Quadratische Form - Quadratic form

In der Mathematik ist eine quadratische Form ein Polynom mit Termen alle vom Grad zwei (" Form " ist eine andere Bezeichnung für ein homogenes Polynom ). Zum Beispiel,

${\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$

ist eine quadratische Form in den Variablen x und y . Die Koeffizienten gehören meist zu einem festen Körper K , wie den reellen oder komplexen Zahlen, und man spricht von einer quadratischen Form über K . Wenn , und die quadratische Form nur dann null wird, wenn alle Variablen gleichzeitig null sind, dann ist sie eine definierte quadratische Form , ansonsten eine isotrope quadratische Form . ${\displaystyle K=\mathbb{R}}$

Quadratische Formen nehmen in verschiedenen Zweigen der Mathematik einen zentralen Platz ein, darunter Zahlentheorie , Lineare Algebra , Gruppentheorie ( orthogonale Gruppe ), Differentialgeometrie ( Riemannsche Metrik , zweite Fundamentalform ), Differentialtopologie ( Schnittformen von Viermannigfaltigkeiten ) und Lie Theorie (die Tötungsform ).

Quadratische Formen sind nicht mit einer quadratischen Gleichung zu verwechseln , die nur eine Variable hat und Terme vom Grad zwei oder weniger enthält. Eine quadratische Form ist ein Fall des allgemeineren Konzepts homogener Polynome .

Einführung

Quadratische Formen sind homogene quadratische Polynome in n Variablen. Im Fall von eins, zwei und drei Variablen heißen sie unär , binär und ternär und haben die folgende explizite Form:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unär)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^ {2}&&{\textrm {(binär)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\ textrm {(ternär)}}\end{ausgerichtet}}}$

wobei a , …, f die Koeffizienten sind .

Die Notation wird oft für die quadratische Form verwendet ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}. }$

Die Theorie der quadratischen Formen und die bei ihrer Untersuchung verwendeten Methoden hängen in hohem Maße von der Art der Koeffizienten ab, die reelle oder komplexe Zahlen , rationale Zahlen oder ganze Zahlen sein können . In der linearen Algebra , der analytischen Geometrie und in den meisten Anwendungen quadratischer Formen sind die Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen. In der algebraischen Theorie der quadratischen Formen sind die Koeffizienten Elemente eines bestimmten Körpers . In der arithmetischen Theorie der quadratischen Formen gehören die Koeffizienten zu einem festen kommutativen Ring , häufig die ganzen Zahlen Z oder die p- adischen ganzen Zahlen Z _p . Binäre quadratische Formen wurden in großem Umfang untersucht Zahlentheorie , insbesondere in der Theorie der quadratischen Felder , Kettenbrüche und Modulformen . Die Theorie der ganzzahligen quadratischen Formen in n Variablen hat wichtige Anwendungen in der algebraischen Topologie .

Unter Verwendung homogener Koordinaten definiert eine von Null verschiedene quadratische Form in n Variablen eine ( n −2)-dimensionale Quadrik im ( n −1)-dimensionalen projektiven Raum . Dies ist eine Grundkonstruktion der projektiven Geometrie . Auf diese Weise kann man sich dreidimensionale reelle quadratische Formen als Kegelschnitte vorstellen . Ein Beispiel ist der dreidimensionale euklidische Raum und das Quadrat der euklidischen Norm , das den Abstand zwischen einem Punkt mit Koordinaten ( x , y , z ) und dem Ursprung ausdrückt :

${\displaystyle q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\|(x,y,z)\|^{2} =x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Ein eng verwandter Begriff mit geometrischen Obertönen ist ein quadratischer Raum , der ein Paar ( V , q ) ist , wobei V ein Vektorraum über einem Körper K und q  : V → K eine quadratische Form auf V ist . Siehe § Definitionen unten für die Definition einer quadratischen Form auf einem Vektorraum.

Geschichte

Das Studium bestimmter quadratischer Formen, insbesondere die Frage, ob eine gegebene ganze Zahl der Wert einer quadratischen Form über die ganzen Zahlen sein kann, reicht viele Jahrhunderte zurück. Ein solcher Fall ist der Satz von Fermat über Summen von zwei Quadraten , der bestimmt, wann eine ganze Zahl in der Form x ² + y ² ausgedrückt werden kann , wobei x , y ganze Zahlen sind. Dieses Problem hängt mit dem Problem zusammen, pythagoräische Tripel zu finden , die im zweiten Jahrtausend v

In 628, der indischen Mathematiker Brahmagupta schrieb Brāhmasphuṭasiddhānta , die neben vielen anderen Dingen, eine Studie von Gleichungen der Form enthält x ² - ny ² = c . Insbesondere berücksichtigt er , was jetzt genannt wird Pell Gleichung , x ² - ny ² = 1 , und fand ein Verfahren zu seiner Lösung. In Europa wurde dieses Problem von Brouncker , Euler und Lagrange untersucht .

Im Jahr 1801 Gauss veröffentlichten Disquisitiones Arithmeticae , ein großer Teil davon zu einer vollständigen Theorie gewidmet binärer quadratischer Formen über die ganzen Zahlen . Seitdem wurde das Konzept verallgemeinert und die Zusammenhänge mit quadratischen Zahlenkörpern , der Modulgruppe und anderen Gebieten der Mathematik weiter aufgeklärt.

Reelle quadratische Formen

Jede n × n reelle symmetrische Matrix A bestimmt eine quadratische Form q _A in n Variablen durch die Formel

${\displaystyle q_{A}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} {x_{i}}{x_{j}}=\mathbf{x} ^{\mathrm{T}}A\mathbf{x} .}$

Umgekehrt können bei einer quadratischen Form in n Variablen ihre Koeffizienten in einer n × n symmetrischen Matrix angeordnet werden.

Eine wichtige Frage in der Theorie der quadratischen Formen ist die Vereinfachung einer quadratischen Form q durch eine homogene lineare Änderung von Variablen. Ein Fundamentalsatz von Jacobi besagt , dass eine reelle quadratische Form q eine orthogonale Diagonalisierung hat .

${\displaystyle \lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots + \lambda_{n}{\tilde{x}}_{n}^{2},}$

so dass die entsprechende symmetrische Matrix diagonal ist , und dies geschieht mit einer Variablenänderung, die durch eine orthogonale Matrix gegeben ist – in diesem Fall sind die Koeffizienten λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n bis auf eine Permutation eindeutig bestimmt.

Es gibt immer eine Änderung von Variablen, die durch eine invertierbare Matrix gegeben ist, die nicht unbedingt orthogonal ist, so dass die Koeffizienten λ _i 0, 1 und −1 sind. Das Trägheitsgesetz von Sylvester besagt, dass die Zahlen von jeweils 1 und −1 Invarianten der quadratischen Form sind, in dem Sinne, dass jede andere Diagonalisierung jeweils die gleiche Anzahl enthält. Die Signatur der quadratischen Form ist das Tripel ( n ₀ , n ₊ , n ₋ ) , wobei n ₀ die Zahl der Nullen und n _± die Zahl der ±1 ist. Das Trägheitsgesetz von Sylvester zeigt, dass dies eine wohldefinierte Größe ist, die an die quadratische Form angehängt ist. Besonders wichtig ist der Fall, dass alle λ _i das gleiche Vorzeichen haben: In diesem Fall heißt die quadratische Form positiv definit (alle 1) oder negativ definit (alle −1). Wenn keiner der Terme 0 ist, heißt die Form nicht entartet ; dazu gehören positiv definit, negativ definit undunbestimmt(eine Mischung aus 1 und −1); äquivalent ist eine nicht entartete quadratische Form eine, deren zugehörige symmetrische Form einenicht entartete bilineare Form ist. Ein reeller Vektorraum mit einer unbestimmten nicht entarteten quadratischen Form des Indexes( p , q )(bezeichnetp1s undq−1s) wirdinsbesondere in der physikalischen Theorie derRaumzeitoft alsR ^{p , q bezeichnet} .

Die Diskriminante einer quadratischen Form , konkret die Klasse der Determinante einer darstellenden Matrix in K /( K ^× ) ² (bis zu Quadraten ungleich Null), kann auch definiert werden und ist für eine reelle quadratische Form eine gröbere Invariante als die Signatur , wobei nur Werte von „positiv, null oder negativ“ angenommen werden. Null entspricht entartet, während es für eine nicht entartete Form die Parität der Anzahl der negativen Koeffizienten ist,${\displaystyle (-1)^{n_{-}}.}$

Diese Ergebnisse werden im Folgenden anders formuliert.

Sei q eine quadratische Form, die auf einem n- dimensionalen reellen Vektorraum definiert ist. Sei A die Matrix der quadratischen Form q in einer gegebenen Basis. Dies bedeutet, dass A eine symmetrische n × n- Matrix ist, so dass

${\displaystyle q(v)=x^{\mathrm {T}}Ax,}$

wobei x der Spaltenvektor der Koordinaten von v in der gewählten Basis ist. Bei einem Basiswechsel wird die Spalte x links mit einer n × n invertierbaren Matrix S multipliziert und die symmetrische quadratische Matrix A in eine andere symmetrische quadratische Matrix B gleicher Größe nach der Formel

${\displaystyle A\to B=S^{\mathrm {T}}AS.}$

Jede symmetrische Matrix A kann in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda_{n}\end{pmatrix}}}$

durch geeignete Wahl einer orthogonalen Matrix S , und die Diagonaleinträge von B sind eindeutig bestimmt – dies ist der Satz von Jacobi. Wenn S eine beliebige invertierbare Matrix sein darf, kann B nur mit 0,1 und –1 auf der Diagonalen und der Anzahl der Einträge jedes Typs ( n ₀ für 0, n ₊ für 1 und n ₋ für −1) hängt nur von A ab . Dies ist eine der Formulierungen des Sylvesterschen Trägheitsgesetzes und die Zahlen n ₊ und n ₋ werden positiver und negativer Trägheitsindex genannt . Obwohl ihre Definition eine Wahl der Basis und die Berücksichtigung der entsprechenden reellen symmetrischen Matrix A beinhaltete , bedeutet das Sylvestersche Trägheitsgesetz, dass sie Invarianten der quadratischen Form q sind .

Die quadratische Form q ist positiv definit (bzw. negativ definit), falls q ( v ) > 0 (bzw. q ( v ) < 0 ) für jeden von Null verschiedenen Vektor v . Wenn q ( v ) sowohl positive als auch negative Werte annimmt, ist q eine unbestimmte quadratische Form. Die Theoreme von Jacobi und Sylvester zeigen, dass jede positiv bestimmte quadratische Form in n Variablen durch eine geeignete invertierbare lineare Transformation auf die Summe von n Quadraten gebracht werden kann: geometrisch gibt es nur eine positiv bestimmte reelle quadratische Form jeder Dimension. Ihre Isometriegruppe ist eine kompakte orthogonale Gruppe O( n ). Dies steht im Gegensatz zu den unbestimmten Formen, wenn die entsprechende Gruppe, die unbestimmte orthogonale Gruppe O( p , q ), nicht kompakt ist. Außerdem sind die Isometriegruppen von Q und − Q gleich ( O( p , q ) ≈ O( q , p )) , aber die zugehörigen Clifford-Algebren (und damit pin-Gruppen ) sind unterschiedlich.

Definitionen

Eine quadratische Form über einem Körper K ist eine Abbildung von einem endlichdimensionalen K -Vektorraum auf K, so dass für alle und die Funktion bilinear ist. ${\displaystyle q:V\to K}$${\displaystyle q(av)=a^{2}q(v)}$${\displaystyle a\in K,v\in V}$${\displaystyle q(u+v)-q(u)-q(v)}$

Konkreter ist eine n- äre quadratische Form über einem Körper K ein homogenes Polynom vom Grad 2 in n Variablen mit Koeffizienten in K :

${\displaystyle q(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_{ i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$

Diese Formel kann unter Verwendung von Matrizen umgeschrieben werden: Sei x der Spaltenvektor mit den Komponenten x ₁ , ..., x _n und A = ( a _ij ) sei die n × n- Matrix über K, deren Einträge die Koeffizienten von q sind . Dann

${\displaystyle q(x)=x^{\mathrm {T}}Ax.}$

Ein Vektor ist ein Nullvektor, wenn q ( v ) = 0 ist. ${\displaystyle v=(x_{1},\ldots,x_{n})}$

Zwei n- äre quadratische Formen φ und ψ über K sind äquivalent, wenn es eine nichtsinguläre lineare Transformation C ∈ GL ( n , K ) gibt mit

${\displaystyle \psi(x)=\varphi(Cx).}$

Die Charakteristik von K sei verschieden von 2. Die Koeffizientenmatrix A von q kann durch die symmetrische Matrix ( A + A ^T )/2 mit der gleichen quadratischen Form ersetzt werden, so dass von vornherein angenommen werden kann, dass A symmetrisch ist. Außerdem ist eine symmetrische Matrix A eindeutig durch die entsprechende quadratische Form bestimmt. Unter einer Äquivalenz C hängen die symmetrische Matrix A von φ und die symmetrische Matrix B von ψ wie folgt zusammen:

${\displaystyle B=C^{\mathrm {T}}AC.}$

Die zugehörige Bilinearform einer quadratischen Form q ist definiert durch

${\displaystyle b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathrm {T} }Ay=y^{\mathrm {T} }Ax.}$

Somit ist b _q eine symmetrische Bilinearform über K mit Matrix A . Umgekehrt definiert jede symmetrische Bilinearform b eine quadratische Form

${\displaystyle q(x)=b(x,x),}$

und diese beiden Prozesse sind die Umkehrungen voneinander. Folglich sind die Theorien der symmetrischen Bilinearformen und der quadratischen Formen in n Variablen über ein Kennlinienfeld ungleich 2 im Wesentlichen gleich.

Quadratische Räume

Eine quadratische Form q in n Variablen über K induziert eine Abbildung aus dem n- dimensionalen Koordinatenraum K ⁿ in K :

${\displaystyle Q(v)=q(v),\quad v=[v_{1},\ldots,v_{n}]^{\mathrm {T}}\in K^{n}.}$

Die Abbildung Q ist eine homogene Funktion vom Grad 2, hat also die Eigenschaft, dass für alle a in K und v in V gilt :

${\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v).}$

Wenn die Charakteristik von K nicht 2 ist, ist die bilineare Abbildung B  : V × V → K über K definiert:

${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).}$

Diese Bilinearform B ist symmetrisch. Das heißt, daß B ( x , y ) = B ( y , x ) für alle x , y in V , und sie bestimmt , Q : Q ( x ) = B ( x , x ) für alle x in V .

Wenn die Charakteristik von K 2 ist, also 2 keine Einheit ist , ist es immer noch möglich, eine quadratische Form zu verwenden, um eine symmetrische Bilinearform zu definieren B ′( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) . Aus diesem B ′ lässt sich jedoch Q ( x ) nicht mehr auf die gleiche Weise zurückgewinnen, da B ′( x , x ) = 0 für alle x (und damit alternierend) ist. Alternativ existiert immer eine Bilinearform B ″ (im Allgemeinen weder eindeutig noch symmetrisch) mit B ″( x , x ) = Q ( x ) .

Das Paar ( V , Q ) bestehend aus einem endlichdimensionalen Vektorraum V über K und einer quadratischen Abbildung Q von V nach K wird quadratischer Raum genannt , und B wie hier definiert ist die zugehörige symmetrische Bilinearform von Q . Der Begriff des quadratischen Raums ist eine koordinatenfreie Version des Begriffs der quadratischen Form. Manchmal wird Q auch als quadratische Form bezeichnet.

Zwei n- dimensionale quadratische Räume ( V , Q ) und ( V ′, Q ′) sind isometrisch, wenn es eine invertierbare lineare Transformation T  : V → V ′ ( Isometrie ) gibt mit

${\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{ für alle }}v\in V.}$

Die Isometrieklassen n- dimensionaler quadratischer Räume über K entsprechen den Äquivalenzklassen n- ärer quadratischer Formen über K .

Verallgemeinerung

Lasse R a seine kommutativer Ring , M ein seine R - Modul , und b  : M × M → R eine seine R -bilinear Form. Eine Abbildung q  : M → R  : v ↦ b ( v , v ) ist die zugehörige quadratische Form von b , und B  : M × M → R  : ( u , v ) ↦ q ( u + v ) − q ( u ) − q ( v ) ist die Polarform von q .

Eine quadratische Form q  : M → R kann auf folgende äquivalente Weisen charakterisiert werden:

• Es existiert eine R- Bilinearform b  : M × M → R so dass q ( v ) die zugehörige quadratische Form ist.
• q ( av ) = ein ² q ( v ) für alle a ∈ R und v ∈ M und die polare Form von q ist R -bilinear.

Verwandte konzepte

Zwei Elemente v und w von V heißen orthogonal, wenn B ( v , w ) = 0 ist . Der Kern einer Bilinearform B besteht aus den Elementen, die zu jedem Element von V orthogonal sind . Q ist nicht singulär, wenn der Kern der zugehörigen bilinearen Form {0} ist. Wenn es einen von Null existiert V in V , so dass Q ( V ) = 0 , die quadratische Form Q ist isotrop , sonst ist es anisotrop . Diese Terminologie gilt auch für Vektoren und Unterräume eines quadratischen Raums. Wenn die Beschränkung von Q auf einen Unterraum U von V gleich Null ist, dann U ist völlig singuläre .

Die orthogonale Gruppe einer nicht singulären quadratischen Form Q ist die Gruppe der linearen Automorphismen von V , die Q erhalten, dh die Gruppe der Isometrien von ( V , Q ) in sich.

Wenn ein quadratischer Raum ( A , Q ) ein Produkt hat, so dass A eine Algebra über einem Körper ist und erfüllt

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),}$dann ist es eine Kompositionsalgebra .

Äquivalenz der Formen

Jede quadratische Form q in n Variablen über einem Kennfeld ungleich 2 entspricht einer Diagonalform

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}. }$

Eine solche Diagonalform wird oft mit Klassifikation aller quadratischen Formen bis zur Äquivalenz bezeichnet, kann also auf den Fall von Diagonalformen reduziert werden. ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle.}$

Geometrische Bedeutung

Unter Verwendung kartesischer Koordinaten in drei Dimensionen sei , und sei eine symmetrische 3-mal-3-Matrix. Dann hängt die geometrische Natur der Lösungsmenge der Gleichung von den Eigenwerten der Matrix ab . ${\displaystyle\mathbf{x} =(x,y,z)^{\text{T}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\text{T}}\mathbf {x} =1}$${\displaystyle A}$

Wenn alle Eigenwerte von nicht Null sind, dann ist die Lösungsmenge ein Ellipsoid oder ein Hyperboloid . Wenn alle Eigenwerte positiv sind, handelt es sich um ein Ellipsoid; wenn alle Eigenwerte negativ sind, dann ist es ein imaginäres Ellipsoid (wir erhalten die Gleichung eines Ellipsoids, aber mit imaginären Radien); Wenn einige Eigenwerte positiv und einige negativ sind, handelt es sich um ein Hyperboloid. ${\displaystyle A}$

Existieren ein oder mehrere Eigenwerte , dann hängt die Form von den entsprechenden ab . Wenn das entsprechende , dann ist die Lösungsmenge ein Paraboloid (entweder elliptisch oder hyperbolisch); wenn das entsprechende , dann degeneriert die Dimension und kommt nicht ins Spiel, und die geometrische Bedeutung wird durch andere Eigenwerte und andere Komponenten von bestimmt . Wenn die Lösungsmenge ein Paraboloid ist, wird ob sie elliptisch oder hyperbolisch ist, dadurch bestimmt, ob alle anderen von Null verschiedenen Eigenwerte das gleiche Vorzeichen haben: wenn ja, dann ist sie elliptisch; andernfalls ist es hyperbolisch. ${\displaystyle \lambda_{i}=0}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle b_{i}\neq 0}$${\displaystyle b_{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle\mathbf{b}}$

Integrale quadratische Formen

Quadratische Formen über dem Ring der ganzen Zahlen werden als ganzzahlige quadratische Formen bezeichnet , während die entsprechenden Module quadratische Gitter (manchmal einfach Gitter ) sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie und Topologie .

Eine ganzzahlige quadratische Form hat ganzzahlige Koeffizienten, wie z. B. x ² + xy + y ² ; in äquivalenter Weise , ein Gitter Λ in einem Vektorraum gegeben V (über ein Feld mit charakteristischen 0, wie Q oder R ), einer quadratischen Form Q integral ist mit Bezug auf Λ , wenn und nur wenn es ganzzahlwertige auf Λ, was bedeutet , Q ( x , y ) Z wenn x , y ∈ Λ .

Dies ist die aktuelle Verwendung des Begriffs; in der Vergangenheit wurde es manchmal anders verwendet, wie unten beschrieben.

Historische Nutzung

Historisch gab es einige Verwirrung und Kontroversen darüber, ob der Begriff der ganzzahligen quadratischen Form bedeuten sollte:

zu zweit

die quadratische Form einer symmetrischen Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten

zu zweit

ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (also kann die zugehörige symmetrische Matrix halbzahlige Koeffizienten abseits der Diagonale haben)

Diese Debatte war auf die Verwechslung von quadratischen Formen (dargestellt durch Polynome) und symmetrischen bilinearen Formen (dargestellt durch Matrizen) zurückzuführen, und "Zweier aus" ist jetzt die akzeptierte Konvention; "twos in" ist stattdessen die Theorie der ganzzahligen symmetrischen Bilinearformen (integral symmetrische Matrizen).

In "twos in" sind binäre quadratische Formen von der Form , dargestellt durch die symmetrische Matrix ${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$

Dies ist die Konvention, die Gauss in Disquisitiones Arithmeticae verwendet .

In "twos out" haben binäre quadratische Formen die Form , dargestellt durch die symmetrische Matrix ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.}$

Mehrere Standpunkte führen dazu, dass Zweier heraus als Standardkonvention übernommen wurden. Dazu gehören:

• besseres Verständnis der 2-adischen Theorie der quadratischen Formen, der „lokalen“ Quelle der Schwierigkeit;
• die Gittersicht , die in den 1950er Jahren allgemein von den Experten der Arithmetik quadratischer Formen angenommen wurde;
• der tatsächliche Bedarf an der Theorie der integralen quadratischen Form in der Topologie für die Schnittpunkttheorie ;
• die Lie-Gruppe und algebraische Gruppenaspekte .

Universelle quadratische Formen

Eine ganzzahlige quadratische Form, deren Bild aus allen positiven ganzen Zahlen besteht, wird manchmal als universell bezeichnet . Der Vier-Quadrat-Satz von Lagrange zeigt, dass dies universell ist. Ramanujan verallgemeinerte dies und fand 54 Multisets { a , b , c , d } , die jeweils alle positiven ganzen Zahlen erzeugen können, nämlich ${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$${\displaystyle aw^{2}+bx^{2}+cy^{2}+dz^{2}}$

{1, 1, 1, d }, 1 ≤ d ≤ 7

{1, 1, 2, d }, 2 ≤ d ≤ 14

{1, 1, 3, d }, 3 ≤ d ≤ 6

{1, 2, 2, d }, 2 ≤ d ≤ 7

{1, 2, 3, d }, 3 ≤ d ≤ 10

{1, 2, 4, d }, 4 ≤ d ≤ 14

{1, 2, 5, d }, 6 ≤ d ≤ 10

Es gibt auch Formen, deren Bild aus allen bis auf eine der positiven ganzen Zahlen besteht. {1,2,5,5} hat beispielsweise 15 als Ausnahme. Kürzlich haben die Theoreme von 15 und 290 universelle ganzzahlige quadratische Formen vollständig charakterisiert: Wenn alle Koeffizienten ganze Zahlen sind, dann repräsentiert sie alle positiven ganzen Zahlen genau dann, wenn sie alle ganzen Zahlen bis 290 repräsentiert; Wenn es eine ganzzahlige Matrix hat, stellt es alle positiven ganzen Zahlen genau dann dar, wenn es alle ganzen Zahlen bis 15 darstellt.

Siehe auch

• ε -quadratische Form
• Kubische Form
• Diskriminant einer quadratischen Form
• Satz von Hasse-Minkowski
• Quadric
• Ramanujans ternäre quadratische Form
• Quadratische Klasse
• Witt-Gruppe
• Witts Theorem

Anmerkungen

Verweise

• O'Meara, OT (2000), Einführung in quadratische Formen , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
• Conway, John Horton ; Fung, Francis YC (1997), Die sinnliche (quadratische) Form , Carus Mathematical Monographies, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-030-5
• Schafarewitsch, IR ; AO Remisow (2012). Lineare Algebra und Geometrie . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Weiterlesen

• Cassels, JWS (1978). Rationale quadratische Formen . Monographien der Londoner Mathematischen Gesellschaft. 13 . Akademische Presse . ISBN 0-12-163260-1. Zbl  0395.10029 .
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetik quadratischer Formen . Cambridge Tracts in Mathematik. 106 . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Einführung in quadratische Formen über Körpern . Diplomstudium Mathematik . 67 . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN 0-8218-1095-2. MR  2.104.929 . Zbl  1068.11023 .
• Milnor, J. ; Husemöller, D. (1973). Symmetrische Bilinearformen . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016 .
• O'Meara, OT (1973). Einführung in quadratische Formen . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 117 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-66564-1. Zbl  0259.10018 .
• Pfister, Albrecht (1995). Quadratische Formen mit Anwendungen auf algebraische Geometrie und Topologie . Vorlesungsreihe der London Mathematical Society. 217 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-46755-1. Zbl  0847.11014 .

Externe Links

• AVMalyshev (2001) [1994], "Quadratische Form" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press
• AVMalyshev (2001) [1994], "Binary quadratic form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press