Sommerfeld Identität - Sommerfeld identity

Die Sommerfeld-Identität ist eine mathematische Identität, wie Arnold Sommerfeld in der Theorie der Wellenausbreitung verwendet .

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {ikR}} {R}} = \ int \ limitiert _ {0} ^ {\ infty} I_ {0} (\ lambda r) e ^ {- \ mu \ left | z \ right |} {\ frac {\ lambda d \ lambda} {\ mu}}}$

wo

${\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {\ lambda ^ {2} -k ^ {2}}}}$

ist mit positivem Realteil zu nehmen, um die Konvergenz des Integrals und sein Verschwinden in der Grenze zu gewährleisten und ${\ displaystyle z \ rightarrow \ pm \ infty}$

${\ displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} + z ^ {2}}$ .

Hier ist der Abstand vom Ursprung, während der Abstand von der Mittelachse eines Zylinders wie im Zylinderkoordinatensystem ist . Hier folgt die Notation für Bessel-Funktionen der deutschen Konvention, um mit der von Sommerfeld verwendeten ursprünglichen Notation übereinzustimmen. Die Funktion ist die Bessel-Funktion nullter Ordnung der ersten Art, besser bekannt durch die Notation in der englischen Literatur. Diese Identität ist als Sommerfeld-Identität bekannt . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (r, \ phi, z)}$ ${\ displaystyle I_ {0} (z)}$${\ displaystyle I_ {0} (z) = J_ {0} (iz)}$

In alternativer Notation kann die Sommerfeld-Identität leichter als Ausdehnung einer sphärischen Welle in Form von zylindersymmetrischen Wellen gesehen werden:

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {ik_ {0} r}} {r}} = i \ int \ begrenzt _ {0} ^ {\ infty} {dk _ {\ rho} {\ frac {k _ {\ rho }} {k_ {z}}} J_ {0} (k _ {\ rho} \ rho) e ^ {ik_ {z} \ left | z \ right |}}}$

Wo

${\ displaystyle k_ {z} = (k_ {0} ^ {2} -k _ {\ rho} ^ {2}) ^ {1/2}}$

Die hier verwendete Notation unterscheidet sich von der obigen: Sie ist jetzt der Abstand vom Ursprung und der radiale Abstand in einem Zylinderkoordinatensystem, definiert als . Die physikalische Interpretation ist, dass eine sphärische Welle zu einer Summe von zylindrischen Wellen in Richtung erweitert werden kann, multipliziert mit einer zweiseitigen ebenen Welle in Richtung; siehe die Jacobi-Anger-Erweiterung . Die Summe muss über alle Wellenzahlen übernommen werden . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle (\ rho, \ phi, z)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle k _ {\ rho}}$

Die Sommerfeld-Identität ist eng verwandt mit der zweidimensionalen Fourier-Transformation mit Zylindersymmetrie, dh der Hankel-Transformation . Es wird durch die Umwandlung der sphärische Welle entlang der in der Ebene liegenden Koordinaten (gefunden , oder , ) , jedoch nicht die Umwandlung entlang der Höhe koordinieren . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle z}$

Anmerkungen

Verweise

• Sommerfeld, Arnold (1964). Partielle Differentialgleichungen in der Physik . New York: Akademische Presse . ISBN   9780126546583 .
• Chew, Weng Cho (1990). Wellen und Felder in inhomogenen Medien . New York: Van Nostrand Reinhold . ISBN   9780780347496 .

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