Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen - Reynolds-averaged Navier–Stokes equations

Die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen ( RANS-Gleichungen ) sind zeitgemittelte Bewegungsgleichungen für Flüssigkeitsströmungen . Die Idee hinter den Gleichungen ist die Reynolds-Zerlegung , bei der eine Momentangröße in ihre zeitgemittelten und fluktuierenden Größen zerlegt wird, eine Idee, die zuerst von Osborne Reynolds vorgeschlagen wurde . Die RANS-Gleichungen werden hauptsächlich verwendet, um turbulente Strömungen zu beschreiben . Diese Gleichungen können mit Annäherungen verwendet werden , basierend auf der Kenntnis der Eigenschaften von Strömungsturbulenzen ungefähre Zeit gemittelten Lösungen für die geben Navier-Stokes - Gleichungen . Für eine stationäre Strömung einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit können diese Gleichungen in Einstein-Notation in kartesischen Koordinaten geschrieben werden als:

${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar { f}}_{i}+{\frac{\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar{p}}\delta_{ij}+\mu\left({\frac {\partial {\bar{u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar{u}}_{j}}{\partial x_{i} }}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}\right].}$

Die linke Seite dieser Gleichung repräsentiert die Änderung des mittleren Impulses eines Fluidelements aufgrund der Unstetigkeit der mittleren Strömung und der Konvektion durch die mittlere Strömung. Diese Änderung wird durch die mittlere Körperkraft, die isotrope Spannung aufgrund des mittleren Druckfeldes, die viskosen Spannungen und die scheinbare Spannung aufgrund des fluktuierenden Geschwindigkeitsfeldes, allgemein als Reynolds-Spannung bezeichnet, ausgeglichen . Dieser nichtlineare Reynolds-Spannungsterm erfordert zusätzliche Modellierung, um die RANS-Gleichung zum Lösen zu schließen, und hat zur Erstellung vieler verschiedener Turbulenzmodelle geführt . Der Zeitmittel-Operator ist ein Reynolds-Operator . ${\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}\right)}$${\displaystyle {\overline {.}}}$

Herleitung von RANS-Gleichungen

Das grundlegende Werkzeug zur Ableitung der RANS-Gleichungen aus den momentanen Navier-Stokes-Gleichungen ist die Reynolds-Zerlegung . Die Reynolds-Zerlegung bezieht sich auf die Trennung der Strömungsvariablen (wie Geschwindigkeit ) in die mittlere (zeitgemittelte) Komponente ( ) und die fluktuierende Komponente ( ). Da der Mittelwertoperator ein Reynolds-Operator ist , hat er eine Reihe von Eigenschaften. Eine dieser Eigenschaften ist, dass der Mittelwert der schwankenden Größe gleich Null ist . Daher, ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\overline {u}}}$${\displaystyle u^{\prime}}$${\displaystyle ({\bar{u^{\prime}}}=0)}$

${\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u^{\prime}({\boldsymbol {x}},t) \,}$, wo ist der Positionsvektor. Einige Autoren ziehen es vor, den Mittelwert anstelle von zu verwenden (da ein Überstrich manchmal verwendet wird, um einen Vektor darzustellen). In diesem Fall wird der schwankende Term stattdessen durch dargestellt . Dies ist möglich, weil die beiden Terme nicht gleichzeitig in derselben Gleichung vorkommen. Um Verwirrung zu vermeiden, wird die Notation verwendet, um die momentanen, mittleren bzw. schwankenden Terme darzustellen.${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle u^{\prime}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u,{\bar{u}},{\mbox{ und }}u^{\prime}}$

Die Eigenschaften von Reynolds-Operatoren sind bei der Ableitung der RANS-Gleichungen nützlich. Unter Verwendung dieser Eigenschaften lauten die Navier-Stokes-Bewegungsgleichungen, ausgedrückt in Tensornotation, (für ein inkompressibles Newtonsches Fluid):

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i} -{\frac {1}{\rho}}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

wobei ein Vektor ist, der externe Kräfte repräsentiert. ${\displaystyle f_{i}}$

Als nächstes kann jede Momentangröße in zeitgemittelte und fluktuierende Komponenten aufgeteilt und die resultierende Gleichung zeitgemittelt werden, um zu erhalten:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u }}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_ {j}}}}}={\bar{f}}_{i}-{\frac {1}{\rho}}{\frac {\partial {\bar{p}}}{\partial x_{ i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Die Impulsgleichung kann auch geschrieben werden als

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u }}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho}}{\frac {\partial {\bar { p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j }}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}}{\partial x_{j}}}.}$

Bei weiteren Manipulationen ergibt sich,

${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar{u}}_{i}}{\partial t}}}+\rho {\bar{u}}_{j}{\frac {\partial{ \bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}} }\left[-{\bar{p}}\delta_{ij}+2\mu {\bar{S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime}u_ {j}^{\prime}}}\right]}$

wobei die mittlere Dehnungstensorgeschwindigkeit ist. ${\displaystyle {\bar{S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar{u}}_{i}}{\partial x_ {j}}}+{\frac {\partial {\bar{u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

Da die zeitliche Integration die Zeitabhängigkeit der resultierenden Terme beseitigt, muss schließlich die Zeitableitung eliminiert werden, so dass:

${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar { f_{i}}}+{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left[-{\bar{p}}\delta_{ij}+2\mu {\bar{S} }_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}\right].}$

Gleichungen der Reynoldsspannung

Die Zeitentwicklungsgleichung der Reynolds-Spannung ist gegeben durch:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{ k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{ i}^{\prime}u_{k}^{\prime}}}{\frac {\partial {\bar{u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline { u_{j}^{\prime}u_{k}^{\prime}}}{\frac {\partial {\bar{u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\ Überstrich {{\frac {p^{\prime}}{\rho}}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime}}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}u_{k}^{\prime}}}}+{\frac {\overline {p^{\prime}u_{i}^{ \prime}}}{\rho}}\delta_{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime}u_{j}^{\prime}}}{\rho}}\delta_{ ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}}{\partial x_{k}}}\right)-2 \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime}}{\partial x_{k}}}}}}$

Diese Gleichung ist sehr kompliziert. Wenn verfolgt wird, wird kinetische Turbulenzenergie erhalten. Der letzte Term ist die turbulente Dissipationsrate. Alle RANS-Modelle basieren auf der obigen Gleichung. ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}}$${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime}} {\partial x_{k}}}}}}$

Anwendungen (RaNS-Modellierung)

Es wurde ein Modell zum Testen der Leistung ermittelt, das in Kombination mit der Vortex-Gitter- (vlm) oder der Randelementmethode (bem) RaNS für die Modellierung der Wasserströmung zwischen zwei gegenläufig rotierenden Propellern als nützlich befunden hat, wobei vlm oder bem auf die Propeller und RaNS wird für den dynamisch fließenden Zustand zwischen den Propellern verwendet.

Anmerkungen

Verweise