Quaternion - Quaternion

Multiplikationstabelle für Quaternionen
1 ich J k
1 1 ich J k
ich ich -1 k j
J J k -1 ich
k k J ich -1
Cayley Q8 Graph , der die 6 Zyklen der Multiplikation mit i , j und k zeigt . (In der SVG - Datei , schwebt über oder einen Zyklus klicken , um es zu markieren.)

In der Mathematik erweitert das Quaternionen- Zahlensystem die komplexen Zahlen . Quaternionen wurden erstmals 1843 vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton beschrieben und auf die Mechanik im dreidimensionalen Raum angewendet . Hamilton definierte eine Quaternion als den Quotienten zweier gerichteter Geraden in einem dreidimensionalen Raum oder äquivalent als den Quotienten zweier Vektoren . Die Multiplikation von Quaternionen ist nichtkommutativ .

Quaternionen werden im Allgemeinen in der Form

wo a , b , c und d sind reelle Zahlen sind ; und i , j und k sind die grundlegenden Quaternionen .

Quaternionen werden in der reinen Mathematik verwendet , haben aber auch praktische Anwendungen in der angewandten Mathematik , insbesondere für Berechnungen mit dreidimensionalen Drehungen , wie in der dreidimensionalen Computergrafik , Computer Vision und kristallografischen Texturanalyse . Sie können je nach Anwendung neben anderen Rotationsverfahren wie Eulerwinkel und Rotationsmatrizen oder alternativ dazu eingesetzt werden.

Quaternionen bilden in der modernen mathematischen Sprache eine vierdimensionale assoziative normierte Divisionsalgebra über die reellen Zahlen und damit auch eine Domäne . Die Algebra der Quaternionen wird häufig durch bezeichnet H (für Hamilton ) oder in Tafel fett durch Sie kann auch durch die gegeben wird Clifford Algebra Klassifikationen In der Tat, es war die erste nichtkommutative Algebra Abteilung entdeckt zu werden.

Nach dem Satz von Frobenius ist die Algebra einer von nur zwei endlichdimensionalen Teilungsringen, die einen echten Teilring enthalten , der zu den reellen Zahlen isomorph ist; das andere sind die komplexen Zahlen. Diese Ringe sind auch euklidische Hurwitz-Algebren , von denen Quaternionen die größte assoziative Algebra sind . Eine weitere Erweiterung der Quaternionen ergibt die nicht-assoziativen Oktonionen , die letzte normierte Divisionsalgebra über den reellen Zahlen. (Die Sedenionen , die Erweiterung der Oktonionen, haben Nullteiler und können daher keine normierte Divisionsalgebra sein.)

Die Einheitsquaternionen kann man sich als Wahl einer Gruppenstruktur auf der 3-Sphäre S 3 vorstellen, die die Gruppe Spin(3) ergibt , die isomorph zu SU(2) und auch zur universellen Hülle von SO(3) ist .

Grafische Darstellung von Produkten von Quaternioneneinheiten als 90° Drehungen in den Ebenen des 4-dimensionalen Raums, der von zwei von {1, i , j , k } aufgespannt wird . Der linke Faktor kann als um den rechten Faktor gedreht angesehen werden, um zum Produkt zu gelangen. Visuell i   j = − ( j   i ) .
  • In Blau :
    • 1  i = i    (1/ i- Ebene)
    • i j = k    ( i / k- Ebene)
  • In Rot :
    • 1  j = j    (1/ j- Ebene)
    • j i = − k    ( j / k- Ebene)

Geschichte

Quaternion-Plakette an der Brougham (Broom) Bridge , Dublin , die sagt:

Hier, als er
am 16. Oktober 1843 vorbeiging, entdeckte
Sir William Rowan Hamilton
in einem Geistesblitz
die grundlegende Formel für die
Quaternionenmultiplikation
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1
und schnitt sie auf einen Stein dieser Brücke

Quaternionen wurden 1843 von Hamilton eingeführt. Wichtige Vorläufer dieser Arbeit waren Eulers Vier-Quadrat-Identität (1748) und Olinde Rodrigues ' Parametrisierung allgemeiner Rotationen durch vier Parameter (1840), aber keiner dieser Autoren behandelte die Vier-Parameter-Rotationen als eine Algebra. Auch Carl Friedrich Gauß hatte 1819 Quaternionen entdeckt, diese Arbeit wurde jedoch erst 1900 veröffentlicht.

Hamilton wusste, dass die komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene interpretiert werden können , und suchte nach einer Möglichkeit, dies auch für Punkte im dreidimensionalen Raum zu tun . Punkte im Raum lassen sich durch ihre Koordinaten darstellen, die Zahlentripel sind, und er wusste seit vielen Jahren, wie man Zahlentripel addiert und subtrahiert. Allerdings hatte er sich lange Zeit mit dem Problem der Multiplikation und Division beschäftigt. Er konnte nicht herausfinden, wie man den Quotienten der Koordinaten zweier Punkte im Raum berechnet . Tatsächlich bewies Ferdinand Georg Frobenius später im Jahr 1877, dass eine Divisionsalgebra über die reellen Zahlen als endlichdimensional und assoziativ nicht dreidimensional sein kann und es nur drei solcher Divisionsalgebren gibt: (komplexe Zahlen) und (Quaternionen ), die die Dimension 1, 2 bzw. 4 haben.

Der große Durchbruch bei den Quaternionen kam schließlich am Montag, den 16. Oktober 1843 in Dublin , als Hamilton auf dem Weg zur Royal Irish Academy war, wo er einer Ratssitzung vorsitzen sollte. Als er mit seiner Frau den Treidelpfad des Royal Canal entlang ging , nahmen die Konzepte hinter den Quaternionen in seinem Kopf Gestalt an. Als ihm die Antwort dämmerte, konnte Hamilton dem Drang nicht widerstehen, die Formel für die Quaternionen zu schreiben.

in den Stein der Brougham Bridge, als er darauf verharrte. Obwohl die Schnitzereien inzwischen verblasst sind, gibt es seit 1989 eine jährliche Pilgerfahrt namens Hamilton Walk für Wissenschaftler und Mathematiker, die in Erinnerung an Hamiltons Entdeckung vom Dunsink Observatory zur Royal Canal Bridge wandern .

Am nächsten Tag schrieb Hamilton einen Brief an seinen Freund und Mathematikerkollegen John T. Graves, in dem er den Gedankengang beschrieb, der zu seiner Entdeckung führte. Dieser Brief wurde später in einem Brief an das London, Edinburgh und Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science veröffentlicht ; Hamilton sagt:

Und hier dämmerte mir der Gedanke, dass wir in gewisser Weise eine vierte Dimension des Raumes zulassen müssen, um mit Tripel zu rechnen ... Ein Stromkreis schien sich zu schließen, und ein Funke blitzte auf.

Hamilton nannte ein Quadrupel mit diesen Multiplikationsregeln eine Quaternion , und er widmete den größten Teil seines restlichen Lebens dem Studium und der Lehre. Hamiltons Behandlung ist geometrischer als der moderne Ansatz, der die algebraischen Eigenschaften der Quaternionen betont . Er gründete eine Schule von "Quaternionisten" und versuchte, Quaternionen in mehreren Büchern bekannt zu machen. Das letzte und längste seiner Bücher, Elements of Quaternions , war 800 Seiten lang; es wurde von seinem Sohn bearbeitet und kurz nach seinem Tod veröffentlicht.

Nach Hamiltons Tod wurde der schottische mathematische Physiker Peter Tait zum Hauptvertreter der Quaternionen. Quaternionen waren zu dieser Zeit in Dublin ein obligatorisches Prüfungsthema. Themen der Physik und Geometrie, die jetzt mit Vektoren beschrieben werden würden, wie die Kinematik im Raum und die Maxwell-Gleichungen , wurden ausschließlich in Form von Quaternionen beschrieben. Es gab sogar eine professionelle Forschungsvereinigung, die Quaternion Society , die sich dem Studium von Quaternionen und anderen hyperkomplexen Zahlensystemen widmete .

Ab Mitte der 1880er Jahre begann die Verdrängung von Quaternionen durch die Vektoranalyse , die von Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside und Hermann von Helmholtz entwickelt worden war . Die Vektoranalyse beschrieb die gleichen Phänomene wie Quaternionen, daher entlehnte sie einige Ideen und Terminologie freizügig aus der Literatur über Quaternionen. Die Vektoranalyse war jedoch konzeptionell einfacher und in der Notation sauberer, und schließlich wurden Quaternionen in der Mathematik und Physik auf eine untergeordnete Rolle verwiesen . Ein Nebeneffekt dieses Übergangs ist, dass Hamiltons Werk für viele moderne Leser schwer zu verstehen ist. Hamiltons ursprüngliche Definitionen sind ungewohnt und sein Schreibstil war wortreich und schwer zu befolgen.

Quaternionen haben jedoch seit dem späten 20. Jahrhundert ein Revival erlebt, hauptsächlich aufgrund ihrer Nützlichkeit bei der Beschreibung räumlicher Rotationen . Die Darstellungen von Drehungen durch Quaternionen sind kompakter und schneller zu berechnen als die Darstellungen durch Matrizen . Außerdem sind sie im Gegensatz zu Eulerwinkeln nicht anfällig für „ Gimbal Lock “. Aus diesem Grund werden Quaternionen in der Computergrafik , Computer Vision , Robotik , Kontrolltheorie , Signalverarbeitung , Lagekontrolle , Physik , Bioinformatik , Molekulardynamik , Computersimulationen und Orbitalmechanik verwendet . Zum Beispiel ist es üblich, dass die Lageregelungssysteme von Raumfahrzeugen in Form von Quaternionen kommandiert werden. Quaternionen haben aufgrund ihrer Beziehungen zu den quadratischen Formen einen weiteren Schub von der Zahlentheorie erhalten .

Quaternionen in der Physik

PR Girards Aufsatz von 1984 Die Quaternionengruppe und moderne Physik diskutiert einige Rollen von Quaternionen in der Physik. Der Aufsatz zeigt, wie verschiedene physikalische Kovarianzgruppen, nämlich SO(3) , die Lorentz-Gruppe, die allgemeine Relativitätstheorie-Gruppe, die Clifford-Algebra SU(2) und die konforme Gruppe, leicht mit der Quaternionengruppe in der modernen Algebra in Verbindung gebracht werden können . Girard begann damit, Gruppendarstellungen zu diskutieren und einige Raumgruppen der Kristallographie zu vertreten . Er ging zur Kinematik der Starrkörperbewegung über . Als nächstes verwendete er komplexe Quaternionen ( Biquaternionen ), um die Lorentz-Gruppe der speziellen Relativitätstheorie einschließlich der Thomas-Präzession darzustellen . Er zitierte fünf Autoren, beginnend mit Ludwik Silberstein , der eine Potentialfunktion einer Quaternionenvariable benutzte , um die Maxwell-Gleichungen in einer einzigen Differentialgleichung auszudrücken . Bezüglich der Allgemeinen Relativitätstheorie drückte er den Runge-Lenz-Vektor aus . Er erwähnte die Clifford-Biquaternionen ( Split-Biquaternionen ) als eine Instanz der Clifford-Algebra. Schließlich die gegenseitigen ein Biquaternion Aufruf beschrieben Girard konforme Karten auf Raum - Zeit . Unter den fünfzig Referenzen schloss Girard Alexander Macfarlane und sein Bulletin of the Quaternion Society ein . 1999 zeigte er, wie Einsteins Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie innerhalb einer Clifford-Algebra formuliert werden können, die direkt mit Quaternionen verknüpft ist.

Die Entdeckung von 1924, dass in der Quantenmechanik der Spin eines Elektrons und anderer Materieteilchen (bekannt als Spinoren ) mit Quaternionen beschrieben werden kann, förderte ihr Interesse; Quaternionen halfen zu verstehen, wie Rotationen von Elektronen um 360° von denen um 720° unterschieden werden können (der „ Plattentrick “). Seit 2018 hat ihre Verwendung Rotationsgruppen nicht überholt .

Definition

Eine Quaternion ist ein Ausdruck der Form

wo a , b , c , d sind reelle Zahlen , und i , j , k , sind Symbole , die als Einheitsvektoren zeigt entlang der drei Raumachsen interpretiert werden können. In der Praxis wird, wenn einer von a , b , c , d 0 ist, der entsprechende Term weggelassen; wenn a , b , c , d alle Null sind, ist die Quaternion die Null-Quaternion , bezeichnet mit 0; wenn b , c , d gleich 1 ist, wird der entsprechende Term einfach i , j oder k geschrieben .

Hamilton beschreibt ein Quaternion , das aus einem Skalarteil und einem Vektorteil besteht. Die Quaternion wird Vektorteil (manchmal Imaginärteil ) von q genannt , und a ist der Skalarteil (manchmal Realteil ) von q . Eine Quaternion, die ihrem Realteil entspricht (d. h. ihr Vektorteil ist Null), wird als Skalar oder reelle Quaternion bezeichnet und mit der entsprechenden reellen Zahl identifiziert. Das heißt, die reellen Zahlen sind in die Quaternionen eingebettet . (Genauer gesagt ist der Körper der reellen Zahlen zu einer Teilmenge der Quaternionen isomorph. Der Körper der komplexen Zahlen ist auch zu drei Teilmengen der Quaternionen isomorph.) Eine Quaternion, die ihrem Vektorteil entspricht, wird als Vektorquaternion bezeichnet .

Die Menge der Quaternionen wird durch die komponentenweise Addition zu einem 4-dimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen gemacht, mit als Basis

und die komponentenweise Skalarmultiplikation

Eine multiplikative Gruppenstruktur, das Hamilton-Produkt , bezeichnet durch Nebeneinanderstellung, kann auf den Quaternionen wie folgt definiert werden:

  • Die reelle Quaternion 1 ist das Identitätselement .
  • Die reellen Quaternionen kommutieren mit allen anderen Quaternionen, dh aq = qa für jede Quaternion q und jede reelle Quaternion a . In der algebraischen Terminologie bedeutet dies, dass der Körper der reellen Quaternionen das Zentrum dieser Quaternionenalgebra ist.
  • Das Produkt wird zunächst für die Basiselemente (siehe nächster Unterabschnitt) angegeben und dann auf alle Quaternionen unter Verwendung der Distributiveigenschaft und der Zentrumseigenschaft der reellen Quaternionen erweitert. Das Hamilton-Produkt ist nicht kommutativ , sondern assoziativ , also bilden die Quaternionen eine assoziative Algebra über den reellen Zahlen.
  • Darüber hinaus hat jede von Null verschiedene Quaternion eine Inverse in Bezug auf das Hamilton-Produkt:

Somit bilden die Quaternionen eine Divisionsalgebra.

Multiplikation von Basiselementen

Multiplikationstabelle
× 1 ich J k
1 1 ich J k
ich ich -1 k j
J J k -1 ich
k k J ich -1
Nicht-Kommutativität wird durch farbige Quadrate hervorgehoben

Die Multiplikation mit 1 der Basiselemente i , j und k ist dadurch definiert, dass 1 eine multiplikative Identität ist , d.

Die anderen Produkte von Basiselementen werden aus den Produktregeln für und

und

Dann erhält man die anderen Produktregeln durch Ersetzen durch und Anwenden der Assoziativität und der Antikommutativität von und (d. h. ), was

Center

Das Zentrum eines nichtkommutative Ring ist der Unterring der Elemente C , so daß cx = xc für jeden x . Das Zentrum der Quaternionenalgebra ist der Unterkörper der reellen Quaternionen. Tatsächlich gehört es zur Definition, dass die reellen Quaternionen zum Zentrum gehören. Umgekehrt, wenn q = a + b i + c j + d k zum Zentrum gehört, dann

und c = d = 0 . Eine ähnliche Rechnung mit j statt i zeigt, dass auch b = 0 gilt . Somit ist q = a eine reelle Quaternion.

Die Quaternionen bilden eine Divisionsalgebra. Dies bedeutet, dass die Nichtkommutativität der Multiplikation die einzige Eigenschaft ist, die Quaternionen von einem Körper unterscheidet . Diese Nichtkommutativität hat einige unerwartete Konsequenzen, unter anderem, dass eine Polynomgleichung über die Quaternionen eindeutigere Lösungen haben kann als der Grad des Polynoms. Zum Beispiel kann die Gleichung z 2 + 1 = 0 , unendlich viel Quaternion - Lösungen, die die Quaternionen sind z = b i + c j + d k , so daß b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Somit bilden diese „Wurzeln von –1“ eine Einheitskugel im dreidimensionalen Raum der Vektorquaternionen.

Hamilton-Produkt

Für zwei Elemente a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k und a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k , ihr Produkt, das Hamilton-Produkt ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) wird durch die Produkte der Basiselemente und des Distributivgesetzes bestimmt . Das Distributivgesetz ermöglicht es, das Produkt zu einer Summe von Produkten von Basiselementen zu erweitern. Dies ergibt den folgenden Ausdruck:

Nun können die Basiselemente mit den oben angegebenen Regeln multipliziert werden, um zu erhalten:

Das Produkt zweier Rotationsquaternionen entspricht der Rotation a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k gefolgt von der Rotation a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k .

Skalar- und Vektorteile

Eine Quaternion der Form a + 0 i + 0 j + 0 k , wobei a eine reelle Zahl ist, heißt Skalar und eine Quaternion der Form 0 + b i + c j + d k , wobei b , c und d reelle Zahlen sind und mindestens eines von b , c oder d ungleich Null ist, wird als Vektorquaternion bezeichnet . Wenn a + b i + c j + d k ist eine beliebige Quaternion, dann ein seinen genannt skalaren Teil und b i + c j + d k wird seine genannte Vektorteil . Obwohl jede Quaternion als Vektor in einem vierdimensionalen Vektorraum betrachtet werden kann, ist es üblich, den Vektorteil als Vektoren im dreidimensionalen Raum zu bezeichnen. Nach dieser Konvention ist ein Vektor dasselbe wie ein Element des Vektorraums

Hamilton nannte auch Vektorquaternionen rechte Quaternionen und reelle Zahlen (betrachtet als Quaternionen mit Nullvektoranteil) skalare Quaternionen .

Zerlegt man eine Quaternion in einen Skalar- und einen Vektorteil, d.h.

dann sind die Formeln für Addition und Multiplikation

wobei " " und " " das Punktprodukt bzw. das Kreuzprodukt bezeichnen .

Konjugation, Norm und Gegenseitigkeit

Die Konjugation von Quaternionen ist analog zur Konjugation komplexer Zahlen und zur Transposition (auch als Umkehrung bekannt) von Elementen der Clifford-Algebren. Um es zu definieren, sei eine Quaternion. Die Konjugierte von q ist das Quaternion . Sie wird mit q , q t , , oder q bezeichnet . Konjugation ist eine Involution , was bedeutet, dass sie ihre eigene Umkehrung ist , so dass die zweimalige Konjugation eines Elements das ursprüngliche Element zurückgibt. Das Konjugat eines Produkts zweier Quaternionen ist das Produkt der Konjugate in umgekehrter Reihenfolge . Das heißt, wenn p und q Quaternionen sind, dann ( pq ) * = q * p * nicht p * q * .

Die Konjugation eines Quaternions kann im krassen Gegensatz zur komplexen Einstellung durch Multiplikation und Addition von Quaternionen ausgedrückt werden:

Konjugation kann verwendet werden, um die Skalar- und Vektorteile eines Quaternions zu extrahieren. Der skalare Teil von p ist 1/2( P + p * ) , und der Vektorteil von p ist1/2( pp ) .

Die Quadratwurzel des Produkts einer Quaternion mit ihrer Konjugierten heißt ihre Norm und wird mit || . bezeichnet q || (Hamilton nannte diese Größe den Tensor von q , aber dies widerspricht der modernen Bedeutung von „ Tensor “). In Formeln wird dies wie folgt ausgedrückt:

Dies ist immer eine nicht-negative reelle Zahl, und sie entspricht der euklidischen Norm, wenn man sie als Vektorraum betrachtet . Die Multiplikation einer Quaternion mit einer reellen Zahl skaliert ihre Norm mit dem absoluten Wert der Zahl. Das heißt, wenn α reell ist, dann

Dies ist ein Sonderfall der Tatsache, dass die Norm multiplikativ ist , was bedeutet, dass

für zwei beliebige Quaternionen p und q . Multiplikativität ist eine Folge der Formel für das Konjugat eines Produkts. Alternativ folgt aus der Identität

(wobei i die übliche imaginäre Einheit bezeichnet ) und damit aus der multiplikativen Eigenschaft von Determinanten quadratischer Matrizen.

Diese Norm ermöglicht es, den Abstand d ( p , q ) zwischen p und q als Norm ihrer Differenz zu definieren:

Dadurch entsteht ein metrischer Raum . Addition und Multiplikation sind in der metrischen Topologie stetig . Tatsächlich gilt für jeden Skalar, positiv a ,

Kontinuität folgt daran eine Null in der Grenze. Die Stetigkeit für die Multiplikation gilt ähnlich.

Einheitsquaternion

Eine Einheitsquaternion ist eine Quaternion der Norm eins. Die Division einer von Null verschiedenen Quaternion q durch ihre Norm ergibt eine Einheitsquaternion U q , die als Versor von q bezeichnet wird :

Jedes Quaternion hat eine polare Zerlegung .

Die Verwendung von Konjugation und Norm ermöglicht es, den Kehrwert einer von Null verschiedenen Quaternion zu definieren . Das Produkt einer Quaternion mit ihrem Kehrwert sollte gleich 1 sein, und die obigen Überlegungen implizieren, dass das Produkt von und 1 ist (für jede Multiplikationsordnung). Der Kehrwert von q ist also definiert als

Dies macht es möglich, zwei Quaternionen p und q auf zwei verschiedene Arten zu teilen (wenn q nicht Null ist). Das heißt, ihr Quotient kann entweder p q –1 oder q –1 p sein  ; im Allgemeinen sind diese Produkte abhängig von der Multiplikationsreihenfolge unterschiedlich, mit Ausnahme des Sonderfalls, dass p und q skalare Vielfache voneinander sind (einschließlich des Falls p = 0 ). Daher ist die NotationP/Qist mehrdeutig, weil sie nicht angibt, ob q links oder rechts dividiert (ob  q −1 p links oder rechts multipliziert ).

Algebraische Eigenschaften

Cayley-Diagramm von Q 8 . Die roten Pfeile repräsentieren die Multiplikation rechts mit i und die grünen Pfeile repräsentieren die Multiplikation rechts mit j .

Die Menge aller Quaternionen ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen mit Dimension  4. Die Multiplikation von Quaternionen ist assoziativ und verteilt sich über Vektoraddition, aber mit Ausnahme der skalaren Teilmenge ist sie nicht kommutativ. Daher sind die Quaternionen eine nicht kommutative, assoziative Algebra über den reellen Zahlen. Obwohl es Kopien der komplexen Zahlen enthält, ist es keine assoziative Algebra über die komplexen Zahlen.

Da es möglich ist, Quaternionen zu teilen, bilden sie eine Teilungsalgebra. Dies ist eine Struktur, die einem Körper ähnelt, abgesehen von der Nicht-Kommutativität der Multiplikation. Endlichdimensionale assoziative Divisionsalgebren über den reellen Zahlen sind sehr selten. Der Satz von Frobenius besagt, dass es genau drei gibt: , , und . Die Norm macht die Quaternionen zu einer normierten Algebra , und normierte Divisionsalgebren über den reellen Zahlen sind ebenfalls sehr selten: Der Satz von Hurwitz besagt, dass es nur vier gibt: , , , und (die Oktonionen). Die Quaternionen sind auch ein Beispiel für eine Kompositionsalgebra und eine unitale Banachalgebra .

Dreidimensionaler Graph von Q 8 . Rote, grüne und blaue Pfeile repräsentieren die Multiplikation mit i , j bzw. k . Die Multiplikation mit negativen Zahlen wird der Übersichtlichkeit halber weggelassen.

Da das Produkt von zwei beliebigen Basisvektoren plus oder minus einem anderen Basisvektor ist, bildet die Menge {±1, ± i , ± j , ± k } eine Gruppe unter Multiplikation. Diese nichtabelsche Gruppe wird als Quaternionengruppe bezeichnet und mit Q 8 bezeichnet . Der reelle Gruppenring von Q 8 ist ein Ring, der auch ein achtdimensionaler Vektorraum ist Er hat einen Basisvektor für jedes Element von Die Quaternionen sind isomorph zum Quotientenring von durch das Ideal erzeugt durch die Elemente 1 + (−1 ) , i + ( –i ) , j + ( –j ) und k + ( –k ) . Hier ist der erste Term in jeder der Differenzen eines der Basiselemente 1, i , j und k , und der zweite Term ist eines der Basiselemente −1, − i , − j und k , nicht die additiven Inversen von 1, i , j und k .

Quaternionen und die Raumgeometrie

Der Vektorteil einer Quaternion kann als Koordinatenvektor interpretiert werden, daher spiegeln die algebraischen Operationen der Quaternionen die Geometrie von Operationen wie der Vektorpunkt und Kreuzprodukte können in Form von Quaternionen definiert werden, und dies ermöglicht die Anwendung Quaternionentechniken überall dort, wo räumliche Vektoren entstehen. Eine nützliche Anwendung von Quaternionen ist die Interpolation der Orientierungen von Schlüsselbildern in Computergrafiken.

Für den Rest dieses Abschnitts bezeichnen i , j und k sowohl die drei imaginären Basisvektoren von als auch eine Basis für Ersetzen von i durch i , j durch j und k durch k sendet einen Vektor an seine additive Inverse , also ist die additive Inverse eines Vektors dasselbe wie seine Konjugierte als Quaternion. Aus diesem Grund wird die Konjugation manchmal als räumliche Umkehrung bezeichnet .

Für zwei Vektorquaternionen p = b 1 i + c 1 j + d 1 k und q = b 2 i + c 2 j + d 2 k ihr Skalarprodukt analog zu Vektoren in is

Es kann auch komponentenfrei ausgedrückt werden als

Dies ist gleich die skalare Teile der Produkte pq * , qp * , p * q und q * p . Beachten Sie, dass ihre Vektorteile unterschiedlich sind.

Das Kreuzprodukt von p und q relativ zu der durch die geordneten Basis i , j und k bestimmten Orientierung ist

(Denken Sie daran, dass die Orientierung notwendig ist, um das Vorzeichen zu bestimmen.) Dies ist gleich dem Vektorteil des Produkts pq (als Quaternionen) sowie dem Vektorteil von q p . Es hat auch die Formel

Für den Kommutator , [ p , q ] = pqqp , von zwei Vektorquaternionen erhält man

Im Allgemeinen seien p und q Quaternionen und schreibe

wobei p s und q s die skalaren Teile sind und p v und q v die Vektorteile von p und q sind . Dann haben wir die Formel

Dies zeigt, dass die Nichtkommutativität der Quaternionenmultiplikation von der Multiplikation von Vektorquaternionen herrührt. Es zeigt auch, dass zwei Quaternionen genau dann kommutieren, wenn ihre Vektoranteile kollinear sind. Hamilton zeigte, dass dieses Produkt den dritten Scheitelpunkt eines sphärischen Dreiecks aus zwei gegebenen Scheitelpunkten und den zugehörigen Bogenlängen berechnet, was ebenfalls eine Punktalgebra in der elliptischen Geometrie ist .

Einheitsquaternionen können mit Drehungen in identifiziert werden und wurden von Hamilton Versoren genannt . Weitere Informationen zum Modellieren dreidimensionaler Drehungen mit Quaternionen finden Sie auch unter Quaternionen und räumliche Drehung .

Siehe Hanson (2005) für die Visualisierung von Quaternionen.

Matrixdarstellungen

Genauso wie komplexe Zahlen als Matrizen dargestellt werden können , können auch Quaternionen dargestellt werden. Es gibt mindestens zwei Arten von Quaternionen als Darstellung Matrices in einer Weise , dass Quaternion Addition und Multiplikation entsprechen Matrix Addition und Matrixmultiplikation . Eine besteht darin, 2 × 2 komplexe Matrizen zu verwenden, und die andere besteht darin, 4 × 4 reelle Matrizen zu verwenden. In jedem Fall ist die angegebene Darstellung eine aus einer Familie von linear verwandten Darstellungen. In der Terminologie der abstrakten Algebra , sind diese injektiv homomorphisms von an den Matrix Ring M (2, c) und M (4, r) , jeweils.

Mit 2 × 2 komplexen Matrizen kann das Quaternion a + bi + cj + dk dargestellt werden als

Beachten Sie, dass sich das "i" der komplexen Zahlen vom "i" der Quaternionen unterscheidet.

Diese Darstellung hat folgende Eigenschaften:

  • Das Beschränken von zwei beliebigen von b , c und d auf Null erzeugt eine Darstellung komplexer Zahlen. Beispielsweise erzeugt die Einstellung von c = d = 0 eine diagonale komplexe Matrixdarstellung komplexer Zahlen, und die Einstellung von b = d = 0 erzeugt eine reelle Matrixdarstellung.
  • Die Norm einer Quaternion (die Quadratwurzel des Produkts mit seiner Konjugierten wie bei komplexen Zahlen) ist die Quadratwurzel der Determinante der entsprechenden Matrix.
  • Das Konjugat eines Quaternions entspricht der konjugierten Transponierten der Matrix.
  • Durch Einschränkung ergibt diese Darstellung einen Isomorphismus zwischen der Untergruppe der Einheitsquaternionen und ihrem Bild SU(2) . Topologisch sind die Einheitsquaternionen die 3-Sphäre, also ist der zugrunde liegende Raum von SU(2) ebenfalls eine 3-Sphäre. Die Gruppe SU(2) ist wichtig für die Beschreibung des Spins in der Quantenmechanik ; siehe Pauli-Matrizen .
  • Es besteht eine starke Beziehung zwischen Quaternion-Einheiten und Pauli-Matrizen. Erhalten Sie die acht Quaternion-Einheitsmatrizen, indem Sie a , b , c und d nehmen , drei davon auf Null setzen und die vierte auf 1 oder −1 setzen. Die Multiplikation von zwei beliebigen Pauli-Matrizen ergibt immer eine Quaternionen-Einheitsmatrix, alle außer −1. Man erhält −1 über i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1; zB die letzte Gleichheit ist

Unter Verwendung von 4 × 4 reellen Matrizen kann dieselbe Quaternion geschrieben werden als

Allerdings ist die Darstellung von Quaternionen in M(4,ℝ) nicht eindeutig. Zum Beispiel kann die gleiche Quaternion auch als

Es gibt 48 verschiedene Matrixdarstellungen dieser Form, wobei eine der Matrizen den skalaren Teil darstellt und die anderen drei alle schiefsymmetrisch sind. Genauer gesagt gibt es 48 Sätze von Quadrupeln von Matrizen mit diesen Symmetriebeschränkungen, sodass eine Funktion, die 1, i , j und k an die Matrizen im Quadrupel sendet, ein Homomorphismus ist, das heißt, sie sendet Summen und Produkte von Quaternionen an Summen und Produkte von Matrizen. In dieser Darstellung entspricht die Konjugierte einer Quaternion der Transponierten der Matrix. Die vierte Potenz der Norm einer Quaternion ist die Determinante der entsprechenden Matrix. Wie bei der obigen komplexen 2 × 2-Darstellung können wiederum komplexe Zahlen durch geeignete Beschränkung der Koeffizienten erzeugt werden; beispielsweise als Blockdiagonalmatrizen mit zwei 2 × 2 Blöcken durch Setzen von c = d = 0 .

Jede 4×4-Matrixdarstellung von Quaternionen entspricht einer Multiplikationstabelle von Einheitsquaternionen. Zum Beispiel entspricht die letzte oben angegebene Matrixdarstellung der Multiplikationstabelle

× ein D b c
ein ein D −b −c
−d −d ein C −b
B B c ein d
C C B D ein

was isomorph ist – durch – zu

× 1 k ich j
1 1 k ich j
k k 1 J ich
ich ich j 1 k
J J ich k 1

Wenn eine solche Multiplikationstabelle die Identität in der ersten Zeile und Spalte hat und die Vorzeichen der Zeilenüberschriften denen der Spaltenüberschriften entgegengesetzt sind, gibt es 3 mögliche Auswahlmöglichkeiten für die zweite Spalte (Vorzeichen ignorieren), 2 mögliche Auswahlmöglichkeiten für die dritte Spalte (Vorzeichen ignorieren) und 1 mögliche Auswahl für die vierte Spalte (Vorzeichen ignorieren); das macht 6 möglichkeiten. Dann kann die zweite Spalte entweder positiv oder negativ gewählt werden, die dritte Spalte kann positiv oder negativ gewählt werden und die vierte Spalte kann positiv oder negativ gewählt werden, was 8 Möglichkeiten für das Vorzeichen ergibt. Multipliziert man die Möglichkeiten für die Buchstabenpositionen und deren Vorzeichen ergibt 48. Ersetzen Sie dann 1 durch a , i durch b , j durch c und k durch d und entfernen Sie die Zeilen- und Spaltenüberschriften, um eine Matrixdarstellung von a + b i + c . zu erhalten j + d k .

Der Vier-Quadrat-Satz von Lagrange

Quaternionen werden auch in einem der Beweise von Lagranges Vierquadratsatz in der Zahlentheorie verwendet , der besagt, dass jede nichtnegative ganze Zahl die Summe von vier ganzzahligen Quadraten ist. Der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange ist nicht nur ein eleganter Satz, sondern hat auch nützliche Anwendungen in Bereichen der Mathematik außerhalb der Zahlentheorie, wie der kombinatorischen Designtheorie . Der auf Quaternionen basierende Beweis verwendet Hurwitz-Quaternionen, einen Unterring des Rings aller Quaternionen, für die es ein Analogon des euklidischen Algorithmus gibt .

Quaternionen als Paare komplexer Zahlen

Quaternionen können als Paare komplexer Zahlen dargestellt werden. Aus dieser Perspektive sind Quaternionen das Ergebnis der Anwendung der Cayley-Dickson-Konstruktion auf die komplexen Zahlen. Dies ist eine Verallgemeinerung der Konstruktion der komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen.

Sei ein zweidimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen. Wähle eine Basis bestehend aus zwei Elementen 1 und j . Ein Vektor in kann über die Basiselemente 1 und j geschrieben werden als

Definieren wir j 2 = −1 und i j = − j i , dann können wir zwei Vektoren nach dem Distributivgesetz multiplizieren. Die Verwendung von k als Abkürzung für das Produkt i j führt zu den gleichen Regeln für die Multiplikation wie die üblichen Quaternionen. Daher entspricht der obige Vektor der komplexen Zahlen der Quaternion a + bi + c j + d k . Schreiben wir die Elemente von als geordnete Paare und Quaternionen als Quadrupel, dann ist die Entsprechung

Quadratwurzeln

Quadratwurzeln von −1

In den komplexen Zahlen gibt es nur zwei Zahlen, i und − i , deren Quadrat −1 ist. In es unendlich viele Quadratwurzeln von minus eines ist: die Quaternion - Lösung für die Quadratwurzel von -1 ist die Einheitskugel in dem zu sehen, lassen q = a + b i + c j + d k werden , um ein Quaternion, und annimmt , dass sein Quadrat ist -1. In Bezug auf a , b , c und d bedeutet dies

Um die letzten drei Gleichungen zu erfüllen, sind entweder a = 0 oder b , c und d alle 0. Letzteres ist unmöglich, weil a eine reelle Zahl ist und die erste Gleichung implizieren würde, dass a 2 = −1 . Daher ist a = 0 und b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Mit anderen Worten: Eine Quaternion quadriert genau dann zu −1, wenn sie eine Vektorquaternion mit der Norm 1 ist. Per Definition bildet die Menge aller solcher Vektoren die Einheitskugel.

Nur negative reelle Quaternionen haben unendlich viele Quadratwurzeln. Alle anderen haben nur zwei (oder eins im Fall von 0).

Als Vereinigung komplexer Ebenen

Jedes Quadratwurzelpaar von −1 erzeugt eine eindeutige Kopie der komplexen Zahlen innerhalb der Quaternionen. Ist q 2 = −1 , dann wird die Kopie bestimmt durch die Funktion

Dies ist ein injektiver Ringhomomorphismus von to , der einen Feldisomorphismus von auf sein Bild definiert . Die Bilder der Einbettungen entsprechend q und − q sind identisch.

Jede nicht-reelle Quaternion erzeugt eine Teilalgebra der Quaternionen, die isomorph zu und somit ein planarer Unterraum von write q ist, als Summe ihres skalaren Teils und ihres Vektorteils:

Zerlegen Sie den Vektoranteil weiter als Produkt seiner Norm und seines Versors :

(Beachten Sie, dass dies nicht dasselbe ist wie .) Der Versor des Vektorteils von q , , ist ein rechter Versor mit –1 als Quadrat. Eine einfache Überprüfung zeigt, dass

definiert einen injektiven Homomorphismus von Normierte Algebra aus in die Quaternionen. Unter diesem Homomorphismus ist q das Bild der komplexen Zahl .

Wie die Vereinigung der Bilder all dieser Homomorphismen ermöglicht dies, die Quaternionen als Vereinigung komplexer Ebenen zu betrachten, die sich auf der reellen Linie schneiden . Jede dieser komplexen Ebenen enthält genau ein Paar antipodischer Punkte der Sphäre der Quadratwurzeln von minus eins.

Kommutative Unterringe

Die Beziehung der Quaternionen zueinander innerhalb der komplexen Unterebenen von kann auch in Form von kommutativen Unterringen identifiziert und ausgedrückt werden . Insbesondere wird , da zwei Quaternionen p und q pendeln (dh pq = qp ) nur dann , wenn sie in derselben Anlage Unterebene liegen , der das Profil als eine Vereinigung von komplexen Ebenen entsteht , wenn man alle kommutativen Unterringe des Quaternions zu finden sucht Rings .

Quadratwurzeln beliebiger Quaternionen

Jedes Quaternion (hier in Skalar-Vektor-Darstellung dargestellt) hat mindestens eine Quadratwurzel, die die Gleichung löst . Betrachtet man die Skalar- und Vektoranteile in dieser Gleichung separat, erhält man zwei Gleichungen, die, wenn sie gelöst werden, die Lösungen ergeben

wo ist die Norm von und ist die Norm von . Für jede skalare Quaternion liefert diese Gleichung die richtigen Quadratwurzeln, wenn sie als willkürlicher Einheitsvektor interpretiert wird.

Daher haben von Null verschiedene, nichtskalare Quaternionen oder positive skalare Quaternionen genau zwei Nullstellen, während 0 genau eine Nullstelle (0) hat und negative skalare Quaternionen unendlich viele Nullstellen haben, die die Vektorquaternionen sind, die auf liegen , d. wobei der Skalarteil Null ist und der Vektorteil auf der 2-Kugel mit Radius liegt .

Funktionen einer Quaternionenvariablen

Die Julia-Mengen und Mandelbrot-Mengen können auf die Quaternions erweitert werden, aber sie müssen Querschnitte verwenden, um visuell in 3 Dimensionen gerendert zu werden. Diese Julia-Menge wird in der xy- Ebene geschnitten .

Wie Funktionen einer komplexen Variablen schlagen Funktionen einer Quaternionenvariablen nützliche physikalische Modelle vor. Zum Beispiel waren die von Maxwell beschriebenen ursprünglichen elektrischen und magnetischen Felder Funktionen einer Quaternion-Variablen. Beispiele für andere Funktionen sind die Erweiterung der Mandelbrot-Menge und der Julia-Menge in den 4-dimensionalen Raum.

Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen

Gegeben eine Quaternion,

die Exponentialfunktion wird berechnet als

und der Logarithmus ist

Daraus folgt, dass die polare Zerlegung eines Quaternions geschrieben werden kann

wo der Winkel

und der Einheitsvektor ist definiert durch:

Jede Einheitsquaternion kann in polarer Form ausgedrückt werden als:

.

Die Potenz einer zu einem beliebigen (reellen) Exponenten x erhobenen Quaternion ist gegeben durch:

Geodätische Norm

Der geodätische Abstand d g ( p , q ) zwischen Einheitsquaternionen p und q ist definiert als:

und beträgt den absoluten Wert des halben Winkels zwischen p und q entlang eines großen Bogens der S 3 -Kugel. Dieser Winkel kann auch ohne den Logarithmus aus dem Quaternion- Punktprodukt berechnet werden als:

Dreidimensionale und vierdimensionale Rotationsgruppen

Das Wort " Konjugation " kann neben der oben angegebenen Bedeutung auch bedeuten, ein Element a bis r a r –1 zu nehmen, wobei r eine von Null verschiedene Quaternion ist. Alle Elemente, die zu einem gegebenen Element (in diesem Sinne des Wortes konjugiert) konjugiert sind, haben denselben Realteil und dieselbe Norm des Vektorteils. (Das Konjugierte im anderen Sinne ist also eines der Konjugierten in diesem Sinne.)

Somit wirkt die multiplikative Gruppe von Nicht-Null-Quaternionen durch Konjugation auf die Kopie bestehend aus Quaternionen mit Realteil gleich Null. Konjugation von einer Einheit Quaternion (a Quaternion betrags 1) mit Realteil cos ( φ ) ist eine Drehung um einen Winkel 2 φ , wobei die Achse der Drehung ist die Richtung des Vektors Teil. Die Vorteile von Quaternionen sind:

Die Menge aller Einheitsquaternionen ( Versoren ) bildet eine 3-Sphäre S 3 und eine Gruppe (eine Lie-Gruppe ) unter Multiplikation, die die Gruppe SO(3,ℝ) der reellen orthogonalen 3×3-  Matrizen der Determinante  1 doppelt überdeckt , da zwei Einheiten Quaternionen entsprechen jeder Drehung unter der obigen Entsprechung. Siehe den Teller-Trick .

Das Bild einer Untergruppe von Versoren ist eine Punktgruppe , und umgekehrt ist das Urbild einer Punktgruppe eine Untergruppe von Versoren. Das Urbild einer endlichen Punktgruppe wird mit dem gleichen Namen mit dem Präfix binär aufgerufen . Zum Beispiel ist das Urbild der Ikosaedergruppe die binäre Ikosaedergruppe .

Die Gruppe der Versoren ist isomorph zu SU(2) , der Gruppe der komplexen unitären 2×2-Matrizen der Determinante  1.

Sei A die Menge von Quaternionen der Form a + b i + c j + d k wobei a, b, c und d entweder alle ganzen Zahlen oder alle halben Zahlen sind . Die Menge A ist ein Ring (eigentlich ein Gebiet ) und ein Gitter und wird als Ring der Hurwitz-Quaternionen bezeichnet. Es gibt 24 Einheitsquaternionen in diesem Ring, und sie sind die Eckpunkte einer regulären 24 Zelle mit dem Schläfli-Symbol {3,4,3}. Sie entsprechen der doppelten Abdeckung der Rotationssymmetriegruppe des regulären Tetraeders . In ähnlicher Weise können die Eckpunkte einer regulären 600er Zelle mit dem Schläfli-Symbol {3,3,5 } als Einheits- Ikosian verwendet werden , was der doppelten Abdeckung der Rotationssymmetriegruppe des regulären Ikosaeders entspricht . Die doppelte Abdeckung der Rotationssymmetriegruppe des regulären Oktaeders entspricht den Quaternionen, die die Eckpunkte der disphenoidalen 288-Zelle darstellen .

Quaternionenalgebren

Die Quaternionen können in weitere Algebren verallgemeinert werden, die Quaternionenalgebren genannt werden . Nehmen F eine beliebige sein Feld von 2 mit charakteristischen verschieden, und a und b sein Elemente F ; ein vierdimensionaler unitärer assoziativer Algebra kann definiert werden , über F mit Basis 1, i , j , und ij , wobei i 2 = a , j 2 = b und ij - = ji (SO (ij) 2 = - AB ).

Quaternionalgebren sind isomorph zur Algebra von 2×2  Matrizen über F oder bilden Divisionsalgebren über F , je nach Wahl von a und b .

Quaternionen als gerader Teil von Cl 3,0 (ℝ)

Die Nützlichkeit von Quaternionen für geometrische Berechnungen kann auf andere Dimensionen verallgemeinert werden, indem die Quaternionen als gerader Teil der Clifford-Algebra identifiziert werden Dies ist eine assoziative Multivektoralgebra, die aus fundamentalen Basiselementen σ 1 , σ 2 , σ 3 unter Verwendung der Produktregeln aufgebaut ist

Nimmt man diese fundamentalen Basiselemente, um Vektoren im 3D-Raum darzustellen, dann zeigt sich, dass die Spiegelung eines Vektors r in einer Ebene senkrecht zu einem Einheitsvektor w geschrieben werden kann:

Zwei Reflexionen machen eine Drehung um einen Winkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Reflexionsebenen, also

entspricht eine Drehung von 180 ° in der Ebene, σ 1 und σ 2 . Dies ist der entsprechenden Quaternionenformel sehr ähnlich,

Tatsächlich sind die beiden identisch, wenn wir die Identifizierung vornehmen

und es ist leicht zu bestätigen, dass die Hamilton-Relationen dadurch erhalten bleiben

In diesem Bild entsprechen sogenannte "Vektorquaternionen" (d. h. reine imaginäre Quaternionen) nicht Vektoren, sondern Bivektoren – Größen mit Betrag und Orientierung, die mit bestimmten 2D-  Ebenen und nicht mit 1D-  Richtungen verbunden sind . Auch der Zusammenhang mit komplexen Zahlen wird deutlicher: In 2D gibt es bei zwei Vektorrichtungen σ 1 und σ 2 nur ein bivektorielles Basiselement σ 1 σ 2 , also nur eine imaginäre. Aber in 3D mit drei Vektorrichtungen gibt es drei bivektorielle Basiselemente σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , also drei Imaginäre.

Diese Argumentation geht weiter. In der Clifford-Algebra gibt es sechs bivektorielle Basiselemente, da mit vier verschiedenen Grundvektorrichtungen sechs verschiedene Paare und damit sechs verschiedene linear unabhängige Ebenen definiert werden können. Drehungen in solchen Räumen unter Verwendung dieser Verallgemeinerungen von Quaternionen, die als Rotoren bezeichnet werden , können für Anwendungen mit homogenen Koordinaten sehr nützlich sein . Aber nur in 3D ist die Anzahl der Basisbivektoren gleich der Anzahl der Basisvektoren, und jeder Bivektor kann als Pseudovektor identifiziert werden .

Das Platzieren von Quaternionen in dieser breiteren Umgebung bietet mehrere Vorteile:

  • Rotoren sind ein natürlicher Bestandteil der geometrischen Algebra und leicht als Kodierung einer Doppelreflexion zu verstehen.
  • In der geometrischen Algebra leben ein Rotor und die Objekte, auf die er einwirkt, im selben Raum. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, Darstellungen zu ändern und neue Datenstrukturen und -methoden zu codieren, was traditionell bei der Erweiterung der linearen Algebra mit Quaternionen erforderlich ist.
  • Rotoren sind universell auf jedes Element der Algebra anwendbar, nicht nur auf Vektoren und andere Quaternionen, sondern auch auf Linien, Ebenen, Kreise, Kugeln, Strahlen und so weiter.
  • Im konformen Modell der euklidischen Geometrie ermöglichen Rotoren die Kodierung von Rotation, Translation und Skalierung in einem einzigen Element der Algebra, das universell auf jedes Element wirkt. Dies bedeutet insbesondere, dass Rotoren Drehungen um eine beliebige Achse darstellen können, während Quaternionen auf eine Achse durch den Ursprung beschränkt sind.
  • Rotorkodierte Transformationen machen die Interpolation besonders einfach.
  • Rotoren übertragen sich auf natürliche Weise in pseudoeuklidische Räume , zum Beispiel den Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie . In solchen Räumen können Rotoren verwendet werden, um Lorentz-Boosts effizient darzustellen und Formeln mit den Gamma-Matrizen zu interpretieren .

Weitere Einzelheiten zur geometrischen Verwendung von Clifford-Algebren finden Sie unter Geometrische Algebra .

Brauer-Gruppe

Die Quaternionen sind "im Wesentlichen" die einzige (nicht triviale) zentrale einfache Algebra (CSA) über den reellen Zahlen, in dem Sinne, dass jede CSA über den reellen Zahlen Brauer-Äquivalent entweder zu den reellen Zahlen oder zu den Quaternionen ist. Explizit besteht die Brauer-Gruppe der reellen Zahlen aus zwei Klassen, repräsentiert durch die reellen Zahlen und die Quaternionen, wobei die Brauer-Gruppe die Menge aller CSAs ist, bis auf die Äquivalenzbeziehung einer CSA ein Matrixring über einer anderen. Nach dem Artin-Wedderburn-Theorem (insbesondere dem Wedderburn-Teil) sind CSAs alle Matrixalgebren über einer Divisionsalgebra, und somit sind die Quaternionen die einzige nicht-triviale Divisionsalgebra über den reellen Zahlen.

CSAs – Ringe über einem Körper, die einfache Algebren sind (keine nicht-trivialen 2-seitigen Ideale haben, genau wie bei Körpern), deren Zentrum genau der Körper ist – sind ein nichtkommutatives Analogon von Erweiterungskörpern und restriktiver als allgemeine Ringerweiterungen . Die Tatsache, dass die Quaternionen der einzige nicht-triviale CSA über den reellen Zahlen (bis zur Äquivalenz) sind, kann mit der Tatsache verglichen werden, dass die komplexen Zahlen die einzige nicht-triviale Körpererweiterung der reellen Zahlen sind.

Zitate

Ich betrachte es als eine Uneleganz oder Unvollkommenheit in Quaternionen oder vielmehr in dem Zustand, in den es sich bisher entfaltet hat, wenn es notwendig wird oder zu werden scheint, auf x, y, z usw. zurückzugreifen.

—  William Rowan Hamilton

Zeit soll nur eine Dimension haben und Raum drei Dimensionen haben. ... Die mathematische Quaternion enthält beide Elemente; in der Fachsprache kann es als "Zeit plus Raum" oder "Raum plus Zeit" bezeichnet werden, und in diesem Sinne hat es vier Dimensionen oder bezieht sich zumindest auf diese. Und wie das Eine der Zeit, des Raumes die Drei, in der Kette der Symbole umgürtet sein könnte .

—  William Rowan Hamilton

Quaternions kamen von Hamilton, nachdem seine wirklich gute Arbeit geleistet worden war; und obwohl wunderbar genial, waren sie ein unvermischtes Übel für diejenigen, die sie in irgendeiner Weise berührt haben, einschließlich Clerk Maxwell .

Später stellte ich fest, dass das Quaternion, was die von mir geforderte Vektoranalyse betraf, nicht nur nicht erforderlich war, sondern ein positives Übel von nicht unerheblicher Größe war; und dass durch ihre Vermeidung die Etablierung der Vektoranalyse recht einfach und ihre Arbeitsweise ebenfalls vereinfacht wurde und dass sie bequem mit der gewöhnlichen kartesischen Arbeit harmonisiert werden konnte.

—  Oliver Heaviside (1893)

Weder Matrizen noch Quaternionen und gewöhnliche Vektoren wurden aus diesen zehn [zusätzlichen] Kapiteln verbannt. Denn trotz der unbestrittenen Macht der modernen Tensorrechnung bieten diese älteren mathematischen Sprachen meiner Meinung nach weiterhin auffallende Vorteile auf dem eingeschränkten Gebiet der speziellen Relativitätstheorie. Darüber hinaus ist in der Wissenschaft wie im Alltag auch die Beherrschung von mehr als einer Sprache wertvoll, da sie unseren Blick erweitert, der Kritik an der geäußerten Sache förderlich ist und sie vor Hypostasierung schützt durch Wörter oder mathematische Symbole.

—  Ludwig Silberstein (1924)

... Quaternionen scheinen einen Hauch des Verfalls des neunzehnten Jahrhunderts auszustrahlen, als eine eher erfolglose Spezies im Kampf ums Leben mathematischer Ideen. Mathematiker haben zwar immer noch einen warmen Platz in ihren Herzen für die bemerkenswerten algebraischen Eigenschaften von Quaternionen, aber leider bedeutet ein solcher Enthusiasmus dem nüchternen Naturwissenschaftler wenig.

—  Simon L. Altmann (1986)

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

Bücher und Veröffentlichungen

Links und Monographien

Externe Links