Raumform - Space form

In der Mathematik ist eine Raumform ist ein vollständiger Riemannschen Mannigfaltigkeit M der konstanten Schnittkrümmung K . Die drei offensichtlichen Beispiele sind der euklidische n- Raum , die n- dimensionale Kugel und der hyperbolische Raum , obwohl eine Raumform nicht einfach verbunden werden muss .

Reduktion auf verallgemeinerte Kristallographie

Die Abtötung Hopf Theorem der Riemannschen Geometrie besagt , dass die universelle Abdeckung eine n -dimensionale Raumform mit einer Krümmung ist isometrisch , hyperbolischen Raum , mit einer Krümmung ist isometrisch , euklidischen n -Raum , und mit einer Krümmung ist isometrisch , die n- dimensionale Punktkugel Abstand 1 vom Ursprung in . ${\ displaystyle M ^ {n}}$${\ displaystyle K = -1}$${\ displaystyle H ^ {n}}$${\ displaystyle K = 0}$${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ displaystyle K = + 1}$${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle R ^ {n + 1}}$

Durch Umskalierung der Riemannsche Metrik auf , so können wir einen Raum schaffen konstanter Krümmung für jeden . In ähnlicher Weise können wir durch erneutes Skalieren der Riemannschen Metrik einen Raum konstanter Krümmung für jeden erzeugen . Somit ist die universelle Abdeckung einer Raumform mit konstanter Krümmung isometrisch zu . ${\ displaystyle H ^ {n}}$${\ displaystyle M_ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K <0}$${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle M_ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K> 0}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle M_ {K}}$

Dadurch verringert sich das Problem der Raum studieren Formen zu studieren diskreten Gruppen von Isometrien von denen handeln richtig diskontinuierlich . Beachten Sie, dass die Fundamentalgruppe von , zu isomorph sein wird . Auf diese Weise einwirkende Gruppen werden als kristallographische Gruppen bezeichnet . Gruppen auf diese Weise wirken auf und werden als Fuchsian Gruppen und Kleinian Gruppen , respectively. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle M_ {K}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (M)}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ displaystyle H ^ {2}}$${\ displaystyle H ^ {3}}$

Raumformproblem

Die Raumform Problem ist eine Vermutung besagt , dass zwei beliebige kompakte asphärische Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit isomorph Fundamentalgruppen sind homöomorph .

Die möglichen Erweiterungen sind begrenzt. Man könnte vermuten, dass die Mannigfaltigkeiten isometrisch sind , aber eine Neuskalierung der Riemannschen Metrik auf einer kompakten asphärischen Riemannschen Mannigfaltigkeit bewahrt die Grundgruppe und zeigt, dass dies falsch ist. Man könnte auch vermuten wollen , dass die Verteiler sind diffeomorph , aber John Milnor ‚s exotische Sphären sind alle homeomorphic und daher haben isomorph Fundamentalgruppe, dies zeigt , falsch zu sein.

Siehe auch

• Borel-Vermutung

Verweise

• Goldberg, Samuel I. (1998), Krümmung und Homologie , Dover Publications , ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Riemannsche Mannigfaltigkeiten: eine Einführung in die Krümmung , Springer