Ring (Mathematik) - Ring (mathematics)

Algebraische Struktur → Ringtheorie Ringtheorie
Grundlegendes Konzept Ringe • Unterringe • Ideal • Quotientenring • Bruchideal • Gesamtquotientenring • Produktring • Freies Produkt assoziativer Algebren • Tensorprodukt von Ringen Ringhomomorphismen • Kernel • Innerer Automorphismus • Frobenius-Endomorphismus Algebraische Strukturen • Modul • Assoziative Algebra • Abgestufter Ring • Involutiver Ring • Kategorie der Ringe • Anfangsruf ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • Klemmring ${\displaystyle 0=\mathbb{Z} _{1}}$ Verwandte Strukturen • Feld • Endlicher Körper • Nicht-assoziativer Ring • Lügenring • Jordan-Ring • Halbring • Halbfeld
Kommutative Algebra Kommutative Ringe • Integrale Domäne • Integral geschlossene Domäne • GCD-Domäne • Einzigartige Faktorisierungsdomäne • Hauptidealer Bereich • Euklidische Domäne • Feld • Endlicher Körper • Kompositionsring • Polynomring • Formaler Potenzreihenring Algebraische Zahlentheorie • Algebraisches Zahlenfeld • Ring von ganzen Zahlen • algebraische Unabhängigkeit • Transzendentale Zahlentheorie • Transzendenzgrad p -adische Zahlentheorie und Dezimalzahlen • Direktes Limit / Inverses Limit • Nullring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Ganzzahlen modulo p n ${\displaystyle \mathbb{Z} /p^{n}\mathbb{Z}}$ • Prüfer p- Ring ${\displaystyle \mathbb{Z} (p^{\infty})}$ • Basis - p- Kreisring ${\displaystyle \mathbb{T}}$ • Basis - p ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ • p -adische Rationale ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Basis - p reelle Zahlen ${\displaystyle \mathbb{R}}$ • p -adische ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$ • p -adische Zahlen ${\displaystyle \mathbb{Q} _{p}}$ • p -adischer Magnet ${\displaystyle \mathbb{T} _{p}}$ Algebraische Geometrie • Affine Vielfalt
Nichtkommutative Algebra Nichtkommutative Ringe • Teilungsring • Halbprimitiver Ring • Einfacher Ring • Kommutator Nichtkommutative algebraische Geometrie Freie Algebra Clifford-Algebra • Geometrische Algebra Operatoralgebra
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In Mathematik , Ringe sind algebraische Strukturen verallgemeinern Felder : Multiplikation muss nicht sein kommutativ und multiplikativen Inversen existieren muss nicht. Mit anderen Worten, ein Ring ist eine Menge, die mit zwei binären Operationen ausgestattet ist, die analoge Eigenschaften wie die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen erfüllen . Ringelemente können Zahlen wie ganze Zahlen oder komplexe Zahlen sein , aber sie können auch nicht-numerische Objekte wie Polynome , quadratische Matrizen , Funktionen und Potenzreihen sein .

Algebraische Strukturen
Gruppe -ähnlichen Gruppe Halbgruppe  / Monoid Rack und quandle Quasigruppe und Schleife Abelische Gruppe Magma Lügengruppe Gruppentheorie
Ring -ähnlichen Ring Rng Halbring Nahring Kommutativer Ring Integrale Domäne Gebiet Teilungsring Ringtheorie
Lattice -ähnlichen Gitter Halbgitter Komplementäres Gitter Gesamtbestellung Heyting Algebra boolsche Algebra Karte der Gitter Gittertheorie
Modul -wie Modul Gruppe mit Operatoren Vektorraum Lineare Algebra
Algebra- ähnlich Algebra Assoziativ Nicht-assoziativ Kompositionsalgebra Lügenalgebra Bewertet Bialgebra
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Formal ist ein Ring eine abelsche Gruppe, deren Operation Addition genannt wird , mit einer zweiten binären Operation namens Multiplikation , die assoziativ ist , über die Additionsoperation verteilt ist und ein multiplikatives Identitätselement hat . (Einige Autoren verwenden den Begriff "Ring", um sich auf die allgemeinere Struktur zu beziehen, die diese letzte Anforderung auslässt; siehe § Anmerkungen zur Definition .)

Ob ein Ring kommutativ ist (d. h. ob die Reihenfolge, in der zwei Elemente multipliziert werden, das Ergebnis ändern könnte) hat tiefgreifende Auswirkungen auf sein Verhalten. Die kommutative Algebra , die Theorie der kommutativen Ringe , ist ein Hauptzweig der Ringtheorie . Seine Entwicklung wurde stark von Problemen und Ideen der algebraischen Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie beeinflusst . Die einfachsten kommutativen Ringe sind diejenigen, die eine Division durch Elemente ungleich null zulassen; solche Ringe werden Felder genannt .

Beispiele für kommutative Ringe sind die Menge der ganzen Zahlen mit ihrer Standardaddition und -multiplikation, die Menge der Polynome mit ihrer Addition und Multiplikation, der Koordinatenring einer affinen algebraischen Varietät und der Ring der ganzen Zahlen eines Zahlenkörpers. Beispiele für nichtkommutative Ringe sind der Ring von n × n reellen quadratischen Matrizen mit n ≥ 2 , Gruppenringe in der Darstellungstheorie , Operatoralgebren in der Funktionalanalysis , Ringe von Differentialoperatoren und Kohomologieringe in der Topologie .

Die Konzeptualisierung von Ringen erstreckte sich von den 1870er bis in die 1920er Jahre, mit Schlüsselbeiträgen von Dedekind , Hilbert , Fraenkel und Noether . Ringe wurden zuerst als Verallgemeinerung von Dedekind-Gebieten , die in der Zahlentheorie vorkommen , und von Polynomringen und Ringen von Invarianten, die in der algebraischen Geometrie und Invariantentheorie vorkommen, formalisiert . Sie erwiesen sich später als nützlich in anderen Zweigen der Mathematik wie Geometrie und Analysis .

Definition

Ein Ring ist eine Menge R, die mit zwei binären Operationen + (Addition) und ⋅ (Multiplikation) ausgestattet ist und die folgenden drei Mengen von Axiomen erfüllt, die als Ringaxiome bezeichnet werden

1. R ist eine abelsche Gruppe unter Addition, was bedeutet, dass:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) für alle a , b , c in R    (das heißt, + ist assoziativ ).
   • a + b = b + a für alle a , b in R    (dh + ist kommutativ ).
   • Es gibt ein Element 0 in R , so daß ein + 0 = a für alle a in R    (das heißt, 0 ist die additive Identität ).
   • Für jeden a in R existiert - a in R , so daß ein + (- a ) = 0 (das heißt, - ein die IST additive Inverse von a ).
2. R ist ein Monoid unter Multiplikation, was bedeutet, dass:
   • ( A ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) für alle a , b , c in R    (das heißt, ⋅ assoziativ ist).
   • Es ist ein Element 1 in R , so daß eine ⋅ 1 = a und 1 ⋅ a = a für alle a in R    (das heißt, 1 ist die multiplikative Identität ).
3. Die Multiplikation ist bezüglich der Addition distributiv , was bedeutet, dass:
   • a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) für alle a , b , c in R    (links distributivity).
   • ( b + c ) a = ( b ⋅ a ) + ( c ⋅ a ) für alle a , b , c in R    (Rechtsverteilung).

Hinweise zur Definition

In der Terminologie dieses Artikels wird ein Ring so definiert, dass er eine multiplikative Identität hat, und eine Struktur mit derselben axiomatischen Definition, aber für die Anforderung einer multiplikativen Identität wird als rng bezeichnet (IPA: / r ʊ ŋ / ). Zum Beispiel ist die Menge der geraden ganzen Zahlen mit den üblichen + und ⋅ ein Ring, aber kein Ring. Wie unten in § Geschichte erklärt , verwenden viele Autoren den Begriff "Ring", ohne eine multiplikative Identität zu erfordern.

Das Multiplikationssymbol ⋅ wird normalerweise weggelassen; beispielsweise xy Mittel x ⋅ y .

Obwohl die Ringaddition kommutativ ist , muss die Ringmultiplikation nicht kommutativ sein: ab muss nicht unbedingt gleich ba sein . Ringe, die auch die Kommutativität für die Multiplikation erfüllen (wie der Ring der ganzen Zahlen), werden als kommutative Ringe bezeichnet . Bücher über kommutative Algebra oder algebraische Geometrie verwenden oft die Konvention, dass Ring kommutativer Ring bedeutet , um die Terminologie zu vereinfachen.

In einem Ring müssen keine multiplikativen Inversen existieren. Ein kommutativer Ring ungleich Null , in dem jedes von Null verschiedene Element eine multiplikative Inverse hat, wird als Körper bezeichnet .

Die additive Gruppe eines Rings ist die zugrunde liegende Menge, die nur mit der Additionsoperation ausgestattet ist. Obwohl die Definition erfordert, dass die additive Gruppe abelsch ist, kann dies aus den anderen Ringaxiomen abgeleitet werden. Der Beweis verwendet die "1" und funktioniert nicht in einem Ring. (Bei einem rng lässt das Weglassen des Kommutativitatsaxioms der Addition es aus den verbleibenden rng-Annahmen nur für Elemente ableiten, die Produkte sind: ab + cd = cd + ab .)

Obwohl die meisten modernen Autoren den hier definierten Begriff "Ring" verwenden, gibt es einige, die den Begriff verwenden, um sich auf allgemeinere Strukturen zu beziehen, in denen keine assoziative Multiplikation erforderlich ist. Für diese Autoren ist jede Algebra ein "Ring".

Illustration

Das bekannteste Beispiel für einen Ring ist die Menge aller ganzen Zahlen , bestehend aus den Zahlen${\displaystyle\mathbf{Z}}$

... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Als Modell für die Axiome eines Ringes dienen die bekannten Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen.

Einige Eigenschaften

Einige grundlegende Eigenschaften eines Rings folgen unmittelbar aus den Axiomen:

• Die additive Identität ist einzigartig.
• Die additive Inverse jedes Elements ist einzigartig.
• Die multiplikative Identität ist einzigartig.
• Für jedes Element x in einem Ring R gilt x 0 = 0 = 0 x (Null ist ein absorbierendes Element bezüglich der Multiplikation) und (–1) x = – x .
• Wenn 0 = 1 in einem Ring R (oder allgemeiner, 0 ist ein Einheitselement), dann hat R nur ein Element und wird als Nullring bezeichnet .
• Enthält ein Ring R den Nullring als Unterring, dann ist R selbst der Nullring.
• Die Binomialformel gilt für alle x und y, die xy = yx erfüllen .

Beispiel: Ganzzahlen modulo 4

Rüsten Sie das Set mit den folgenden Operationen aus: ${\displaystyle \mathbf{Z}/4\mathbf{Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3} }\rechts\}}$

• Die Summe in Z /4 Z ist der Rest, wenn die ganze Zahl x + y durch 4 geteilt wird (da x + y immer kleiner als 8 ist, ist dieser Rest entweder x + y oder x + y − 4 ). Zum Beispiel und .${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}}$
• Das Produkt in Z /4 Z ist der Rest, wenn die ganze Zahl xy durch 4 geteilt wird. Zum Beispiel und .${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}}$

Dann ist Z /4 Z ein Ring: Jedes Axiom folgt aus dem entsprechenden Axiom für Z . Wenn x eine ganze Zahl ist, kann der Rest von x bei Division durch 4 als ein Element von Z /4 Z angesehen werden , und dieses Element wird oft mit " x mod 4" oder bezeichnet , was mit der Notation für 0, 1 . übereinstimmt , 2, 3. Die additive Inverse von any in Z /4 Z ist . Zum Beispiel,${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle {\overline {-x}}}$${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

Beispiel: 2-mal-2-Matrizen

Die Menge der 2-mal-2- quadratischen Matrizen mit Einträgen in einem Feld F ist

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d \in F\rechts\}.}$

Bei den Operationen der Addition und Matrixmatrixmultiplikation , erfüllen die obigen Ring Axiome. Das Element ist die multiplikative Identität des Rings. Wenn und , dann während ; Dieses Beispiel zeigt, dass der Ring nicht kommutativ ist. ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

Allgemeiner ausgedrückt, für jeden Ring R , kommutativ oder nicht, und jede nicht negative ganze Zahl n , bilden die quadratischen Matrizen der Dimension n mit Einträgen in R einen Ring: siehe Matrixring .

Geschichte

Dedekind

Das Studium der Ringe hat seinen Ursprung in der Theorie der Polynomringe und der Theorie der algebraischen ganzen Zahlen . 1871 definierte Richard Dedekind das Konzept des Rings von ganzen Zahlen eines Zahlenkörpers. In diesem Zusammenhang führte er die Begriffe „Ideal“ (inspiriert von Ernst Kummers Begriff der idealen Zahl) und „Modul“ ein und untersuchte deren Eigenschaften. Dedekind hat den Begriff „Ring“ nicht verwendet und den Begriff Ring nicht allgemein definiert.

Hilbert

Der Begriff „Zahlring“ wurde 1892 von David Hilbert geprägt und 1897 veröffentlicht Beispiel, Spionagering), wenn dies also die Etymologie wäre, wäre es ähnlich wie "Gruppe" in die Mathematik einging, indem es ein nichttechnisches Wort für "Sammlung verwandter Dinge" ist. Laut Harvey Cohn verwendete Hilbert den Begriff für einen Ring, der die Eigenschaft hatte, auf ein Element seiner selbst „direkt zurück zu kreisen“ (im Sinne einer Äquivalenz ). Insbesondere können in einem Ring von algebraischen ganzen Zahlen alle hohen Potenzen einer algebraischen ganzen Zahl als eine ganzzahlige Kombination eines festen Satzes niedrigerer Potenzen geschrieben werden, und somit "zyklieren die Potenzen zurück". Zum Beispiel, wenn a ³ − 4 a + 1 = 0 dann a ³ = 4 a − 1 , a ⁴ = 4 a ² − a , a ⁵ = − a ² + 16 a − 4 , a ⁶ = 16 a ² − 8 a + 1 , a ⁷ = –8 a ² + 65 a – 16 und so weiter; im Allgemeinen wird a ⁿ eine ganzzahlige Linearkombination von 1, a und  a ^{2 sein} .

Fraenkel und Noether

Die erste axiomatische Definition eines Rings wurde 1915 von Adolf Fraenkel gegeben , aber seine Axiome waren strenger als die der modernen Definition. Zum Beispiel verlangte er, dass jeder Nicht-Null-Teiler eine multiplikative Inverse hat . 1921 gab Emmy Noether eine moderne axiomatische Definition von kommutativen Ringen (mit und ohne 1) und entwickelte in ihrer Arbeit Idealtheorie in Ringbereichen die Grundlagen der kommutativen Ringtheorie .

Multiplikative Identität und der Begriff "Ring"

Fraenkels Axiome für einen "Ring" beinhalteten die einer multiplikativen Identität, während Noethers Axiome dies nicht taten.

Die meisten oder alle Bücher über Algebra bis etwa 1960 folgten der Konvention von Noether, keine 1 für einen "Ring" zu verlangen. Ab den 1960er Jahren wurde es zunehmend üblich, Bücher mit der Existenz von 1 in der Definition von "Ring" zu sehen, insbesondere in fortgeschrittenen Büchern von namhaften Autoren wie Artin, Atiyah und MacDonald, Bourbaki, Eisenbud und Lang. Es gibt auch Bücher, die erst 2006 veröffentlicht wurden, die den Begriff verwenden, ohne dass eine 1.

Gardner und Wiegandt behaupten, dass, wenn man mit mehreren Objekten in der Kategorie der Ringe arbeitet (im Gegensatz zum Arbeiten mit einem festen Ring), wenn man verlangt, dass alle Ringe eine 1 haben, dann einige Konsequenzen das Fehlen unendlicher direkter Summen von Ringe, und dass richtige direkte Summanden von Ringen keine Unterringe sind. Sie kommen zu dem Schluss, dass "in vielen, vielleicht den meisten Zweigen der Ringtheorie die Forderung nach der Existenz eines Einheitselements nicht sinnvoll und daher inakzeptabel ist." Poonen macht das Gegenargument, dass Ringe ohne multiplikative Identität nicht vollständig assoziativ sind (das Produkt jeder endlichen Folge von Ringelementen, einschließlich der leeren Folge, ist wohldefiniert, unabhängig von der Reihenfolge der Operationen) und schreibt "die natürliche Erweiterung der Assoziativität". fordert, dass Ringe ein leeres Produkt enthalten sollten, daher ist es natürlich, dass Ringe eine 1" haben müssen.

Autoren, die bei der Verwendung des Begriffs „Ring“ einer der beiden Konventionen folgen, können einen der folgenden Begriffe verwenden, um auf Objekte zu verweisen, die der anderen Konvention entsprechen:

• um eine Anforderung aufzunehmen, eine multiplikative Identität: "Einheitsring", "Einheitsring", "Einheitsring", "Ring mit Einheit", "Ring mit Identität", "Ring mit einer Einheit" oder "Ring mit 1".
• das Erfordernis einer multiplikativen Identität wegzulassen: "rng" oder "pseudo-ring", obwohl letzteres verwirrend sein kann, weil es auch andere Bedeutungen hat.

Grundlegende Beispiele

Kommutative Ringe

• Das prototypische Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen mit den beiden Operationen Addition und Multiplikation.
• Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind kommutative Ringe vom Typ Felder .
• Eine unitale assoziative Algebra über einem kommutativen Ring R ist selbst sowohl ein Ring als auch ein R- Modul . Einige Beispiele:
  • Die Algebra R [ X ] von Polynomen mit Koeffizienten in R . Als R -Modul, R [ X ] ist frei von unendlichem Rang.
  • Die Algebra R [[ X ₁ , ..., X _n ]] von formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in R .
  • Die Menge aller auf der reellen Geraden definierten stetigen reellwertigen Funktionen bildet eine kommutative R -Algebra. Die Operationen sind punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen.
  • Sei X eine Menge und sei R ein Ring. Dann bildet die Menge aller Funktionen von X bis R einen Ring, der kommutativ ist, wenn R kommutativ ist. Der Ring stetiger Funktionen im vorherigen Beispiel ist ein Teilring dieses Rings, wenn X die reelle Gerade ist und R = R .
• ${\displaystyle \mathbf{Z} [c]}$, die ganzen Zahlen mit einer reellen oder komplexen Zahl c verbunden . Als Z -Modul ist es unendlich Rang frei , wenn c ist transzendental , wenn frei von endlichem Rang c ist eine algebraische ganze Zahl ist , und nicht frei anders.
• ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/10]}$, die Menge der Dezimalbrüche . Nicht frei als Z- Modul.
• ${\displaystyle \mathbf{Z} \left[\left(1+{\sqrt {d}}\right)/2\right]}$, wobei d eine quadratfreie ganze Zahl der Form 4 n + 1 ist , mit d ≠ 1 . Ein freier Z- Modul vom Rang 2. Siehe Quadratische ganze Zahl .
• ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$, die Gaußschen ganzen Zahlen .
• ${\displaystyle \mathbf{Z} [\left(1+{\sqrt {-3}}\right)/2]}$, die Eisenstein-Ganzzahlen .
• Die beiden vorherigen Beispiele sind die Fälle n = 4 und n = 3 des zyklotomischen Rings Z [ζ _n ] .
• Die vorherigen vier Beispiele sind Fälle des Rings von ganzen Zahlen eines Zahlenkörpers K , definiert als die Menge der algebraischen ganzen Zahlen in K .
• Die Menge aller algebraischen ganzen Zahlen in C bildet einen Ring, der als ganzzahliger Abschluss von Z in C bezeichnet wird .
• Wenn S eine Menge ist, dann wird die Potenzmenge von S ein Ring, wenn wir die Addition als symmetrische Differenz der Mengen und die Multiplikation als Schnittmenge definieren . Dies ist ein Beispiel für einen Booleschen Ring .

Nichtkommutative Ringe

• Für jeden Ring R und jede natürliche Zahl n bildet die Menge aller quadratischen n mal n Matrizen mit Einträgen aus R einen Ring mit Matrixaddition und Matrixmultiplikation als Operationen. Für n = 1 ist dieser Matrixring zu R selbst isomorph . Für n > 1 (und R nicht der Nullring) ist dieser Matrixring nicht kommutativ.
• Wenn G eine abelsche Gruppe ist , dann bilden die Endomorphismen von G einen Ring, den Endomorphismenring End( G ) von  G . Die Operationen in diesem Ring sind Addition und Zusammensetzung von Endomorphismen. Allgemeiner gesagt, wenn V ein linker Modul über einem Ring R ist , dann bildet die Menge aller R- linearen Abbildungen einen Ring, auch Endomorphismusring genannt und mit End _R ( V ) bezeichnet.
• Wenn G eine Gruppe und R ein Ring ist, ist der Gruppenring von G über R ein freies Modul über R mit G als Basis. Die Multiplikation ist durch die Regeln definiert, dass die Elemente von G mit den Elementen von R kommutieren und miteinander multiplizieren, wie sie es in der Gruppe G tun .
• Viele Ringe, die in der Analyse erscheinen, sind nicht kommutativ. Zum Beispiel sind die meisten Banach-Algebren nichtkommutativ.

Nicht-Ringe

Grundlegendes Konzept

Produkte und Befugnisse

Für jede nichtnegative ganze Zahl n kann man bei einer gegebenen Folge von n Elementen von R das Produkt rekursiv definieren : sei P ₀ = 1 und sei P _m = P _{m −1} a _m für 1 ≤ m ≤ n . ${\displaystyle (a_{1},\ldots,a_{n})}$${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod_{i=1}^{n}a_{i}}$

Als Sonderfall kann man nichtnegative ganzzahlige Potenzen eines Elements a eines Rings definieren: a ⁰ = 1 und a ⁿ = a ^{n −1} a für n 1 . Dann ist a ^{m + n} = a ^m a ⁿ für alle m , n ≥ 0 .

Elemente in einem Ring

Ein linker Nullteiler eines Rings ist ein Element im Ring, so dass es ein von null verschiedenes Element von gibt , das . Ein rechter Nullteiler wird ähnlich definiert. ${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle ab=0}$

Ein nilpotentes Element ist ein Element , bei dem für einige . Ein Beispiel für ein nilpotentes Element ist eine nilpotente Matrix . Ein nilpotentes Element in einem Ring ungleich Null ist notwendigerweise ein Nullteiler. ${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{n}=0}$${\displaystyle n>0}$

Ein Idempotent ist ein Element, so dass . Ein Beispiel für ein idempotentes Element ist eine Projektion in der linearen Algebra. ${\displaystyle e}$${\displaystyle e^{2}=e}$

Eine Einheit ist ein Element mit einer multiplikativen Inversen ; in diesem Fall ist die Umkehrung eindeutig und wird mit bezeichnet . Die Menge der Einheiten eines Rings ist eine Gruppe unter Ringmultiplikation; diese Gruppe wird mit oder oder bezeichnet . Wenn beispielsweise R der Ring aller quadratischen Matrizen der Größe n über einem Körper ist, dann besteht sie aus der Menge aller invertierbaren Matrizen der Größe n und heißt die allgemeine lineare Gruppe . ${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle R^{\times}}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle U(R)}$${\displaystyle R^{\times}}$

Unterring

Eine Teilmenge S von R heißt Teilring, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• die Addition und Multiplikation von R beschränken sich auf die Operationen S  ×  S  →  S, was S zu einem Ring mit derselben multiplikativen Identität wie  R macht .
• 1  S ; und für alle x ,  y in  S sind die Elemente xy , x  +  y und − x in  S .
• S kann mit Operationen ausgestattet werden, die es zu einem Ring machen, so dass die Inklusionsabbildung S  →  R ein Ringhomomorphismus ist.

Zum Beispiel ist der Ring Z der ganzen Zahlen ein Unterring des Körpers der reellen Zahlen und auch ein Unterring des Rings der Polynome Z [ X ] (in beiden Fällen enthält Z 1, was die multiplikative Identität der größeren Ringe ist). Andererseits enthält die Teilmenge der geraden ganzen Zahlen 2 Z nicht das Identitätselement 1 und qualifiziert sich daher nicht als Teilring von  Z ; man könnte jedoch 2 Z als subrng bezeichnen.

Ein Schnittpunkt von Teilringen ist ein Teilring. Bei einer gegebenen Teilmenge E von R ist der kleinste Teilring von R , der E enthält, der Schnittpunkt aller Teilringe von R , der  E enthält , und wird als der von E erzeugte Teilring bezeichnet .

Bei einem Ring R wird der kleinste Teilring von R als charakteristischer Teilring von R bezeichnet . Es kann durch Addition von Kopien von 1 und –1 erzeugt werden. Es ist möglich, dass ( n- mal) Null sein kann. Wenn n die kleinste positive ganze Zahl ist, bei der dies auftritt, dann heißt n die Charakteristik von  R . In einigen Ringen ist niemals null für eine positive ganze Zahl n , und diese Ringe haben die Charakteristik null . ${\displaystyle n\cdot 1=1+1+\ldots+1}$${\displaystyle n\cdot 1}$

Bei einem Ring R , lassen Sie bezeichnen die Menge aller Elemente x in R , so dass x pendelt mit jedem Element in R : für jedes y in  R . Dann ist ein Teilring von  R , das Zentrum von  R . Allgemeiner sei S für eine gegebene Teilmenge X von  R die Menge aller Elemente in R , die mit jedem Element in X kommutieren  . Dann ist S ein Unterring von  R , der Zentralisierer (oder Kommutant) von  X genannt wird . Das Zentrum ist der Zentralisierer des gesamten Rings  R . Elemente oder Teilmengen des Zentrums werden als zentral in  R bezeichnet ; sie (jeweils einzeln) erzeugen einen Unterring des Zentrums. ${\displaystyle\operatorname {Z} (R)}$${\displaystyle xy=yx}$${\displaystyle\operatorname {Z} (R)}$

Ideal

Sei R ein Ring. Ein linkes Ideal von R ist eine nichtleere Teilmenge I von R, so dass für jedes x , y in I und r in R die Elemente und in I sind . If bezeichnet die R -Spanne von I , also die Menge endlicher Summen ${\displaystyle x+y}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle RI}$

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {solch}}\;{\textrm {das}}\;r_{i}\in R \;{\textrm {und}}\;x_{i}\in I,}$

dann ist ich ein linkes Ideal wenn . Ähnlich ist ein Rechtsideal ist eine Teilmenge I , so dass . Eine Teilmenge I heißt zweiseitiges Ideal oder einfach ideal, wenn sie sowohl ein linkes Ideal als auch ein rechtes Ideal ist. Ein einseitiges oder zweiseitiges Ideal ist dann eine additive Untergruppe von R . Wenn E eine Teilmenge von R ist , dann ist ein linkes Ideal, das von E erzeugte linke Ideal genannt wird ; es ist das kleinste linke Ideal, das E enthält . In ähnlicher Weise kann man das rechte Ideal oder das zweiseitige Ideal betrachten, das von einer Teilmenge von R erzeugt wird . ${\displaystyle RI\subseteq I}$${\displaystyle IR\subseteq I}$${\displaystyle RE}$

Wenn x in R ist , dann sind und linke Ideale bzw. rechte Ideale; sie werden die wichtigsten linken Ideale und rechten Ideale genannt, die von x erzeugt werden . Das Hauptideal wird als geschrieben . Zum Beispiel bildet die Menge aller positiven und negativen Vielfachen von 2 zusammen mit 0 ein Ideal der ganzen Zahlen, und dieses Ideal wird durch die ganze Zahl 2 erzeugt. Tatsächlich ist jedes Ideal des Rings der ganzen Zahlen prinzipiell. ${\displaystyle Rx}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle RxR}$${\displaystyle (x)}$

Wie eine Gruppe wird ein Ring als einfach bezeichnet, wenn er ungleich Null ist und keine echten zweiseitigen Ideale ungleich Null hat. Ein kommutativer einfacher Ring ist genau ein Körper.

Ringe werden oft unter besonderen Bedingungen studiert, die ihren Idealen entsprechen. Zum Beispiel wird ein Ring, in dem es keine streng ansteigende unendliche Kette von linken Idealen gibt, als linker Noetherscher Ring bezeichnet . Ein Ring, in dem es keine streng abnehmende unendliche Kette linker Ideale gibt, heißt linker Artinscher Ring . Es ist eine etwas überraschende Tatsache, dass ein linker Artinscher Ring linksnoethersch ist (der Satz von Hopkins-Levitzki ). Die ganzen Zahlen bilden jedoch einen noetherschen Ring, der nicht artinisch ist.

Für kommutative Ringe verallgemeinern die Ideale den klassischen Begriff der Teilbarkeit und Zerlegung einer ganzen Zahl in Primzahlen in der Algebra. Ein echtes Ideal P von R heißt Primideal, wenn für irgendein Element, das wir haben, entweder oder impliziert . Äquivalent ist P eine Primzahl, wenn für alle Ideale, die wir haben, das entweder oder impliziert. Diese letztere Formulierung veranschaulicht die Idee von Idealen als Verallgemeinerungen von Elementen. ${\displaystyle x,y\in R}$${\displaystyle xy\in P}$${\displaystyle x\in P}$${\displaystyle y\in P}$${\displaystyle I,J}$${\displaystyle IJ\subseteq P}$${\displaystyle I\subseteq P}$${\displaystyle J\subseteq P.}$

Homomorphismus

Ein Homomorphismus aus einem Ring ( R , +, ⋅ ) an einen Ring ( S , ‡, *) ist eine Funktion f von R bis  S dass bewahrt die Ringoperationen; nämlich so, dass für alle a , b in R die folgenden Identitäten gelten:

• f ( a + b ) = f ( a ) ‡ f ( b )
• f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b )
• f (1 _R ) = 1 _S

Wenn man mit rngs arbeitet, entfällt die dritte Bedingung.

Ein Ringhomomorphismus f heißt Isomorphismus, wenn es einen inversen Homomorphismus zu f gibt (d. h. einen Ringhomomorphismus, der eine inverse Funktion ist ). Jeder bijektive Ringhomomorphismus ist ein Ringisomorphismus. Zwei Ringe heißen isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus besteht und in diesem Fall schreibt man . Ein Ringhomomorphismus zwischen demselben Ring wird als Endomorphismus und ein Isomorphismus zwischen demselben Ring als Automorphismus bezeichnet. ${\displaystyle R,S}$${\displaystyle R\simeq S}$

Beispiele:

• Die Funktion, die jede ganze Zahl x auf ihren Rest modulo 4 (eine Zahl in {0, 1, 2, 3}) abbildet , ist ein Homomorphismus vom Ring Z zum Quotientenring Z /4 Z ("Quotientenring" wird unten definiert) .
• Wenn ein Einheitselement in einem Ring R ist , dann handelt es sich um einen Ringhomomorphismus, der als innerer Automorphismus von R bezeichnet wird .${\displaystyle u}$${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• Sei R ein kommutativer Ring der Primcharakteristik p . Dann gibt es einen Ringendomorphismus von R , der Frobenius-Homomorphismus genannt wird .${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$
• Die Galois-Gruppe einer Körpererweiterung ist die Menge aller Automorphismen von L, deren Restriktionen auf K die Identität sind.${\displaystyle L/K}$
• Für jeden Ring R gibt es einen eindeutigen Ringhomomorphismus Z → R und einen eindeutigen Ringhomomorphismus R → 0 .
• Ein Epimorphismus (d. h. ein rechtslöschbarer Morphismus) von Ringen muss nicht surjektiv sein. Zum Beispiel ist die eindeutige Abbildung Z → Q ein Epimorphismus.
• Ein Algebrahomomorphismus von einer k- Algebra zur Endomorphismusalgebra eines Vektorraums über k heißt Darstellung der Algebra .

Bei einem Ringhomomorphismus , die Menge aller auf 0 durch kartiert Elemente f ist der genannte Kern von  f . Der Kernel ist ein zweiseitiges Ideal von  R . Das Bild von  f hingegen ist nicht immer ein Ideal, aber immer ein Unterring von  S . ${\displaystyle f:R\to S}$

Einen Ringhomomorphismus von einem kommutativen Ring R zu einem Ring A mit Bild im Zentrum von A zu geben, ist dasselbe wie eine Struktur einer Algebra über R zu  A zu geben (was insbesondere eine Struktur eines A- Moduls ergibt ) .

Quotientenring

Der Begriff des Quotientenrings ist analog zum Begriff einer Quotientengruppe . Bei einem gegebenen Ring ( R , +, ⋅ ) und eine zweiseitiger ideal I von ( R , +, ⋅ ) , anzuzeigen I als Untergruppe von ( R , +) ; dann ist der Quotientenring R / I die Menge der Nebenklassen von I zusammen mit den Operationen

( a  +  ich ) + ( b  +  ich ) = ( a  +  b ) + ich und

( a  +  I )( b  +  I ) = ( ab )+ I .

für alle a , b in R . Der Ring R / I wird auch Faktorring genannt .

Wie bei einer Quotientengruppe gibt es einen kanonischen Homomorphismus , gegeben durch . Es ist surjektiv und erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: ${\displaystyle p\colon R\to R/I}$${\displaystyle x\mapsto x+I}$

• Wenn ein Ringhomomorphismus ist so , dass , dann gibt es ein einzigartiges Homomorphismus , so dass .${\displaystyle f\colon R\to S}$${\displaystyle f(I)=0}$${\displaystyle {\overline {f}}\colon R/I\to S}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p}$

Für jeden Ringhomomorphismus erzeugt das Aufrufen der universellen Eigenschaft mit einen Homomorphismus , der einen Isomorphismus von zum Bild von f ergibt . ${\displaystyle f\colon R\to S}$${\displaystyle I=\ker f}$${\displaystyle {\overline {f}}\colon R/\ker f\to S}$${\displaystyle R/\ker f}$

Modul

Das Konzept eines Moduls über einem Ring verallgemeinert das Konzept eines Vektorraums (über einem Körper ), indem es von der Multiplikation von Vektoren mit Elementen eines Körpers ( Skalarmultiplikation ) auf die Multiplikation mit Elementen eines Rings verallgemeinert . Genauer gesagt, bei einem gegebenen Ring R mit 1 ist ein R -Modul M eine abelsche Gruppe, ausgestattet mit einer Operation R × M → M (die ein Element von M jedem Paar eines Elements von R und einem Element von M zuordnet ), die bestimmte Axiome . Diese Operation wird allgemein multiplikativ bezeichnet und als Multiplikation bezeichnet. Die Modulaxiome sind die folgenden: für alle a , b in R und alle x , y in M gilt:

• M ist eine abelsche Gruppe unter Addition.
• ${\displaystyle a(x+y)=ax+ay}$
• ${\displaystyle (a+b)x=ax+bx}$
• ${\displaystyle 1x=x}$
• ${\displaystyle (ab)x=a(bx)}$

Wenn der Ring nicht kommutativ ist, definieren diese Axiome linke Module ; rechte Module werden ähnlich definiert, indem xa anstelle von ax geschrieben wird . Dies ist nicht nur eine Änderung der Notation, da das letzte Axiom der rechten Module (also x ( ab ) = ( xa ) b ) zu ( ab ) x = b ( ax ) wird , wenn die linke Multiplikation (mit Ringelementen) verwendet wird für ein richtiges Modul.

Grundlegende Beispiele für Module sind Ideale, einschließlich des Rings selbst.

Obwohl ähnlich definiert, ist die Theorie der Module viel komplizierter als die des Vektorraums, hauptsächlich deshalb, weil Module im Gegensatz zu Vektorräumen nicht (bis auf einen Isomorphismus) durch eine einzige Invariante (die Dimension eines Vektorraums ) charakterisiert werden . Insbesondere haben nicht alle Module eine Basis .

Die Modulaxiome implizieren, dass (−1) x = − x , wobei das erste Minus die additive Inverse im Ring und das zweite Minus die additive Inverse im Modul bezeichnet. Dies zu verwenden und die wiederholte Addition durch eine Multiplikation mit einer positiven ganzen Zahl zu bezeichnen, ermöglicht es, abelsche Gruppen mit Modulen über dem Ring von ganzen Zahlen zu identifizieren.

Jeder Ringhomomorphismus induziert eine Struktur eines Moduls: Wenn f  : R → S ein Ringhomomorphismus ist, dann ist S ein linker Modul über R durch die Multiplikation: rs = f ( r ) s . Wenn R kommutativ ist oder wenn f ( R ) in der enthaltenen Mitte von S , wobei der Ring S ist ein sogenannter R - Algebra . Insbesondere ist jeder Ring eine Algebra über den ganzen Zahlen.

Konstruktionen

Direktprodukt

Seien R und S Ringe. Dann kann das Produkt R × S mit der folgenden natürlichen Ringstruktur ausgestattet werden:

• ( r ₁ , s ₁ ) + ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁  +  r ₂ , s ₁  +  s ₂ )
• ( r ₁ , s ₁ ) ⋅ ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁  ⋅  r ₂ , s ₁  ⋅  s ₂ )

für alle r ₁ , r ₂ in R und s ₁ , s ₂ in  S . Der Ring R × S mit den obigen Operationen der Addition und Multiplikation und der multiplikativen Identität wird das direkte Produkt von R mit  S genannt . Die gleiche Konstruktion funktioniert auch für eine beliebige Familie von Ringen: Wenn Ringe durch eine Menge I indiziert sind , dann ist ein Ring mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod_{i\in I}R_{i}}$

Sei R ein kommutativer Ring und Ideale, so dass wann immer . Dann sagt der chinesische Restsatz, dass es einen kanonischen Ringisomorphismus gibt: ${\displaystyle {\mathfrak{a}}_{1},\cdots,{\mathfrak{a}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak{a}}_{i}+{\mathfrak{a}}_{j}=(1)}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap_{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod_{i=1}^{n}{R /{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x\;\operatorname {mod} \;{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_ {i}}}\mapsto (x\;\operatorname {mod} \;{\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,x\;\operatorname {mod} \;{\mathfrak {a}} _{n})}$.

Ein "endliches" direktes Produkt kann auch als direkte Summe von Idealen angesehen werden. Nämlich, seien es Ringe, die Einschlüsse mit den Bildern (insbesondere sind es Ringe, aber keine Unterringe). Dann sind Ideale von R und ${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$${\displaystyle \textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$

als direkte Summe abelscher Gruppen (weil endliche Produkte für abelsche Gruppen dasselbe sind wie direkte Summen). Offensichtlich definiert die direkte Summe solcher Ideale auch ein zu R isomorphes  Ringprodukt . Äquivalent kann das oben Genannte durch zentrale Idempotenten erfolgen . Angenommen, R hat die obige Zerlegung. Dann können wir schreiben

${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak{a}}_{i}.}$

Durch die Bedingungen an hat man die zentralen Idempotenten und (orthogonal). Auch hier kann man die Konstruktion umkehren. Wenn man nämlich eine Zerlegung von 1 in orthogonalen zentralen Idempotenten erhält, dann let , die zweiseitige Ideale sind. Wenn jedes keine Summe orthogonaler zentraler Idempotenten ist, dann ist ihre direkte Summe isomorph zu  R . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{i}e_{j}=0,i\neq j}$${\displaystyle {\mathfrak{a}}_{i}=Re_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Eine wichtige Anwendung eines unendlichen direkten Produkts ist die Konstruktion eines projektiven Grenzwerts von Ringen (siehe unten). Eine andere Anwendung ist ein eingeschränktes Produkt einer Ringfamilie (vgl. adele ring ).

Polynomring

Gegeben ein Symbol t (eine Variable genannt) und ein kommutativer Ring  R , die Menge der Polynome

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\ Mitte n\geq 0,a_{j}\in R\rechts\}}$

bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring, der R als Teilring enthält. Es heißt Polynomring über  R . Allgemeiner ausgedrückt bildet die Menge aller Polynome in Variablen einen kommutativen Ring, der als Teilringe enthält. ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots,t_{n}\right]}$${\displaystyle t_{1},\ldots,t_{n}}$${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Wenn R ein ganzzahliges Gebiet ist , dann ist auch ein ganzzahliges Gebiet; sein Feld der Brüche ist das Feld der rationalen Funktionen . Wenn R ein Noetherscher Ring ist, dann ist er ein Noetherscher Ring. Wenn R ein eindeutiger Faktorisierungsbereich ist, dann ist er ein eindeutiger Faktorisierungsbereich. Schließlich ist R genau dann ein Körper, wenn es sich um einen idealen Hauptbereich handelt. ${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle R[t]}$

Seien kommutative Ringe. Gegeben ein Element x von  S kann man den Ringhomomorphismus ${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(das heißt, die Ersetzung ). Wenn S = R [ t ] und x = t ist , dann ist f ( t ) = f . Aus diesem Grund wird das Polynom f oft auch mit bezeichnet . Das Bild der Karte wird mit bezeichnet ; es ist dasselbe wie der Unterring von S , der von R und  x erzeugt wird . ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f\mapsto f(x)}$${\displaystyle R[x]}$

Beispiel: bezeichnet das Bild des Homomorphismus ${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

Mit anderen Worten, es ist die Subalgebra von, die von t ² und  t ^{3 erzeugt wird} . ${\displaystyle k[t]}$

Beispiel: f sei ein Polynom in einer Variablen, also ein Element in einem Polynomring R . Dann ist ein Element in und ist in diesem Ring durch h teilbar . Das Ergebnis der Substitution von Null durch h in ist die Ableitung von f an  x . ${\displaystyle f(x+h)}$${\displaystyle R[h]}$${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$${\displaystyle (f(x+h)-f(x))/h}$${\displaystyle f'(x)}$

Die Substitution ist ein Spezialfall der universellen Eigenschaft eines Polynomrings. Die Eigenschaft Zustände: ein Ringhomomorphismus gegeben und ein Element x in S existiert einen eindeutigen Ringhomomorphismus , so dass und engt zu . Wenn Sie beispielsweise eine Basis wählen, erfüllt eine symmetrische Algebra die universelle Eigenschaft, ebenso wie ein polynomischer Ring. ${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi}}:R[t]\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi}}(t)=x}$${\displaystyle {\overline {\phi}}}$${\displaystyle \phi}$

Um ein Beispiel zu geben, sei S der Ring aller Funktionen von R bis zu sich selbst; die Addition und die Multiplikation sind Funktionen. Sei x die Identitätsfunktion. Jedes r in R definiert eine konstante Funktion, die zum Homomorphismus führt . Die universelle Eigenschaft besagt, dass sich diese Karte eindeutig erstreckt auf ${\displaystyle R\to S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t wird auf x abgebildet ) wobei die durch f definierte Polynomfunktion ist . Die resultierende Abbildung ist genau dann injektiv, wenn R unendlich ist. ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Bei einem nicht konstanten monischen Polynom f in existiert ein Ring S , der R enthält, so dass f ein Produkt von linearen Faktoren in ist . ${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle S[t]}$

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der Nullstellensatz von Hilbert besagt, dass es eine natürliche Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Menge aller Primideale in und der Menge der abgeschlossenen Untervarietäten von gibt . Insbesondere können viele lokale Probleme der algebraischen Geometrie durch das Studium der Generatoren eines Ideals in einem Polynomring angegangen werden. (vgl. Gröbner-Basis .) ${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle k^{n}}$

Es gibt einige andere verwandte Konstruktionen. Ein formaler Potenzreihenring besteht aus formalen Potenzreihen ${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum_{0}^{\infty}a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

zusammen mit Multiplikation und Addition, die denen für konvergente Reihen nachahmen. Es enthält als Unterring. Ein formaler Potenzreihenring hat nicht die universelle Eigenschaft eines Polynomrings; eine Reihe kann nach einer Substitution nicht konvergieren. Der wichtige Vorteil eines formalen Potenzreihenrings gegenüber einem Polynomring besteht darin, dass er lokal (eigentlich vollständig ) ist. ${\displaystyle R[t]}$

Matrixring und Endomorphismusring

Sei R ein Ring (nicht unbedingt kommutativ). Die Menge aller quadratischen Matrizen der Größe n mit Einträgen in R bildet mit der eintragsweisen Addition und der üblichen Matrixmultiplikation einen Ring. Er wird Matrixring genannt und mit M _n ( R ) bezeichnet. Bei einer richtigen R -Modul , die Menge aller R -linear aus Karten U auf sich selbst bildet einen Ring mit Zusatz, der Funktion und der Multiplikation , die von IS - Zusammensetzung von Funktionen ; er heißt Endomorphismusring von U und wird mit bezeichnet . ${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)}$

Wie in der linearen Algebra kann ein Matrixring kanonisch als Endomorphismusring interpretiert werden: . Dies ist ein Spezialfall der folgenden Tatsache: Wenn eine R -lineare Abbildung ist, dann kann f als Matrix mit Einträgen in geschrieben werden , was zum Ringisomorphismus führt: ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)}$${\displaystyle f:\oplus_{1}^{n}U\to \oplus_{1}^{n}U}$${\displaystyle f_{ij}}$${\displaystyle S=\operatorname {End} _{R}(U)}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij} ).}$

Jeder Ringhomomorphismus R → S induziert M _n ( R ) → M _n ( S ) .

Das Lemma von Schur besagt, dass, wenn U ein einfacher rechter R- Modul ist, dann ein Divisionsring ist. Wenn eine direkte Summe von m _i -Kopien einfacher R -Module ist , dann ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)}$${\displaystyle \textstyle U=\bigoplus_{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R }(U_{i}))}$.

Der Satz von Artin-Wedderburn besagt, dass jeder halbeinfache Ring (siehe unten) diese Form hat.

Ein Ring R und der Matrixring M _n ( R ) darüber sind Morita-Äquivalent : die Kategorie der rechten Module von R ist äquivalent zur Kategorie der rechten Module über M _n ( R ). Insbesondere korrespondieren zweiseitige Ideale in R eins zu eins zu zweiseitigen Idealen in M _n ( R ).

Grenzen und Kolimiten von Ringen

Sei R _i eine Folge von Ringen, so dass R _i ein Unterring von R _{i +1} für alle i ist . Dann ist die Vereinigung (oder der gefilterte Colimit ) von R _i der Ring , der wie folgt definiert ist: es ist die disjunkte Vereinigung aller R _i modulo die Äquivalenzrelation genau dann, wenn in R _i für genügend große i . ${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x=y}$

Beispiele für Colimite:

• Ein Polynomring in unendlich vielen Variablen: ${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots,t_{m}].}$
• Der algebraische Abschluss von finiten Feldern der gleichen charakteristischen${\displaystyle {\overline {\mathbf{F}}}_{p}=\varinjlim\mathbf{F}_{p^{m}}.}$
• Der Körper der formalen Laurent-Reihe über einem Körper k : (es ist der Körper der Brüche der formalen Potenzreihe ring .)${\displaystyle k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]}$ ${\displaystyle k[\![t]\!]}$
• Der Funktionskörper einer algebraischen Varietät über einem Körper k ist dort, wo der Grenzwert über alle Koordinatenringe der nichtleeren offenen Teilmengen U verläuft (kurz gesagt ist es der Stiel der Strukturgarbe am generischen Punkt .)${\displaystyle \varinjlim k[U]}$${\displaystyle k[U]}$

Jeder kommutative Ring ist der Kolimit endlich erzeugter Teilringe .

Eine projektive Grenze (oder eine gefilterte Grenze ) von Ringen wird wie folgt definiert. Angenommen , wir eine Familie von Ringen gegeben sind , i laufen positive ganze Zahlen über, sagen wir, und Ring homomorphisms , so dass alle die Identitäten und ist bei jedem . Dann ist der Unterring bestehend aus solchen, die auf unter abgebildet werden . ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{j}\to R_{i},j\geq i}$${\displaystyle R_{i}\to R_{i}}$${\displaystyle R_{k}\to R_{j}\to R_{i}}$${\displaystyle R_{k}\to R_{i}}$${\displaystyle k\geq j\geq i}$${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R_{j}\to R_{i},j\geq i}$

Ein Beispiel für einen projektiven Grenzwert finden Sie unter § Vervollständigung .

Lokalisierung

Die Lokalisierung verallgemeinert die Konstruktion des Feldes der Brüche eines ganzzahligen Bereichs auf einen beliebigen Ring und Module. Bei einem (nicht unbedingt kommutativen) Ring R und einer Teilmenge S von R existiert ein Ring zusammen mit dem Ringhomomorphismus , der S "invertiert" ; das heißt, der Homomorphismus bildet Elemente in S auf Einheitselemente in ab und darüber hinaus jeden Ringhomomorphismus von R , der S eindeutig durch Faktoren "invertiert" . Der Ring wird als Lokalisierung von R bezüglich S bezeichnet . Ist beispielsweise R ein kommutativer Ring und f ein Element in R , dann besteht die Lokalisierung aus Elementen der Form (genauer gesagt ) ${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

Die Lokalisierung wird häufig auf einen kommutativen Ring R bezüglich des Komplements eines Primideals (oder einer Vereinigung von Primidealen) in  R angewendet . In diesem Fall schreibt man oft für . ist dann ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Dies ist der Grund für die Terminologie "Lokalisierung". Das Feld der Brüche eines ganzzahligen Bereichs R ist die Lokalisierung von R am Primidealnullpunkt. Wenn ein Primideal eines kommutativen Rings  R ist , dann ist der Körper der Brüche von gleich dem Restkörper des lokalen Rings und wird mit bezeichnet . ${\displaystyle S=R-{\mathfrak{p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak{p}}}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R_{\mathfrak{p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{p}}R_{\mathfrak{p}}}$${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak{p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak{p}})}$

Ist M ein linker R- Modul, dann ist die Lokalisierung von M bezüglich S durch einen Ringwechsel gegeben . ${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M}$

Die wichtigsten Eigenschaften der Lokalisierung sind: wenn R ein kommutativer Ring und S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge ist

• ${\displaystyle {\mathfrak{p}}\mapsto {\mathfrak{p}}\left[S^{-1}\right]}$ist eine Bijektion zwischen der Menge aller Primideale in R disjunkt von S und der Menge aller Primideale in .${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]}$, f über Elemente in S laufen, wobei die Teilordnung durch die Teilbarkeit gegeben ist.
• Die Lokalisierung ist genau:

  ${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\ rechts]\to 0}$ist genau über, wann immer über R genau ist  .${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

• Umgekehrt gilt, wenn für jedes maximale Ideal exakt ist , dann ist genau.${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak{m}}}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Eine Anmerkung: Lokalisierung hilft nicht beim Nachweis einer globalen Existenz. Ein Beispiel dafür ist, dass, wenn zwei Module bei allen Primidealen isomorph sind, daraus nicht folgt, dass sie isomorph sind. (Eine Möglichkeit, dies zu erklären, besteht darin, dass die Lokalisierung es ermöglicht, ein Modul als Garbe über Primidealen zu betrachten, und eine Garbe ist von Natur aus ein lokaler Begriff.)

In der Kategorientheorie läuft eine Lokalisierung einer Kategorie darauf hinaus, einige Morphismen zu Isomorphismen zu machen. Ein Element in einem kommutativen Ring R kann man sich als Endomorphismus eines beliebigen R- Moduls vorstellen. Somit ist kategorisch eine Lokalisierung von R in Bezug auf eine Teilmenge S von R ein Funktor aus der Kategorie der R- Module zu sich selbst, der Elemente von S, die als Endomorphismen betrachtet werden, zu Automorphismen schickt und bezüglich dieser Eigenschaft universell ist. (Natürlich wird R dann auf -Module abgebildet und R -Module auf -Module.) ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

Fertigstellung

Sei R ein kommutativer Ring und I ein Ideal von  R . Die Vervollständigung von R bei I ist der projektive Grenzwert ; es ist ein kommutativer Ring. Die kanonischen Homomorphismen von R zu den Quotienten induzieren einen Homomorphismus . Der letztere Homomorphismus ist injektiv, wenn R ein noetherscher Integralbereich und I ein echtes Ideal ist, oder wenn R ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal I ist , nach Krulls Schnittsatz . Die Konstruktion ist besonders nützlich, wenn I ein maximales Ideal ist. ${\displaystyle {\hat{R}}=\varprojlim R/I^{n}}$${\displaystyle R/I^{n}}$${\displaystyle R\to {\hat {R}}}$

Das grundlegende Beispiel ist die Vervollständigung von Z am Hauptideal ( p ), das durch eine Primzahl p erzeugt wird ; es wird der Ring der p- adischen ganzen Zahlen genannt und wird als Z _{p bezeichnet} . Die Vervollständigung kann in diesem Fall auch aus dem p- adischen Absolutwert auf Q konstruiert werden . Der p- adische Absolutwert von Q ist eine Abbildung von Q nach R, gegeben durch wobei bezeichnet den Exponenten von p bei der Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl n ungleich Null in Primzahlen (wir setzen auch und ). Sie definiert eine Distanzfunktion auf Q und die Vervollständigung von Q als metrischen Raum wird mit Q _{p bezeichnet} . Es ist wieder ein Feld, da sich die Feldoperationen bis zur Fertigstellung erstrecken. Der Teilring von Q _p bestehend aus Elementen x mit ist isomorph zu  Z _p . ${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle |0|_{p}=0}$${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$${\displaystyle |x|_{p}\leq 1}$

Ebenso ist der formale Potenzreihenring die Vervollständigung von at (siehe auch Hensels Lemma ) ${\displaystyle R[{[t]}]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle (t)}$

Ein vollständiger Ring hat eine viel einfachere Struktur als ein kommutativer Ring. Dies entspricht dem Cohen-Struktursatz , der grob besagt, dass ein vollständiger lokaler Ring dazu neigt, wie ein formaler Potenzreihenring oder ein Quotient davon auszusehen. Andererseits gehört die Wechselwirkung zwischen Integralabschluss und Vervollständigung zu den wichtigsten Aspekten, die die moderne kommutative Ringtheorie von der klassischen von Noether entwickelten. Von Nagata gefundene pathologische Beispiele führten zu einer erneuten Untersuchung der Rollen der Noetherschen Ringe und motivierten unter anderem die Definition des exzellenten Rings .

Ringe mit Generatoren und Beziehungen

Die allgemeinste Methode zum Konstruieren eines Rings besteht darin, Generatoren und Beziehungen anzugeben. Sei F ein freier Ring (d. h. freie Algebra über den ganzen Zahlen) mit der Menge X von Symbolen, dh F besteht aus Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten in nichtkommutierenden Variablen, die Elemente von X sind . Ein freier Ring erfüllt die universelle Eigenschaft: Jede Funktion von der Menge X bis zu einem Ring R faktorisiert durch F, so dass der eindeutige Ringhomomorphismus vorliegt. Ebenso wie im Gruppenfall lässt sich jeder Ring als Quotient eines freien Rings darstellen. ${\displaystyle F\nach R}$

Nun können wir Beziehungen zwischen Symbolen in X auferlegen, indem wir einen Quotienten bilden. Explizit, wenn E eine Teilmenge von F ist , dann heißt der Quotientenring von F durch das von E erzeugte Ideal der Ring mit Generatoren X und Relationen E . Wenn wir anstelle von Z einen Ring verwenden, sagen wir A als Basisring , dann liegt der resultierende Ring über A . Wenn beispielsweise , dann ist der resultierende Ring der übliche Polynomring mit Koeffizienten in A in Variablen, die Elemente von X sind (Es ist auch dasselbe wie die symmetrische Algebra über A mit Symbolen X .) ${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}}$

In kategorietheoretischen Begriffen ist die Bildung der linksadjungierte Funktor des Vergessensfunktors aus der Kategorie der Ringe zu Set (und wird oft als freier Ringfunktor bezeichnet). ${\displaystyle S\mapsto {\text{der freie Ring, der von der Menge erzeugt wird }}S}$

Lassen Sie A , B Algebren über eine kommutativen Ring R . Dann ist das Tensorprodukt von R- Modulen eine R- Algebra mit Multiplikation gekennzeichnet durch . Siehe auch: Tensorprodukt von Algebren , Ringänderung . ${\displaystyle A\otimes_{R}B}$${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv}$

Spezielle Arten von Ringen

Domänen

Ein Nicht - Null - Ring ohne Nicht - Null - Null-Teilern wird eine gerufene Domäne . Ein kommutatives Gebiet heißt Integralgebiet . Die wichtigsten integralen Domänen sind prinzipielle Idealdomänen, kurz PIDs, und Felder. Ein prinzipieller Idealbereich ist ein integraler Bereich, in dem jedes Ideal ein Prinzipal ist. Eine wichtige Klasse ganzzahliger Domänen, die eine PID enthalten, ist eine eindeutige Faktorisierungsdomäne (UFD), eine Integraldomäne, in der jedes Nichteinheitselement ein Produkt von Primelementen ist (ein Element ist prim, wenn es ein Primideal erzeugt .) Die grundlegende Frage in Die algebraische Zahlentheorie befasst sich mit dem Ausmaß, in dem der Ring von (verallgemeinerten) ganzen Zahlen in einem Zahlenkörper , in dem ein "Ideal" eine Primfaktorzerlegung zulässt, keine PID ist.

Unter den Sätzen, die eine PID betreffen, ist der wichtigste der Struktursatz für endlich erzeugte Module über einem idealen Hauptbereich . Der Satz kann durch die folgende Anwendung auf die lineare Algebra veranschaulicht werden. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper k und eine lineare Abbildung mit minimalem Polynom q . Da es sich um einen eindeutigen Faktorisierungsbereich handelt, faktorisiert q dann in Potenzen verschiedener irreduzibler Polynome (d. h. Primelemente): ${\displaystyle f:V\to V}$${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$

Lassen wir den V a k [ t ]-Modul. Der Struktursatz besagt dann, dass V eine direkte Summe zyklischer Module ist , von denen jeder isomorph zum Modul der Form ist . Wenn nun , dann hat ein solcher zyklischer Modul (for ) eine Basis, in der die Einschränkung von f durch eine Jordan-Matrix repräsentiert wird . Wenn also, sagen wir, k algebraisch abgeschlossen ist, dann haben alle 's die Form und die obige Zerlegung entspricht der Jordan-kanonischen Form von f . ${\displaystyle t\cdot v=f(v)}$${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)}$${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle t-\lambda_{i}}$

In der algebraischen Geometrie entstehen UFDs aufgrund der Glätte. Genauer gesagt ist ein Punkt in einer Varietät (über einem perfekten Körper) glatt, wenn der lokale Ring an diesem Punkt ein regulärer lokaler Ring ist . Ein regulärer lokaler Ring ist ein UFD.

Das Folgende ist eine Kette von Klasseneinschlüssen , die die Beziehung zwischen Ringen, Domänen und Feldern beschreibt:

RNGs ⊃ Ringe ⊃ kommutative Ringe ⊃ integral Domänen ⊃ integral geschlossenen Domänen ⊃ GCD Domänen ⊃ Faktorieller Ring ⊃ Hauptideal ⊃ euklidischen Domänen ⊃ Felder ⊃ algebraischabgeschlossenen Feldern

Teilungsring

Ein Teilungsring ist ein Ring, bei dem jedes Element ungleich Null eine Einheit ist. Ein kommutativer Teilerring ist ein Körper . Ein prominentes Beispiel für einen Teilungsring, der kein Feld ist, ist der Ring der Quaternionen . Jeder Zentralisierer in einem Teilungsring ist auch ein Teilungsring. Insbesondere ist das Zentrum eines Teilungsrings ein Feld. Es stellte sich heraus, dass jedes endliche Gebiet (insbesondere endlicher Teilungsring) ein Körper ist; insbesondere kommutativ (der kleine Satz von Wedderburn ).

Jedes Modul über einem Teilungsring ist ein freies Modul (hat eine Basis); folglich kann ein Großteil der linearen Algebra über einen Teilungsring statt über ein Feld ausgeführt werden.

Das Studium der Konjugationsklassen spielt in der klassischen Theorie der Teilungsringe eine herausragende Rolle; siehe zum Beispiel den Satz von Cartan-Brauer-Hua .

Eine von LE Dickson eingeführte zyklische Algebra ist eine Verallgemeinerung einer Quaternionenalgebra .

Halbeinfache Ringe

Ein halbeinfaches Modul ist eine direkte Summe einfacher Module. Ein halbeinfacher Ring ist ein Ring, der als linkes Modul (oder rechtes Modul) über sich selbst halbeinfach ist.

Beispiele

• Ein Teilungsring ist halbeinfach (und einfach ).
• Für jeden Divisionsring D und eine positive ganze Zahl n ist der Matrixring M _n ( D ) halbeinfach (und einfach ).
• Für einen Körper k und eine endliche Gruppe G ist der Gruppenring kG genau dann halbeinfach, wenn die Charakteristik von k die Ordnung von G nicht teilt ( Theorem von Maschke ).
• Clifford-Algebren sind halbeinfach.

Die Weyl-Algebra über einem Körper ist ein einfacher Ring , aber nicht halbeinfach. Das gleiche gilt für einen Ring von Differentialoperatoren in vielen Variablen .

Eigenschaften

Jedes Modul über einem halbeinfachen Ring ist halbeinfach. (Beweis: Ein freies Modul über einem halbeinfachen Ring ist halbeinfach und jedes Modul ist ein Quotient eines freien Moduls.)

Für einen Ring R sind äquivalent:

• R ist halb einfach.
• R ist artinisch und semiprimitiv .
• R ist ein endliches direktes Produkt, wobei jedes n _i eine positive ganze Zahl ist und jedes D _i ein Divisionsring ist ( Artin-Wedderburn-Theorem ).${\displaystyle \textstyle \prod_{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

Semisimplicity steht in engem Zusammenhang mit der Trennbarkeit. Eine unitale assoziative Algebra A über einem Körper k heißt separierbar, wenn die Basiserweiterung für jede Körpererweiterung halbeinfach ist . Wenn A zufällig ein Körper ist, dann entspricht dies der üblichen Definition in der Körpertheorie (vgl. separierbare Erweiterung .) ${\displaystyle A\otimes_{k}F}$ ${\displaystyle F/k}$

Zentrale einfache Algebra und Brauer-Gruppe

Für einen Körper k ist eine k- Algebra zentral, wenn ihr Zentrum k ist, und ist einfach, wenn sie ein einfacher Ring ist . Da das Zentrum einer einfachen k- Algebra ein Körper ist, ist jede einfache k- Algebra eine zentrale einfache Algebra über ihrem Zentrum. In diesem Abschnitt wird angenommen, dass eine zentrale einfache Algebra endliche Dimension hat. Außerdem fixieren wir meistens das Basisfeld; somit bezieht sich eine Algebra auf eine k- Algebra . Der Matrixring der Größe n über einem Ring R wird mit bezeichnet . ${\displaystyle R_{n}}$

Der Satz von Skolem-Noether besagt, dass jeder Automorphismus einer zentralen einfachen Algebra innerlich ist.

Zwei zentrale einfache Algebren A und B heißen ähnlich, wenn es ganze Zahlen n und m gibt, so dass . Da ist die Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation. Die Ähnlichkeitsklassen mit der Multiplikation bilden eine abelsche Gruppe, die Brauer-Gruppe von k genannt wird und mit bezeichnet wird . Nach dem Artin-Wedderburn-Theorem ist eine zentrale einfache Algebra der Matrixring eines Divisionsrings; somit wird jede Ähnlichkeitsklasse durch einen eindeutigen Teilungsring dargestellt. ${\displaystyle A\otimes_{k}k_{n}\approx B\otimes_{k}k_{m}}$${\displaystyle k_{n}\otimes_{k}k_{m}\simeq k_{nm}}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$${\displaystyle\operatorname {Br} (k)}$

Ist zum Beispiel trivial, wenn k ein endlicher Körper oder ein algebraisch abgeschlossener Körper ist (allgemeiner quasi-algebraisch abgeschlossener Körper ; vgl . Satz von Tsen ). hat Ordnung 2 (ein Sonderfall des Satzes von Frobenius ). Wenn k schließlich ein nicht-archimedisches lokales Feld ist (z. B. ), dann durch die invariante Abbildung . ${\displaystyle\operatorname {Br} (k)}$${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf{Q} _{p}}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

Wenn nun F eine Körpererweiterung von k ist , dann induziert die Basiserweiterung . Sein Kernel wird mit bezeichnet . Es besteht aus solchen, die ein Matrixring über F sind (das heißt, A wird durch F gespalten .) Wenn die Erweiterung endlich und Galois ist, dann ist sie kanonisch isomorph zu . ${\displaystyle -\otimes_{k}F}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)}$${\displaystyle\operatorname {Br} (F/k)}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle A\otimes_{k}F}$${\displaystyle\operatorname {Br} (F/k)}$${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)}$

Azumaya-Algebren verallgemeinern den Begriff der zentralen einfachen Algebren auf einen kommutativen lokalen Ring.

Bewertungsring

Wenn K ein Körper ist, ist eine Bewertung v ein Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe K ^∗ zu einer total geordneten abelschen Gruppe G so dass für jedes f , g in K mit f + g ungleich Null v ( f + g ) ≥ min { v ( f ), v ( g )}. Der Bewertungsring von v ist der Teilring von K , der aus Null und allen von Null verschiedenen f besteht, so dass v ( f ) ≥ 0 ist .

Beispiele:

Siehe auch: Novikov-Ring und einreihiger Ring .

Ringe mit extra Struktur

Ein Ring kann als eine abelsche Gruppe (unter Verwendung der Additionsoperation) mit einer zusätzlichen Struktur angesehen werden: nämlich der Ringmultiplikation. Ebenso gibt es andere mathematische Objekte, die als Ringe mit zusätzlicher Struktur betrachtet werden können. Zum Beispiel:

• Eine assoziative Algebra ist ein Ring, der auch ein Vektorraum über einem Körper K ist , sodass die Skalarmultiplikation mit der Ringmultiplikation kompatibel ist. Zum Beispiel hat die Menge von n mal n Matrizen über dem reellen Körper R die Dimension n ² als reeller Vektorraum.
• Ein Ring R ist ein topologischer Ring, wenn seiner Menge von Elementen R eine Topologie gegeben ist , die sowohl die Additionsabbildung ( ) als auch die Multiplikationsabbildung ( ) als Abbildungen zwischen topologischen Räumen stetig macht (wobei X × X die Produkttopologie oder eine beliebige anderes Produkt in der Kategorie). Beispielsweise könnten n- mal- n- Matrizen über den reellen Zahlen entweder die euklidische Topologie oder die Zariski-Topologie gegeben werden , und in beiden Fällen würde man einen topologischen Ring erhalten.${\displaystyle +:R\times R\to R\,}$${\displaystyle \cdot :R\times R\to R\,}$
• Ein λ-Ring ist ein kommutativer Ring R zusammen mit Operationen λ ⁿ : R → R , die wie n- te äußere Potenzen sind :

${\displaystyle \lambda^{n}(x+y)=\sum_{0}^{n}\lambda^{i}(x)\lambda^{ni}(y)}$.

Z ist zum Beispiel ein λ-Ring mit , den Binomialkoeffizienten . Der Begriff spielt eine zentrale Regel im algebraischen Ansatz des Riemann-Roch-Theorems .${\displaystyle \lambda^{n}(x)={\binom {x}{n}}}$

• Ein vollständig geordneter Ring ist ein Ring mit einer Gesamtordnung , die mit Ringoperationen kompatibel ist.

Einige Beispiele für die Allgegenwart von Ringen

Viele verschiedene Arten von mathematischen Objekten können in Bezug auf einen assoziierten Ring erfolgreich analysiert werden .

Kohomologiering eines topologischen Raums

Zu jedem topologischen Raum X kann man seinen ganzzahligen Kohomologiering

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf{Z})=\bigoplus_{i=0}^{\infty}H^{i}(X,\mathbf{Z}),}$

ein abgestufter Ring . Es gibt auch Homologiegruppen eines Raums, und diese wurden tatsächlich zuerst als nützliches Werkzeug zur Unterscheidung zwischen bestimmten Paaren topologischer Räume wie den Sphären und Tori definiert , für die die Methoden der Punktmengentopologie nicht gut geeignet sind. Kohomologiegruppen wurden später in Form von Homologiegruppen in einer Weise definiert, die dem Dual eines Vektorraums in etwa analog ist . Jede einzelne integrale Homologiegruppe zu kennen ist wegen des universellen Koeffizientensatzes im Wesentlichen dasselbe wie jede einzelne integrale Kohomologiegruppe zu kennen . Jedoch ist der Vorteil der Kohomologiegruppen , dass es eine natürliche Produkt , das auf die Beobachtung analog ist , dass ein mehrfach punktweise kann k - Multilinearform und eine l -multilinear Form A (erhalten k + l ) -multilinear Form. ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbf{Z})}$

Die Ringstruktur in der Kohomologie liefert die Grundlage für charakteristische Klassen von Faserbündeln , Schnitttheorie über Mannigfaltigkeiten und algebraische Varietäten , Schubert-Kalkül und vieles mehr.

Burnside-Ring einer Gruppe

Zu jeder Gruppe zugeordnet ist , seine Burnside Ring , die einen Ring verwendet die verschiedenen Möglichkeiten , die Gruppe kann zu beschreiben , wirken auf einer endlichen Menge. Die additive Gruppe des Burnside-Rings ist die freie abelsche Gruppe, deren Basis die transitiven Aktionen der Gruppe sind und deren Addition die disjunkte Vereinigung der Aktion ist. Eine Handlung in Bezug auf die Basis auszudrücken bedeutet, eine Handlung in ihre transitiven Bestandteile zu zerlegen. Die Multiplikation lässt sich leicht mit dem Darstellungsring ausdrücken : Die Multiplikation im Burnside-Ring wird gebildet, indem das Tensorprodukt zweier Permutationsmodule als Permutationsmodul geschrieben wird. Die Ringstruktur ermöglicht eine formale Möglichkeit, eine Aktion von einer anderen zu subtrahieren. Da der Burnside-Ring als endlicher Index-Unterring des Repräsentationsrings enthalten ist, kann man leicht von einem zum anderen übergehen, indem man die Koeffizienten von ganzen Zahlen zu rationalen Zahlen erweitert.

Repräsentationsring eines Gruppenrings

Jedem Gruppenring oder Hopf-Algebra ist sein Repräsentationsring oder "Grüner Ring" zugeordnet. Die additive Gruppe des Darstellungsrings ist die freie abelsche Gruppe, deren Basis die unzerlegbaren Module sind und deren Addition der direkten Summe entspricht. Ein Modul in Bezug auf die Basis auszudrücken bedeutet, eine unzerlegbare Zerlegung des Moduls zu finden. Die Multiplikation ist das Tensorprodukt. Wenn die Algebra halbeinfach ist, ist der Darstellungsring nur der Zeichenring aus der Zeichentheorie , der mehr oder weniger die Grothendieck-Gruppe bei einer Ringstruktur ist.

Funktionsfeld einer irreduziblen algebraischen Varietät

Jeder irreduziblen algebraischen Varietät ist ihr Funktionsfeld zugeordnet . Die Punkte einer algebraischen Varietät entsprechen Bewertungsringen, die im Funktionsfeld enthalten sind und den Koordinatenring enthalten . Das Studium der algebraischen Geometrie macht Gebrauch von der kommutativen Algebra , um geometrische Konzepte im Hinblick auf ringtheoretische Eigenschaften zu studieren. Birationale Geometriestudien bilden zwischen den Teilringen des Funktionsfeldes ab.

Gesichtsring eines simplizialen Komplexes

Jeder simpliziale Komplex hat einen zugehörigen Gesichtsring, auch Stanley-Reisner-Ring genannt . Dieser Ring spiegelt viele der kombinatorischen Eigenschaften des simplizialen Komplexes wider und ist daher von besonderem Interesse in der algebraischen Kombinatorik . Insbesondere wurde die algebraische Geometrie des Stanley-Reisner-Rings verwendet, um die Anzahl der Flächen in jeder Dimension simplizialer Polytope zu charakterisieren .

Kategorietheoretische Beschreibung

Jeder Ring kann man sich als Monoid in Ab vorstellen , der Kategorie der abelschen Gruppen ( vorstellbar als monoide Kategorie unter dem Tensorprodukt von -Modulen${\displaystyle {\mathbf{Z}}}$ ). Die monoide Wirkung eines Rings R auf eine abelsche Gruppe ist einfach ein R- Modul . Im Wesentlichen ist ein R -Modul eine Verallgemeinerung des Begriffs eines Vektorraums – wo man statt eines Vektorraums über einem Körper einen "Vektorraum über einem Ring" hat.

Sei ( A , +) eine abelsche Gruppe und sei End( A ) ihr Endomorphismusring (siehe oben). Beachten Sie, dass End( A ) im Wesentlichen die Menge aller Morphismen von A ist , wobei, wenn f in End( A ) und g in End( A ) ist, die folgenden Regeln verwendet werden können, um f + g und f . zu berechnen ⋅ g :

• ( f +  g ) ( x ) = f ( x ) +  g ( x )
• ( f ⋅  g )( x ) = f ( g ( x )),

wobei + wie in f ( x ) + g ( x ) die Addition in A ist und die Funktionszusammensetzung von rechts nach links bezeichnet wird. Daher zugeordnet zu jeder abelschen Gruppe, ein Ring ist . Umgekehrt kann jeder Ring gegeben, ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) ist eine abelschen Gruppe. Außerdem führt die rechte (oder linke) Multiplikation mit r für jedes r in R zu einem Morphismus von ( R , +) durch die rechte (oder linke) Distributivität. Sei A = ( R , +) . Betrachten Sie diese Endomorphismen von A , die die rechte (oder linke) Multiplikation von R "faktorieren" . Mit anderen Worten lassen End _R ( A ) die Menge aller morphisms m von A , mit der Eigenschaft , dass m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x ) . Es wurde gesehen, dass jedes r in R einen Morphismus von A hervorruft : rechte Multiplikation mit r . Tatsächlich ist diese Assoziation eines beliebigen Elements von R mit einem Morphismus von A als Funktion von R bis End _R ( A ) ein Isomorphismus von Ringen. In diesem Sinne kann daher jeder Ring als der Endomorphismusring einer abelschen X- Gruppe angesehen werden (mit X- Gruppe ist eine Gruppe gemeint , deren Operatoren X ist ). Im Wesentlichen ist die allgemeinste Form eines Rings die Endomorphismusgruppe einer abelschen X- Gruppe.  

Jeder Ring kann als präadditive Kategorie mit einem einzigen Objekt angesehen werden. Es liegt daher nahe, beliebige präadditive Kategorien als Verallgemeinerungen von Ringen zu betrachten. Und tatsächlich können viele Definitionen und Sätze, die ursprünglich für Ringe gegeben wurden, in diesen allgemeineren Kontext übersetzt werden. Additive Funktoren zwischen präadditiven Kategorien verallgemeinern das Konzept des Ringhomomorphismus, und Ideale in additiven Kategorien können als Mengen von Morphismen definiert werden, die unter Addition und unter Komposition mit beliebigen Morphismen abgeschlossen sind.

Verallgemeinerung

Algebraisten haben Strukturen definiert, die allgemeiner als Ringe sind, indem sie einige der Ringaxiome schwächen oder fallen lassen.

Rng

A rng ist dasselbe wie ein Ring, außer dass die Existenz einer multiplikativen Identität nicht vorausgesetzt wird.

Nichtassoziativer Ring

Ein nichtassoziativer Ring ist eine algebraische Struktur, die alle Ringaxiome außer der assoziativen Eigenschaft und der Existenz einer multiplikativen Identität erfüllt. Ein bemerkenswertes Beispiel ist eine Lie-Algebra . Für solche Algebren existiert eine Strukturtheorie, die die analogen Ergebnisse für Lie-Algebren und assoziative Algebren verallgemeinert.

Halbring

Ein Semiring (manchmal rig ) wird erhalten, indem man die Annahme, dass ( R , +) eine abelsche Gruppe ist, auf die Annahme, dass ( R , +) ein kommutatives Monoid ist, abschwächt und das Axiom hinzufügt, dass 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 für alle a in R (da es nicht mehr aus den anderen Axiomen folgt).

Beispiele:

• die nicht-negativen ganzen Zahlen mit gewöhnlicher Addition und Multiplikation;${\displaystyle \{0,1,2,\ldots\}}$
• der tropische Halbring .

Andere ringartige Objekte

Ringobjekt in einer Kategorie

Sei C eine Kategorie mit endlichen Produkten . Sei pt ein Terminalobjekt von C (ein leeres Produkt). Ein Ringobjekt in C ist ein Objekt R, das mit Morphismen (Addition), (Multiplikation), (additive Identität), (additive inverse) und (multiplikative Identität) ausgestattet ist und die üblichen Ringaxiome erfüllt. Äquivalent ist ein Ringobjekt ein Objekt R, das mit einer Faktorisierung seines Punktefunktors durch die Kategorie der Ringe ausgestattet ist: . ${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to}}\,R}$${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to}}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to}}\,R}$${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to}}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to}}\,R}$${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Ringe} {\stackrel {\textrm {vergessen}}{\longrightarrow }}\mathbf {Mengen} }$

Ringschema

In der algebraischen Geometrie, ein Ringsystem über ein Basisschema S ist ein Ring - Objekt in der Kategorie S -schemes. Ein Beispiel ist das Ringschema W _n über Spec Z , das für jeden kommutativen Ring A den Ring W _n ( A ) von p- isotypischen Witt-Vektoren der Länge n über A liefert .

Ringspektrum

In der algebraischen Topologie ist ein Ringspektrum ein Spektrum X zusammen mit einer Multiplikation und einer Einheitsabbildung aus dem Kugelspektrum S , so dass die Ringaxiomdiagramme bis zur Homotopie kommutieren. In der Praxis ist es üblich, ein Ringspektrum als ein monoides Objekt in einer guten Spektrenkategorie wie der Kategorie der symmetrischen Spektren zu definieren . ${\displaystyle \mu\colon X\wedge X\to X}$${\displaystyle S\nach X}$

Siehe auch

Sonderformen von Ringen:

Anmerkungen

Zitate

Verweise

Allgemeine Referenzen

Besondere Referenzen

Primäre Quellen

Historische Referenzen