Quotientenring - Quotient ring

In der Ringtheorie ist ein Zweig der abstrakten Algebra , ein Quotientenring , auch Faktorring , Differenzring oder Restklassenring genannt , eine Konstruktion, die den Quotientengruppen der Gruppentheorie und den Quotientenräumen der linearen Algebra sehr ähnlich ist . Es ist ein spezifisches Beispiel für einen Quotienten , betrachtet aus der allgemeinen Einstellung der universellen Algebra . Ausgehend von einem Ring R und einem zweiseitigen Ideal I in R wird ein neuer Ring, der Quotientenring R / I , konstruiert, dessen Elemente die Nebenklassen von I in R sind , die speziellen +- und ⋅- Operationen unterliegen .

Quotientenringe unterscheiden sich vom sogenannten 'Quotientenfeld' oder Bruchfeld eines ganzzahligen Bereichs sowie von den allgemeineren 'Quotientenringen', die durch Lokalisierung erhalten werden .

Formale Quotientenringkonstruktion

Gegeben einen Ring und ein zweiseitiges Ideal in , können wir eine Äquivalenzrelation auf wie folgt definieren:

wenn und nur wenn in .

Anhand der idealen Eigenschaften lässt sich leicht nachweisen, dass es sich um eine Kongruenzrelation handelt . Für den Fall sagen wir das und sind modulo kongruent . Die Äquivalenzklasse des Elements in ist gegeben durch

.

Diese Äquivalenzklasse wird manchmal auch als "Restklasse von Modulo " bezeichnet und bezeichnet.

Die Menge aller dieser Äquivalenzklassen wird mit bezeichnet ; es wird ein Ring, der Faktorring oder Quotientenring von Modulo , wenn man definiert

  • ;
  • .

(Hier muss überprüft werden, ob diese Definitionen wohldefiniert sind . Vergleiche Nebenklasse und Quotientengruppe .) Das Nullelement von ist und die multiplikative Identität ist .

Die Abbildung von bis definiert durch ist ein surjektiver Ringhomomorphismus , der manchmal auch als natürliche Quotientenabbildung oder kanonischer Homomorphismus bezeichnet wird .

Beispiele

  • Der Quotientenring R / {0 } ist natürlich isomorph zu R , und R / R ist der Nullring {0}, da nach unserer Definition für jedes r in R gilt [ r ] = r + "R" := { r + b  : b ∈ "R" }}, was R selbst entspricht. Dies stimmt mit der Faustregel überein, dass je größer das Ideal I , desto kleiner der Quotientenring R / I . Wenn ich eine richtige Ideal ist R , das heißt, ichR , dann R / I ist nicht der Nullring.
  • Betrachten Sie den Ring der ganzen Zahlen Z und das Ideal der geraden Zahlen , mit 2 bezeichnet Z . Dann hat der Quotientenring Z / 2 Z nur zwei Elemente, die Nebenklasse 0+2 Z aus den geraden Zahlen und die Nebenklasse 1+2 Z aus den ungeraden Zahlen; Anwendung der Definition, [ z ] = z + 2 Z  := { z + 2 y : 2 y ∈ 2 Z } , wobei 2 Z das Ideal gerader Zahlen ist. Es ist von Natur aus isomorph zum endlichen Körper mit zwei Elementen, F 2 . Intuitiv: Wenn Sie sich alle geraden Zahlen als 0 vorstellen, dann ist jede ganze Zahl entweder 0 (wenn sie gerade ist) oder 1 (wenn sie ungerade ist und sich daher von einer geraden Zahl um 1 unterscheidet). Modulare Arithmetik ist im Wesentlichen eine Arithmetik im Quotientenring Z / n Z (der n Elemente hat).
  • Betrachten wir nun den Ring R [ X ] von Polynomen in der Variablen X mit reellen Koeffizienten und das Ideal I = ( X 2 + 1) bestehend aus allen Vielfachen des Polynoms X 2 + 1 . Der Quotientenring R [ X ] / ( X 2 + 1) ist natürlich isomorph zum Körper der komplexen Zahlen C , wobei die Klasse [ X ] die Rolle der imaginären Einheit i spielt . Der Grund dafür ist, dass wir X 2 + 1 = 0 "erzwungen" haben , dh X 2 = −1 , was die definierende Eigenschaft von i ist .
  • Um das vorherige Beispiel zu verallgemeinern, werden häufig Quotientenringe verwendet, um Felderweiterungen zu konstruieren . Angenommen, K ist ein Körper und f ist ein irreduzibles Polynom in K [ X ]. Dann L = K [ X ] / ( f ) ist ein Feld , dessen Minimalpolynoms über K ist f , die enthält K sowie ein Element x = X + ( f ) .
  • Eine wichtige Instanz des vorherigen Beispiels ist die Konstruktion der endlichen Körper. Betrachten Sie zum Beispiel den Körper F 3 = Z / 3 Z mit drei Elementen. Das Polynom f ( X ) = X 2 + 1 ist über F 3 irreduzibel (da es keine Wurzel hat) und wir können den Quotientenring F 3 [ X ] / ( f ) konstruieren . Dies ist ein Körper mit 3 2 = 9 Elementen, bezeichnet mit F 9 . Die anderen endlichen Körper können auf ähnliche Weise konstruiert werden.
  • Die Koordinatenringe von algebraischen Sorten sind wichtige Beispiele der Quotient Ringe in der algebraischen Geometrie . Betrachten wir als einfachen Fall die reelle Varietät V = {( x , y ) | x 2 = y 3 } als Teilmenge der reellen Ebene R 2 . Der auf V definierte Ring der reellwertigen Polynomfunktionen kann mit dem Quotientenring R [ X , Y ] / ( X 2Y 3 ) identifiziert werden , und dies ist der Koordinatenring von V . Die Varietät V wird nun untersucht, indem ihr Koordinatenring studiert wird.
  • Angenommen , M ist ein C - Verteiler und P ist ein Punkt von M . Betrachte den Ring R = C ( M ) aller auf M definierten C -Funktionen und sei I das Ideal in R bestehend aus den Funktionen f, die in einer Umgebung U von p identisch Null sind (wobei U von f abhängen kann ) . Dann ist der Quotientenring R / I der Keimring von C -Funktionen auf M bei p .
  • Betrachten Sie den Ring F aus finiten Elementen eines hyperrealen Körpers * R . Sie besteht aus allen hyperrealen Zahlen, die sich um einen infinitesimalen Betrag von einer Standardreellen unterscheiden, oder äquivalent: aus allen hyperrealen Zahlen x, für die eine Standardzahl n mit n < x < n existiert. Die Menge I aller infinitesimalen Zahlen in * R ist zusammen mit 0 ein Ideal in F , und der Quotientenring F / I ist isomorph zu den reellen Zahlen R . Der Isomorphismus wird induziert, indem man jedem Element x von F den Standardteil von x zuordnet , dh die eindeutige reelle Zahl, die sich von x um ein Infinitesimal unterscheidet. Tatsächlich erhält man das gleiche Ergebnis, nämlich R , wenn man mit dem Ring F der endlichen Hyperrationalen (dh Verhältnis eines Paares von Hyperintegern ) beginnt , siehe Konstruktion der reellen Zahlen .

Alternative komplexe Ebenen

Die Quotienten R [ X ] / ( X ) , R [X] / ( X + 1) und R [ X ] / ( X − 1) sind alle isomorph zu R und interessieren zunächst wenig. Beachten Sie jedoch, dass R [ X ] / ( X 2 ) in der geometrischen Algebra die duale Zahlenebene genannt wird. Es besteht nur aus linearen Binomen als "Rest" nach Reduktion eines Elements von R [ X ] um X 2 . Diese alternative komplexe Ebene entsteht als Subalgebra immer dann, wenn die Algebra eine reelle Linie und eine nilpotente enthält .

Außerdem zerfällt der Ringquotient R [ X ] / ( X 2 − 1) in R [ X ] / ( X + 1) und R [ X ] / ( X − 1) , so dass dieser Ring oft als direkter Summe RR . Nichtsdestotrotz wird eine alternative komplexe Zahl z = x + y j von j als Wurzel von X 2 − 1 vorgeschlagen , verglichen mit i als Wurzel von X 2 + 1 = 0 . Diese Ebene der Split-komplexe Zahlen normalisiert die direkte Summe R‘R durch eine Grundlage {1, j} für 2-Raum , in dem die Identität der Algebra auf Einheitsabstand von der Null ist. Auf dieser Basis kann eine Einheitshyperbel mit dem Einheitskreis der gewöhnlichen komplexen Ebene verglichen werden .

Quaternionen und Alternativen

Angenommen, X und Y sind zwei, nicht kommutierende, unbestimmte und bilden die freie Algebra RX , Y . Dann können Hamiltons Quaternionen von 1843 als

Wenn Y 2 - 1 für substituiertes Y 2 + 1 , so erhält man den Ring der Split-Quaternionen . Das Ersetzen von Plus durch Minus in beiden quadratischen Binomialen führt ebenfalls zu gespaltenen Quaternionen. Die antikommutative Eigenschaft YX = − XY impliziert, dass XY als Quadrat

( XY )( XY ) = X ( YX ) Y = − X ( XY ) Y = − XXYY = −1.

Die drei Arten von Biquaternionen können auch als Quotienten geschrieben werden, indem man die freie Algebra mit drei Unbestimmten RX , Y , Z ⟩ verwendet und entsprechende Ideale konstruiert.

Eigenschaften

Wenn R ein kommutativer Ring ist , dann ist es natürlich auch R / I ; das Umgekehrte gilt jedoch im Allgemeinen nicht.

Die natürliche Quotientenabbildung p hat I als Kern ; da der Kern jedes Ringhomomorphismus ein zweiseitiges Ideal ist, können wir sagen, dass zweiseitige Ideale genau die Kerne von Ringhomomorphismen sind.

Die enge Beziehung zwischen Ringhomomorphismen, Kernen und Quotientenringen kann wie folgt zusammengefasst werden: Die auf R / I definierten Ringhomomorphismen sind im Wesentlichen dieselben wie die auf R definierten Ringhomomorphismen, die auf I verschwinden (dh null sind) . Genauer gesagt gibt es bei einem zweiseitigen Ideal I in R und einem Ringhomomorphismus f  : RS dessen Kern I enthält genau einen Ringhomomorphismus g  : R / IS mit gp = f (wobei p der natürliche Quotient Karte). Die Abbildung g ist hier durch die wohldefinierte Regel g ([ a ]) = f ( a ) für alle a in R gegeben . Tatsächlich kann diese universelle Eigenschaft verwendet werden, um Quotientenringe und ihre natürlichen Quotientenabbildungen zu definieren .

Als Konsequenz daraus erhält man die fundamentale Aussage: Jeder Ringhomomorphismus f  : RS induziert einen Ringisomorphismus zwischen dem Quotientenring R / ker( f ) und dem Bild im( f ). (Siehe auch: Fundamentalsatz über Homomorphismen .)

Die Ideale von R und R / I sind eng verwandt: Die natürliche Quotientenabbildung liefert eine Bijektion zwischen den zweiseitigen Idealen von R , die I enthalten, und den zweiseitigen Idealen von R / I (dasselbe gilt für links und rechts Ideale). Diese Beziehung zwischen zweiseitigen Idealen erweitert sich zu einer Beziehung zwischen den entsprechenden Quotientenringen: Wenn M ein zweiseitiges Ideal in R ist , das I enthält , und wir M / I für das entsprechende Ideal in R / I schreiben (dh M / I = p ( M ) ), sind die Quotientenringe R / M und ( R / I ) / ( M / I ) natürlich isomorph über die (wohldefinierte!) Abbildung a + M ↦ ( a + I ) + M / I .

Die folgenden Tatsachen erweisen sich in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie als nützlich : Für R ≠ {0} kommutativ ist R / I genau dann ein Körper, wenn ich ein maximales Ideal ist , während R / I genau dann ein ganzzahliger Bereich ist, wenn ich . ist ein Primideal . Eine Reihe ähnlicher Aussagen beziehen Eigenschaften des Ideals I auf Eigenschaften des Quotientenrings R / I .

Der chinesische Restsatz besagt, dass, wenn das Ideal I der Durchschnitt (oder äquivalent das Produkt) von paarweise teilerfremden Idealen I 1 , ..., I k ist , der Quotientenring R / I isomorph zum Produkt des Quotienten Ringe R / I n , n = 1, ..., k .

Für Algebren über einem Ring

Eine assoziative Algebra A über einem kommutativen Ring  R ist selbst ein Ring. Ist I ein Ideal in  A (abgeschlossen unter R- Multiplikation), dann erbt A  /  I die Struktur einer Algebra über  R und ist die Quotientenalgebra .

Siehe auch

Anmerkungen

Weitere Referenzen

  • F. Kasch (1978) Moduln und Ringe , übersetzt von DAR Wallace (1982) Modules and Rings , Academic Press , Seite 33.
  • Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals , §13 Restklassenringe, Seite 61, Carus Mathematical Monographies #8, Mathematical Association of America .
  • Joseph Rotmann (1998). Galois-Theorie (2. Auflage) . Springer. S. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
  • BL van der Waerden (1970) Algebra , übersetzt von Fred Blum und John R. Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. Siehe Kapitel 3.5, „Ideale. Restklassenringe“, Seite 47 bis 51.

Externe Links