Signalmittelung - Signal averaging

Die Signalmittelung ist eine Signalverarbeitungstechnik , die im Zeitbereich angewendet wird , um die Stärke eines Signals im Verhältnis zum Rauschen zu erhöhen, das es verdunkelt. Durch Mittelung eines Satzes von Wiederholungsmessungen wird das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) erhöht, idealerweise proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Messungen.

Ableitung des SNR für gemittelte Signale

Vorausgesetzt, dass

• Das Signal ist nicht mit Rauschen korreliert, und das Rauschen ist nicht korreliert: .${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle z(t)}$${\displaystyle E[z(t)z(t-\tau)]=0=E[z(t)s(t-\tau)]\forall t,\tau}$
• Die Signalleistung ist bei den Wiederholungsmessungen konstant.${\displaystyle P_{signal}=E[s^{2}]}$
• Rauschen ist zufällig, mit einem Mittelwert von Null und konstanter Varianz in den Wiederholungsmessungen: und .${\displaystyle E[z]=0=\mu}$${\displaystyle 0<E[\left(z-\mu\right)^{2}]=E[z^{2}]=P_{Rauschen}=\sigma^{2}}$
• Wir definieren (kanonisch) das Signal-Rausch-Verhältnis als .${\displaystyle SNR={\frac {P_{Signal}}{P_{Rauschen}}}}={\frac {E[s^{2}]}{\sigma ^{2}}}}$

Rauschleistung für abgetastete Signale

Angenommen, wir tasten das Rauschen ab, erhalten wir eine Varianz pro Abtastung von

${\displaystyle \mathrm {Var} (z)=E[z^{2}]=\sigma^{2}}$.

Die Mittelung einer Zufallsvariablen führt zu folgender Varianz:

${\displaystyle \mathrm {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^ {2}}}\mathrm {Var} \left(\sum_{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac{1}{n^{2}}}\sum_ {i=1}^{n}\mathrm {Var} \left(z_{i}\right)}$.

Da die Rauschvarianz konstant ist : ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \mathrm {Var} (N_{\text{avg}})=\mathrm {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_ {i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}}$,

Dies zeigt, dass die Mittelung von Realisierungen des gleichen, unkorrelierten Rauschens die Rauschleistung um einen Faktor von reduziert und den Rauschpegel um einen Faktor von reduziert . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Signalleistung für abgetastete Signale

Betrachtet man Vektoren von Signalabtastwerten der Länge : ${\displaystyle n}$${\displaystyle V_{i},\,i\in \{1,\ldots,n\}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle V_{i}=\left[s_{i,1},\ldots,s_{i,T}\right],\quad s_{i,k}\in\mathbb{K}^{T} }$,

die Potenz eines solchen Vektors ist einfach ${\displaystyle P_{i}}$

${\displaystyle P_{i}=\sum_{k=1}^{T}{s_{i,k}^{2}}=\left|V_{i}\right|^{2}}$.

Die Mittelung der Vektoren ergibt wiederum den folgenden gemittelten Vektor ${\displaystyle n}$${\displaystyle V_{i},\,i=1,\ldots,n}$

${\displaystyle V_{\text{avg}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{T}\sum _{i=1}^{n}s_{i, k}={\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{T}s_{i,k}}$.

In dem Fall wo sehen wir, dass ein Maximum von . erreicht wird ${\displaystyle V_{n}\equiv V_{m}\forall m,n\in\{1,\ldots,n\}}$${\displaystyle V_{\text{avg}}}$

${\displaystyle V_{\text{avg, identische Signale}}=P_{i}}$.

Auch hier erreicht das Verhältnis von Signal zu Rauschen ein Maximum,

${\displaystyle {\text{SNR}}_{\text{avg, identische Signale}}={\frac {V_{\text{avg, identische Signale}}}{N_{\text{avg}}}}}= n{\text{SNR}}}$.

Dies ist der Oversampling- Fall, bei dem das beobachtete Signal korreliert ist (weil Oversampling impliziert, dass die Signalbeobachtungen stark korreliert sind).

Zeitgesteuerte Signale

Die Mittelung wird angewendet, um eine zeitverriegelte Signalkomponente bei verrauschten Messungen zu verbessern; Time-Locking impliziert, dass das Signal beobachtungsperiodisch ist, sodass wir im obigen Maximalfall enden.

Mittelung von ungeraden und geraden Versuchen

Eine spezifische Methode zum Erhalten von Replikaten besteht darin, alle ungeraden und geraden Versuche in separaten Puffern zu mitteln. Dies hat den Vorteil, dass der Vergleich von geraden und ungeraden Ergebnissen aus verschachtelten Versuchen ermöglicht wird. Ein Durchschnitt von ungeraden und geraden Durchschnitten erzeugt das vollständige gemittelte Ergebnis, während die Differenz zwischen den ungeraden und geraden Durchschnitten, geteilt durch zwei, eine Schätzung des Rauschens darstellt.

Algorithmische Implementierung

Das Folgende ist eine MATLAB-Simulation des Mittelungsprozesses:

N=1000;   % signal length
even=zeros(N,1);  % even buffer
odd=even;         % odd buffer
actual_noise=even;% keep track of noise level
x=sin(linspace(0,4*pi,N))'; % tracked signal
for ii=1:256 % number of replicates
    n = randn(N,1); % random noise
    actual_noise = actual_noise+n;
    
    if (mod(ii,2))
        even = even+n+x;
    else
        odd=odd+n+x;
    end
end

even_avg = even/(ii/2); % even buffer average 
odd_avg = odd/(ii/2);   % odd buffer average
act_avg = actual_noise/ii; % actual noise level

db(rms(act_avg))
db(rms((even_avg-odd_avg)/2))
plot((odd_avg+even_avg)); 
hold on; 
plot((even_avg-odd_avg)/2)

Der obige Mittelungsprozess und im Allgemeinen führt zu einer Schätzung des Signals. Im Vergleich zur Rohspur wird der gemittelte Rauschanteil bei jedem gemittelten Versuch reduziert. Bei der Mittelung realer Signale ist die zugrunde liegende Komponente möglicherweise nicht immer so klar, was zu wiederholten Mittelungen bei der Suche nach konsistenten Komponenten in zwei oder drei Replikaten führt. Es ist unwahrscheinlich, dass allein durch Zufall zwei oder mehr konsistente Ergebnisse erzielt werden.

Korreliertes Rauschen

Die Signalmittelung beruht typischerweise stark auf der Annahme, dass die Rauschkomponente eines Signals zufällig ist, einen Mittelwert von null hat und nicht mit dem Signal in Beziehung steht. Es gibt jedoch Fälle, in denen das Rauschen nicht unkorreliert ist. Ein gängiges Beispiel für korreliertes Rauschen ist das Quantisierungsrauschen (zB das Rauschen, das bei der Umwandlung von einem analogen in ein digitales Signal entsteht).

Verweise