Riemann-Integral - Riemann integral

Das Integral als Fläche einer Region unter einer Kurve.

Eine Folge von Riemann-Summen über eine reguläre Partition eines Intervalls. Die Zahl oben ist die Gesamtfläche der Rechtecke, die gegen das Integral der Funktion konvergiert.

Die Partition muss nicht regulär sein, wie hier gezeigt. Die Approximation funktioniert, solange die Breite jeder Unterteilung gegen Null geht.

Im Zweig der Mathematik bekannt als echte Analyse , das Riemann - Integral , erstellt von Bernhard Riemann , war die erste strenge Definition des Integrals einer Funktion auf einem Intervall . Es wurde 1854 der Fakultät der Universität Göttingen vorgestellt , aber erst 1868 in einer Zeitschrift veröffentlicht. Für viele Funktionen und praktische Anwendungen kann das Riemann-Integral nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung ausgewertet oder durch numerische Integration approximiert werden .

Das Riemann-Integral ist für viele theoretische Zwecke ungeeignet. Einige der technischen Mängel der Riemann-Integration können mit dem Riemann-Stieltjes-Integral behoben werden und die meisten verschwinden mit dem Lebesgue-Integral , obwohl letzteres keine zufriedenstellende Behandlung von uneigentlichen Integralen hat . Das Eichintegral ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals, die dem Riemann-Integral sofort näher kommt. Diese allgemeineren Theorien erlauben die Integration von "gezackteren" oder "stark oszillierenden" Funktionen, deren Riemann-Integral nicht existiert; aber die Theorien geben den gleichen Wert wie das Riemann-Integral, wenn es existiert.

In Bildungseinrichtungen bietet das Darboux-Integral eine einfachere Definition, mit der man leichter arbeiten kann; es kann verwendet werden, um das Riemann-Integral einzuführen. Das Darboux-Integral ist immer dann definiert, wenn das Riemann-Integral ist, und liefert immer das gleiche Ergebnis. Umgekehrt ist das Eichintegral eine einfache, aber mächtigere Verallgemeinerung des Riemann-Integrals und hat einige Pädagogen dazu veranlasst, dafür zu plädieren, dass es das Riemann-Integral in Einführungskursen in die Analysis ersetzen sollte.

Überblick

Lassen Sie f eine nicht-negativ sein reale -wertigen Funktion auf dem Intervall [ a , b ] , und lassen Sie

${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}}$

sei der Bereich der Ebene unter dem Graphen der Funktion f und über dem Intervall [ a , b ] (siehe Abbildung rechts oben). Wir sind daran interessiert, die Fläche von S zu messen . Sobald wir es gemessen haben, bezeichnen wir die Fläche mit:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Die Grundidee des Riemann-Integrals besteht darin, sehr einfache Näherungen für die Fläche von S zu verwenden . Durch immer bessere Näherungen können wir sagen, dass wir "im Grenzbereich" genau die Fläche von S unter der Kurve erhalten.

Wo f sowohl positiv als auch negativ sein kann, wird die Definition von S so modifiziert, dass das Integral der vorzeichenbehafteten Fläche unter dem Graphen von f entspricht : dh der Fläche oberhalb der x- Achse minus der Fläche unterhalb der x- Achse.

Definition

Partitionen eines Intervalls

Eine Partition eines Intervalls [ a , b ] ist eine endliche Zahlenfolge der Form

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b}$

Jedes [ x _i , x _{i + 1} ] wird als Teilintervall der Partition bezeichnet. Die Masche oder Norm einer Partition ist definiert als die Länge des längsten Teilintervalls, d. h.

${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$

Eine markierte Partition P ( x , t ) eines Intervalls [ a , b ] ist eine Partition zusammen mit einer endlichen Zahlenfolge t ₀ , ..., t _{n − 1} unter der Bedingung, dass für jedes i , t _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ] . Mit anderen Worten, es ist eine Partition zusammen mit einem ausgezeichneten Punkt jedes Teilintervalls. Das Netz einer markierten Partition ist das gleiche wie das einer gewöhnlichen Partition.

Angenommen, zwei Partitionen P ( x , t ) und Q ( y , s ) sind beide Partitionen des Intervalls [ a , b ] . Wir sagen , dass Q ( y , s ) ist eine Verfeinerung von P ( x , t ) , wenn für jede ganze Zahl i , wobei i ∈ [0, n ] , gibt es eine ganze Zahl r ( i ) , so dass x _i = y _{r ( i )} und so dass t _i = s _j für irgendein j mit j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)) . Einfacher gesagt bricht eine Verfeinerung einer markierten Partition einige der Unterintervalle auf und fügt der Partition, wo nötig, Tags hinzu, wodurch die Genauigkeit der Partition "verfeinert" wird.

Wir können die Menge aller markierten Partitionen in eine gerichtete Menge umwandeln, indem wir sagen, dass eine markierte Partition größer oder gleich einer anderen ist, wenn die erstere eine Verfeinerung der letzteren ist.

Riemann-Summe

Sei f eine reellwertige Funktion, die auf dem Intervall [ a , b ] definiert ist . Die Riemannsche Summe von f bezüglich der markierten Partition x ₀ , ..., x _n zusammen mit t ₀ , ..., t _{n − 1} ist

${\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$

Jeder Term in der Summe ist das Produkt aus dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt und der Länge eines Intervalls. Folglich repräsentiert jeder Term die (vorzeichenbehaftete) Fläche eines Rechtecks ​​mit der Höhe f ( t _i ) und der Breite x _{i + 1} − x _i . Die Riemann-Summe ist die (vorzeichenbehaftete) Fläche aller Rechtecke.

Eng verwandte Konzepte sind die untere und die obere Darboux-Summe . Diese ähneln Riemann-Summen, aber die Tags werden in jedem Teilintervall durch das Infimum und das Supremum (bzw.) von f ersetzt :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1} ]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup_{t\ in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{ausgerichtet}}}$

Wenn f stetig ist, dann sind die untere und obere Darboux-Summe für eine Partition ohne Tags gleich der Riemann-Summe für diese Partition, wobei die Tags als Minimum oder Maximum (jeweils) von f in jedem Subintervall gewählt werden. (Wenn f in einem Teilintervall unstetig ist, gibt es möglicherweise kein Tag, das das Infimum oder das Supremum in diesem Teilintervall erreicht.) Das Darboux-Integral , das dem Riemann-Integral ähnelt, aber auf Darboux-Summen basiert, ist äquivalent zum Riemann-Integral.

Riemann-Integral

Das Riemann-Integral ist, grob gesagt, der Grenzwert der Riemann-Summen einer Funktion, wenn die Partitionen feiner werden. Wenn der Grenzwert existiert, dann heißt die Funktion integrierbar (oder genauer Riemann-integrierbar ). Die Riemann-Summe kann dem Riemann-Integral beliebig nahe gebracht werden, indem die Partition fein genug gemacht wird.

Eine wichtige Voraussetzung ist, dass die Maschen der Trennwände immer kleiner werden müssen, damit sie im Grenzfall Null ist. Wäre dies nicht der Fall, würden wir für bestimmte Teilintervalle keine gute Annäherung an die Funktion erhalten. Tatsächlich reicht dies aus, um ein Integral zu definieren. Genauer gesagt sagen wir, dass das Riemann-Integral von f gleich s ist, wenn die folgende Bedingung gilt:

Für alle ε > 0 existiert δ > 0 so dass für jede markierte Partition x ₀ , ..., x _n und t ₀ , ..., t _{n − 1} deren Maschen kleiner als δ ist , gilt

${\displaystyle \left|\left(\sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right |<\varepsilon.}$

Leider ist diese Definition sehr schwierig zu verwenden. Es würde helfen, eine äquivalente Definition des Riemann-Integrals zu entwickeln, mit der man leichter arbeiten kann. Wir entwickeln diese Definition jetzt mit einem folgenden Äquivalenzbeweis. Unsere neue Definition besagt, dass das Riemann-Integral von f gleich s ist, wenn folgende Bedingung gilt:

Für alle ε > 0 existiert eine markierte Partition y ₀ , ..., y _m und r ₀ , ..., r _{m − 1} so dass für jede markierte Partition x ₀ , ..., x _n und t ₀ , ..., t _{n − 1} was eine Verfeinerung von y ₀ , ..., y _m und r ₀ , ..., r _{m − 1 ist} , gilt

${\displaystyle \left|\left(\sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right |<\varepsilon.}$

Beides bedeutet, dass schließlich die Riemann-Summe von f in Bezug auf jede Partition in der Nähe von s gefangen wird . Da dies unabhängig davon zutrifft, wie nahe wir fordern, dass die Summen eingeschlossen werden, sagen wir, dass die Riemannschen Summen gegen s konvergieren . Diese Definitionen sind eigentlich ein Sonderfall eines allgemeineren Konzepts, eines Netzes .

Wie bereits erwähnt, sind diese beiden Definitionen äquivalent. Mit anderen Worten, s funktioniert in der ersten Definition genau dann, wenn s in der zweiten Definition funktioniert. Um zu zeigen, dass die erste Definition die zweite impliziert, beginnen Sie mit einem ε und wählen Sie ein δ , das die Bedingung erfüllt. Wählen Sie eine beliebige markierte Partition, deren Mesh kleiner als δ ist . Ihre Riemann-Summe liegt innerhalb von ε von s , und jede Verfeinerung dieser Partition hat auch eine Maschenweite von weniger als δ , so dass die Riemann-Summe der Verfeinerung auch innerhalb von ε von s liegt .

Um zu zeigen, dass die zweite Definition die erste impliziert, ist es am einfachsten, das Darboux-Integral zu verwenden . Erstens zeigt man, dass die zweite Definition äquivalent zur Definition des Darboux-Integrals ist; siehe hierzu den Artikel Darboux Integral . Nun zeigen wir, dass eine integrierbare Darboux-Funktion die erste Definition erfüllt. Fix ε , und wähle eine Partition y ₀ , ..., y _m so, dass die untere und die obere Darboux- Summe bezüglich dieser Partition innerhalb von ε /2 des Wertes s des Darboux-Integrals liegen. Lassen

${\displaystyle r=2\sup_{x\in [a,b]}|f(x)|.}$

Wenn r = 0 ist , dann ist f die Nullfunktion, die mit ganzzahliger Null eindeutig sowohl Darboux- als auch Riemann-integrierbar ist. Daher nehmen wir an, dass r > 0 ist . Falls m > 1 , dann wählen wir δ so dass

${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{ 2}-y_{1}\right),\cdots,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$

Wenn m = 1 ist , wählen wir δ kleiner als eins. Wählen Sie eine markierte Partition x ₀ , ..., x _n und t ₀ , ..., t _{n − 1} mit einem Netz kleiner als δ . Wir müssen zeigen, dass die Riemann-Summe innerhalb von ε von s liegt .

Um dies zu sehen, wählen Sie ein Intervall [ x _i , x _{i + 1} ] . Wenn dieses Intervall innerhalb einiger [ y _j , y _{j + 1} ] enthalten ist , dann

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}$

wobei m _j und M _j sind jeweils das Infimum und die supremum von f auf [ Y _j , Y _{j + 1} ] . Wenn alle Intervalle diese Eigenschaft hätten, wäre der Beweis damit abgeschlossen, da jeder Term in der Riemann-Summe durch einen entsprechenden Term in den Darboux-Summen begrenzt wäre, und wir wählten die Darboux-Summen nahe s . Dies ist der Fall, wenn m = 1 ist , also ist der Beweis in diesem Fall beendet.

Daher können wir annehmen, dass m > 1 ist . In diesem Fall ist es möglich, dass eines von [ x _i , x _{i + 1} ] in keinem [ y _j , y _{j + 1} ] enthalten ist . Stattdessen kann es sich über zwei der Intervalle erstrecken, die durch y ₀ , ..., y _{m bestimmt sind} . (Es kann nicht drei Intervalle erfüllen, da angenommen wird, dass δ kleiner ist als die Länge eines beliebigen Intervalls.) Bei Symbolen kann es vorkommen, dass

${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$

(Wir dürfen annehmen, dass alle Ungleichungen streng sind, weil wir sonst durch unsere Annahme über die Länge von δ im vorherigen Fall sind .) Dies kann höchstens m − 1 mal passieren .

Um diesen Fall zu behandeln, schätzen wir die Differenz zwischen der Riemann-Summe und der Darboux-Summe, indem wir die Partition x ₀ , ..., x _n bei y _{j + 1 unterteilen} . Der Term f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) in der Riemannschen Summe zerfällt in zwei Terme:

${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+ 1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$

Angenommen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dass t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] ist . Dann

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j},}$

also ist dieser Term durch den entsprechenden Term in der Darboux-Summe für y _{j begrenzt} . Um den anderen Begriff zu binden, beachten Sie, dass

${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$

Daraus folgt, dass für einige (in der Tat alle) t^*
_ich∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ] ,

${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+ .) 1}\rechts)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$

Da dies höchstens m − 1 mal passiert , beträgt der Abstand zwischen der Riemann-Summe und einer Darboux-Summe höchstens ε /2 . Daher beträgt der Abstand zwischen der Riemann-Summe und s höchstens  ε .

Beispiele

Sei die Funktion, die an jedem Punkt den Wert 1 annimmt. Jede Riemann-Summe von f auf [0, 1] hat den Wert 1, daher ist das Riemann-Integral von f auf [0, 1] 1. ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb{R}}$

Sei die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen in [0, 1] ; das heißt, nimmt bei rationalen Zahlen den Wert 1 und bei irrationalen Zahlen 0 an. Diese Funktion hat kein Riemann-Integral. Um dies zu beweisen, zeigen wir, wie markierte Partitionen konstruiert werden, deren Riemann-Summen sowohl Null als auch Eins beliebig nahe kommen. ${\displaystyle I_{\mathbb{Q}}:[0,1]\to\mathbb{R}}$${\displaystyle I_{\mathbb{Q}}}$

Um zu beginnen, seien x ₀ , ..., x _n und t ₀ , ..., t _{n − 1} eine markierte Partition (jedes t _i liegt zwischen x _i und x _{i + 1} ). Wählen Sie ε > 0 . Das t _{i wurde} bereits gewählt, und wir können den Wert von f an diesen Punkten nicht ändern . Aber wenn wir die Partition um jedes t _i in winzige Stücke schneiden , können wir den Effekt des t _i minimieren . Dann können wir durch sorgfältige Auswahl der neuen Tags dafür sorgen, dass der Wert der Riemann-Summe innerhalb von ε von entweder null oder eins liegt.

Unser erster Schritt besteht darin, die Trennwand zu zerschneiden. Es gibt n die t _i , und wir wollen , dass ihre Gesamtwirkung auf weniger als ε . Wenn wir sie jeweils auf ein Intervall von weniger als ε / n beschränken , dann beträgt der Beitrag jedes t _i zur Riemann - Summe mindestens 0 · ε / n und höchstens 1 · ε / n . Damit ist die Gesamtsumme mindestens null und höchstens ε . Sei also δ eine positive Zahl kleiner als ε / n . Wenn zwei der t _i innerhalb von δ voneinander liegen, wähle δ kleiner. Wenn t _i innerhalb von δ von einigen x _j liegt und t _i nicht gleich x _{j ist} , wählen Sie δ kleiner. Da es nur endlich viele t _i und x _{j gibt} , können wir δ immer ausreichend klein wählen .

Jetzt fügen wir für jedes t _i zwei Schnitte zur Partition hinzu . Einer der Schnitte liegt bei t _i − δ /2 und der andere bei t _i + δ /2 . Verlässt eines davon das Intervall [0, 1], dann lassen wir es weg. t _i ist das Tag, das dem Subintervall entspricht

${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$

Wenn t _i direkt über einem der x _{j liegt} , lassen wir t _i das Tag für beide Intervalle sein:

${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j}, t_{i}+{\frac{\delta }{2}}\right].}$

Wir müssen noch Tags für die anderen Teilintervalle auswählen. Wir werden sie auf zwei verschiedene Arten auswählen. Die erste Möglichkeit besteht darin, immer einen rationalen Punkt zu wählen , damit die Riemann-Summe möglichst groß ist. Dadurch wird der Wert der Riemann-Summe mindestens 1 − ε . Die zweite Möglichkeit besteht darin, immer einen irrationalen Punkt zu wählen, damit die Riemann-Summe möglichst klein ist. Dadurch wird der Wert der Riemann-Summe höchstens ε .

Da wir von einer beliebigen Partition ausgegangen sind und so nah an Null oder Eins gelandet sind, wie wir wollten, ist es falsch zu sagen, dass wir schließlich in der Nähe einer Zahl s gefangen sind , also ist diese Funktion nicht Riemann-integrierbar. Es ist jedoch Lebesgue integrierbar . Im Sinne von Lebesgue ist sein Integral null, da die Funktion fast überall null ist . Dies ist jedoch eine Tatsache, die außerhalb der Reichweite des Riemann-Integrals liegt.

Es gibt noch schlimmere Beispiele. ist äquivalent (d. h. fast überall gleich) zu einer Riemann-Integrierbaren Funktion, aber es gibt nicht-Riemann-integrierbare beschränkte Funktionen, die zu keiner Riemann-Integrierbaren Funktion äquivalent sind. Sei beispielsweise C die Smith-Volterra-Cantor-Menge und I _C ihre Indikatorfunktion. Da C nicht Jordan-messbar ist , ist I _C nicht Riemann-integrierbar. Darüber hinaus ist keine zu I _C äquivalente Funktion g Riemann-integrierbar: g muss wie I _C auf einer dichten Menge Null sein, so dass wie im vorherigen Beispiel jede Riemann-Summe von g eine Verfeinerung hat, die innerhalb von ε von 0 für jedes . liegt positive Zahl  ε . Aber wenn das Riemann-Integral von g existiert, dann muss es gleich dem Lebesgue-Integral von I _{C sein} , das 1/2 ist . Daher ist g nicht Riemann-integrierbar. ${\displaystyle I_{\mathbb{Q}}}$

Ähnliche Konzepte

Es ist beliebt, das Riemann-Integral als Darboux-Integral zu definieren . Dies liegt daran, dass das Darboux-Integral technisch einfacher ist und weil eine Funktion genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn sie Darboux-integrierbar ist.

Einige Rechenbücher verwenden keine allgemeinen gekennzeichneten Partitionen, sondern beschränken sich auf bestimmte Typen von gekennzeichneten Partitionen. Wenn der Partitionstyp zu stark eingeschränkt ist, können einige nicht integrierbare Funktionen als integrierbar erscheinen.

Eine beliebte Einschränkung ist die Verwendung von "linkshändigen" und "rechtshändigen" Riemann-Summen. In einer linken Riemann-Summe ist t _i = x _i für alle i und in einer rechten Riemann-Summe t _i = x _{i + 1} für alle i . Allein diese Einschränkung stellt kein Problem dar: Wir können jede Partition so verfeinern, dass sie zu einer linken oder rechten Summe wird, indem wir sie bei jedem t _{i unterteilen} . In formalerer Sprache ist die Menge aller linken Riemann-Summen und die Menge aller rechten Riemann-Summen in der Menge aller markierten Partitionen kofinal .

Eine weitere beliebte Einschränkung ist die Verwendung regelmäßiger Unterteilungen eines Intervalls. Zum Beispiel besteht die n- te reguläre Unterteilung von [0, 1] aus den Intervallen

${\displaystyle \left[0,{\frac{1}{n}}\right],\left[{\frac{1}{n}},{\frac{2}{n}}\right], \ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$

Auch diese Einschränkung allein stellt kein Problem dar, aber die Begründung, die erforderlich ist, um diese Tatsache zu erkennen, ist schwieriger als im Fall der linken und rechten Riemann-Summen.

Allerdings ist es gefährlich, diese Restriktionen so zu kombinieren, dass man bei regelmäßig geteilten Intervallen nur linke oder rechte Riemann-Summen verwendet. Wenn eine Funktion im Voraus als Riemann-integrierbar bekannt ist, liefert diese Technik den korrekten Wert des Integrals. Aber unter diesen Bedingungen erscheint die Indikatorfunktion auf [0, 1] mit Integral gleich eins integrierbar: Jeder Endpunkt jedes Teilintervalls wird eine rationale Zahl sein, also wird die Funktion immer bei rationalen Zahlen ausgewertet, und daher wird sie scheinen immer gleich eins zu sein. Das Problem dieser Definition wird offensichtlich, wenn wir versuchen, das Integral in zwei Teile aufzuspalten. Folgende Gleichung sollte gelten: ${\displaystyle I_{\mathbb{Q}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^ {1}I_{\mathbb{Q}}(x)\,dx=\int_{0}^{1}I_{\mathbb{Q}}(x)\,dx.}$

Wenn wir reguläre Unterteilungen und linke oder rechte Riemann-Summen verwenden, dann sind die beiden Terme auf der linken Seite gleich Null, da jeder Endpunkt außer 0 und 1 irrational ist, aber wie wir gesehen haben, wird der Term auf der rechten Seite gleich 1.

Wie oben definiert, vermeidet das Riemann-Integral dieses Problem, indem es die Integration verweigert Das Lebesgue-Integral ist so definiert, dass alle diese Integrale 0 sind. ${\displaystyle I_{\mathbb{Q}}.}$

Eigenschaften

Linearität

Das Riemann-Integral ist eine lineare Transformation; das heißt, wenn f und g auf [ a , b ] Riemann-integrierbar sind und α und β Konstanten sind, dann

${\displaystyle \int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int_{a}^{b}f(x)\, dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Da das Riemann-Integral einer Funktion eine Zahl ist, macht dies das Riemann-Integral zu einem linearen Funktional auf dem Vektorraum der Riemann-integrierbaren Funktionen.

Integrierbarkeit

Eine beschränkte Funktion auf einem kompakten Intervall [ a , b ] ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie fast überall stetig ist (die Menge ihrer Unstetigkeitspunkte hat das Maß Null im Sinne des Lebesgue-Maßes ). Dies ist das Satz von Lebesgue-Vitali (der Charakterisierung der Riemannschen integrierbaren Funktionen). Es wurde unabhängig vonGiuseppe VitaliundHenri Lebesgueim Jahr 1907bewiesenund verwendet den Begriff desMaßes Null, verwendet aber weder das allgemeine Maß noch das Integral von Lebesgue.

Die Integrierbarkeitsbedingung kann auf verschiedene Weise bewiesen werden, von denen eine im Folgenden skizziert ist.

Nachweisen

Der Beweis ist am einfachsten mit der Darboux-Integraldefinition der Integrierbarkeit (formal die Riemannsche Integrierbarkeitsbedingung) – eine Funktion ist dann und nur dann Riemann-integrierbar, wenn die obere und untere Summe durch Wahl einer geeigneten Partition beliebig nahe gebracht werden kann. Eine Richtung lässt sich mit der Oszillationsdefinition der Stetigkeit beweisen : Für jedes positive ε sei X ε die Menge der Punkte in [ a , b ] mit einer Oszillation von mindestens ε . Da jeder Punkt, an dem f unstetig ist, eine positive Schwingung hat und umgekehrt, ist die Menge der Punkte in [ a , b ] , in denen f unstetig ist, gleich der Vereinigung über { X 1/ n } für alle natürlichen Zahlen n . Wenn diese Menge kein Null- Lebesgue-Maß hat , dann gibt es durch abzählbare Additivität des Maßes mindestens ein solches n, so dass X 1/ n kein Null-Maß hat. Es gibt also eine positive Zahl c, so dass jede abzählbare Sammlung offener Intervalle, die X 1/ n abdecken, eine Gesamtlänge von mindestens c hat . Dies gilt insbesondere auch für jede solche endliche Sammlung von Intervallen. Dies gilt auch für X 1/ n abzüglich einer endlichen Anzahl von Punkten (da eine endliche Anzahl von Punkten immer von einer endlichen Ansammlung von Intervallen mit beliebig kleiner Gesamtlänge abgedeckt werden kann). Betrachten Sie für jede Partition von [ a , b ] die Menge der Intervalle , deren Inneres Punkte aus X 1/ n enthält . Diese Innenräume bestehen aus einer endlichen offenen Abdeckung von X 1/ n , möglicherweise bis zu einer endlichen Anzahl von Punkten (die auf Intervallkanten fallen können). Somit haben diese Intervalle eine Gesamtlänge von mindestens c . Da in diesen Punkten f eine Schwingung von mindestens 1/ n hat , unterscheiden sich Infimum und Supremum von f in jedem dieser Intervalle um mindestens 1/ n . Somit unterscheiden sich die obere und untere Summe von f um mindestens c / n . Da dies für jede Partition gilt, ist f nicht Riemann-integrierbar. Wir beweisen nun die umgekehrte Richtung mit den oben definierten Mengen X ε . Für jedes ε , X ε ist kompakt , da sie begrenzt ist (durch a und b ) und geschlossen: Für jede Reihe von Punkten in X ε , die in [ a , b ] konvergiert , liegt auch ihr Grenzwert in X ε . Dies liegt daran, dass jede Umgebung des Grenzpunktes auch eine Umgebung eines Punktes in X ε ist , und daher hat f eine Schwingung von mindestens ε darauf. Der Grenzpunkt liegt also in X ε . Angenommen, f ist fast überall stetig . Dann gilt für jedes ε , X ε hat null Lebesguemaß . Daher gibt es in [ a , b ] eine abzählbare Sammlung von offenen Intervallen , die eine offene Abdeckung von X ε ist , so dass die Summe über alle ihre Längen beliebig klein ist. Da X ε kompakt ist , gibt es eine endliche Teilüberdeckung – eine endliche Ansammlung von offenen Intervallen in [ a , b ] mit beliebig kleiner Gesamtlänge, die zusammen alle Punkte in X ε enthalten . Wir bezeichnen diese Intervalle { I ( ε ) i } , für 1 ≤ i ≤ k , für einige natürliche k . Das Komplement der Vereinigung dieser Intervalle ist selbst eine Vereinigung einer endlichen Anzahl von Intervallen, die wir bezeichnen { J ( ε ) i } (für 1 ≤ i ≤ k - 1 und möglicherweise für i = k , k + 1 und ). Wir zeigen nun , dass für jedes ε > 0 gibt es obere und untere Summen , deren Differenz kleiner als ε , aus dem Riemann Integrierbarkeit folgt. Dazu konstruieren wir eine Partition von [ a , b ] wie folgt: Man bezeichne ε 1 = ε / 2( b − a ) und ε 2 = ε / 2( M − m ) , wobei m und M das Infimum und das Supremum von f auf [ a , b ] sind . Da wir Intervalle { I ( ε 1 ) i } mit beliebig kleiner Gesamtlänge wählen können, wählen wir sie mit einer Gesamtlänge kleiner als ε 2 . Jedes der Intervalle { J ( ε 1 ) i } hat einen leeren Schnitt mit X & egr; 1 , so dass jeder Punkt in eine Umgebung mit Oszillation hat kleiner als ε 1 . Diese Umgebungen bestehen aus einer offenen Überdeckung des Intervalls, und da das Intervall kompakt ist, gibt es eine endliche Unterüberdeckung von ihnen. Diese subcover ist eine endliche Menge von offenen Intervalle, die von Subintervallen sind J ( ε 1 ) i ( mit Ausnahme derjenigen , die einen Randpunkt umfassen, für die wir die Kreuzung nehmen nur mit J ( ε 1 ) i ) . Als Zerlegung nehmen wir die Kantenpunkte der Teilintervalle für alle J ( ε 1 ) i − s , einschließlich der Kantenpunkte der Intervalle selbst. Somit teilt die Partition [ a , b ] in zwei Arten von Intervallen: Intervalle der letzteren Art (selbst Teilintervalle von einigen J ( ε 1 ) i ). In jedem von diesen, f oszilliert um weniger als ε 1 . Da deren Gesamtlänge nicht größer als b − a ist , tragen sie zusammen höchstens ε* 1( b − a ) = ε /2 zur Differenz zwischen der oberen und unteren Summe der Partition. Die Intervalle { I ( ε ) i } . Diese haben eine Gesamtlänge kleiner als ε 2 , und f schwingt auf ihnen um nicht mehr als M − m . Zusammen tragen sie also weniger als ε bei* 2( M − m ) = ε /2 zur Differenz zwischen der oberen und unteren Summe der Partition. Insgesamt ist der Unterschied zwischen den oberen und unteren Summen der Partition kleiner als ε , je nach Bedarf.

Insbesondere ist jede Menge , die höchstens zählbaren hat Lebesguemaß Null und somit eine beschränkte Funktion (auf einem kompakten Intervall) mit nur endlich viele Diskontinuitäten oder zählbar ist Riemann integrierbar.

Eine Indikatorfunktion einer beschränkten Menge ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge nach Jordan messbar ist . Das Riemann-Integral kann maßtheoretisch als das Integral zum Jordan-Maß interpretiert werden .

Wenn eine reellwertige Funktion auf dem Intervall [ a , b ] monoton ist , ist sie Riemann-integrierbar, da ihre Menge von Unstetigkeiten höchstens abzählbar ist und daher von Lebesgue-Maß Null ist.

Wenn eine reellwertige Funktion auf [ a , b ] Riemann-integrierbar ist, ist sie Lebesgue-integrierbar . Das heißt, die Riemann-Integrabilität ist eine stärkere (d. h. schwieriger zu erfüllende) Bedingung als die Lebesgue-Integrabilität.

Für Lebesgue-Vitali scheint es, dass alle Arten von Diskontinuitäten das gleiche Gewicht auf das Hindernis haben, dass eine reellwertige beschränkte Funktion auf [ a , b ] Riemann-integrierbar ist . Dies ist jedoch nicht der Fall. Tatsächlich spielen bestimmte Diskontinuitäten absolut keine Rolle für die Riemann-Integrabilität der Funktion. Das ist eine Folge der Klassifikation der Unstetigkeiten einer Funktion.

Ist f _n eine gleichmäßig konvergente Folge auf [ a , b ] mit Grenzwert f , dann folgt die Riemannsche Integrierbarkeit aller f _{n der} Riemannschen Integrierbarkeit von f , und

${\displaystyle \int_{a}^{b}f\,dx=\int_{a}^{b}{\lim_{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}= \lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\,dx.}$

Das monotone Konvergenztheorem von Lebesgue (über einen monotonen punktweisen Grenzwert) gilt jedoch nicht. Bei der Riemann-Integration ist es viel schwieriger, Grenzen unter das Integralzeichen zu setzen als bei der Lebesgue-Integration.

Verallgemeinerungen

Es ist einfach, das Riemann-Integral auf Funktionen mit Werten im euklidischen Vektorraum für beliebige n zu erweitern . Das Integral wird komponentenweise definiert; mit anderen Worten, wenn f = ( f ₁ , ..., f _n ) dann ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle \int \mathbf{f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$

Da die komplexen Zahlen ein reeller Vektorraum sind , ermöglicht dies insbesondere die Integration komplexwertiger Funktionen.

Das Riemann-Integral ist nur auf beschränkten Intervallen definiert und erstreckt sich nicht gut auf unbeschränkte Intervalle. Die einfachste mögliche Erweiterung besteht darin, ein solches Integral als Grenzwert, also als uneigentliches Integral zu definieren :

${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{a\to -\infty \atop b\to\infty}\int _{a}^{ b}f(x)\,dx.}$

Diese Definition bringt einige Feinheiten mit sich, wie zum Beispiel die Tatsache, dass es nicht immer äquivalent ist, den Cauchy-Hauptwert zu berechnen

${\displaystyle \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}f(x)\,dx.}$

Betrachten Sie zum Beispiel die Vorzeichenfunktion f ( x ) = sgn( x ), die bei x = 0 0 ist , 1 für x > 0 und −1 für x < 0 . Durch Symmetrie,

${\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$

immer, unabhängig von a . Aber es gibt viele Möglichkeiten, das Integrationsintervall zu erweitern, um die reelle Linie zu füllen, und andere Wege können zu anderen Ergebnissen führen; mit anderen Worten, die multivariate Grenze existiert nicht immer. Wir können berechnen

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx& =-a.\end{ausgerichtet}}}$

Im Allgemeinen ist dieses uneigentliche Riemann-Integral undefiniert. Selbst die Standardisierung einer Annäherung des Intervalls an die reale Linie funktioniert nicht, da dies zu verstörend kontraintuitiven Ergebnissen führt. Wenn wir (zum Beispiel) übereinstimmen, dass das uneigentliche Integral immer

${\displaystyle \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}f(x)\,dx,}$

dann ist das Integral der Translation f ( x − 1) −2, also ist diese Definition gegenüber Verschiebungen nicht invariant, eine höchst unerwünschte Eigenschaft. Tatsächlich hat diese Funktion nicht nur kein uneigentliches Riemann-Integral, ihr Lebesgue-Integral ist auch undefiniert (es ist gleich ∞ − ∞ ).

Leider ist das uneigentliche Riemann-Integral nicht stark genug. Das gravierendste Problem besteht darin, dass es keine allgemein anwendbaren Sätze für die Kommutierung unechter Riemann-Integrale mit Funktionsgrenzen gibt. Bei Anwendungen wie Fourier-Reihen ist es wichtig, das Integral einer Funktion unter Verwendung von Integralen von Approximationen an die Funktion approximieren zu können. Für echte Riemann-Integrale besagt ein Standardsatz, dass wenn f _n eine Folge von Funktionen ist, die auf einer kompakten Menge [ a , b ] gleichmäßig gegen f konvergieren , dann

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\, dx.}$

Bei nicht kompakten Intervallen wie der realen Linie ist dies falsch. Nehmen wir zum Beispiel an, f _n ( x ) sei n ⁻¹ auf [0, n ] und an anderer Stelle null. Für alle n haben wir:

${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f_{n}\,dx=1.}$

Die Folge ( f _n ) konvergiert gleichförmig gegen die Nullfunktion, und das Integral der Nullfunktion ist eindeutig Null. Folglich,

${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f\,dx\neq \lim _{n\to\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f_{n}\ ,dx.}$

Dies zeigt, dass für Integrale auf unbeschränkten Intervallen die gleichmäßige Konvergenz einer Funktion nicht stark genug ist, um einen Grenzwert durch ein ganzzahliges Vorzeichen zu passieren. Dies macht das Riemann-Integral in Anwendungen unbrauchbar (obwohl das Riemann-Integral beiden Seiten den richtigen Wert zuweist), weil es kein anderes allgemeines Kriterium für den Austausch eines Grenzwerts und eines Riemann-Integrals gibt, und ohne ein solches Kriterium ist es schwierig, Integrale durch zu approximieren Annäherung an ihre Integranden.

Ein besserer Weg besteht darin, das Riemann-Integral für das Lebesgue-Integral aufzugeben . Die Definition des Lebesgue-Integrals ist offensichtlich keine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals, aber es ist nicht schwer zu beweisen, dass jede Riemann-integrierbare Funktion Lebesgue-integrierbar ist und dass die Werte der beiden Integrale stimmen, wenn sie beide definiert sind. Darüber hinaus ist eine auf einem beschränkten Intervall definierte Funktion f genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie beschränkt ist und die Menge der Punkte, an denen f unstetig ist, das Lebesgue-Maß Null hat.

Ein Integral, das tatsächlich eine direkte Verallgemeinerung des Riemann-Integrals ist, ist das Henstock-Kurzweil-Integral .

Eine andere Möglichkeit, das Riemann-Integral zu verallgemeinern, besteht darin, die Faktoren x _{k + 1} − x _k in der Definition einer Riemann-Summe durch etwas anderes zu ersetzen ; grob gesagt, gibt dies dem Integrationsintervall einen anderen Längenbegriff. Dies ist der Ansatz des Riemann-Stieltjes-Integrals .

In Multivariable Infinitesimalrechnung , die Riemann - Integrale für Funktionen aus sind mehrere Integrale . ${\displaystyle \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$

Siehe auch

• Bereich
• Stammfunktion
• Lebesgue-Integration

Anmerkungen

Verweise

• Shilov, GE und Gurevich, BL, 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Dover-Publikationen. ISBN  0-486-63519-8 .
• Apostol, Tom (1974), Mathematische Analyse , Addison-Wesley

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit Riemann integral bei Wikimedia Commons
• "Riemann-Integral" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]