Zweite Quantisierung - Second quantization

Quantenfeldtheorie
Feynman-Diagramm
Geschichte
Hintergrund Feldtheorie Elektromagnetismus Schwache Kraft Starke Kraft Quantenmechanik Spezielle Relativität Generelle Relativität Lehrentheorie
Symmetrien Symmetrie in der Quantenmechanik C-Symmetrie P-Symmetrie T-Symmetrie Raumtranslationssymmetrie Zeitübersetzungssymmetrie Rotationssymmetrie Lorentz-Symmetrie Poincaré-Symmetrie Messgerätesymmetrie Explizite Symmetriebrechung Spontane Symmetriebrechung Yang-Mills-Theorie Noether-Ladung Topologische Ladung
Werkzeuge Anomalie Kreuzung Effektive Feldtheorie Erwartungswert Faddeev-Popov-Geister Feynman-Diagramm Gittereichtheorie LSZ-Reduktionsformel Partitionsfunktion Vermehrer Quantisierung Regulierung Renormierung Vakuumzustand Der Satz von Wick Wightman-Axiome
Gleichungen Dirac-Gleichung Klein-Gordon-Gleichung Proca-Gleichungen Wheeler-DeWitt-Gleichung Bargmann-Wigner-Gleichungen
Standardmodell Quantenelektrodynamik Elektroschwache Wechselwirkung Quantenchromodynamik Higgs-Mechanismus
Unvollständige Theorien Topologische Quantenfeldtheorie Stringtheorie Supersymmetrie Technicolor Theorie von allem Quantengravitation
Wissenschaftler CD Anderson PW Anderson Sei der Björken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashütte Gell-Mann Grob Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordanien Kendall Trockenfutter Lamm Landauer Lee Majorana Mühlen Nambu Nishijima Paris Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltmann Station Weinberg Weißkopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v T e

Zweite Quantisierung , auch Besetzungszahldarstellung genannt , ist ein Formalismus zur Beschreibung und Analyse von Quanten- Vielteilchensystemen . In der Quantenfeldtheorie ist es als kanonische Quantisierung bekannt , bei der die Felder (typischerweise als Wellenfunktionen der Materie) als Feldoperatoren gedacht werden, ähnlich wie die physikalischen Größen (Ort, Impuls usw.) als Operatoren in der ersten Quantisierung gedacht . Die Schlüsselideen dieser Methode wurden 1927 von Paul Dirac eingeführt und später vor allem von Vladimir Fock und Pascual Jordan entwickelt .

Bei diesem Ansatz werden die Quanten-Vielteilchenzustände in der Fock-Zustandsbasis dargestellt , die konstruiert werden, indem jeder Einteilchenzustand mit einer bestimmten Anzahl identischer Teilchen aufgefüllt wird. Der zweite Quantisierungsformalismus führt die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein , um die Fock-Zustände zu konstruieren und zu handhaben, und bietet nützliche Werkzeuge für das Studium der Quanten-Vielteilchentheorie.

Quanten-Vielteilchenzustände

Ausgangspunkt des zweiten Quantisierungsformalismus ist der Begriff der Ununterscheidbarkeit von Teilchen in der Quantenmechanik. Anders als in der klassischen Mechanik, wo jedes Teilchen durch einen bestimmten Ortsvektor gekennzeichnet ist und unterschiedliche Konfigurationen der Menge von s unterschiedlichen Vielteilchenzuständen entsprechen, sind in der Quantenmechanik die Teilchen identisch, so dass der Austausch zweier Teilchen, dh nicht zu einem anderen Vielteilchen-Quantenzustand führen . Dies impliziert, dass die Quanten-Vielteilchenwellenfunktion beim Austausch zweier Teilchen invariant (bis auf einen Phasenfaktor) sein muss. Nach der Statistik der Teilchen kann die Vielteilchenwellenfunktion unter dem Teilchenaustausch entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi_{\rm{B}}(\cdots,\mathbf{r}_{i},\cdots,\mathbf{r}_{j},\cdots)=+\Psi_{\ rm {B}}(\cdots,\mathbf{r}_{j},\cdots,\mathbf{r}_{i},\cdots)}$wenn die Teilchen Bosonen sind ,

${\displaystyle \Psi_{\rm{F}}(\cdots,\mathbf{r}_{i},\cdots,\mathbf{r}_{j},\cdots)=-\Psi_{\ rm {F}}(\cdots,\mathbf{r}_{j},\cdots,\mathbf{r}_{i},\cdots)}$wenn die Teilchen Fermionen sind .

Diese Austauschsymmetrieeigenschaft erlegt der Vielteilchenwellenfunktion eine Einschränkung auf. Jedes Mal, wenn ein Teilchen dem Vielteilchensystem hinzugefügt oder daraus entfernt wird, muss die Wellenfunktion richtig symmetrisiert oder antisymmetrisiert werden, um die Symmetriebedingung zu erfüllen. Im ersten Quantisierungsformalismus wird diese Einschränkung dadurch gewährleistet, dass die Wellenfunktion als Linearkombination von bleibenden (für Bosonen) oder Determinanten (für Fermionen) von Einteilchenzuständen dargestellt wird. Beim zweiten Quantisierungsformalismus wird das Problem der Symmetrisierung automatisch durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erledigt, so dass seine Notation viel einfacher sein kann.

Erste quantisierte Vielteilchenwellenfunktion

Betrachten Sie einen vollständigen Satz von Einteilchen-Wellenfunktionen, die mit gekennzeichnet sind (die ein kombinierter Index einer Reihe von Quantenzahlen sein können). Die folgende Wellenfunktion ${\displaystyle \psi_{\alpha}(\mathbf{r})}$${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle \Psi[\mathbf{r}_{i}]=\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_{i}}(\mathbf{r}_{i} )\equiv\psi_{\alpha_{1}}\otimes \psi_{\alpha_{2}}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_{N}}}$

stellt einen N- Teilchen-Zustand dar, wobei das i- te Teilchen den Ein-Teilchen-Zustand besetzt . In der Kurzschreibweise kann das Positionsargument der Wellenfunktion weggelassen werden, und es wird angenommen, dass die i- te Einteilchen-Wellenfunktion den Zustand des i- ten Teilchens beschreibt. Die Wellenfunktion ist nicht symmetrisiert oder antisymmetrisiert, also im Allgemeinen nicht als Vielteilchen-Wellenfunktion für identische Teilchen qualifiziert. Es kann jedoch durch Operatoren für Symmetrizer und für Antisymmetrizer in die symmetrisierte (antisymmetrisierte) Form gebracht werden . ${\displaystyle |{\alpha_{i}}\rangle}$${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle {\mathcal{S}}}$${\displaystyle {\mathcal{A}}}$

Für Bosonen muss die Vielteilchenwellenfunktion symmetrisiert werden,

${\displaystyle \Psi_{\rm{B}}[\mathbf{r}_{i}]={\mathcal{N}}{\mathcal{S}}\Psi[\mathbf{r}_{i }]={\mathcal{N}}\sum_{\pi\in S_{N}}\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_{\pi(i)}} (\mathbf{r}_{i})={\mathcal{N}}\sum_{\pi\in S_{N}}\psi_{\alpha_{\pi (1)}}\otimes\ psi _{\alpha_{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha_{\pi(N)}};}$

während für Fermionen die Vielteilchenwellenfunktion antisymmetrisiert sein muss,

${\displaystyle \Psi_{\rm{F}}[\mathbf{r}_{i}]={\mathcal{N}}{\mathcal{A}}\Psi[\mathbf{r}_{i }]={\mathcal{N}}\sum_{\pi\in S_{N}}(-1)^{\pi}\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha _{\pi(i)}}(\mathbf{r}_{i})={\mathcal{N}}\sum_{\pi\in S_{N}}(-1)^{\pi} \psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha_{\pi (N )}}.}$

Hier ist ein Element in der N- Körper-Permutationsgruppe (oder symmetrischen Gruppe ) , das eine Permutation zwischen den Zustandslabels durchführt und das entsprechende Permutationszeichen bezeichnet . ist der Normalisierungsoperator, der die Wellenfunktion normalisiert. (Es ist der Operator, der einen geeigneten numerischen Normierungsfaktor auf die symmetrisierten Tensoren vom Grad n anwendet ; seinen Wert finden Sie im nächsten Abschnitt.) ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle (-1)^{\pi}}$${\displaystyle {\mathcal{N}}}$

Ordnet man die Einteilchen-Wellenfunktionen in einer Matrix an , so dass das Zeilen- i- Spalte- j- Matrix-Element ist , dann kann man die Boson-Vielteilchen-Wellenfunktion einfach als permanent schreiben und die Fermion-Vielteilchen-Wellenfunktion als Determinante (auch bekannt als Slater-Determinante ). ${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{ij}=\psi_{\alpha_{j}}(\mathbf{r}_{i})\equiv\langle\mathbf{r}_{i}|\alpha_{j} \rangle}$ ${\displaystyle \Psi_{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$ ${\displaystyle \Psi_{\rm {F}}={\mathcal {N}}\operatorname {det} U}$

Zweitquantisierte Fock-Zustände

Erste quantisierte Wellenfunktionen beinhalten komplizierte Symmetrierungsverfahren, um physikalisch realisierbare Vielteilchenzustände zu beschreiben, da die Sprache der ersten Quantisierung für nicht unterscheidbare Teilchen überflüssig ist. In der ersten Quantisierungssprache wird der Vielteilchenzustand durch die Beantwortung einer Reihe von Fragen wie "Welches Teilchen befindet sich in welchem ​​Zustand?" beschrieben. . Dies sind jedoch keine physikalischen Fragen, da die Teilchen identisch sind und es unmöglich ist, überhaupt zu sagen, welches Teilchen welches ist. Die scheinbar unterschiedlichen Zustände und sind eigentlich redundante Namen desselben Quanten-Vielteilchenzustands. Daher muss die Symmetrierung (oder Antisymmetrierung) eingeführt werden, um diese Redundanz in der ersten Quantisierungsbeschreibung zu beseitigen. ${\displaystyle \psi_{1}\otimes\psi_{2}}$${\displaystyle \psi_{2}\otimes\psi_{1}}$

In der zweiten Quantisierungssprache fragt man statt "jedes Teilchen in welchem ​​Zustand" zu fragen " Wie viele Teilchen gibt es in jedem Zustand?" . Da sich diese Beschreibung nicht auf die Markierung von Teilchen bezieht, enthält sie keine redundanten Informationen und führt somit zu einer präziseren und einfacheren Beschreibung des Quanten-Vielteilchenzustands. Bei diesem Ansatz wird der Vielteilchenzustand in der Besetzungsnummernbasis dargestellt, und der Basiszustand wird durch die Menge der Besetzungsnummern gekennzeichnet, die mit bezeichnet werden

${\displaystyle |[n_{\alpha}]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots,n_{\alpha},\cdots\rangle,}$

was bedeutet, dass es Teilchen im Einteilchenzustand (oder als ) gibt. Die Besetzungszahlen summieren sich zur Gesamtzahl der Teilchen, dh . Bei Fermionen kann die Besetzungsnummer aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips nur 0 oder 1 sein ; während es für Bosonen jede nicht negative ganze Zahl sein kann ${\displaystyle n_{\alpha}}$${\displaystyle |\alpha\rangle}$${\displaystyle \psi_{\alpha}}$${\displaystyle \sum_{\alpha}n_{\alpha}=N}$${\displaystyle n_{\alpha}}$

${\displaystyle n_{\alpha}={\begin{cases}0,1&{\text{Fermionen,}}\\0,1,2,3,...&{\text{Bosonen.}}\end {Fälle}}}$

Die Besetzungszahlenzustände werden auch als Fock-Zustände bezeichnet. Alle Fock-Zustände bilden eine vollständige Basis des Vielteilchen-Hilbert-Raums oder Fock-Raums . Jeder generische Quanten-Vielteilchenzustand kann als Linearkombination von Fock-Zuständen ausgedrückt werden. ${\displaystyle |[n_{\alpha}]\rangle}$

Beachten Sie, dass der Fock-Raum nicht nur eine effizientere Sprache bietet, sondern auch eine variable Anzahl von Partikeln ermöglicht. Als Hilbert-Raum ist er isomorph zur Summe der im vorherigen Abschnitt beschriebenen n- Teilchen-Bosonen- oder -Fermion-Tensorräume, einschließlich eines eindimensionalen Null-Teilchen-Raums ℂ.

Der Fock-Zustand mit allen Besetzungszahlen gleich Null wird als Vakuumzustand bezeichnet . Der Fock-Zustand mit nur einer von Null verschiedenen Besetzungszahl ist ein Einzelmodus-Fock-Zustand, bezeichnet mit . In Bezug auf die erste quantisierte Wellenfunktion ist der Vakuumzustand das Einheitstensorprodukt und kann bezeichnet werden . Der Einteilchenzustand wird auf seine Wellenfunktion reduziert . Andere Einmoden-Vielteilchenzustände (Bosonen) sind nur das Tensorprodukt der Wellenfunktion dieser Mode, wie und . Für Multimode-Fock-Zustände (d. h. mehr als ein Einteilchenzustand ist beteiligt) erfordert die entsprechende erstquantisierte Wellenfunktion eine richtige Symmetrierung gemäß der Teilchenstatistik, z. B. für einen Boson-Zustand und für einen Fermion-Zustand (das Symbol zwischen und wird der Einfachheit halber weggelassen). Im Allgemeinen ergibt sich die Normierung zu , wobei N die Gesamtzahl der Teilchen ist. Für Fermion reduziert sich dieser Ausdruck auf as kann nur entweder null oder eins sein. Die dem Fock-Zustand entsprechende erstquantisierte Wellenfunktion lautet also ${\displaystyle |0\rangle\equiv |\cdots,0_{\alpha},\cdots\rangle}$${\displaystyle |n_{\alpha}\rangle\equiv |\cdots,0,n_{\alpha},0,\cdots\rangle}$${\displaystyle |0\rangle=1}$${\displaystyle |1_{\alpha}\rangle =\psi_{\alpha}}$${\displaystyle |2_{\alpha}\rangle =\psi_{\alpha}\otimes\psi_{\alpha}}$${\displaystyle |n_{\alpha}\rangle =\psi_{\alpha}^{\otimes n}}$${\displaystyle |\alpha\rangle}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi_{1}\psi_{2}+\psi_{2}\psi_{1})/{\sqrt {2} }}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi_{1}\psi_{2}-\psi_{2}\psi_{1})/{\sqrt {2} }}$${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle \psi_{1}}$${\displaystyle \psi_{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\prod_{\alpha}n_{\alpha}!}{N!}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}}$${\displaystyle n_{\alpha}}$

${\displaystyle |[n_{\alpha}]\rangle_{\rm {B}}=\left({\frac {\prod_{\alpha}n_{\alpha}!}{N!}}\right )^{1/2}{\mathcal{S}}\bigotimes\limits_{\alpha}\psi_{\alpha}^{\otimes n_{\alpha}}}$

für Bosonen und

${\displaystyle |[n_{\alpha}]\rangle_{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits_{ \alpha}\psi_{\alpha}^{\otimes n_{\alpha}}}$

für Fermionen. Beachten Sie, dass nur für Fermionen das obige Tensorprodukt effektiv nur ein Produkt über alle besetzten Einteilchenzustände ist. ${\displaystyle n_{\alpha}=0,1}$

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren werden eingeführt, um ein Teilchen aus dem Vielteilchensystem hinzuzufügen oder daraus zu entfernen. Diese Operatoren bilden den Kern des zweiten Quantisierungsformalismus und überbrücken die Lücke zwischen dem ersten und dem zweiten quantisierten Zustand. Die Anwendung des Erzeugungs-(Annihilations-)Operators auf eine zuerst quantisierte Vielteilchen-Wellenfunktion wird einen Einteilchenzustand in Abhängigkeit von der Teilchenstatistik symmetrisiert aus der Wellenfunktion einfügen (löschen). Andererseits können alle zweitquantisierten Fock-Zustände konstruiert werden, indem die Erzeugungsoperatoren wiederholt auf den Vakuumzustand angewendet werden.

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (für Bosonen) wurden ursprünglich im Kontext des quantenharmonischen Oszillators als Hebe- und Senkoperatoren konstruiert , die dann in der Quantenfeldtheorie auf die Feldoperatoren verallgemeinert werden. Sie sind grundlegend für die Quanten-Vielteilchentheorie in dem Sinne, dass jeder Vielteilchenoperator (einschließlich des Hamilton-Operators des Vielteilchensystems und aller physikalischen Observablen) durch sie ausgedrückt werden kann.

Einfüge- und Löschvorgang

Die Erzeugung und Vernichtung eines Teilchens wird durch das Einfügen und Löschen des Einzelteilchenzustands aus der ersten quantisierten Wellenfunktion entweder auf symmetrische oder antisymmetrische Weise implementiert. Sei ein Einteilchenzustand, sei 1 die Tensoridentität (er ist der Generator des Nullteilchenraums ℂ und erfüllt in der Tensoralgebra über dem fundamentalen Hilbertraum) und sei ein generischer Tensorproduktzustand. Die Einfüge- und Löschoperatoren sind lineare Operatoren, die durch die folgenden rekursiven Gleichungen definiert sind ${\displaystyle \psi_{\alpha}}$${\displaystyle \psi_{\alpha}\equiv 1\otimes \psi_{\alpha}\equiv\psi_{\alpha}\otimes 1}$${\displaystyle \Psi =\psi_{\alpha_{1}}\otimes \psi_{\alpha_{2}}\otimes\cdots}$${\displaystyle \otimes _{\pm}}$${\displaystyle \oslash _{\pm}}$

${\displaystyle \psi_{\alpha}\otimes_{\pm}1=\psi_{\alpha},\quad\psi_{\alpha}\otimes_{\pm}(\psi_{\beta }\otimes\Psi)=\psi_{\alpha}\otimes\psi_{\beta}\otimes\Psi\pm\psi_{\beta}\otimes (\psi_{\alpha}\otimes_{ \pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi_{\alpha}\oslash_{\pm}1=0,\quad\psi_{\alpha}\oslash_{\pm}(\psi_{\beta}\otimes\Psi) =\delta_{\alpha\beta}\Psi\pm\psi_{\beta}\otimes (\psi_{\alpha}\oslash_{\pm}\Psi).}$

Hier ist das Kronecker-Delta- Symbol, das 1 wenn und sonst 0 ergibt . Der Index der Einfüge- oder Löschoperatoren gibt an, ob Symmetrisierung (für Bosonen) oder Antisymmetrisierung (für Fermionen) implementiert ist. ${\displaystyle \delta_{\alpha\beta}}$${\displaystyle \alpha =\beta}$${\displaystyle \pm}$

Boson-Erzeugungs- und -Vernichtungsoperatoren

Der Operator zur Erzeugung von Bosonen (bzw. Annihilation) wird normalerweise als (bzw. ) bezeichnet. Der Erzeugungsoperator fügt dem Einteilchenzustand ein Boson hinzu und der Annihilationsoperator entfernt ein Boson aus dem Einteilchenzustand . Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind zueinander hermitesch konjugiert, aber keiner von ihnen ist hermitesch ( ). ${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}}$${\displaystyle b_{\alpha}}$${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}}$${\displaystyle |\alpha\rangle}$${\displaystyle b_{\alpha}}$${\displaystyle |\alpha\rangle}$${\displaystyle b_{\alpha}\neq b_{\alpha}^{\dagger}}$

Definition

Der Boson-Erzeugungs-(Annihilations-)Operator ist ein linearer Operator, dessen Wirkung auf eine N- Teilchen-erstquantisierte Wellenfunktion definiert ist als ${\displaystyle \Psi}$

${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha}\otimes_{+}\Psi,}$

${\displaystyle b_{\alpha}\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha}\oslash _{+}\Psi ,}$

wobei den Einzelpartikelzustand symmetrisch an möglichen Einfügepositionen einfügt und den Einzelpartikelzustand symmetrisch an möglichen Deletionspositionen löscht . ${\displaystyle \psi_{\alpha}\otimes_{+}}$${\displaystyle \psi_{\alpha}}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi_{\alpha}\oslash_{+}}$${\displaystyle \psi_{\alpha}}$${\displaystyle N}$

Maßnahmen gegen Fock-Staaten

Ausgehend vom Single-Mode-Vakuumzustand findet man durch wiederholtes Anwenden des Erzeugungsoperators${\displaystyle |0_{\alpha}\rangle=1}$${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}}$

${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}|0_{\alpha}\rangle =\psi_{\alpha}\otimes_{+}1=\psi_{\alpha}=|1_{\alpha }\rangle,}$

${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}|n_{\alpha}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha}+1}}}\psi_{\alpha}\ otimes _{+}\psi _{\alpha}^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha}^{\otimes (n_{ \alpha}+1)}={\sqrt {n_{\alpha}+1}}|n_{\alpha}+1\rangle.}$

Der Erzeugungsoperator erhöht die Boson-Besetzungszahl um 1. Daher können alle Besetzungszahl-Zustände durch den Boson-Erzeugungsoperator aus dem Vakuumzustand konstruiert werden

${\displaystyle |n_{\alpha}\rangle ={\frac{1}{\sqrt {n_{\alpha}!}}}(b_{\alpha}^{\dagger})^{n_{\alpha} }|0_{\alpha}\rangle.}$

Andererseits senkt der Annihilationsoperator die Bosonenbesetzungszahl um 1 ${\displaystyle b_{\alpha}}$

${\displaystyle b_{\alpha}|n_{\alpha}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha}}}}\psi _{\alpha}\oslash _{+}\psi _{\alpha}^{\otimes n_{\alpha}}={\sqrt {n_{\alpha}}}\psi _{\alpha}^{\otimes (n_{\alpha}-1)}={ \sqrt {n_{\alpha}}}|n_{\alpha}-1\rangle.}$

Es wird auch den Vakuumzustand löschen, da kein zu vernichtendes Boson im Vakuumzustand zurückgeblieben ist. Mit den obigen Formeln kann man zeigen, dass ${\displaystyle b_{\alpha}|0_{\alpha}\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}b_{\alpha}|n_{\alpha}\rangle =n_{\alpha}|n_{\alpha}\rangle,}$

Bedeutung, die den Boson-Zahlenoperator definiert. ${\displaystyle {\hat{n}}_{\alpha}=b_{\alpha}^{\dagger}b_{\alpha}}$

Das obige Ergebnis kann auf jeden Fock-Zustand von Bosonen verallgemeinert werden.

${\displaystyle b_{\alpha}^{\dagger}|\cdots,n_{\beta},n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots\rangle ={\sqrt {n_{\alpha}+ 1}}|\cdots,n_{\beta},n_{\alpha}+1,n_{\gamma},\cdots\rangle.}$

${\displaystyle b_{\alpha}|\cdots,n_{\beta},n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots\rangle ={\sqrt {n_{\alpha}}}|\cdots, n_{\beta},n_{\alpha}-1,n_{\gamma},\cdots\rangle.}$

Diese beiden Gleichungen können als die definierenden Eigenschaften von Boson-Erzeugungs- und -Vernichtungsoperatoren im zweiten Quantisierungsformalismus betrachtet werden. Die komplizierte Symmetrierung der zugrunde liegenden erstquantisierten Wellenfunktion wird durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (bei Einwirkung auf die erstquantisierte Wellenfunktion) automatisch erledigt, so dass die Komplexität auf der zweiten quantisierten Ebene nicht offenbart wird, und die Formeln der zweiten Quantisierung sind einfach und sauber.

Betreiberidentitäten

Die folgenden Operatoridentitäten ergeben sich aus der Wirkung der Boson-Erzeugungs- und -Vernichtungsoperatoren auf den Fock-Zustand:

${\displaystyle [b_{\alpha}^{\dagger},b_{\beta}^{\dagger}]=[b_{\alpha},b_{\beta}]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta}^{\dagger}]=\delta_{\alpha\beta}.}$

Diese Kommutierungsrelationen können als algebraische Definition der Boson-Erzeugungs- und -Vernichtungsoperatoren angesehen werden. Dass die Boson-Vielteilchenwellenfunktion unter Teilchenaustausch symmetrisch ist, zeigt sich auch in der Kommutierung der Boson-Operatoren.

Die Anhebungs- und Absenkungsoperatoren des harmonischen Quantenoszillators erfüllen ebenfalls die gleichen Kommutierungsrelationen, was bedeutet, dass die Bosonen als Energiequanten (Phononen) eines Oszillators interpretiert werden können. Die Positions- und Impulsoperatoren eines harmonischen Oszillators (oder einer Sammlung von harmonischen Schwingungsmoden) werden durch hermitesche Kombinationen von Phononenerzeugungs- und -vernichtungsoperatoren angegeben.

${\displaystyle x_{\alpha}=(b_{\alpha}+b_{\alpha}^{\dagger})/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha}=(b_{\alpha} -b_{\alpha}^{\dagger})/({\sqrt {2}}\mathrm {i}),}$

die die kanonische Kommutierungsbeziehung zwischen Orts- und Impulsoperatoren reproduzieren (mit $\hbar=1$)

${\displaystyle [x_{\alpha},p_{\beta}]=\mathrm {i}\delta_{\alpha\beta},\quad [x_{\alpha},x_{\beta}]=[p_ {\alpha},p_{\beta}]=0.}$

Diese Idee wird in der Quantenfeldtheorie verallgemeinert , die jede Mode des Materiefeldes als Oszillator betrachtet, der Quantenfluktuationen unterliegt, und die Bosonen als Anregungen (oder Energiequanten) des Feldes behandelt werden.

Fermion-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Der Fermion-Erzeugungs-(Vernichtungs-)Operator wird normalerweise als ( ) bezeichnet. Der Erzeugungsoperator fügt dem Einteilchenzustand ein Fermion hinzu und der Annihilationsoperator entfernt ein Fermion aus dem Einteilchenzustand . ${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}}$${\displaystyle c_{\alpha}}$${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}}$${\displaystyle |\alpha\rangle}$${\displaystyle c_{\alpha}}$${\displaystyle |\alpha\rangle}$

Definition

Der Fermion-Erzeugungs-(Annihilations-)Operator ist ein linearer Operator, dessen Wirkung auf eine erstquantisierte N- Teilchen-Wellenfunktion definiert ist als ${\displaystyle \Psi}$

${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha}\otimes_{-}\Psi,}$

${\displaystyle c_{\alpha}\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha}\oslash _{-}\Psi ,}$

wobei den Einzelpartikelzustand an möglichen Insertionspositionen antisymmetrisch einfügt und den Einzelpartikelzustand an möglichen Deletionspositionen antisymmetrisch löscht . ${\displaystyle \psi_{\alpha}\otimes_{-}}$${\displaystyle \psi_{\alpha}}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi_{\alpha}\oslash_{-}}$${\displaystyle \psi_{\alpha}}$${\displaystyle N}$

Maßnahmen gegen Fock-Staaten

Ausgehend vom Single-Mode-Vakuumzustand , unter Anwendung des Fermion-Erzeugungsoperators , ${\displaystyle |0_{\alpha}\rangle=1}$${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}}$

${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}|0_{\alpha}\rangle =\psi_{\alpha}\otimes_{-}1=\psi_{\alpha}=|1_{\alpha }\rangle,}$

${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}|1_{\alpha}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha}\otimes_{-}\ psi _{\alpha}=0.}$

Wenn der Einteilchenzustand leer ist, füllt der Erzeugungsoperator den Zustand mit einem Fermion. Wenn der Zustand jedoch bereits von einem Fermion besetzt ist, wird der Zustand durch weitere Anwendung des Erzeugungsoperators gelöscht, was das Pauli-Ausschlussprinzip zeigt, dass zwei identische Fermionen nicht gleichzeitig denselben Zustand einnehmen können. Trotzdem kann das Fermion durch den Fermion-Annihilationsoperator aus dem besetzten Zustand entfernt werden . ${\displaystyle |\alpha\rangle}$${\displaystyle c_{\alpha}}$

${\displaystyle c_{\alpha}|1_{\alpha}\rangle =\psi_{\alpha}\oslash _{-}\psi_{\alpha}=1=|0_{\alpha}\rangle,}$

${\displaystyle c_{\alpha}|0_{\alpha}\rangle =0.}$

Der Vakuumzustand wird durch die Wirkung des Annihilationsoperators gelöscht.

Ähnlich wie beim Boson-Fall kann der Fock-Zustand des Fermions aus dem Vakuumzustand mit dem Fermion-Erzeugungsoperator konstruiert werden

${\displaystyle |n_{\alpha}\rangle =(c_{\alpha}^{\dagger})^{n_{\alpha}}|0_{\alpha}\rangle.}$

Es ist leicht zu überprüfen (durch Aufzählung), dass

${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}c_{\alpha}|n_{\alpha}\rangle =n_{\alpha}|n_{\alpha}\rangle,}$

Bedeutung, die den Fermion-Zahlenoperator definiert. ${\displaystyle {\hat{n}}_{\alpha}=c_{\alpha}^{\dagger}c_{\alpha}}$

Das obige Ergebnis kann auf jeden Fock-Zustand von Fermionen verallgemeinert werden.

${\displaystyle c_{\alpha}^{\dagger}|\cdots,n_{\beta},n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots\rangle =(-1)^{\sum_{ \beta <\alpha}n_{\beta}}{\sqrt {1-n_{\alpha}}}|\cdots,n_{\beta},1-n_{\alpha},n_{\gamma},\ cdots \rangle .}$

${\displaystyle c_{\alpha}|\cdots,n_{\beta},n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots\rangle =(-1)^{\sum_{\beta <\alpha }n_{\beta}}{\sqrt {n_{\alpha}}}|\cdots,n_{\beta},1-n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots\rangle.}$

Denken Sie daran, dass die Besetzungsnummer für Fermionen nur 0 oder 1 annehmen kann. Diese beiden Gleichungen können im zweiten Quantisierungsformalismus als die definierenden Eigenschaften der Fermionenerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren angesehen werden. Beachten Sie, dass die Fermion-Zeichenstruktur , auch als Jordan-Wigner-String bekannt , eine vordefinierte Ordnung der Einzelteilchenzustände (die Spinstruktur ) erfordert und eine Zählung der Fermion-Besetzungszahlen aller vorhergehenden Zustände beinhaltet; daher werden die Fermion-Erzeugungs- und -Vernichtungsoperatoren in gewisser Weise als nicht-lokal betrachtet. Diese Beobachtung führt zu der Idee, dass Fermionen emergente Teilchen im weitreichenden verschränkten lokalen Qubit- System sind. ${\displaystyle n_{\alpha}}$${\displaystyle (-1)^{\sum_{\beta <\alpha}n_{\beta}}}$

Betreiberidentitäten

Die folgenden Operatoridentitäten ergeben sich aus der Wirkung der Fermion-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf den Fock-Zustand:

${\displaystyle \{c_{\alpha}^{\dagger},c_{\beta}^{\dagger}\}=\{c_{\alpha},c_{\beta}\}=0,\quad\ {c_{\alpha},c_{\beta}^{\dagger}\}=\delta_{\alpha\beta}.}$

Diese Antikommutierungsbeziehungen können als die algebraische Definition der Fermionenerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren angesehen werden. Dass die Vielteilchenwellenfunktion des Fermions unter Teilchenaustausch antisymmetrisch ist, zeigt sich auch in der Antikommutierung der Fermionoperatoren.

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind zueinander hermitesch konjugiert, aber keiner von ihnen ist hermitesch ( ). Die hermitesche Kombination der Fermion-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ${\displaystyle c_{\alpha}\neq c_{\alpha}^{\dagger}}$

${\displaystyle \chi_{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha}+c_{\alpha}^{\dagger})/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha}-c_{\alpha}^{\dagger})/({\sqrt {2}}\mathrm {i}),}$

werden Majorana-Fermionenoperatoren genannt . Sie können als das fermionische Analogon der Orts- und Impulsoperatoren eines "fermionischen" harmonischen Oszillators angesehen werden. Sie erfüllen die Antikommutierungsrelation

${\displaystyle \{\chi_{i},\chi_{j}\}=\delta_{ij},}$

wobei bezeichnet alle Majorana-Fermion-Operatoren gleichberechtigt (unabhängig von ihrer Herkunft aus Re- oder Im-Kombinationen komplexer Fermion-Operatoren ). Die Antikommutierungsrelation zeigt an, dass Majorana-Fermionenoperatoren eine Clifford-Algebra erzeugen , die systematisch als Pauli-Operatoren im Vielteilchen-Hilbert-Raum dargestellt werden kann. ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle c_{\alpha}}$

Quantenfeldoperatoren

Definieren als allgemeine Vernichtung (Erstellung) Operator für einen Einzelpartikel - Zustand , der entweder fermionischen sein könnte oder bosonischen , die reale Raumdarstellung definiert des Betreibers die Quantenfeldbetreiber und durch ${\displaystyle a_{\nu}^{\dagger }}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (c_{\nu}^{\dagger})}$${\displaystyle (b_{\nu}^{\dagger})}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf{r})}$${\displaystyle \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})}$

${\displaystyle \Psi(\mathbf{r})=\sum_{\nu}\psi_{\nu}\left(\mathbf{r}\right)a_{\nu}}$

${\displaystyle \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})=\sum_{\nu}\psi_{\nu}^{*}\left(\mathbf{r}\right)a_{\ nu }^{\dagger}}$

Diese sind zweite Quantisierung Operatoren mit Koeffizienten und daß gewöhnliche erste Quantisierung Wellenfunktionen . Somit sind beispielsweise alle Erwartungswerte gewöhnliche Wellenfunktionen der ersten Quantisierung. Grob gesagt ist dies die Summe aller Möglichkeiten, um dem System ein Teilchen an Position r durch einen der Basiszustände hinzuzufügen , nicht unbedingt durch ebene Wellen, wie unten beschrieben. ${\displaystyle \psi_{\nu}\left(\mathbf{r}\right)}$${\displaystyle \psi_{\nu}^{*}\left(\mathbf{r}\right)}$ ${\displaystyle \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})}$${\displaystyle \psi_{\nu}\left(\mathbf{r}\right)}$

Da und in jedem Raumpunkt definierte zweite Quantisierungsoperatoren sind, werden sie Quantenfeldoperatoren genannt . Sie gehorchen den folgenden grundlegenden Kommutator- und Antikommutator-Beziehungen: ${\displaystyle \Psi (\mathbf{r})}$${\displaystyle \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})}$

${\displaystyle \left[\Psi(\mathbf{r}_{1}),\Psi^{\dagger}(\mathbf{r}_{2})\right]=\delta (\mathbf{r} _{1}-\mathbf{r}_{2})}$ Bosonfelder,

${\displaystyle \{\Psi(\mathbf{r}_{1}),\Psi^{\dagger}(\mathbf{r}_{2})\}=\delta (\mathbf{r}_{ 1}-\mathbf{r}_{2})}$ Fermionenfelder.

Für homogene Systeme ist es oft wünschenswert, zwischen Realraum und Impulsdarstellungen zu transformieren, daher liefern die Quantenfeldoperatoren in Fourier-Basis :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{ \mathbf{k}}}$

${\displaystyle \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k}}e^{-i\mathbf {k\ cdot r} }a_{\mathbf{k}}^{\dagger}}$

Kommentar zur Nomenklatur

Der von Jordan eingeführte Begriff "zweite Quantisierung" ist eine Fehlbezeichnung, die sich aus historischen Gründen beibehalten hat. Am Anfang der Quantenfeldtheorie wurde fälschlicherweise angenommen, dass die Dirac-Gleichung eine relativistische Wellenfunktion (daher die obsolete "Dirac-Meer"-Interpretation) und kein klassisches Spinorfeld beschreibt, das, wenn es quantisiert wird (wie das Skalarfeld), a fermionisches Quantenfeld (im Vergleich zu einem bosonischen Quantenfeld).

Man quantisiert nicht „wieder“, wie der Begriff „zweite“ vermuten lässt; das quantisierte Feld ist keine Schrödinger-Wellenfunktion , die durch die Quantisierung eines Teilchens erzeugt wurde, sondern ein klassisches Feld (wie das elektromagnetische Feld oder das Dirac-Spinorfeld ), im Wesentlichen eine Anordnung gekoppelter Oszillatoren, die nicht vorher quantisiert. Man quantisiert lediglich jeden Oszillator in dieser Anordnung und wechselt von einer semiklassischen Behandlung des Systems zu einer vollständig quantenmechanischen.

Siehe auch

• Kanonische Quantisierung
• Erste Quantisierung
• Geometrische Quantisierung
• Quantisierung (Physik)
• Schrödinger funktional

Verweise

Weiterlesen

• Zweite Quantisierung Carlo Maria Becchi, Scholarpedia , 5(6):7902. doi:10.4249/scholarpedia.7902

Externe Links

• Many-Electron States in E. Pavarini, E. Koch und U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6