.pngCDel-Knoten c2.pngCDel 3.pngCDel-Knoten c2.png

In der dreidimensionalen Geometrie gibt es vier unendliche Reihen von Punktgruppen in drei Dimensionen ( n ≥ 1) mit n- facher Rotations- oder Reflexionssymmetrie um eine Achse (um einen Winkel von 360 ° / n ), die das Objekt nicht verändert.

Sie sind die endlichen Symmetriegruppen auf einem Kegel . Für n = ∞ entsprechen sie vier Friesgruppen . Es wird die Schönflies- Notation verwendet. Die Begriffe horizontal (h) und vertikal (v) implizieren das Vorhandensein und die Richtung von Reflexionen in Bezug auf eine vertikale Symmetrieachse. Ebenfalls dargestellt sind die Coxeter-Notation in Klammern und in Klammern die Orbifold-Notation .

Beispiel eines Symmetrie-Untergruppenbaums für Dieder-Symmetrie: D 4h , [4,2], (* 224)

Typen

Chiral
  • C n , [n] + , ( nn ) der Ordnung n - n- fache Rotationssymmetrie - akro-n-gonale Gruppe (abstrakte Gruppe Z n ); für n = 1: keine Symmetrie ( triviale Gruppe )
Achiral
Stück lose Füllpolsterung mit C 2h- Symmetrie
  • C nh , [n + , 2], ( n *) der Ordnung 2 n - prismatische Symmetrie oder ortho-n-gonale Gruppe (abstrakte Gruppe Z n × Dih 1 ); für n = 1 wird dies mit C s (1 *) bezeichnet und als Reflexionssymmetrie , auch bilaterale Symmetrie, bezeichnet . Es hat Reflexionssymmetrie in Bezug auf eine Ebene senkrecht zur n- fachen Rotationsachse.
  • C nv , [n], (* nn ) der Ordnung 2 n - Pyramidensymmetrie oder vollständige akro-n-gonale Gruppe (abstrakte Gruppe Dih n ); In der Biologie wird C 2v als biradiale Symmetrie bezeichnet . Für n = 1 haben wir wieder C s (1 *). Es hat vertikale Spiegelebenen. Dies ist die Symmetriegruppe für eine reguläre n- seitige Pyramide .
  • S 2n , [2 + , 2n + ], ( n ×) der Ordnung 2 n - Kreisel-n-gonale Gruppe (nicht zu verwechseln mit symmetrischen Gruppen , für die dieselbe Notation verwendet wird; abstrakte Gruppe Z 2n ); Es hat eine 2 n- fache Rotoreflexionsachse , auch 2 n- fache falsche Rotationsachse genannt, dh die Symmetriegruppe enthält eine Kombination aus einer Reflexion in der horizontalen Ebene und einer Drehung um einen Winkel von 180 ° / n. Daher enthält es wie D nd eine Reihe von falschen Drehungen, ohne die entsprechenden Drehungen zu enthalten.

C 2h , [2,2 + ] (2 *) und C 2v , [2], (* 22) der Ordnung 4 sind zwei der drei 3D-Symmetriegruppentypen mit der Klein-Viergruppe als abstrakte Gruppe. C 2v gilt zB für eine rechteckige Fliese, deren Oberseite sich von der Unterseite unterscheidet.

Friesgruppen

Im Grenzfall stellen diese vier Gruppen euklidischen Ebene Frieses Gruppen wie C ∞ , C ∞h , C ∞v und S ∞ . Rotationen werden zu Übersetzungen im Grenzbereich. Teile der unendlichen Ebene können auch geschnitten und zu einem unendlichen Zylinder verbunden werden.

Friesgruppen
Notationen Beispiele
IUC Orbifold Coxeter Schönflies * Euklidische Ebene Zylinderförmig (n = 6)
p1 ∞∞ [∞] + C ∞ Friesbeispiel p1.png Einachsiges c6.png
p1m1 * ∞∞ [∞] C ∞v Friesbeispiel p1m1.png Einachsig c6v.png
p11m ∞ * [∞ + , 2] C ∞h Friesbeispiel p11m.png Einachsig c6h.png
p11g ∞ × [∞ + , 2 + ] S ∞ Friesbeispiel p11g.png Einachsig s6.png

Beispiele

S 2 / C i (1x): C 4v (* 44): C 5v (* 55):
Parallelepiped.svg
Parallelepiped 		Quadratische Pyramide.png
Quadratische Pyramide 		Längliche quadratische Pyramide.png
Längliche quadratische Pyramide 		Fünfeckige Pyramide.png
Fünfeckige Pyramide

Siehe auch

Verweise

  • Sands, Donald E. (1993). "Kristallsysteme und Geometrie". Einführung in die Kristallographie . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. p.  165 . ISBN   0-486-67839-3 .
  • On Quaternions and Octonions , 2003, John Horton Conway und Derek A. Smith ISBN   978-1-56881-134-5
  • Die Symmetrien der Dinge 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN   978-1-56881-220-5
  • Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter , herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
  • NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Kapitel 11: Endliche Symmetriegruppen , 11.5 Sphärische Coxetergruppen