Echte Analyse - Real analysis

In der Mathematik ist die reelle Analysis der Zweig der mathematischen Analysis , der das Verhalten von reellen Zahlen , Folgen und Reihen reeller Zahlen sowie reellen Funktionen untersucht . Einige besondere Eigenschaften reellwertiger Folgen und Funktionen, die in der Realanalyse untersucht werden, umfassen Konvergenz , Grenzen , Stetigkeit , Glätte , Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit .

Die reelle Analysis wird von der komplexen Analysis unterschieden , die sich mit dem Studium komplexer Zahlen und ihrer Funktionen beschäftigt.

Umfang

Konstruktion der reellen Zahlen

Die Theoreme der reellen Analysis beruhen auf den Eigenschaften des reellen Zahlensystems, die festgestellt werden müssen. Das reale Zahlensystem besteht aus einer unzählbaren Menge ( ) zusammen mit zwei binären Operationen bezeichnet + und ⋅ und eine Reihenfolge bezeichnet < . Die Operationen machen die reellen Zahlen zu einem Feld und zusammen mit der Reihenfolge zu einem geordneten Feld . Das reelle Zahlensystem ist der eindeutige vollständig geordnete Körper in dem Sinne, dass jeder andere vollständig geordnete Körper dazu isomorph ist. Intuitiv bedeutet Vollständigkeit, dass es keine „Lücken“ in den reellen Zahlen gibt. Diese Eigenschaft unterscheidet die reellen Zahlen von anderen geordneten Körpern (zB den rationalen Zahlen ) und ist entscheidend für den Beweis mehrerer Schlüsseleigenschaften von Funktionen der reellen Zahlen. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wird oft bequemerweise als die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke ausgedrückt (siehe unten). ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen haben verschiedene gittertheoretische Eigenschaften, die bei den komplexen Zahlen fehlen. Außerdem bilden die reellen Zahlen ein geordnetes Feld , in dem auch Summen und Produkte positiver Zahlen positiv sind. Darüber hinaus ist die Reihenfolge der reellen Zahlen total und die reellen Zahlen haben die kleinste obere Schrankeigenschaft :

Jede nichtleere Teilmenge , die eine obere Schranke hat, hat eine kleinste obere Schranke , die auch eine reelle Zahl ist.${\displaystyle \mathbb{R}}$

Diese ordnungstheoretischen Eigenschaften führen zu einer Reihe grundlegender Ergebnisse in der reellen Analysis, wie dem monotonen Konvergenzsatz , dem Zwischenwertsatz und dem Mittelwertsatz .

Während jedoch die Ergebnisse der reellen Analyse für reelle Zahlen angegeben werden, können viele dieser Ergebnisse auf andere mathematische Objekte verallgemeinert werden. Insbesondere verallgemeinern viele Ideen der Funktionalanalysis und der Operatortheorie Eigenschaften der reellen Zahlen – solche Verallgemeinerungen umfassen die Theorien der Rieszräume und der positiven Operatoren . Mathematiker betrachten auch Real- und Imaginärteile komplexer Folgen oder durch punktweise Auswertung von Operatorfolgen .

Topologische Eigenschaften der reellen Zahlen

Viele der Theoreme der reellen Analysis sind Konsequenzen der topologischen Eigenschaften der reellen Zahlengerade. Die oben beschriebenen Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen stehen in engem Zusammenhang mit diesen topologischen Eigenschaften. Als topologischer Raum haben die reellen Zahlen eine Standardtopologie , die durch die Ordnung induzierte Ordnungstopologie . Alternativ kann durch die Definition von Metrik oder Abstandsfunktion unter Verwendung der Absolutwertfunktion , werden die reellen Zahlen das prototypische Beispiel eines metrischen Raumes . Die metrisch induzierte Topologie stellt sich als identisch mit der ordnungsinduzierten Standardtopologie heraus . Theoreme wie der Zwischenwertsatz , die im Wesentlichen topologischer Natur sind, können oft nicht nur im allgemeineren Kontext metrischer oder topologischer Räume bewiesen werden . Solche Beweise sind oft kürzer oder einfacher als klassische Beweise, die direkte Methoden anwenden. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq 0}}$${\displaystyle d(x,y)=|xy|}$${\displaystyle d}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Sequenzen

Eine Folge ist eine Funktion, deren Bereich eine abzählbare , total geordnete Menge ist. Als Domäne werden normalerweise die natürlichen Zahlen angenommen , obwohl es gelegentlich praktisch ist, auch bidirektionale Folgen zu berücksichtigen, die durch die Menge aller ganzen Zahlen, einschließlich negativer Indizes, indiziert sind.

Von Interesse in der reellen Analyse ist eine reellwertige Folge , hier durch die natürlichen Zahlen indiziert, eine Abbildung . Jeder wird als Begriff (oder seltener als Element ) der Sequenz bezeichnet. Eine Folge wird selten explizit als Funktion bezeichnet; stattdessen wird es per Konvention fast immer so notiert, als ob es ein geordnetes ∞-Tupel wäre, mit einzelnen Begriffen oder einem allgemeinen Begriff in Klammern: ${\displaystyle a:\mathbb{N}\to\mathbb{R} :n\mapsto a_{n}}$${\displaystyle a(n)=a_{n}}$

Eine Folge, die zu einem Grenzwert tendiert (dh existiert), heißt konvergent ; ansonsten ist es abweichend . ( Siehe den Abschnitt über Grenzen und Konvergenz für Details. ) Eine reellwertige Folge ist beschränkt, wenn es eine solche gibt, dass für alle . Eine reellwertige Folge ist monoton steigend oder fallend, wenn ${\textstyle \lim_{n\to\infty}a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle M\in\mathbb{R}}$${\displaystyle |a_{n}|<M}$${\displaystyle n\in\mathbb{N}}$${\displaystyle (a_{n})}$

$${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots}$$

oder

$${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots}$$

hält bzw. Wenn beides zutrifft, wird die Folge als monoton bezeichnet . Die Monotonie ist streng, wenn die verketteten Ungleichungen noch gelten oder durch < oder > ersetzt werden. ${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \geq}$

Gegeben eine Folge ist eine andere Folge eine

Teilfolge von if für alle positiven ganzen Zahlen und ist eine streng ansteigende Folge natürlicher Zahlen. ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{k})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n_{k})}$

Grenzen und Konvergenz

Hauptartikel: Limit (Mathematik)

Grob gesagt ist ein Grenzwert der Wert, dem sich eine Funktion oder Sequenz "annähert", wenn sich die Eingabe oder der Index einem Wert nähert. (Dieser Wert kann die Symbole enthalten, wenn das Verhalten einer Funktion oder Folge angesprochen wird, wenn die Variable unbegrenzt zu- oder abnimmt.) Die Idee eines Grenzwerts ist grundlegend für die

Analysis (und die mathematische Analyse im Allgemeinen) und ihre formale Definition wird wiederum verwendet um Begriffe wie Stetigkeit , Ableitungen und Integrale zu definieren . (Tatsächlich wurde die Untersuchung des einschränkenden Verhaltens als ein Merkmal verwendet, das die Analysis und die mathematische Analysis von anderen Zweigen der Mathematik unterscheidet.) ${\displaystyle \pm \infty}$

Der Grenzwertbegriff wurde Ende des 17. Jahrhunderts von Newton und Leibniz informell für Funktionen eingeführt , um die Infinitesimalrechnung zu bauen . Für Sequenzen wurde das Konzept von Cauchy eingeführt und Ende des 19. Jahrhunderts von Bozen und Weierstrass rigoroser gemacht, die die folgende moderne ε-δ-Definition gaben .

Definition. Sei eine reellwertige Funktion, die auf definiert ist

. Wir sagen , dass zu neigt als Ansätze , oder dass die Grenze als Ansätze ist , wenn für jede existiert , so dass für alle , das impliziert . Wir schreiben dies symbolisch als ${\displaystyle f}$${\displaystyle E\subset \mathbb{R}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon}$

$${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},}$$

oder als

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.}$$

Intuitiv kann man sich diese Definition wie folgt vorstellen: Wir sagen als , wenn bei einer gegebenen positiven Zahl , egal wie klein, wir immer a finden können , so dass wir dies garantieren können und weniger als auseinander sind, solange as (im Bereich von ) ist eine reelle Zahl, die weniger als entfernt ist von aber verschieden von . Der Zweck der letzten Bedingung, die der Bedingung in der Definition entspricht, ist sicherzustellen, dass dies nichts über den Wert selbst sagt . Eigentlich muss es nicht einmal im Bereich von sein , um zu existieren. ${\displaystyle f(x)\to L}$${\displaystyle x\to x_{0}}$${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

In einem etwas anderen, aber verwandten Kontext gilt das Konzept einer Grenze für das Verhalten einer Sequenz, wenn sie groß wird. ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle n}$

Definition. Sei eine reellwertige Folge. Wir sagen, dass

konvergiert gegen, wenn es für alle eine natürliche Zahl gibt , die impliziert, dass . Wir schreiben dies symbolisch als ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon}$

$${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,}$$

oder als

$${\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=a;}$$

wenn nicht konvergiert, sagen wir divergiert . ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$

Auf eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen verallgemeinernd, ergibt eine geringfügige Modifikation dieser Definition (Ersetzen von Folge und Term durch Funktion und Wert und natürliche Zahlen bzw. durch reelle Zahlen und ) die Definition des

Grenzwertes von als unbegrenzt zunimmt , notiert . Die Ungleichung Umkehren zu ergibt die entsprechende Definition der Grenze wie abnehmen , ohne gebunden , .${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\textstyle \lim_{x\to\infty}f(x)}$${\displaystyle x\geq M}$${\displaystyle x\leq M}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to -\infty}f(x)}$

Manchmal ist es nützlich, den Schluss zu ziehen, dass eine Folge konvergiert, obwohl der Wert, gegen den sie konvergiert, unbekannt oder irrelevant ist. In diesen Fällen ist das Konzept einer Cauchy-Folge nützlich.

Definition. Sei eine reellwertige Folge. Wir sagen, dass dies eine Cauchy-Folge ist, wenn es für jede eine natürliche Zahl gibt , die impliziert, dass . ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n\geq N}$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon}$

Es kann gezeigt werden, dass eine reellwertige Folge genau dann Cauchy ist, wenn sie konvergent ist. Diese Eigenschaft der reellen Zahlen wird dadurch ausgedrückt, dass die mit der Standardmetrik ausgestatteten reellen Zahlen ein vollständiger metrischer Raum sind . In einem allgemeinen metrischen Raum muss eine Cauchy-Folge jedoch nicht konvergieren. ${\displaystyle (\mathbb{R} ,|\cdot |)}$

Außerdem kann für reellwertige Folgen, die monoton sind, gezeigt werden, dass die Folge genau dann beschränkt ist, wenn sie konvergent ist.

Gleichmäßige und punktweise Konvergenz für Funktionsfolgen

Neben Zahlenfolgen kann man auch von Folgen von Funktionen auf sprechen , also von unendlichen, geordneten Familien von Funktionen , bezeichnet mit , und ihren Konvergenzeigenschaften. Bei Funktionsfolgen gibt es jedoch zwei Arten von Konvergenz, die als punktweise Konvergenz und als gleichförmige Konvergenz bekannt sind, die unterschieden werden müssen. ${\displaystyle E\subset \mathbb{R}}$${\displaystyle f_{n}:E\to\mathbb{R}}$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty}}$

Grob gesagt bedeutet die punktweise Konvergenz von Funktionen zu einer Grenzfunktion , bezeichnet mit , einfach, dass beliebige gegeben ist , als . Im Gegensatz dazu ist die gleichmäßige Konvergenz eine stärkere Art der Konvergenz, in dem Sinne, dass eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen auch punktweise konvergiert, aber nicht umgekehrt. Gleichmäßige Konvergenz erfordert, dass Mitglieder der Familie von Funktionen, , für jeden Wert von , wann immer , für eine ganze Zahl innerhalb eines Fehlers von liegen . Damit eine Familie von Funktionen einheitlich konvergiert, manchmal auch als bezeichnet , muss ein solcher Wert von für jedes beliebige Gegebene existieren, egal wie klein es ist. Intuitiv können wir uns diese Situation vorstellen, indem wir uns vorstellen, dass bei einem ausreichend großen , die Funktionen alle innerhalb einer "Röhre" mit einer Breite von etwa (dh zwischen und ) für jeden Wert in ihrem Bereich eingeschlossen sind . ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f:E\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$${\displaystyle n\to \infty}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{n}\rightarrows f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots}$${\displaystyle 2\varepsilon}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f-\varepsilon}$${\displaystyle f+\varepsilon}$ ${\displaystyle E}$

Die Unterscheidung zwischen punktweiser und gleichförmiger Konvergenz ist wichtig, wenn die Vertauschung der Reihenfolge zweier begrenzender Operationen (z. B. eines Grenzwerts, einer Ableitung oder eines Integrals) erwünscht ist: Damit der Austausch gut funktioniert, rufen viele Theoreme der reellen Analysis für gleichmäßige Konvergenz. Zum Beispiel ist eine Folge von stetigen Funktionen (siehe unten ) garantiert, dass sie zu einer stetigen Grenzfunktion konvergiert, wenn die Konvergenz gleichförmig ist, während die Grenzfunktion möglicherweise nicht stetig ist, wenn die Konvergenz nur punktweise ist. Karl Weierstrass wird allgemein zugeschrieben, dass er das Konzept der einheitlichen Konvergenz klar definiert und seine Implikationen vollständig untersucht hat.

Kompaktheit

Kompaktheit ist ein Konzept aus der allgemeinen Topologie , das in vielen Theoremen der realen Analysis eine wichtige Rolle spielt. Die Eigenschaft der Kompaktheit ist eine Verallgemeinerung des Begriffs einer abgeschlossenen und beschränkten Menge . (Im Kontext der reellen Analysis sind diese Begriffe äquivalent: Eine Menge im euklidischen Raum ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.) Kurz gesagt enthält eine abgeschlossene Menge alle ihre Randpunkte , während eine Menge beschränkt ist , wenn es existiert eine reelle Zahl, so dass der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten der Menge kleiner als diese Zahl ist. In geschlossene und beschränkte und daher kompakte Mengen umfassen die leere Menge, eine endliche Anzahl von Punkten, abgeschlossene Intervalle und ihre endlichen Vereinigungen. Diese Liste ist jedoch nicht erschöpfend; zum Beispiel ist die Menge eine kompakte Menge; der ternäre Satz von Cantor ist ein weiteres Beispiel für einen kompakten Satz. Andererseits ist die Menge nicht kompakt, da sie beschränkt, aber nicht abgeschlossen ist, da der Randpunkt 0 kein Mitglied der Menge ist. Die Menge ist auch nicht kompakt, da sie abgeschlossen, aber nicht beschränkt ist. ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \{1/n:n\in\mathbb{N}\}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$${\displaystyle \{1/n:n\in\mathbb{N}\}}$${\displaystyle [0,\infty )}$

Für Teilmengen der reellen Zahlen gibt es mehrere äquivalente Definitionen der Kompaktheit.

Definition. Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. ${\displaystyle E\subset \mathbb{R}}$

Diese Definition gilt auch für den euklidischen Raum jeder endlichen Dimension , aber sie gilt nicht für metrische Räume im Allgemeinen. Die Äquivalenz der Definition mit der Definition der Kompaktheit basierend auf Teilüberdeckungen, die später in diesem Abschnitt angegeben wird, ist als Heine-Borel-Theorem bekannt . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Eine allgemeinere Definition, die für alle metrischen Räume gilt, verwendet den Begriff einer Teilfolge (siehe oben).

Definition. Eine Menge in einem metrischen Raum ist kompakt, wenn jede Folge in eine konvergente Teilfolge hat. ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Diese besondere Eigenschaft wird als nachträgliche Kompaktheit bezeichnet . In ist eine Menge dann und nur dann nachfolgend kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist, was diese Definition äquivalent zu der oben gegebenen macht. Folgekompaktheit ist äquivalent zur Definition von Kompaktheit basierend auf Teilüberdeckungen für metrische Räume, aber nicht für topologische Räume im Allgemeinen. ${\displaystyle \mathbb{R}}$

Die allgemeinste Definition von Kompaktheit beruht auf dem Begriff der offenen Hüllen und Teilhüllen , der auf topologische Räume (und damit auf metrische Räume und als Spezialfälle) anwendbar ist . Kurz gesagt heißt eine Sammlung offener Mengen eine offene Überdeckung von Menge, wenn die Vereinigung dieser Mengen eine Obermenge von ist . Diese offene Überdeckung heißt endliche Teilüberdeckung, wenn eine endliche Untersammlung von gefunden werden konnte, die auch überdeckt . ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle U_{\alpha}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha}}$${\displaystyle X}$

Definition. Eine Menge in einem topologischen Raum ist kompakt, wenn jede offene Hülle von eine endliche Teilhülle hat. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Kompakte Mengen verhalten sich gut in Bezug auf Eigenschaften wie Konvergenz und Stetigkeit. Zum Beispiel ist jede Cauchy-Folge in einem kompakten metrischen Raum konvergent. Als weiteres Beispiel ist das Bild eines kompakten metrischen Raums unter einer kontinuierlichen Karte ebenfalls kompakt.

Kontinuität

Eine Funktion von der Menge der reellen Zahlen zu den reellen Zahlen kann durch einen Graphen in der kartesischen Ebene dargestellt werden ; eine solche Funktion ist stetig, wenn der Graph grob gesagt eine einzelne ununterbrochene Kurve ohne "Löcher" oder "Sprünge" ist.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Intuition mathematisch rigoros zu machen. Es können mehrere Definitionen unterschiedlicher Allgemeinheit angegeben werden. In Fällen, in denen zwei oder mehr Definitionen anwendbar sind, wird leicht gezeigt, dass sie einander äquivalent sind , sodass die bequemste Definition verwendet werden kann, um zu bestimmen, ob eine gegebene Funktion stetig ist oder nicht. In der ersten unten angegebenen Definition ist eine Funktion auf einem nicht entarteten Intervall der Menge der reellen Zahlen als ihr Bereich definiert. Einige Möglichkeiten umfassen , die ganze Menge der reellen Zahlen, ein offenes Intervall oder ein geschlossenes Intervall. Hier sind und sind verschiedene reelle Zahlen, und wir schließen insbesondere den Fall aus, dass sie leer sind oder nur aus einem Punkt bestehen. ${\displaystyle f:I\to\mathbb{R}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=\mathbb{R}}$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$

Definition. Wenn ein nicht entartetes Intervall ist, sagen wir, dass es bei if stetig ist . Wir sagen, dass dies eine stetige Abbildung ist, wenn bei jedem stetig ist . ${\displaystyle I\subset \mathbb{R}}$${\displaystyle f:I\to\mathbb{R}}$ ${\displaystyle p\in I}$${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in I}$

Im Gegensatz zu den Anforderungen an einen Grenzwert an einem Punkt , die das Verhalten von an selbst nicht einschränken , müssen neben der Existenz von auch die folgenden beiden Bedingungen gelten, damit an stetig stetig ist : (i) muss bei definiert sein , dh liegt im Bereich von ; und (ii) als . Die obige Definition gilt tatsächlich für jeden Bereich , der keinen isolierten Punkt enthält , oder äquivalent, wo jeder ein Grenzpunkt von ist . Eine allgemeinere Definition, die für eine allgemeine Domäne gilt, ist die folgende: ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$${\displaystyle x\to p}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p\in E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R}}$

Definition. Wenn eine beliebige Teilmenge von ist , sagen wir , dass ist bei kontinuierlicher , wenn für jede gibt es , so dass für alle , das impliziert . Wir sagen, dass dies eine stetige Abbildung ist, wenn bei jedem stetig ist . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle |xp|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in X}$

Eine Folge dieser Definition ist , dass ist in jedem isolierten Punkt trivially kontinuierliche . Diese etwas unintuitive Behandlung isolierter Punkte ist notwendig, um sicherzustellen, dass unsere Definition der Stetigkeit für Funktionen auf der reellen Linie mit der allgemeinsten Definition der Stetigkeit für Abbildungen zwischen topologischen Räumen (die metrische Räume und insbesondere als Sonderfälle einschließt) übereinstimmt . Diese Definition, die über den Rahmen unserer Diskussion der realen Analyse hinausgeht, wird im Folgenden der Vollständigkeit halber gegeben. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Definition. Wenn und topologische Räume sind, sagen wir , dass ist kontinuierlich an , wenn ein Viertel der in für jede Nachbarschaft von in . Wir sagen , dass ist ein kontinuierlicher Karte , wenn in offen ist für jeden offen . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(p)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y}$

( Bezieht sich hier auf das Vorbild von unter .) ${\displaystyle f^{-1}(S)}$${\displaystyle S\Teilmenge Y}$${\displaystyle f}$

Gleichmäßige Kontinuität

Definition. Wenn eine Teilmenge der ist reellen Zahlen , sagen wir , eine Funktion ist gleichmäßig stetig auf , wenn für jede gibt es ein , so dass für alle , das impliziert . ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle |xy|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon}$

Explizit, wenn eine Funktion gleichmäßig stetig auf ist , muss die Wahl von benötigt, um die Definition zu erfüllen, für alle für eine gegebene funktionieren . Im Gegensatz dazu, wenn eine Funktion an jedem Punkt stetig ist (oder als stetig auf bezeichnet wird ), kann die Wahl von sowohl von und abhängen . Im Gegensatz zur einfachen Stetigkeit ist die gleichmäßige Stetigkeit eine Eigenschaft einer Funktion, die nur mit einem bestimmten Bereich sinnvoll ist; von gleichförmiger Kontinuität an einem einzigen Punkt zu sprechen, ist bedeutungslos. ${\displaystyle X}$${\displaystyle\delta}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle\varepsilon}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Auf einer kompakten Menge lässt sich leicht zeigen, dass alle stetigen Funktionen gleichmäßig stetig sind. Wenn es sich um eine beschränkte nichtkompakte Teilmenge von handelt , dann gibt es eine stetige, aber nicht gleichmäßig stetige. Als einfaches Beispiel betrachten Sie definiert durch . Indem wir Punkte nahe 0 wählen, können wir immer eine einzelne Auswahl von , für eine gegebene treffen . ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle f:E\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f:(0,1)\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Absolute Kontinuität

Definition. Sei ein Intervall auf der reellen Geraden . Eine Funktion wird gesagt, dass absolut stetig an , wenn für jede positive Zahl ist , gibt es eine positive Zahl ist , so dass , wann immer eine endliche Folge von paarweise disjunkten Teilintervallen von erfüllt ${\displaystyle I\subset \mathbb{R}}$${\displaystyle f:I\to\mathbb{R}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

dann

${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Absolut stetige Funktionen sind stetig: Betrachten Sie in dieser Definition den Fall n = 1. Die Sammlung aller absolut stetigen Funktionen auf I wird als AC( I ) bezeichnet. Absolute Stetigkeit ist ein grundlegendes Konzept der Lebesgue-Integrationstheorie, das die Formulierung einer verallgemeinerten Version des fundamentalen Theorems der Infinitesimalrechnung ermöglicht, das auf das Lebesgue-Integral anwendbar ist.

Unterscheidung

Der Begriff der Ableitung einer Funktion oder Differenzierbarkeit stammt aus dem Konzept der Approximation einer Funktion in der Nähe eines gegebenen Punktes unter Verwendung der "besten" linearen Approximation. Diese Näherung, falls sie existiert, ist eindeutig und wird durch die Linie gegeben, die die Funktion an dem gegebenen Punkt tangiert , und die Steigung der Linie ist die Ableitung der Funktion bei . ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert${\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existiert. Diese Grenze ist als Ableitung von at bekannt${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$ , und die Funktion , die möglicherweise nur auf einer Teilmenge von definiert ist , ist die Ableitung (oder Ableitungsfunktion ) von . Existiert die Ableitung überall, heißt die Funktion differenzierbar . ${\displaystyle f'}$${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle f}$

Als einfache Konsequenz der Definition ist bei stetig, wenn es dort differenzierbar ist. Differenzierbarkeit ist daher eine stärkere Regularitätsbedingung (Bedingung, die die "Glätte" einer Funktion beschreibt) als Stetigkeit, und es ist möglich, dass eine Funktion auf der gesamten reellen Geraden stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist (siehe Weierstrass' nirgendwo differenzierbare stetige Funktion ). Es ist möglich, auch die Existenz von Ableitungen höherer Ordnung zu diskutieren, indem man die Ableitung einer Ableitungsfunktion findet und so weiter. ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

Man kann Funktionen nach ihrer Differenzierbarkeitsklasse klassifizieren . Die Klasse (manchmal zur Angabe des Anwendbarkeitsintervalls) besteht aus allen stetigen Funktionen. Die Klasse besteht aus allen differenzierbaren Funktionen, deren Ableitung stetig ist; solche Funktionen heißen stetig differenzierbar . Eine Funktion ist also genau eine Funktion, deren Ableitung existiert und von der Klasse ist . Im Allgemeinen können die Klassen rekursiv definiert werden, indem deklariert wird , dass es die Menge aller stetigen Funktionen ist, und deklariert für jede positive ganze Zahl die Menge aller differenzierbaren Funktionen, deren Ableitung in ist . Insbesondere ist in für alle enthalten , und es gibt Beispiele, die zeigen, dass diese Eingrenzung strikt ist. Klasse ist die Schnittmenge der Mengen , die über die nicht-negativen ganzen Zahlen variiert, und die Mitglieder dieser Klasse werden als glatte Funktionen bezeichnet . Klasse besteht aus allen analytischen Funktionen und ist strikt in enthalten (siehe Bump-Funktion für eine glatte Funktion, die nicht analytisch ist). ${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{0}([a,b])}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{\omega}}$${\displaystyle C^{\infty}}$

Serie

Eine Reihe formalisiert die ungenaue Vorstellung, die Summe einer endlosen Zahlenfolge zu bilden. Die Idee, dass die Summe einer "unendlichen" Anzahl von Begriffen zu einem endlichen Ergebnis führen kann, war für die alten Griechen kontraintuitiv und führte zur Formulierung einer Reihe von Paradoxen durch Zeno und andere Philosophen. Die moderne Vorstellung, einer Reihe einen Wert zuzuordnen, vermeidet den Umgang mit der schlecht definierten Vorstellung, eine „unendliche“ Anzahl von Begriffen hinzuzufügen. Stattdessen wird die endliche Summe der ersten Terme der Folge, die als Partialsumme bekannt ist, betrachtet, und der Begriff eines Grenzwerts wird auf die Folge von Partialsummen mit unbegrenztem Wachstum angewendet . Der Reihe wird der Wert dieser Grenze zugewiesen, falls vorhanden. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Bei einer (unendlichen) Folge können wir eine zugehörige Reihe als formales mathematisches Objekt definieren , manchmal einfach geschrieben als . Die Teilsummen einer Reihe sind die Zahlen . Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge, die aus ihren Teilsummen besteht , konvergent ist; ansonsten ist es abweichend . Die Summe einer konvergenten Reihe wird als Zahl definiert .${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle s_{n}=\sum_{j=1}^{n}a_{j}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle (s_{n})}$${\textstyle s=\lim_{n\to\infty}s_{n}}$

Das Wort "Summe" wird hier im übertragenen Sinne als Abkürzung für die Begrenzung einer Folge von Teilsummen verwendet und sollte nicht als einfaches "Addieren" einer unendlichen Anzahl von Termen interpretiert werden. Im Gegensatz zum Verhalten endlicher Summen kann beispielsweise die Neuordnung der Terme einer unendlichen Reihe zu einer Konvergenz zu einer anderen Zahl führen ( weitere Diskussion finden Sie im Artikel über den Riemann-Umlagerungssatz ).

Ein Beispiel für eine konvergente Reihe ist eine geometrische Reihe, die die Grundlage eines von Zenos berühmten Paradoxen bildet :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4 }}+{\frac{1}{8}}+\cdots=1.}$

Im Gegensatz dazu ist die harmonische Reihe seit dem Mittelalter als divergente Reihe bekannt:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +\cdots =\infty .}$

(Hier ist " " lediglich eine Notationskonvention, um anzuzeigen, dass die Teilsummen der Reihe unbegrenzt wachsen.) ${\displaystyle =\infty}$

Eine Reihe heißt absolut konvergierend, wenn sie konvergent ist. Eine konvergente Reihe, für die divergiert, heißt nicht absolut konvergieren . Es ist leicht zu zeigen, dass die absolute Konvergenz einer Reihe ihre Konvergenz impliziert. Andererseits ist ein Beispiel für eine Reihe, die nicht absolut konvergiert,verg ${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{ \frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

Taylor-Reihe

Die Taylorreihe einer reellen oder komplexwertigen Funktion ƒ ( x ), die bei einer reellen oder komplexen Zahl a unendlich differenzierbar ist, ist die Potenzreihe

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2} +{\frac{f^{(3)}(a)}{3!}}(xa)^{3}+\cdots.}$

die in der kompakteren Sigma-Notation geschrieben werden kann als

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(xa)^{n}}$

wo n ! bezeichnet die faktorielle von n und ƒ  ^{( n )} ( a ) , um das bedeutet n - ten Derivat von ƒ am Punkt ausgewertet a . Die Ableitung nullter Ordnung ƒ ist definiert als ƒ selbst und ( x − a ) ⁰ und 0! sind beide als 1 definiert. Für den Fall a = 0 wird die Reihe auch als Maclaurin-Reihe bezeichnet.

Eine Taylor-Reihe von f um Punkt a kann divergieren, nur im Punkt a konvergieren, für alle x so konvergieren, dass (das größte solche R, für das Konvergenz garantiert ist, Konvergenzradius genannt wird ) oder auf der gesamten reellen Geraden konvergieren. Sogar eine konvergierende Taylor-Reihe kann zu einem Wert konvergieren, der sich von dem Wert der Funktion an diesem Punkt unterscheidet. Wenn die Taylor-Reihe an einem Punkt einen Konvergenzradius ungleich Null hat und sich zu der Funktion in der Konvergenzscheibe summiert , dann ist die Funktion analytisch . Die analytischen Funktionen haben viele grundlegende Eigenschaften. Insbesondere erstreckt sich eine analytische Funktion einer reellen Variablen natürlich auf eine Funktion einer komplexen Variablen. Auf diese Weise werden die Exponentialfunktion , der Logarithmus , die trigonometrischen Funktionen und ihre Inversen auf Funktionen einer komplexen Variablen erweitert. ${\displaystyle |xa|<R}$

die Fourierreihe

Fourier-Reihen zerlegen periodische Funktionen oder periodische Signale in die Summe einer (möglicherweise unendlichen) Menge einfacher schwingender Funktionen, nämlich Sinus und Kosinus (oder komplexe Exponentialfunktionen ). Das Studium von Fourier-Reihen erfolgt typischerweise und wird im Zweig Mathematik > Mathematische Analysis > Fourier-Analyse behandelt .

Integration

Integration ist eine Formalisierung des Problems, die durch eine Kurve begrenzte Fläche zu finden, und der damit verbundenen Probleme, die Länge einer Kurve oder eines von einer Fläche eingeschlossenen Volumens zu bestimmen. Die grundlegende Strategie zur Lösung von Problemen dieser Art war den alten Griechen und Chinesen bekannt und wurde als Erschöpfungsmethode bezeichnet . Generell wird die gewünschte Fläche von oben bzw. unten durch immer genauere Umschreibungen und Einschreiben polygonaler Näherungen begrenzt, deren exakte Flächen berechenbar sind. Durch Betrachtung von Näherungen, die aus einer größeren und größeren ("unendlichen") Anzahl kleinerer und kleinerer ("unendlich") Teile bestehen, kann die von der Kurve begrenzte Fläche abgeleitet werden, da die durch die Näherungen definierten oberen und unteren Grenzen um ein gemeinsames con konvergieren Wert.

Der Geist dieser Grundstrategie lässt sich leicht in der Definition des Riemann-Integrals erkennen, bei dem das Integral existiert, wenn obere und untere Riemann-(oder Darboux-)Summen als immer dünnere rechteckige Scheiben gegen einen gemeinsamen Wert konvergieren ("Verfeinerungen ") gelten als. Obwohl die Maschinerie, mit der es definiert wurde, im Vergleich zum Riemann-Integral viel ausgefeilter ist, wurde das Lebesgue-Integral mit ähnlichen Grundideen definiert. Im Vergleich zum Riemann-Integral ermöglicht das ausgeklügeltere Lebesgue-Integral die Definition und Berechnung von Fläche (oder Länge, Volumen usw.; allgemein als "Maß" bezeichnet) für viel kompliziertere und unregelmäßigere Teilmengen des euklidischen Raums, obwohl es immer noch "nicht messbare" Teilmengen, denen kein Bereich zugeordnet werden kann.

Riemann-Integration

Das Riemann-Integral wird durch Riemann-Summen von Funktionen in Bezug auf markierte Partitionen eines Intervalls definiert. Sei ein abgeschlossenes Intervall der reellen Geraden; dann ist eine markierte Partition von eine endliche Folge ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal{P}}}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n }\leq x_{n}=b.\,\!}$

Dadurch wird das Intervall in Teilintervalle unterteilt, die mit indiziert sind und von denen jedes mit einem bestimmten Punkt "markiert" ist . Für eine auf beschränkte Funktion definieren wir die Riemann-Summe von bezüglich der markierten Partition als ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle i=1,\ldots,n}$${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\cal{P}}}$

${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta_{i},}$

wo ist die Breite des Subintervalls . Somit ist jeder Term der Summe die Fläche eines Rechtecks ​​mit einer Höhe gleich dem Funktionswert am ausgezeichneten Punkt des gegebenen Unterintervalls und einer Breite gleich der Unterintervallbreite. Die Masche einer solchen markierten Partition ist die Breite des größten Teilintervalls, das von der Partition gebildet wird, . Wir sagen, dass das Riemann-Integral von on ist, falls für irgendeine existiert, so dass für jede markierte Partition mit mesh gilt: ${\displaystyle \Delta_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$${\displaystyle i}$${\textstyle \|\Updelta_{i}\|=\max_{i=1,\ldots,n}\Updelta_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle {\cal{P}}}$${\displaystyle \|\Delta_{i}\|<\delta}$

${\displaystyle \left|S-\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta_{i}\right|<\varepsilon .}$

Dies wird manchmal bezeichnet . Wenn die ausgewählten Tags den maximalen (bzw. minimalen) Wert jedes Intervalls angeben, wird die Riemann-Summe als obere (bzw. untere) Darboux-Summe bezeichnet . Eine Funktion ist Darboux-integrierbar, wenn die obere und die untere Darboux-Summe für ein hinreichend kleines Netz beliebig nahe beieinander liegen können. Obwohl diese Definition dem Darboux-Integral den Anschein erweckt, ein Spezialfall des Riemann-Integrals zu sein, sind sie tatsächlich äquivalent in dem Sinne, dass eine Funktion genau dann Darboux-integrierbar ist, wenn sie Riemann-integrierbar ist, und die Werte der Integrale sind gleich. Tatsächlich verschmelzen die Lehrbücher der Analysis und der reellen Analysis oft die beiden und führen die Definition des Darboux-Integrals als die des Riemann-Integrals ein, da die Definition des ersteren etwas einfacher anzuwenden ist. ${\textstyle {\mathcal{R}}\int _{a}^{b}f=S}$

Der fundamentale Satz der Infinitesimalrechnung besagt , dass Integration und Differentiation in gewissem Sinne inverse Operationen sind.

Lebesgue-Integration und -Messung

Die Lebesgue-Integration ist eine mathematische Konstruktion, die das Integral auf eine größere Klasse von Funktionen ausdehnt; es erweitert auch die Domänen, auf denen diese Funktionen definiert werden können. Das Konzept eines Maßes , einer Abstraktion von Länge, Fläche oder Volumen, ist von zentraler Bedeutung für die Lebesguesche integrale Wahrscheinlichkeitstheorie .

Ausschüttungen

Verteilungen (oder verallgemeinerte Funktionen ) sind Objekte, die Funktionen verallgemeinern . Verteilungen ermöglichen die Differenzierung von Funktionen, deren Ableitungen im klassischen Sinne nicht existieren. Insbesondere hat jede lokal integrierbare Funktion eine Verteilungsableitung.

Bezug zur komplexen Analyse

Die Realanalyse ist ein Analysegebiet , das Konzepte wie Folgen und ihre Grenzen, Stetigkeit, Differenzierung , Integration und Funktionsfolgen untersucht. Per Definition konzentriert sich die reelle Analyse auf die reellen Zahlen , die oft positive und negative Unendlichkeit einschließen , um die erweiterte reelle Linie zu bilden . Die reelle Analysis ist eng mit der komplexen Analysis verwandt , die im Großen und Ganzen die gleichen Eigenschaften komplexer Zahlen untersucht . In der komplexen Analysis ist es selbstverständlich, die Differenzierung über holomorphe Funktionen zu definieren , die eine Reihe nützlicher Eigenschaften haben, wie z. B. wiederholte Differenzierbarkeit, Ausdrückbarkeit als Potenzreihe und Erfüllung der Cauchy-Integralformel .

In der reellen Analyse ist es normalerweise natürlicher, differenzierbare , glatte oder harmonische Funktionen zu berücksichtigen , die breiter anwendbar sind, aber möglicherweise einige leistungsfähigere Eigenschaften holomorpher Funktionen vermissen lassen. Ergebnisse wie der Fundamentalsatz der Algebra sind jedoch einfacher, wenn sie in komplexen Zahlen ausgedrückt werden.

Techniken aus der Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen werden in der reellen Analyse häufig verwendet – wie zum Beispiel die Bewertung von reellen Integralen durch Residuenrechnung .

Wichtige Ergebnisse

Wichtige Ergebnisse der gehören Bolzano-Weierstraß und Heine-Borel Theoreme , der Zwischenwertsatz und Mittelwertsatz , Satz von Taylor , der Fundamentalsatz des Analysis , der Satz von Arzelà-Ascoli , der Steinweierstraß , Lemma von Fatou und die monotonen Konvergenz und dominierte Konvergenzsätze .

Verallgemeinerungen und verwandte Gebiete der Mathematik

Verschiedene Ideen aus der Realanalyse können von der Reallinie auf breitere oder abstraktere Zusammenhänge verallgemeinert werden. Diese Verallgemeinerungen verbinden die reale Analyse mit anderen Disziplinen und Teildisziplinen. Zum Beispiel verbindet die Verallgemeinerung von Ideen wie stetige Funktionen und Kompaktheit von der reellen Analysis auf metrische Räume und topologische Räume die reelle Analysis mit dem Gebiet der allgemeinen Topologie , während die Verallgemeinerung endlichdimensionaler euklidischer Räume auf unendlichdimensionale Analoga zu den Konzepten der Banach-Räume führte und Hilbert-Räume und allgemeiner zur Funktionsanalyse . Georg Cantors Untersuchung der Mengen und Folgen reeller Zahlen, ihrer Abbildungen und der Grundfragen der reellen Analysis brachten die naive Mengenlehre hervor . Das Studium der Konvergenzfragen für Funktionsfolgen führte schließlich zur Fourier-Analyse als Unterdisziplin der mathematischen Analysis. Die Untersuchung der Konsequenzen der Verallgemeinerung der Differenzierbarkeit von Funktionen einer reellen Variablen zu denen einer komplexen Variablen führte zum Konzept der holomorphen Funktionen und zur Einführung der komplexen Analysis als einer weiteren eigenständigen Subdisziplin der Analysis. Andererseits führte die Verallgemeinerung der Integration vom Riemannschen Sinn auf den Lebesgueschen Sinn zur Formulierung des Begriffs abstrakter Maßräume , einem Grundbegriff der Maßtheorie . Schließlich führte die Verallgemeinerung der Integration von der reellen Linie auf Kurven und Flächen im höherdimensionalen Raum zum Studium der Vektorrechnung , deren weitere Verallgemeinerung und Formalisierung eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Konzepte der Differentialformen und glatten (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten spielte in Differentialgeometrie und anderen eng verwandten Gebieten der Geometrie und Topologie .

Siehe auch

• Liste echter Analysethemen
• Zeitskalenkalkül – eine Vereinigung der Realanalyse mit der Finite-Differenzen-Kalküle
• Echte multivariable Funktion
• Realer Koordinatenraum
• Komplexe Analyse

Verweise

Literaturverzeichnis

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• Spivak, Michael (1994). Kalkül (3. Aufl.). Houston , Texas: Publish oder Perish, Inc. ISBN 091409890X.

Externe Links

• Wie wir von dort nach hier kamen: Eine Geschichte der realen Analyse von Robert Rogers und Eugene Boman
• Ein erster Kurs in Analysis von Donald Yau
• Analyse WebNotes von John Lindsay Orr
• Interaktive Realanalyse von Bert G. Wachsmuth
• Ein erster Analysekurs von John O'Connor
• Mathematische Analysis I von Elias Zakon
• Mathematische Analysis II von Elias Zakon
• Graben, William F. (2003). Einführung in die Realanalyse (PDF) . Lehrlingssaal . ISBN 978-0-13-045786-8.
• Früheste bekannte Verwendung einiger der Wörter der Mathematik: Infinitesimalrechnung und Analysis
• Grundlegende Analyse: Einführung in die reelle Analyse von Jiri Lebl
• Themen der Real- und Funktionsanalyse von Gerald Teschl , Universität Wien.