Radiant - Radian

Radiant
Einheitssystem Abgeleitete SI-Einheit
Einheit von Winkel
Symbol rad,  c  oder r
In Einheiten Dimensionslos mit einer Bogenlänge gleich dem Radius, dh 1  m/m
Konvertierungen
1 rad rein ... ... entspricht ...
   Milliradian    1000 mrad
   wendet sich    1/2 π Wende
   Grad    180/π ≈ 57,296°
   Gradian    200/π63,662 g
Ein Bogen eines Kreises mit der gleichen Länge wie der Radius des Kreises sich über einen Winkel von 1 Radiant. Der Umfang schließt einen Winkel von 2 π im Bogenmaß ein.

Der Bogenmaß , gekennzeichnet durch das Symbol , ist die SI-Einheit für die Messung von Winkeln und ist die Standardeinheit für Winkelmaße, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird . Die Einheit war früher eine SI-Zusatzeinheit (bevor diese Kategorie 1995 abgeschafft wurde) und das Bogenmaß ist jetzt eine abgeleitete SI-Einheit . Der Bogenmaß ist im SI als dimensionsloser Wert definiert, und sein Symbol wird dementsprechend oft weggelassen, insbesondere in der mathematischen Schrift.

Definition

Ein Bogenmaß ist definiert als der Winkel , der vom Mittelpunkt eines Kreises begrenzt wird, der einen Bogen schneidet , der gleich dem Radius des Kreises ist. Allgemeiner ausgedrückt ist die Größe eines eingeschlossenen Winkels im Bogenmaß gleich dem Verhältnis der Bogenlänge zum Radius des Kreises; das heißt, θ = s / r , wobei θ ist der eingeschlossene Winkel im Bogenmaß, s ist Bogenlänge, und r ist der Radius. Umgekehrt ist die Länge des abgefangenen Bogens gleich dem Radius multipliziert mit der Größe des Winkels im Bogenmaß; das heißt s = .

Als Verhältnis zweier Längen ist das Bogenmaß eine reine Zahl . In SI ist das Bogenmaß mit dem Wert 1 definiert . Als Konsequenz wird in der mathematischen Schrift das Symbol "rad" fast immer weggelassen. Bei der Quantifizierung eines Winkels ohne Symbol wird Radiant angenommen, und wenn Grad gemeint ist, wird das Gradzeichen ° verwendet.

Eine vollständige Umdrehung ist 2 π Radiant (hier dargestellt mit einem Kreis mit Radius eins und damit Umfang 2 π ).

Daraus folgt, dass die Größe einer vollständigen Umdrehung (360 Grad) im Bogenmaß die Länge des gesamten Umfangs geteilt durch den Radius ist, oder 2 π r / r oder 2 π . Somit 2 π Radian ist gleich 360 Grad ist , was bedeutet , dass ein Radiant zu 180 / gleich π57,29577 95130 82320 876 Grad.

Die Beziehung 2 π rad = 360° lässt sich mit der Formel für die Bogenlänge ableiten . Nehmen Sie die Formel für die Bogenlänge oder . Annahme eines Einheitskreises; der Radius ist daher 1. Da das Bogenmaß das Maß eines Winkels ist, der einen Bogen mit einer Länge gleich dem Radius des Kreises einschließt, . Dies kann weiter vereinfacht werden zu . Die Multiplikation beider Seiten mit 360° ergibt 360° = 2 π rad .

Geschichte

Das Konzept des Bogenmaßes im Gegensatz zum Grad eines Winkels wird normalerweise Roger Cotes im Jahr 1714 zugeschrieben. Er beschrieb das Bogenmaß in allem außer dem Namen und erkannte seine Natürlichkeit als Winkelmaßeinheit an. Bevor der Begriff Bogenmaß weit verbreitet wurde, wurde die Einheit allgemein als Kreismaß eines Winkels bezeichnet.

Die Idee, Winkel nach der Länge des Bogens zu messen, wurde bereits von anderen Mathematikern verwendet. Zum Beispiel, al-Kashi (c. 1400) , verwendet sogenannte Durchmesser Teile als Einheiten, wobei ein Durchmesserteil war1/60rad. Sie verwendeten auch sexagesimale Untereinheiten des Durchmesserteils.

Der Begriff Radian erschien erstmals am 5. Juni 1873 gedruckt in Prüfungsfragen, die von James Thomson (Bruder von Lord Kelvin ) am Queen's College in Belfast gestellt wurden . Er hatte den Begriff bereits 1871 verwendet, während Thomas Muir , damals von der University of St Andrews , 1869 zwischen den Begriffen rad , radial und radian schwankte . Im Jahr 1874 adoptierte Muir nach einer Konsultation mit James Thomson Radiant . Der Name Radian wurde danach einige Zeit nicht allgemein angenommen. Schule Trigonometrie Longman noch den Radianten genannt Bogenmaß , wenn im Jahr 1890 veröffentlicht.

Einheitensymbol

Das Internationale Büro für Maß und Gewicht und die Internationale Organisation für Normung geben rad als Symbol für das Bogenmaß an. Alternative Symbole, die vor 100 Jahren verwendet wurden, sind c (der hochgestellte Buchstabe c für "Kreismaß"), der Buchstabe r oder ein hochgestelltes R , aber diese Varianten werden selten verwendet, da sie mit einem Gradsymbol (°) oder verwechselt werden können ein Radius (r). Daher wird ein Wert von 1,2 rad am häufigsten als 1,2 rad geschrieben; andere Notationen umfassen 1,2 r 1,2 rad , 1,2 C , 1,2 oder R .

Konvertierungen

Ein Diagramm zum Umrechnen zwischen Grad und Bogenmaß
Umrechnung gängiger Winkel
Wendet sich Radiant Abschlüsse Gradians oder Gons
0 Umdrehung 0 rad 0 g
1/24 Wende π/12 rad 15° 16+2/3g
1/16 Wende π/8 rad 22,5° 25 g
1/12 Wende π/6 rad 30° 33+1/3g
1/10 Wende π/5 rad 36° 40 g
1/8 Wende π/4 rad 45° 50 g
1/2 π Wende 1 rad C. 57,3° C. 63,7 g
1/6 Wende π/3 rad 60° 66+2/3g
1/5 Wende 2 π/5 rad 72° 80 g
1/4 Wende π/2 rad 90° 100 g
1/3 Wende 2 π/3 rad 120° 133+1/3g
2/5 Wende 4 π/5 rad 144° 160 g
1/2 Wende π rad 180° 200 g
3/4 Wende 3 π/2 rad 270° 300 g
1 Drehung 2 π rad 360° 400 g

Umrechnung zwischen Bogenmaß und Grad

Wie bereits erwähnt, ist ein Bogenmaß gleich . Um von Bogenmaß in Grad umzurechnen, multiplizieren Sie also mit .

Beispielsweise:

Umgekehrt von Grad in Bogenmaß zu konvertieren, multiplizieren Sie mit .

Beispielsweise:

Radians kann umgewandelt werden abwechselnd durch 2 durch Dividieren der Anzahl von Radianten (komplette Umdrehungen) π .

Umrechnung von Radiant in Grad

Die Umfangslänge eines Kreises ist gegeben durch , wobei der Radius des Kreises ist.

Es gilt also die folgende äquivalente Beziehung:

 [Da ein Sweep erforderlich ist, um einen vollen Kreis zu zeichnen]

Nach der Definition von Radiant repräsentiert ein Vollkreis:

Kombination der beiden obigen Beziehungen:

Umrechnung zwischen Bogenmaß und Neugrad

Radiant entspricht einer Umdrehung , was per Definition 400 Gradian (400 gons oder 400 g ) entspricht. Um also von Radiant in Neugrad umzuwandeln, multiplizieren Sie mit , und um von Neugrad in Radiant umzuwandeln, multiplizieren Sie mit . Beispielsweise,

Vorteile der Messung im Bogenmaß

Einige gängige Winkel, gemessen im Bogenmaß. Alle großen Polygone in diesem Diagramm sind regelmäßige Polygone .

In der Infinitesimalrechnung und den meisten anderen Zweigen der Mathematik jenseits der praktischen Geometrie werden Winkel allgemein im Bogenmaß gemessen. Dies liegt daran, dass das Bogenmaß eine mathematische "Natürlichkeit" besitzt, die zu einer eleganteren Formulierung einer Reihe wichtiger Ergebnisse führt.

Vor allem lassen sich Ergebnisse einer Analyse mit trigonometrischen Funktionen elegant angeben, wenn die Argumente der Funktionen im Bogenmaß ausgedrückt werden. Die Verwendung von Radiant führt zu dem einfachen Beispiel : Limit Formel

die die Grundlage vieler anderer Identitäten in der Mathematik ist, einschließlich

Aufgrund dieser und anderer Eigenschaften treten die trigonometrischen Funktionen in Lösungen mathematischer Probleme auf, die nicht offensichtlich mit der geometrischen Bedeutung der Funktionen zusammenhängen (z. B. die Lösungen der Differentialgleichung , die Auswertung des Integrals usw.). In all diesen Fällen stellt sich heraus, dass die Argumente zu den Funktionen am natürlichsten in der Form geschrieben werden, die in geometrischen Zusammenhängen dem Bogenmaß von Winkeln entspricht.

Die trigonometrischen Funktionen haben auch einfache und elegante Reihenentwicklungen, wenn das Bogenmaß verwendet wird. Wenn beispielsweise x im Bogenmaß angegeben ist, wird die Taylor-Reihe für sin  x :

Wenn x in Grad ausgedrückt würde, dann würde die Reihe chaotische Faktoren mit Potenzen von π /180 enthalten: Wenn x die Anzahl der Grade ist, ist die Anzahl der Bogenmaße y = π x / 180 , also

In ähnlicher Weise können mathematisch wichtige Beziehungen zwischen den Sinus- und Kosinusfunktionen und der Exponentialfunktion (siehe zum Beispiel die Eulersche Formel ) elegant angegeben werden, wenn die Argumente der Funktionen im Bogenmaß (und sonst unordentlich) stehen.

Dimensionsanalyse

Obwohl das Bogenmaß eine Maßeinheit ist, ist es eine dimensionslose Größe . Dies ist aus der oben gegebenen Definition ersichtlich: Der Winkel, den der Mittelpunkt eines Kreises bildet, gemessen im Bogenmaß, ist gleich dem Verhältnis der Länge des eingeschlossenen Bogens zur Länge des Kreisradius. Da sich die Maßeinheiten aufheben, ist dieses Verhältnis dimensionslos.

Obwohl Polar- und Kugelkoordinaten Bogenmaß verwenden, um Koordinaten in zwei und drei Dimensionen zu beschreiben, wird die Einheit von der Radiuskoordinate abgeleitet, sodass das Winkelmaß immer noch dimensionslos ist.

Verwendung in der Physik

Das Bogenmaß wird in der Physik häufig verwendet, wenn Winkelmessungen erforderlich sind. Zum Beispiel wird die Winkelgeschwindigkeit typischerweise in Radiant pro Sekunde (rad/s) gemessen . Eine Umdrehung pro Sekunde ist gleich 2 π Radian pro Sekunde.

Ähnlich wird die Winkelbeschleunigung oft in Radiant pro Sekunde pro Sekunde (rad/s 2 ) gemessen .

Zum Zwecke der Dimensionsanalyse sind die Einheiten der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung s –1 bzw. s –2 .

Ebenso kann die Phasendifferenz zweier Wellen auch im Bogenmaß gemessen werden. Wenn beispielsweise die Phasendifferenz zweier Wellen ( k 2 π ) im Bogenmaß beträgt , wobei k eine ganze Zahl ist, werden sie als in Phase betrachtet , während die Phasendifferenz zweier Wellen ( k ⋅2 π + π ) beträgt , wobei k eine ganze Zahl ist, werden sie als gegenphasig betrachtet.

SI-Vielfaches

Metrische Präfixe haben nur begrenzte Verwendung mit Radianten und keine in der Mathematik. Ein Milliradian (mrad) ist ein Tausendstel Radiant und ein Mikroradian (µrad) ist ein Millionstel Radiant, dh 1 rad = 10 3 mrad = 10 6 µrad .

Es gibt 2 π × 1000 Milliradian (≈ 6283,185 mrad) in einem Kreis. Ein Milliradian ist also knapp unter1/6283des Winkels, der von einem Vollkreis umgeben ist. Diese "echte" Winkelmaßeinheit eines Kreises wird von Zielfernrohrherstellern verwendet, die (stadiametrische) Entfernungsmessung in Absehen verwenden . Auch die Divergenz von Laserstrahlen wird üblicherweise in Milliradian gemessen.

Eine Näherung des Milliradian (0,001 rad) wird von der NATO und anderen militärischen Organisationen für Geschütze und Zielerfassung verwendet . Jeder Winkelmil steht für1/6400 eines Kreises und ist fünfzehn/8% oder 1,875% kleiner als der Milliradian. Bei den kleinen Winkeln, die typischerweise bei der Zielerfassung zu finden sind, überwiegt die Bequemlichkeit der Verwendung der Zahl 6400 bei der Berechnung die kleinen mathematischen Fehler, die dadurch eingeführt werden. In der Vergangenheit haben andere Geschützsysteme andere Näherungen verwendet, um1/2000 π; zum Beispiel Schweden benutzte die1/6300 streck und die UdSSR verwendet1/6000. Basierend auf dem Milliradian beträgt die NATO-Mil bei einer Reichweite von 1000 m etwa 1 m (bei so kleinen Winkeln ist die Krümmung vernachlässigbar).

Kleinere Einheiten wie Mikroradian (μrad) und Nanoradian (nrad) werden in der Astronomie verwendet und können auch verwendet werden, um die Strahlqualität von Lasern mit extrem geringer Divergenz zu messen. Häufiger ist die Bogensekunde , die istπ/648.000 rad (ca. 4.8481 Mikroradian). In ähnlicher Weise sind die Präfixe kleiner als Milli- möglicherweise nützlich beim Messen extrem kleiner Winkel.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

  • Medien im Zusammenhang mit Radian bei Wikimedia Commons