Skelett (Kategorie Theorie) - Skeleton (category theory)

In der Mathematik ist ein Skelett einer Kategorie eine Unterkategorie , die grob gesagt keine fremden Isomorphismen enthält . Das Skelett einer Kategorie ist gewissermaßen die „kleinste“ äquivalente Kategorie, die alle „kategorialen Eigenschaften“ des Originals erfasst. Tatsächlich sind zwei Kategorien genau dann äquivalent, wenn sie isomorphe Skelette haben. Eine Kategorie heißt skelettartig, wenn isomorphe Objekte notwendigerweise identisch sind.

Definition

Ein Skelett einer Kategorie C ist eine äquivalente Kategorie D, in der keine zwei unterschiedlichen Objekte isomorph sind. Es wird allgemein als Unterkategorie betrachtet. Im Detail ist ein Skelett von C eine Kategorie D, so dass:

  • D ist eine Unterkategorie von C : jedes Objekt von D ist ein Objekt von C

für jedes Objektpaar d 1 und d 2 von D sind die Morphismen in D Morphismen in C , dh

und die Identitäten und Zusammensetzungen in D sind die Einschränkungen von denen in C .

  • Die Einbeziehung von D in C ist voll , d. h. für jedes Objektpaar d 1 und d 2 von D verstärken wir die obige Teilmengenbeziehung auf eine Gleichheit:
  • Die Einbeziehung von D in C ist im Wesentlichen surjektiv : Jedes C- Objekt ist isomorph zu einem D- Objekt.
  • D ist skelettartig: Keine zwei verschiedenen D- Objekte sind isomorph.

Existenz und Einzigartigkeit

Es ist eine grundlegende Tatsache, dass jede kleine Kategorie ein Skelett hat; allgemeiner gesagt hat jede zugängliche Kategorie ein Skelett. (Dies entspricht dem Auswahlaxiom .) Auch wenn eine Kategorie viele verschiedene Skelette haben kann, sind zwei beliebige Skelette als Kategorien isomorph , so dass das Skelett einer Kategorie bis auf den Isomorphismus der Kategorien eindeutig ist .

Die Bedeutung von Skeletten kommt daher, dass sie (bis auf Isomorphie der Kategorien) kanonische Vertreter der Äquivalenzklassen von Kategorien unter der Äquivalenzrelation der Äquivalenz von Kategorien sind . Dies folgt aus der Tatsache, dass jedes Skelett einer Kategorie C äquivalent zu C ist und dass zwei Kategorien genau dann äquivalent sind, wenn sie isomorphe Skelette haben.

Beispiele

  • Die Kategorie Menge aller Mengen hat die Unterkategorie aller Kardinalzahlen als Skelett.
  • Die Kategorie K -Vect aller Vektorräume über einem festen Körper hat die Unterkategorie bestehend aus allen Potenzen , wobei α eine beliebige Kardinalzahl ist, als Skelett; für jedes endliche m und n sind die Abbildungen genau die n × m- Matrizen mit Einträgen in K .
  • FinSet , die Kategorie aller endlichen Mengen, hat FinOrd , die Kategorie aller endlichen Ordnungszahlen , als Skelett.
  • Die Kategorie aller wohlgeordneten Mengen hat als Skelett die Unterkategorie aller Ordnungszahlen .
  • Eine Vorbestellung , dh eine kleine Kategorie, bei der für jedes Objektpaar die Menge entweder ein Element hat oder leer ist, hat eine teilweise geordnete Menge als Skelett.

Siehe auch

Verweise

  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990). Abstrakte und konkrete Kategorien . Ursprünglich veröffentlicht von John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (jetzt kostenlose Online-Ausgabe)
  • Robert Goldblatt (1984). Topoi, die kategoriale Analyse der Logik (Studien in Logik und die Grundlagen der Mathematik, 98). Nordholland. Nachdruck 2006 von Dover Publications.