Quantenchaos - Quantum chaos

Teil einer Artikelserie über
Quantenmechanik
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi(t)\rangle ={\hat{H}}|\psi(t)\rangle}$ Schrödinger-Gleichung
Einführung Glossar Geschichte
Hintergrund Klassische Mechanik Alte Quantentheorie Bra–ket-Notation Hamiltonian Interferenz
Grundlagen Komplementarität Dekohärenz Verstrickung Energielevel Messung Nichtlokalität Quantenzahl Zustand Überlagerung Symmetrie Tunnelbau Unsicherheit Wellenfunktion  ( Kollaps )
Experimente Bellsche Ungleichung Davisson-Germer Doppelschlitz Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Leggett-Garg-Ungleichung Mach–Zehnder Popper Quantenradierer  ( Delayed-Choice ) Schrödingers Katze Stern–Gerlach Wheelers verzögerte Wahl
Formulierungen Überblick Heisenberg Interaktion Matrix Phasenraum Schrödinger Summen-über-Historie (Pfadintegral)
Gleichungen Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretationen Überblick Bayesian Konsistente Historien Kopenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Versteckte Variable Viele-Welten Zielkollaps Quantenlogik relational Transaktional
Fortgeschrittene Themen Relativistische Quantenmechanik Quantenfeldtheorie Quanteninformatik Quanten-Computing Quantenchaos Dichtematrix Streutheorie Statistische Quantenmechanik Quantenmaschinelles Lernen
Wissenschaftler Aharonov Glocke Blackett Bloch Böhm Bohr Geboren Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordanien Kramers Pauli Lamm Landauer Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Quantenchaos ist das Gebiet der Physik, das versucht, die Theorien der Quantenmechanik und der klassischen Mechanik zu verbinden . Die Abbildung zeigt die Hauptideen, die in jede Richtung laufen.

Quantenchaos ist ein Teilgebiet der Physik, das untersucht, wie chaotische klassische dynamische Systeme quantentheoretisch beschrieben werden können. Die primäre Frage, die das Quantenchaos zu beantworten versucht, lautet: "Welche Beziehung besteht zwischen der Quantenmechanik und dem klassischen Chaos ?" Das Korrespondenzprinzip besagt, dass die klassische Mechanik der klassische Grenzwert der Quantenmechanik ist, und zwar im Grenzfall, da das Verhältnis der Planckschen Konstanten zur Wirkung des Systems gegen Null geht. Wenn dies zutrifft, müssen dem klassischen Chaos Quantenmechanismen zugrunde liegen (obwohl dies möglicherweise keine fruchtbare Methode zur Untersuchung des klassischen Chaos ist). Wenn die Quantenmechanik keine exponentielle Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen zeigt, wie kann dann im klassischen Chaos eine exponentielle Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen entstehen, die die Grenze des Korrespondenzprinzips der Quantenmechanik sein muss?

Um die grundlegende Frage des Quantenchaos zu beantworten, wurden mehrere Ansätze verfolgt:

1. Entwicklung von Methoden zur Lösung von Quantenproblemen, bei denen die Störung in der Störungstheorie nicht als klein angesehen werden kann und bei denen die Quantenzahlen groß sind.
2. Korrelieren statistischer Beschreibungen von Eigenwerten (Energieniveaus) mit dem klassischen Verhalten desselben Hamilton-Operators (Systems).
3. Semiklassische Methoden wie die Theorie der periodischen Bahnen, die die klassischen Trajektorien des dynamischen Systems mit Quantenmerkmalen verbinden.
4. Direkte Anwendung des Korrespondenzprinzips.

Geschichte

Experimentelle Rekursionsspektren von Lithium in einem elektrischen Feld, die die Entstehung von Quantenrekursionen zeigen, die den Verzweigungen klassischer Bahnen entsprechen.

Während der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts wurde chaotisches Verhalten in der Mechanik erkannt (wie beim Dreikörperproblem in der Himmelsmechanik ), aber nicht gut verstanden. Die Grundlagen der modernen Quantenmechanik wurden in dieser Zeit gelegt, wobei die Frage der quantenklassischen Korrespondenz in Systemen, deren klassischer Grenzwert Chaos aufweist, im Wesentlichen beiseite gelassen wurde.

Ansätze

Vergleich experimenteller und theoretischer Rezidivspektren von Lithium in einem elektrischen Feld bei einer skalierten Energie von .${\displaystyle \epsilon =-3.0}$

Fragen zum Korrespondenzprinzip stellen sich in vielen verschiedenen Bereichen der Physik, von der Kern- über die Atom- , Molekül- und Festkörperphysik bis hin zu Akustik , Mikrowellen und Optik . Die klassische Quantenkorrespondenz in der Chaostheorie ist jedoch nicht immer möglich. Daher haben einige Versionen des klassischen Butterfly-Effekts keine Entsprechungen in der Quantenmechanik.

Wichtige Beobachtungen, die oft mit klassisch chaotischen Quantensystemen in Verbindung gebracht werden, sind Abstoßung auf spektraler Ebene , dynamische Lokalisierung in der Zeitentwicklung (zB Ionisationsraten von Atomen) und verstärkte stationäre Wellenintensitäten in Raumregionen, in denen die klassische Dynamik nur instabile Trajektorien aufweist (wie bei der Streuung ). Im semiklassischen Ansatz des Quantenchaos werden Phänomene in der Spektroskopie identifiziert, indem die statistische Verteilung von Spektrallinien analysiert und spektrale Periodizitäten mit klassischen Bahnen verbunden werden. Andere Phänomene zeigen sich in der zeitlichen Entwicklung eines Quantensystems oder in seiner Reaktion auf verschiedene Arten externer Kräfte. In einigen Kontexten, wie beispielsweise Akustik oder Mikrowellen, sind Wellenmuster direkt beobachtbar und weisen unregelmäßige Amplitudenverteilungen auf.

Beim Quantenchaos handelt es sich typischerweise um Systeme, deren Eigenschaften entweder mit numerischen Techniken oder Näherungsverfahren berechnet werden müssen (siehe zB Dyson-Reihen ). Einfache und exakte Lösungen werden dadurch ausgeschlossen, dass sich die Bestandteile des Systems entweder auf komplexe Weise gegenseitig beeinflussen oder von zeitlich variierenden äußeren Kräften abhängen.

Quantenmechanik in nicht-störenden Regimen

Berechnete regelmäßige (nicht chaotische) Rydberg- Atomenergieniveauspektren von Wasserstoff in einem elektrischen Feld nahe n=15. Beachten Sie, dass sich Energieniveaus aufgrund der zugrunde liegenden Symmetrien der dynamischen Bewegung kreuzen können.

Berechnete chaotische Rydberg- Atomenergieniveauspektren von Lithium in einem elektrischen Feld nahe n=15. Beachten Sie, dass sich Energieniveaus nicht kreuzen können, da der Ionenkern (und der resultierende Quantendefekt) die Symmetrien der dynamischen Bewegung brechen.

Für konservative Systeme besteht das Ziel der Quantenmechanik in nicht-störenden Regimen darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren eines Hamilton-Operators der Form

${\displaystyle H=H_{s}+\varepsilon H_{ns},\,}$

wobei in einem Koordinatensystem trennbar ist, in dem Koordinatensystem, in dem getrennt wird, nicht trennbar ist und ein Parameter ist, der nicht als klein angesehen werden kann. Physiker haben sich historisch an Probleme dieser Art genähert, indem sie versucht haben, das Koordinatensystem zu finden, in dem der nicht trennbare Hamilton-Operator am kleinsten ist, und dann den nicht trennbaren Hamilton-Operator als Störung behandelten. ${\displaystyle H_{s}}$${\displaystyle H_{ns}}$${\displaystyle H_{s}}$${\displaystyle \epsilon}$

Das Auffinden von Bewegungskonstanten, damit diese Trennung durchgeführt werden kann, kann eine schwierige (manchmal unmögliche) analytische Aufgabe sein. Die Lösung des klassischen Problems kann wertvolle Einblicke in die Lösung des Quantenproblems geben. Wenn es reguläre klassische Lösungen desselben Hamiltonoperators gibt, dann gibt es (zumindest) ungefähre Bewegungskonstanten, und durch die Lösung des klassischen Problems erhalten wir Hinweise, wie man sie findet.

In den letzten Jahren wurden weitere Ansätze entwickelt. Eine besteht darin, den Hamilton-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen in verschiedenen Raumregionen auszudrücken, wobei der nicht trennbare Teil des Hamilton-Operators in jeder Region minimiert wird. In diesen Bereichen werden Wellenfunktionen erhalten, und Eigenwerte werden durch übereinstimmende Randbedingungen erhalten.

Ein anderer Ansatz ist die numerische Matrixdiagonalisierung. Wenn die Hamilton-Matrix in einer vollständigen Basis berechnet wird, werden Eigenwerte und Eigenvektoren durch Diagonalisieren der Matrix erhalten. Alle vollständigen Basissätze sind jedoch unendlich, und wir müssen die Basis abschneiden, um dennoch genaue Ergebnisse zu erhalten. Diese Techniken laufen darauf hinaus, eine abgeschnittene Basis zu wählen, aus der genaue Wellenfunktionen konstruiert werden können. Die Rechenzeit, die zum Diagonalisieren einer Matrix erforderlich ist, skaliert als , wobei die Dimension der Matrix ist, daher ist es wichtig, die kleinstmögliche Basis zu wählen, aus der die relevanten Wellenfunktionen konstruiert werden können. Es ist auch zweckmäßig, eine Basis zu wählen, bei der die Matrix spärlich ist und/oder die Matrixelemente durch einfache algebraische Ausdrücke gegeben sind, da die Berechnung von Matrixelementen auch eine Rechenlast darstellen kann. ${\displaystyle N^{3}}$${\displaystyle N}$

Ein gegebener Hamiltonoperator hat sowohl für die klassische als auch für die Quantendynamik dieselben Bewegungskonstanten. Quantensysteme können auch zusätzliche Quantenzahlen aufweisen, die diskreten Symmetrien entsprechen (wie z. B. Paritätserhaltung von Reflexionssymmetrie). Wenn wir jedoch lediglich Quantenlösungen eines Hamilton-Operators finden, der für die Störungstheorie nicht zugänglich ist, können wir viel über Quantenlösungen lernen, aber wir haben wenig über Quantenchaos gelernt. Dennoch ist das Erlernen der Lösung solcher Quantenprobleme ein wichtiger Teil der Beantwortung der Frage nach dem Quantenchaos.

Korrelation statistischer Beschreibungen der Quantenmechanik mit klassischem Verhalten

Nächster-Nachbar-Verteilung für Rydberg-Atom- Energieniveauspektren in einem elektrischen Feld als Quantendefekt von 0,04 (a) auf 0,32 (h) erhöht. Das System wird chaotischer, wenn dynamische Symmetrien durch Vergrößern des Quantendefekts gebrochen werden; folglich entwickelt sich die Verteilung von nahezu einer Poisson-Verteilung (a) zu der von Wigners Vermutung (h).

Statistische Messungen des Quantenchaos wurden aus dem Wunsch heraus geboren, spektrale Eigenschaften komplexer Systeme zu quantifizieren. Die Zufallsmatrixtheorie wurde entwickelt, um Spektren komplexer Kerne zu charakterisieren. Das bemerkenswerte Ergebnis ist, dass die statistischen Eigenschaften vieler Systeme mit unbekannten Hamilton-Operatoren mithilfe von Zufallsmatrizen der richtigen Symmetrieklasse vorhergesagt werden können. Darüber hinaus sagt die Zufallsmatrixtheorie auch statistische Eigenschaften der Eigenwerte vieler chaotischer Systeme mit bekannten Hamiltonoperatoren korrekt voraus. Dies macht es als Werkzeug zur Charakterisierung von Spektren nützlich, deren Berechnung einen großen numerischen Aufwand erfordert.

Um spektrale Merkmale auf einfache Weise zu quantifizieren, stehen eine Reihe von statistischen Maßen zur Verfügung. Es ist von großem Interesse, ob es universelle statistische Verhaltensweisen von klassisch chaotischen Systemen gibt oder nicht. Die hier erwähnten statistischen Tests sind universell, zumindest für Systeme mit wenigen Freiheitsgraden ( Berry und Tabor haben starke Argumente für eine Poisson-Verteilung bei regulärer Bewegung vorgebracht und Heusler et al. präsentieren eine semiklassische Erklärung der sogenannten Bohigas-Giannoni-Schmit-Vermutung, die die Universalität spektraler Fluktuationen in der chaotischen Dynamik behauptet). Die Nächste-Nachbar-Verteilung (NND) von Energieniveaus ist relativ einfach zu interpretieren und wird häufig verwendet, um Quantenchaos zu beschreiben.

Qualitative Beobachtungen von Pegelabstoßungen können quantifiziert und mit der klassischen Dynamik in Verbindung gebracht werden, indem die NND verwendet wird, von der angenommen wird, dass sie eine wichtige Signatur der klassischen Dynamik in Quantensystemen ist. Es wird angenommen, dass sich die reguläre klassische Dynamik durch eine Poisson-Verteilung der Energieniveaus manifestiert :

${\displaystyle P(s)=e^{-s}.\ }$

Darüber hinaus wird erwartet, dass Systeme, die chaotische klassische Bewegungen zeigen, durch die Statistik von Zufallsmatrix-Eigenwert-Ensembles charakterisiert werden. Für Systeme, die unter Zeitumkehr invariant sind, hat sich gezeigt, dass die Energieniveaustatistik einer Reihe von chaotischen Systemen gut mit den Vorhersagen des Gaußschen Orthogonalen Ensembles (GOE) von Zufallsmatrizen übereinstimmt, und es wurde vorgeschlagen, dass dieses Phänomen generisch für alle chaotischen Systeme mit dieser Symmetrie. Wenn der normalisierte Abstand zwischen zwei Energieniveaus ist , wird die normalisierte Verteilung der Abstände gut angenähert durch ${\displaystyle s}$

${\displaystyle P(s)={\frac {\pi}{2}}se^{-\pi s^{2}/4}.}$

Es wurde gefunden, dass viele Hamilton-Systeme, die klassisch integrierbar (nicht chaotisch) sind, Quantenlösungen haben, die Verteilungen des nächsten Nachbarn ergeben, die den Poisson-Verteilungen folgen. In ähnlicher Weise wurden viele Systeme mit klassischem Chaos mit Quantenlösungen gefunden, die eine Wigner-Dyson-Verteilung ergeben , was die obigen Ideen unterstützt. Eine bemerkenswerte Ausnahme ist diamagnetisches Lithium, das, obwohl es klassisches Chaos aufweist, Wigner-Statistiken (chaotisch) für die Energieniveaus mit gerader Parität und nahezu Poisson-Statistiken (regulär) für die Energieniveauverteilung mit ungerader Parität zeigt.

Semiklassische Methoden

Theorie der periodischen Bahnen

Gleichmäßiges Paritätsrekursionsspektrum ( Fourier-Transformation der Zustandsdichte ) von diamagnetischem Wasserstoff mit Peaks, die den periodischen Bahnen des klassischen Systems entsprechen. Das Spektrum hat eine skalierte Energie von –0,6. Die mit R und V bezeichneten Peaks sind Wiederholungen der geschlossenen Umlaufbahn senkrecht bzw. parallel zum Feld. Mit O bezeichnete Peaks entsprechen der nahezu kreisförmigen periodischen Umlaufbahn, die um den Kern geht.

Relative Wiederholungsamplituden von geraden und ungeraden Wiederholungen der nahen Kreisbahn. Rauten und Pluszeichen stehen für ungerade bzw. gerade Viertelperioden. Die durchgezogene Linie ist A/cosh(nX/8). Die gestrichelte Linie ist A/sinh(nX/8), wobei A = 14,75 und X = 1,18 ist.

Die Theorie der periodischen Bahnen gibt ein Rezept für die Berechnung von Spektren aus den periodischen Bahnen eines Systems. Im Gegensatz zur Einstein-Brillouin-Keller-Methode der Wirkungsquantisierung, die nur auf integrierbare oder nahezu integrierbare Systeme anwendbar ist und einzelne Eigenwerte aus jeder Trajektorie berechnet, ist die Theorie der periodischen Bahnen sowohl auf integrierbare als auch auf nicht integrierbare Systeme anwendbar und behauptet, dass jedes periodische Bahnen erzeugen eine sinusförmige Fluktuation der Zustandsdichte.

Das Hauptergebnis dieser Entwicklung ist ein Ausdruck für die Zustandsdichte, die die Spur der semiklassischen Greenschen Funktion ist und durch die Gutzwiller-Spurformel gegeben ist:

${\displaystyle g_{c}(E)=\sum _{k}T_{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2\sinh {(\chi_{ nk}/2)}}}\,e^{i(nS_{k}-\alpha_{nk}\pi/2)}.}$

Vor kurzem gab es eine Verallgemeinerung dieser Formel für beliebige Matrix-Hamilton-Operatoren, die einen Berry-Phasen- ähnlichen Term beinhaltet, der vom Spin oder anderen internen Freiheitsgraden stammt. Der Index unterscheidet die primitiven periodischen Bahnen : die Bahnen mit der kürzesten Periode eines gegebenen Satzes von Anfangsbedingungen. ist die Periode der primitiven periodischen Umlaufbahn und ist ihre klassische Wirkung. Jede primitive Bahn zieht sich selbst zurück, was zu einer neuen Bahn mit Aktion und einer Periode führt, die ein ganzzahliges Vielfaches der primitiven Periode ist. Daher ist jede Wiederholung einer periodischen Bahn eine weitere periodische Bahn. Diese Wiederholungen werden durch die Zwischensumme über die Indizes getrennt klassifiziert . ist der Maslov-Index der Umlaufbahn . Der Amplitudenfaktor, , repräsentiert die Quadratwurzel der Dichte benachbarter Umlaufbahnen. Benachbarte Trajektorien einer instabilen periodischen Umlaufbahn divergieren zeitlich exponentiell von der periodischen Umlaufbahn. Die Größe charakterisiert die Instabilität der Umlaufbahn. Eine stabile Umlaufbahn bewegt sich auf einem Torus im Phasenraum, um den sich benachbarte Bahnen winden. Für stabile Bahnen wird , wobei die Windungszahl der periodischen Bahn ist. , wobei die Häufigkeit ist, mit der benachbarte Umlaufbahnen die periodische Umlaufbahn in einer Periode schneiden. Dies stellt eine Schwierigkeit dar, da bei einer klassischen Bifurkation . Dies führt dazu, dass der Beitrag dieser Umlaufbahn zur Energiedichte divergiert. Dies geschieht auch im Zusammenhang mit dem Photoabsorptionsspektrum . ${\displaystyle k}$${\displaystyle T_{k}}$${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle nS_{k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha_{nk}}$${\displaystyle 1/\sinh {(\chi_{nk}/2)}}$${\displaystyle \chi_{nk}}$${\displaystyle \sinh {(\chi_{nk}/2)}}$${\displaystyle \sin {(\chi_{nk}/2)}}$${\displaystyle \chi_{nk}}$${\displaystyle \chi_{nk}=2\pi m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \sin {(\chi_{nk}/2)}=0}$

Die Verwendung der Spurformel zum Berechnen eines Spektrums erfordert das Summieren über alle periodischen Bahnen eines Systems. Dies stellt chaotische Systeme vor mehrere Schwierigkeiten: 1) Die Anzahl der periodischen Bahnen wächst exponentiell als Funktion der Aktion. 2) Es gibt unendlich viele periodische Bahnen, und die Konvergenzeigenschaften der Theorie der periodischen Bahnen sind unbekannt. Diese Schwierigkeit tritt auch auf, wenn die Theorie der periodischen Bahnen auf reguläre Systeme angewendet wird. 3) Bahnen mit langer Periode sind schwer zu berechnen, da die meisten Trajektorien instabil und empfindlich gegenüber Rundungsfehlern und Details der numerischen Integration sind.

Gutzwiller angewandt , um die Spurformel , die zu nähern anisotropen Kepler Problem (ein einzelne Teilchen in einem Potential mit einer anisotropen Massen- Tensor ) semiklassisch. Er fand Übereinstimmung mit Quantenberechnungen für tief liegende (bis zu ) Zustände für kleine Anisotropien, indem er nur eine kleine Menge leicht berechenbarer periodischer Bahnen verwendete, aber die Übereinstimmung war für große Anisotropien schlecht. ${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle n=6}$

Die obigen Abbildungen verwenden einen umgekehrten Ansatz zum Testen der Theorie der periodischen Bahnen. Die Spurformel besagt, dass jede periodische Bahn einen sinusförmigen Term zum Spektrum beiträgt. Anstatt sich mit den Rechenschwierigkeiten bei langperiodischen Umlaufbahnen zu befassen, um zu versuchen, die Zustandsdichte (Energieniveaus) zu finden, kann man die quantenmechanische Störungstheorie verwenden, um Eigenwerte (Energieniveaus) zu berechnen und die Fourier-Transformation verwenden, um nach dem periodischen . zu suchen Modulationen des Spektrums, die die Signatur periodischer Bahnen sind. Das Interpretieren des Spektrums läuft dann darauf hinaus, die Umlaufbahnen zu finden, die Spitzen in der Fourier-Transformation entsprechen.

Grobskizze, wie man zur Gutzwiller-Spurenformel kommt

1. Beginnen Sie mit der semiklassischen Approximation der zeitabhängigen Greenschen Funktion (dem Van-Vleck-Propagator).
2. Erkennen Sie, dass die Beschreibung für Kaustik divergiert und verwenden Sie die Einsicht von Maslov (ungefähr Fourier-Transformation in den Impulsraum (stationäre Phasennäherung mit kleinem Parameter ha), um solche Punkte zu vermeiden, und anschließende Rücktransformation in den Ortsraum kann eine solche Divergenz heilen, ergibt jedoch eine Phase Faktor).
3. Transformiere die Greens-Funktion in den Energieraum, um die energieabhängige Greens-Funktion zu erhalten (wieder approximierte Fourier-Transformation unter Verwendung der Näherung der stationären Phase). Möglicherweise treten neue Divergenzen auf, die mit der gleichen Methode wie in Schritt 3 behoben werden müssen
4. Verwenden Sie (Überfahren von Positionen) und berechnen Sie es erneut in der Näherung der stationären Phase, um eine Näherung für die Zustandsdichte zu erhalten .${\displaystyle d(E)=-{\frac {1}{\pi}}\Im (\operatorname {Tr} (G(x,x^{\prime},E))}$${\displaystyle d(E)}$

Hinweis: Die Aufzeichnung der Spur sagt Ihnen, dass nur geschlossene Bahnen dazu beitragen, die Näherung der stationären Phase gibt Ihnen jedes Mal restriktive Bedingungen, wenn Sie sie machen. In Schritt 4 beschränkt es Sie auf Umlaufbahnen, bei denen Anfangs- und Endimpuls gleich sind, dh periodische Umlaufbahnen. Oft ist es schön, ein Koordinatensystem parallel zur Bewegungsrichtung zu wählen, wie es in vielen Büchern gemacht wird.

Theorie der geschlossenen Umlaufbahn

Experimentelles Rekursionsspektrum (Kreise) wird mit den Ergebnissen der Closed-Orbit-Theorie von John Delos und Jing Gao für Lithium- Rydberg-Atome in einem elektrischen Feld verglichen . Die mit 1–5 bezeichneten Peaks sind Wiederholungen der Elektronenbahn parallel zum Feld vom Kern zum klassischen Wendepunkt in Aufwärtsrichtung.

Die Closed-Orbit-Theorie wurde von JB Delos, ML Du, J. Gao und J. Shaw entwickelt. Sie ähnelt der Theorie der periodischen Bahnen, außer dass die Theorie der geschlossenen Bahnen nur auf Atom- und Molekülspektren anwendbar ist und die Dichte der Oszillatorstärke (beobachtbares Photoabsorptionsspektrum) von einem bestimmten Anfangszustand liefert, während die Theorie der periodischen Bahn die Dichte von Zustände.

Für die Theorie der geschlossenen Bahnen sind nur Bahnen wichtig, die am Kern beginnen und enden. Physikalisch sind diese mit den ausgehenden Wellen verbunden, die erzeugt werden, wenn ein fest gebundenes Elektron in einen hoch liegenden Zustand angeregt wird. Für Rydberg-Atome und -Moleküle ist jede im Kern geschlossene Umlaufbahn auch eine periodische Umlaufbahn, deren Periode entweder gleich der Schließzeit oder der doppelten Schließzeit ist.

Nach der Closed-Orbit-Theorie ergibt sich die durchschnittliche Oszillatorstärkedichte bei konstanter Konstante aus einem glatten Untergrund plus einer oszillatorischen Summe der Form ${\displaystyle \epsilon}$

${\displaystyle f(w)=\sum_{k}\sum_{n=1}^{\infty}D_{\it {nk}}^{i}\sin(2\pi nw{\tilde { S_{k}}}-\phi_{\it {nk}}).}$

${\displaystyle \phi_{\it {nk}}}$ist eine Phase, die vom Maslov-Index und anderen Details der Umlaufbahnen abhängt. ist die Wiederholungsamplitude einer geschlossenen Umlaufbahn für einen gegebenen Anfangszustand (bezeichnet mit ). Es enthält Informationen über die Stabilität der Bahn, ihre Anfangs- und Endrichtung und das Matrixelement des Dipoloperators zwischen dem Anfangszustand und einer energielosen Coulomb-Welle. Für Skalierungssysteme wie Rydberg-Atome in starken Feldern wird die Fourier-Transformation eines Oszillatorstärkespektrums, das bei fest als Funktion von berechnet wird, als Rekursionsspektrum bezeichnet, weil es Peaks ergibt, die der skalierten Wirkung geschlossener Bahnen entsprechen und deren Höhen . entsprechen . ${\displaystyle D_{\it {nk}}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle w}$${\displaystyle D_{\it {nk}}^{i}}$

Die Theorie der geschlossenen Umlaufbahn hat eine breite Übereinstimmung mit einer Reihe von chaotischen Systemen gefunden, darunter diamagnetischer Wasserstoff, Wasserstoff in parallelen elektrischen und magnetischen Feldern, diamagnetisches Lithium, Lithium in einem elektrischen Feld, das Ion in gekreuzten und parallelen elektrischen und magnetischen Feldern, Barium in einem elektrisches Feld und Helium in einem elektrischen Feld. ${\displaystyle H^{-}}$

Eindimensionale Systeme und Potenziale

Für den Fall eines eindimensionalen Systems mit der Randbedingung ist die Zustandsdichte aus der Gutzwiller-Formel mit dem Kehrwert des Potentials des klassischen Systems verbunden, indem hier die Zustandsdichte und V(x) das klassische Potential von ist das Teilchen, die halbe Ableitung des Inversen des Potentials, hängt mit der Zustandsdichte zusammen wie beim Wu-Sprung-Potential . ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle {\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi}}{\frac {dN( x)}{dx}}}$${\displaystyle {\frac {dN(x)}{dx}}}$

Aktuelle Wegbeschreibung

Eine offene Frage bleibt das Verständnis des Quantenchaos in Systemen mit endlichdimensionalen lokalen Hilberträumen, für die die semiklassischen Standardgrenzen nicht gelten. Neuere Arbeiten ermöglichten es, solche Quanten-Vielteilchensysteme analytisch zu untersuchen .

Die traditionellen Themen im Quantenchaos betreffen spektrale Statistik (universelle und nicht-universelle Merkmale) und das Studium von Eigenfunktionen ( Quantenergodizität , Narben ) verschiedener chaotischer Hamilton-Operatoren . ${\displaystyle H(x,p;R)}$

Weitere Studien befassen sich mit der parametrischen ( ) Abhängigkeit des Hamilton-Operators, wie sie sich zB in der Statistik der vermiedenen Kreuzungen widerspiegelt, und der damit verbundenen Mischung, wie sie sich in der (parametrischen) lokalen Zustandsdichte (LDOS) widerspiegelt. Es gibt umfangreiche Literatur zur Wellenpaketdynamik, einschließlich der Untersuchung von Fluktuationen, Rekursionen, Quantenirreversibilitätsproblemen usw. Ein besonderer Platz wird dem Studium der Dynamik quantisierter Abbildungen eingeräumt: Die Standardabbildung und der gekickte Rotator werden als Prototypprobleme betrachtet. ${\displaystyle R}$

Die Arbeiten konzentrieren sich auch auf das Studium getriebener chaotischer Systeme, bei denen der Hamilton-Operator zeitabhängig ist, insbesondere im adiabatischen und im linearen Antwortbereich. Es gibt auch erhebliche Anstrengungen, die sich darauf konzentrieren, Ideen des Quantenchaos für stark wechselwirkende Vielteilchen- Quantensysteme fernab semiklassischer Regime zu formulieren . ${\displaystyle H(x,p;R(t))}$

Berry-Tabor-Vermutung

1977 machten Berry und Tabor eine noch offene "generische" mathematische Vermutung, die grob gesagt so lautet: Im "generischen" Fall für die Quantendynamik einer geodätischen Strömung auf einer kompakten Riemannschen Fläche verhalten sich die Quantenenergie-Eigenwerte wie eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen vorausgesetzt, dass die zugrunde liegende klassische Dynamik vollständig integrierbar ist .

Siehe auch

• Narbe (Physik)

Verweise

Weitere Ressourcen

• Martin C. Gutzwiller (1971). „Periodische Bahnen und klassische Quantisierungsbedingungen“. Zeitschrift für Mathematische Physik . 12 (3): 343. Bibcode : 1971JMP....12..343G . doi : 10.1063.1.1665596 .
• Martin C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics , (1990) Springer-Verlag , New York ISBN  0-387-97173-4 .
• Hans-Jürgen Stöckmann , Quantum Chaos: Eine Einführung , (1999) Cambridge University Press ISBN  0-521-59284-4 .
• Eugen Paul Wigner ; Dirac, PAM (1951). „Über die statistische Verteilung der Breiten und Abstände der Kernresonanzpegel“. Mathematische Verfahren der Cambridge Philosophical Society . 47 (4): 790. Bibcode : 1951PCPS...47..790W . doi : 10.1017/S0305004100027237 .
• Fritz Haake, Quantum Signatures of Chaos 2. Aufl., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN  3-540-67723-2 .
• Karl-Fredrik Berggren und Sven Aberg, "Quantum Chaos Y2K Proceedings of Nobel Symposium 116" (2001) ISBN  978-981-02-4711-9
• LE Reichl , "Der Übergang zum Chaos: In konservativen klassischen Systemen: Quantenmanifestationen", Springer (2004), ISBN  978-0387987880

Externe Links

• Quantenchaos von Martin Gutzwiller (1992 und 2008, Scientific American )
• Quantenchaos Martin Gutzwiller Scholarpedia 2(12):3146. doi:10.4249/scholarpedia.3146
• Kategorie:Quantum Chaos Scholarpedia
• Was ist... Quantum Chaos von Ze'ev Rudnick (Januar 2008, Mitteilungen der American Mathematical Society )
• Brian Hayes, "Das Spektrum von Riemannium"; American Scientist Band 91, Nummer 4, Juli–August, 2003, S. 296–300 . Diskutiert die Beziehung zur Riemannschen Zetafunktion .
• Eigenfunktionen in chaotischen Quantensystemen von Arnd Bäcker.
• ChaosBook.org