Spezielle Relativität -Special relativity

Albert Einstein um 1905, dem Jahr, in dem seine „ Annus Mirabilis- Nachlässe“ veröffentlicht wurden. Dazu gehörte Zur Elektrodynamik bewegter Körper , das Papier zur Begründung der speziellen Relativitätstheorie.

In der Physik ist die spezielle Relativitätstheorie oder kurz spezielle Relativitätstheorie eine wissenschaftliche Theorie über die Beziehung zwischen Raum und Zeit . In Albert Einsteins ursprünglicher Behandlung basiert die Theorie auf zwei Postulaten :

  1. Die Gesetze der Physik sind in allen Trägheitsbezugssystemen (d. h. Bezugsrahmen ohne Beschleunigung ) unveränderlich (d. h. identisch ).
  2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist für alle Beobachter gleich, unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle oder des Beobachters.

Herkunft und Bedeutung

Die spezielle Relativitätstheorie wurde ursprünglich von Albert Einstein in einer am 26. September 1905 veröffentlichten Arbeit mit dem Titel „ On the Electrodynamics of Moving Bodies “ vorgeschlagen. Die Inkompatibilität der Newtonschen Mechanik mit den Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus und experimentell dem Michelson-Morley- Nullergebnis (und nachfolgenden ähnlichen Experimenten) zeigte, dass der historisch angenommene Lichtäther nicht existierte. Dies führte zu Einsteins Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie, die die Mechanik korrigiert, um Situationen zu bewältigen, die alle Bewegungen beinhalten, insbesondere solche mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit (bekannt als relativistische Geschwindigkeiten ). Heute ist die spezielle Relativitätstheorie nachweislich das genaueste Bewegungsmodell bei jeder Geschwindigkeit, wenn Gravitations- und Quanteneffekte vernachlässigbar sind. Trotzdem gilt das Newtonsche Modell immer noch als einfache und genaue Annäherung bei niedrigen Geschwindigkeiten (relativ zur Lichtgeschwindigkeit), zum Beispiel alltägliche Bewegungen auf der Erde.

Die spezielle Relativitätstheorie hat eine breite Palette von Konsequenzen, die experimentell verifiziert wurden. Dazu gehören die Relativität der Gleichzeitigkeit , die Längenkontraktion , die Zeitdilatation , die relativistische Geschwindigkeitsadditionsformel , der relativistische Dopplereffekt , die relativistische Masse , eine universelle Geschwindigkeitsbegrenzung , die Masse-Energie-Äquivalenz , die Geschwindigkeit der Kausalität und die Thomas-Präzession . Sie hat beispielsweise die herkömmliche Vorstellung einer absoluten Weltzeit durch die Vorstellung einer Zeit ersetzt, die von Bezugssystem und räumlicher Position abhängig ist. Anstelle eines unveränderlichen Zeitintervalls zwischen zwei Ereignissen gibt es ein unveränderliches Raumzeitintervall . In Kombination mit anderen Gesetzen der Physik sagen die beiden Postulate der speziellen Relativitätstheorie die Äquivalenz von Masse und Energie voraus , wie sie in der Masse-Energie-Äquivalenzformel ausgedrückt wird , wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Es erklärt auch, wie die Phänomene Elektrizität und Magnetismus zusammenhängen.

Ein bestimmendes Merkmal der speziellen Relativitätstheorie ist die Ersetzung der Galileischen Transformationen der Newtonschen Mechanik durch die Lorentz-Transformationen . Zeit und Raum können nicht (wie bisher angenommen) getrennt voneinander definiert werden. Vielmehr sind Raum und Zeit zu einem einzigen Kontinuum verwoben, das als „Raumzeit“ bekannt ist . Ereignisse, die für einen Beobachter zur gleichen Zeit eintreten, können für einen anderen zu unterschiedlichen Zeiten eintreten.

Bis Einstein die allgemeine Relativitätstheorie entwickelte und eine gekrümmte Raumzeit einführte, um die Schwerkraft einzubeziehen, wurde der Ausdruck "spezielle Relativitätstheorie" nicht verwendet. Eine manchmal verwendete Übersetzung ist "eingeschränkte Relativitätstheorie"; "Sonderfall" bedeutet wirklich "Sonderfall". Einige der Arbeiten von Albert Einstein zur speziellen Relativitätstheorie bauen auf früheren Arbeiten von Hendrik Lorentz und Henri Poincaré auf . Die Theorie wurde 1907 im Wesentlichen vollständig.

Die Theorie ist insofern "besonders", als sie nur in dem Sonderfall gilt, in dem die Raumzeit "flach" ist, dh die Krümmung der Raumzeit , Folge des Energie-Impuls-Tensors und die Gravitation darstellt , vernachlässigbar ist. Um die Gravitation korrekt zu berücksichtigen, formulierte Einstein 1915 die allgemeine Relativitätstheorie. Die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigt im Gegensatz zu einigen historischen Beschreibungen sowohl Beschleunigungen als auch sich beschleunigende Bezugssysteme .

So wie die Galileische Relativitätstheorie heute als Annäherung an die spezielle Relativitätstheorie akzeptiert wird, die für niedrige Geschwindigkeiten gültig ist, wird die spezielle Relativitätstheorie als Annäherung an die allgemeine Relativitätstheorie angesehen, die für schwache Gravitationsfelder gilt, d. h. in einem ausreichend kleinen Maßstab (z Gezeitenkräfte sind vernachlässigbar) und im freien Fall . Die Allgemeine Relativitätstheorie bezieht jedoch die nichteuklidische Geometrie ein, um Gravitationseffekte als geometrische Krümmung der Raumzeit darzustellen. Die spezielle Relativitätstheorie ist auf die flache Raumzeit beschränkt, die als Minkowski-Raum bekannt ist . Solange das Universum als pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit modelliert werden kann, kann ein Lorentz-invarianter Rahmen definiert werden, der der speziellen Relativitätstheorie folgt, für eine ausreichend kleine Nachbarschaft jedes Punktes in dieser gekrümmten Raumzeit .

Galileo Galilei hatte bereits postuliert, dass es keinen absoluten und wohldefinierten Ruhezustand (keine privilegierten Referenzrahmen ) gibt, ein Prinzip, das jetzt Galileos Relativitätsprinzip genannt wird . Einstein erweiterte dieses Prinzip so, dass es die konstante Lichtgeschwindigkeit berücksichtigte, ein Phänomen, das im Michelson-Morley-Experiment beobachtet worden war. Er postulierte auch, dass es für alle Gesetze der Physik gilt, einschließlich der Gesetze der Mechanik und der Elektrodynamik .

Traditioneller "Zwei-Postulate"-Ansatz zur speziellen Relativitätstheorie

„Überlegungen dieser Art machten mir schon kurz nach 1900, also kurz nach Plancks bahnbrechenden Arbeiten, klar, dass weder Mechanik noch Elektrodynamik (außer in Grenzfällen) exakte Geltung beanspruchen konnten. Allmählich verzweifelte ich an der Möglichkeit der Entdeckung die wahren Gesetze durch konstruktive Bemühungen auf der Grundlage bekannter Tatsachen zu erkennen.Je länger und je verzweifelter ich mich bemühte, desto mehr kam ich zu der Überzeugung, dass nur die Entdeckung eines universellen formalen Prinzips uns zu gesicherten Ergebnissen führen könnte ... Wie denn , könnte ein solches universelles Prinzip gefunden werden?"

Albert Einstein: Autobiographische Notizen

Einstein erkannte zwei grundlegende Aussagen, die am sichersten zu sein schienen, unabhängig von der genauen Gültigkeit der (damals) bekannten Gesetze der Mechanik oder Elektrodynamik. Diese Aussagen waren die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und die Unabhängigkeit physikalischer Gesetze (insbesondere der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) von der Wahl des Inertialsystems. In seiner ersten Präsentation der speziellen Relativitätstheorie im Jahr 1905 drückte er diese Postulate wie folgt aus:

  • Das Relativitätsprinzip – die Gesetze, nach denen sich die Zustände physikalischer Systeme ändern, werden nicht berührt, unabhängig davon, ob diese Zustandsänderungen auf das eine oder das andere von zwei Systemen in gleichförmiger Translationsbewegung relativ zueinander bezogen werden.
  • Das Prinzip der unveränderlichen Lichtgeschwindigkeit – „... Licht breitet sich im leeren Raum immer mit einer bestimmten Geschwindigkeit [Geschwindigkeit] c aus, die unabhängig vom Bewegungszustand des emittierenden Körpers ist“ (aus dem Vorwort). Das heißt, Licht im Vakuum breitet sich mit der Geschwindigkeit c (einer festen, richtungsunabhängigen Konstante) in mindestens einem Inertialsystem (dem "stationären System") aus, unabhängig vom Bewegungszustand der Lichtquelle.

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit wurde durch Maxwells Theorie des Elektromagnetismus und das Fehlen von Beweisen für den leuchtenden Äther motiviert . Es gibt widersprüchliche Beweise dafür, inwieweit Einstein durch das Nullergebnis des Michelson-Morley-Experiments beeinflusst wurde . In jedem Fall verhalf das Nullergebnis des Michelson-Morley-Experiments der Vorstellung von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit zu einer breiten und schnellen Akzeptanz.

Die Ableitung der speziellen Relativitätstheorie hängt nicht nur von diesen beiden expliziten Postulaten ab, sondern auch von mehreren stillschweigenden Annahmen ( die in fast allen Theorien der Physik gemacht werden), darunter die Isotropie und Homogenität des Raums und die Unabhängigkeit von Maßstäben und Uhren von ihrer Vorgeschichte.

Nach Einsteins ursprünglicher Präsentation der speziellen Relativitätstheorie im Jahr 1905 wurden viele verschiedene Sätze von Postulaten in verschiedenen alternativen Ableitungen vorgeschlagen. Die gebräuchlichste Gruppe von Postulaten bleibt jedoch die von Einstein in seiner ursprünglichen Arbeit verwendete. Eine mathematischere Aussage des Relativitätsprinzips später von Einstein, die den oben nicht erwähnten Begriff der Einfachheit einführt, lautet:

Spezielles Relativitätsprinzip : Wählt man ein Koordinatensystem K so, dass in Bezug auf es physikalische Gesetze in ihrer einfachsten Form gelten, so gelten die gleichen Gesetze in Bezug auf jedes andere Koordinatensystem K′, das sich in gleichförmiger Translation relativ bewegt zu K.

Henri Poincaré lieferte den mathematischen Rahmen für die Relativitätstheorie, indem er bewies, dass Lorentz-Transformationen eine Teilmenge seiner Poincaré-Gruppe von Symmetrietransformationen sind. Später leitete Einstein diese Transformationen aus seinen Axiomen ab.

Viele von Einsteins Artikeln präsentieren Ableitungen der Lorentz-Transformation, die auf diesen beiden Prinzipien basieren.

Prinzip der Relativität

Referenzrahmen und relative Bewegung

Abbildung 2–1. Das gestrichene System bewegt sich relativ zum ungestrichenen System mit konstanter Geschwindigkeit v nur entlang der x -Achse, aus der Perspektive eines im ungestrichenen System stationären Beobachters. Nach dem Relativitätsprinzip wird ein Beobachter, der im gestrichenen System stationär ist, eine ähnliche Konstruktion sehen, außer dass die Geschwindigkeit, die er aufzeichnet, − v sein wird . Die Änderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung von unendlich in der nicht-relativistischen Mechanik zu einem endlichen Wert erfordert eine Modifikation der Transformationsgleichungen, die Ereignisse in einem Rahmen auf einen anderen abbilden.

Referenzrahmen spielen eine entscheidende Rolle in der Relativitätstheorie. Der hier verwendete Begriff Bezugssystem ist eine Betrachtungsperspektive im Raum, die keine Bewegungsänderung (Beschleunigung) erfährt, aus der eine Position entlang 3 Raumachsen (also in Ruhe oder konstanter Geschwindigkeit) gemessen werden kann. Darüber hinaus hat ein Referenzrahmen die Fähigkeit, Messungen der Zeit von Ereignissen unter Verwendung einer „Uhr“ (jedes Referenzgerät mit einheitlicher Periodizität) zu bestimmen.

Ein Ereignis ist ein Ereignis, dem ein einziger eindeutiger Moment und Ort im Raum relativ zu einem Bezugsrahmen zugeordnet werden kann: Es ist ein "Punkt" in der Raumzeit . Da die Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Referenzrahmen relativ relativ konstant ist, können Lichtimpulse verwendet werden, um Entfernungen eindeutig zu messen und auf die Zeiten zurückzugreifen, zu denen Ereignisse auf die Uhr eingetreten sind, obwohl das Licht Zeit braucht, um die Uhr nach dem Ereignis zu erreichen hat sich ereignet.

Beispielsweise kann die Explosion eines Feuerwerkskörpers als "Ereignis" angesehen werden. Wir können ein Ereignis durch seine vier raumzeitlichen Koordinaten vollständig spezifizieren: Der Zeitpunkt des Auftretens und seine 3-dimensionale Lage im Raum definieren einen Bezugspunkt. Nennen wir dieses Referenzsystem S .

In der Relativitätstheorie wollen wir oft die Koordinaten eines Ereignisses aus unterschiedlichen Bezugssystemen berechnen. Die Gleichungen, die Messungen in verschiedenen Rahmen in Beziehung setzen, werden als Transformationsgleichungen bezeichnet .

Standardkonfiguration

Um einen Einblick zu erhalten, wie die von Beobachtern in verschiedenen Referenzrahmen gemessenen Raumzeitkoordinaten miteinander verglichen werden, ist es hilfreich, mit einem vereinfachten Aufbau mit Rahmen in einer Standardkonfiguration zu arbeiten. Mit Sorgfalt ermöglicht dies eine Vereinfachung der Mathematik ohne Verlust der Allgemeingültigkeit der erzielten Schlussfolgerungen. In Abb. 2-1 werden zwei Galilei-Referenzrahmen (dh herkömmliche 3-Raum-Rahmen) in relativer Bewegung angezeigt. Frame S gehört zu einem ersten Beobachter O, und Frame S' (ausgesprochen "S prime" oder "S Strich") gehört zu einem zweiten Beobachter O'.

  • Die x- , y- , z -Achsen des Rahmens S sind parallel zu den jeweiligen gestrichenen Achsen des Rahmens S' orientiert.
  • Der Rahmen S' bewegt sich der Einfachheit halber in eine einzige Richtung: die x -Richtung des Rahmens S mit einer konstanten Geschwindigkeit v , wie in Rahmen S gemessen.
  • Die Ursprünge der Rahmen S und S' fallen zusammen, wenn die Zeit t = 0 für den Rahmen S und t ' = 0 für den Rahmen S' ist.

Da es in der Relativitätstheorie keinen absoluten Bezugsrahmen gibt, existiert streng genommen kein Konzept der „Bewegung“, da sich alles in Bezug auf einen anderen Bezugsrahmen bewegen kann. Stattdessen werden zwei beliebige Frames, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen, als commoving bezeichnet . Daher bewegen sich S und S ′ nicht gemeinsam .

Fehlen eines absoluten Bezugsrahmens

Das Relativitätsprinzip , das besagt, dass physikalische Gesetze in jedem Trägheitsbezugssystem dieselbe Form haben , geht auf Galileo zurück und wurde in die Newtonsche Physik aufgenommen. Im späten 19. Jahrhundert veranlasste die Existenz elektromagnetischer Wellen jedoch einige Physiker zu der Annahme, dass das Universum mit einer Substanz gefüllt sei, die sie „ Äther “ nannten, die, wie sie postulierten, als Medium fungieren würde, durch das diese Wellen oder Schwingungen übertragen (in vielerlei Hinsicht ähnlich wie Schall sich durch Luft ausbreitet). Der Äther galt als absoluter Referenzrahmen, an dem alle Geschwindigkeiten gemessen werden konnten, und konnte als fest und bewegungslos relativ zur Erde oder einem anderen festen Bezugspunkt betrachtet werden. Der Äther sollte elastisch genug sein, um elektromagnetische Wellen zu tragen, während diese Wellen mit Materie interagieren konnten, aber keinen Widerstand für Körper boten, die ihn durchquerten (seine einzige Eigenschaft war, dass er die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen zuließ). Die Ergebnisse verschiedener Experimente, einschließlich des Michelson-Morley-Experiments im Jahr 1887 (das später durch genauere und innovativere Experimente bestätigt wurde), führten zur Theorie der speziellen Relativitätstheorie, indem sie zeigten, dass der Äther nicht existiert. Einsteins Lösung bestand darin, die Vorstellung eines Äthers und des absoluten Ruhezustands zu verwerfen. In der Relativitätstheorie unterliegt jeder Referenzrahmen, der sich mit gleichförmiger Bewegung bewegt, den gleichen Gesetzen der Physik. Insbesondere wird die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum immer als c gemessen , selbst wenn sie von mehreren Systemen gemessen wird, die sich mit unterschiedlichen (aber konstanten) Geschwindigkeiten bewegen.

Relativitätstheorie ohne das zweite Postulat

Aus dem Relativitätsprinzip allein ohne Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (dh unter Verwendung der Isotropie des Raums und der durch das Prinzip der speziellen Relativitätstheorie implizierten Symmetrie) kann gezeigt werden, dass die Raumzeittransformationen zwischen Inertialsystemen entweder euklidisch oder galileisch sind , oder Lorentzian. Im Lorentzschen Fall erhält man dann eine relativistische Intervallerhaltung und eine gewisse endliche Grenzgeschwindigkeit. Experimente legen nahe, dass diese Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Lorentz-Invarianz als wesentlicher Kern der speziellen Relativitätstheorie

Alternative Ansätze zur speziellen Relativitätstheorie

Einstein stützte die Ableitung der Lorentz-Invarianz (der wesentliche Kern der speziellen Relativitätstheorie) konsequent auf nur die beiden Grundprinzipien der Relativitätstheorie und der Lichtgeschwindigkeits-Invarianz. Er schrieb:

Die für die Spezielle Relativitätstheorie grundlegende Einsicht ist folgende: Die Annahmen Relativität und Lichtgeschwindigkeitsinvarianz sind kompatibel, wenn Beziehungen neuer Art ("Lorentz-Transformation") für die Umrechnung von Koordinaten und Zeitpunkten von Ereignissen postuliert werden ... Das universelle Prinzip der speziellen Relativitätstheorie ist in dem Postulat enthalten: Die Gesetze der Physik sind invariant gegenüber Lorentztransformationen (für den Übergang von einem Inertialsystem zu einem beliebigen anderen beliebigen Inertialsystem). Dies ist ein einschränkendes Prinzip für Naturgesetze ...

Daher basieren viele moderne Behandlungen der speziellen Relativitätstheorie auf dem einzigen Postulat der universellen Lorentz-Kovarianz oder äquivalent auf dem einzigen Postulat der Minkowski-Raumzeit .

Anstatt die universelle Lorentz-Kovarianz als abgeleitetes Prinzip zu betrachten, betrachtet dieser Artikel sie als das grundlegende Postulat der speziellen Relativitätstheorie. Der traditionelle Zwei-Postulat-Ansatz zur speziellen Relativitätstheorie wird in unzähligen College-Lehrbüchern und populären Präsentationen präsentiert. Zu den Lehrbüchern, die mit dem einzigen Postulat der Minkowski-Raumzeit beginnen, gehören die von Taylor und Wheeler sowie von Callahan. Diesen Ansatz verfolgen auch die Wikipedia-Artikel Raumzeit und Minkowski-Diagramm .

Lorentztransformation und ihre Umkehrung

Definiere ein Ereignis so, dass es Raumzeitkoordinaten ( t , x , y , z ) im System S und ( t , x , y , z ,) in einem Bezugssystem hat, das sich mit einer Geschwindigkeit v in Bezug auf dieses System, S , bewegt. . Dann gibt die Lorentz-Transformation an, dass diese Koordinaten wie folgt zusammenhängen:

wo
der Lorentzfaktor und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist und die Geschwindigkeit v von S ′ relativ zu S parallel zur x -Achse verläuft. Der Einfachheit halber bleiben die y- und z- Koordinaten unbeeinflusst; nur die x- und t- Koordinaten werden transformiert. Diese Lorentz-Transformationen bilden eine Ein-Parameter-Gruppe von linearen Abbildungen , wobei dieser Parameter Schnelligkeit genannt wird .

Das Lösen der vier obigen Transformationsgleichungen für die ungestrichenen Koordinaten ergibt die inverse Lorentz-Transformation:

Das Erzwingen dieser inversen Lorentz-Transformation, um mit der Lorentz-Transformation vom gestrichenen zum ungestrichenen System zusammenzufallen, zeigt, dass sich das ungestrichene System mit der Geschwindigkeit v ' = - v bewegt , wie im gestrichenen System gemessen.

An der x -Achse ist nichts Besonderes . Die Transformation kann auf der y- oder z -Achse erfolgen, oder tatsächlich in jeder Richtung parallel zur Bewegung (die um den γ -Faktor verzerrt ist) und senkrecht; Einzelheiten finden Sie im Artikel Lorentz-Transformation .

Eine unter Lorentz-Transformationen unveränderliche Größe wird als Lorentz-Skalar bezeichnet .

Schreiben Sie die Lorentz-Transformation und ihre Umkehrung in Form von Koordinatendifferenzen, wobei ein Ereignis die Koordinaten ( x 1 , t 1 ) und ( x1 , t1 ) hat, ein anderes Ereignis die Koordinaten ( x 2 , t 2 ) und ( x ' 2 , t ' 2 ) , und die Differenzen sind definiert als

  • Gl. 1:   
  • Gl. 2:   

wir bekommen

  • Gl. 3:   
  • Gl. 4:   

Wenn wir Differenzen anstelle von Differenzen nehmen, erhalten wir

  • Gl. 5:   
  • Gl. 6:   

Grafische Darstellung der Lorentz-Transformation

Abbildung 3-1. Zeichnen eines Minkowski-Raumzeitdiagramms zur Veranschaulichung einer Lorentz-Transformation.

Raumzeitdiagramme ( Minkowski-Diagramme ) sind ein äußerst nützliches Hilfsmittel, um zu visualisieren, wie sich Koordinaten zwischen verschiedenen Referenzrahmen verändern. Obwohl es nicht so einfach ist, mit ihnen exakte Berechnungen durchzuführen wie die Lorentz-Transformationen direkt aufzurufen, liegt ihre Hauptstärke in ihrer Fähigkeit, die Ergebnisse eines relativistischen Szenarios intuitiv zu erfassen.

Um ein Raum-Zeit-Diagramm zu zeichnen, betrachten Sie zunächst zwei galiläische Bezugssysteme, S und S', in Standardkonfiguration, wie in Abb. 2-1 gezeigt.

Abb. 3-1a. Zeichnen Sie die Achsen und von Rahmen S. Die Achse ist horizontal und die (eigentlich ) Achse vertikal, was das Gegenteil der üblichen Konvention in der Kinematik ist. Die Achse wird um den Faktor skaliert, so dass beide Achsen gemeinsame Längeneinheiten haben. In dem gezeigten Diagramm sind die Gitterlinien um eine Einheitsdistanz voneinander beabstandet. Die diagonalen 45°-Linien stellen die Weltlinien von zwei Photonen dar, die zu einer Zeit durch den Ursprung gehen. Die Steigung dieser Weltlinien ist 1, weil die Photonen pro Zeiteinheit eine Einheit im Raum vorrücken. Zwei Ereignisse und wurden in diesem Graphen aufgetragen, so dass ihre Koordinaten in den S- und S'-Rahmen verglichen werden können.

Abb. 3-1b. Zeichnen Sie die Achsen und des Rahmens S'. Die Achse stellt die Weltlinie des Ursprungs des S'-Koordinatensystems dar, gemessen in Rahmen S. In dieser Figur sind sowohl die Achsen als auch von den nicht gestrichenen Achsen um einen Winkel geneigt, wobei die gestrichenen und die nicht gestrichenen Achsen einen gemeinsamen Ursprung haben, weil die Rahmen S und S' wurden in der Standardkonfiguration eingerichtet, so dass wenn

Abb. 3-1c. Einheiten in den gestrichenen Achsen haben einen anderen Maßstab als die Einheiten in den nicht gestrichenen Achsen. Anhand der Lorentz-Transformationen beobachten wir, dass sich die Koordinaten im Koordinatensystem mit Strichindex in das Koordinatensystem mit Strichindex transformieren . Ebenso transformieren sich Koordinaten im gestrichenen Koordinatensystem in das nicht gestrichene System. Zeichnen Sie Gitterlinien parallel zur Achse durch Punkte , die im nicht grundierten Rahmen gemessen werden, wobei eine Ganzzahl ist. Zeichnen Sie ebenso Gitterlinien parallel zur Achse durch , gemessen im ungrundierten Rahmen. Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras beobachten wir, dass der Abstand zwischen den Einheiten gleich dem Abstand zwischen den Einheiten ist, gemessen in Frame S. Dieses Verhältnis ist immer größer als 1 und geht schließlich gegen unendlich

Abb. 3-1d. Da die Lichtgeschwindigkeit eine Invariante ist, werden die Weltlinien von zwei Photonen, die den Ursprung zu einer Zeit passieren, immer noch als diagonale 45°-Linien dargestellt. Die gestrichenen Koordinaten von und beziehen sich auf die nicht gestrichenen Koordinaten durch die Lorentz-Transformationen und könnten ungefähr aus dem Diagramm gemessen werden (vorausgesetzt, es wurde genau genug gezeichnet), aber der wahre Vorteil eines Minkowski-Diagramms besteht darin, dass es uns eine geometrische Ansicht von gewährt das Szenario. Zum Beispiel beobachten wir in dieser Abbildung, dass die zwei zeitlich getrennten Ereignisse, die unterschiedliche x-Koordinaten im ungestrichenen Rahmen hatten, jetzt an derselben Position im Raum sind.

Während der ungestrichene Rahmen mit sich rechtwinklig treffenden Raum- und Zeitachsen gezeichnet wird, wird der grundierte Rahmen mit spitz- oder stumpfwinklig aufeinander treffenden Achsen gezeichnet. Diese Asymmetrie ist auf unvermeidliche Verzerrungen bei der Abbildung von Raumzeitkoordinaten auf eine kartesische Ebene zurückzuführen , aber die Frames sind tatsächlich äquivalent.

Konsequenzen aus der Lorentz-Transformation

Die Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie lassen sich aus den Lorentz-Transformationsgleichungen ableiten. Diese Transformationen und damit die spezielle Relativitätstheorie führen bei allen Relativgeschwindigkeiten zu anderen physikalischen Vorhersagen als denen der Newtonschen Mechanik, und am ausgeprägtesten, wenn die Relativgeschwindigkeiten mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar werden. Die Lichtgeschwindigkeit ist so viel größer als alles, was den meisten Menschen begegnet, dass einige der von der Relativitätstheorie vorhergesagten Effekte zunächst kontraintuitiv sind .

Invariantes Intervall

In der Galileischen Relativitätstheorie sind die Länge ( ) und der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ( ) unabhängige Invarianten, deren Werte sich nicht ändern, wenn sie aus verschiedenen Bezugsrahmen betrachtet werden.

In der speziellen Relativitätstheorie jedoch erzeugt die Verflechtung von räumlichen und zeitlichen Koordinaten das Konzept eines invarianten Intervalls , bezeichnet als :

Die Verflechtung von Raum und Zeit hebt die implizit vorausgesetzten Konzepte absoluter Gleichzeitigkeit und Synchronisation über nicht-bewegte Rahmen hinweg auf.

Die Form , die Differenz des quadrierten Zeitablaufs und der quadrierten räumlichen Entfernung zu sein, zeigt eine grundlegende Diskrepanz zwischen euklidischen und raumzeitlichen Entfernungen. Die Invarianz dieses Intervalls ist eine Eigenschaft der allgemeinen Lorentz-Transformation (auch Poincaré-Transformation genannt ), die sie zu einer Isometrie der Raumzeit macht. Die allgemeine Lorentz-Transformation erweitert die Standard-Lorentz-Transformation (die sich mit Translationen ohne Rotation, d. h. Lorentz-Boosts , in x-Richtung befasst) mit allen anderen Translationen , Reflexionen und Rotationen zwischen jedem kartesischen Inertialsystem.

Bei der Analyse vereinfachter Szenarien wie Raum-Zeit-Diagramme wird häufig eine dimensionsreduzierte Form des invarianten Intervalls verwendet:

Der Nachweis, dass das Intervall unveränderlich ist, ist für den Fall der reduzierten Dimensionalität und mit Rahmen in der Standardkonfiguration einfach:

Der Wert von ist somit unabhängig von dem Rahmen, in dem er gemessen wird.

Bei der Betrachtung der physikalischen Bedeutung von sind drei Fälle zu beachten:

  • Δs 2 > 0: In diesem Fall sind die beiden Ereignisse mehr Zeit als Raum voneinander getrennt und werden daher als zeitlich getrennt bezeichnet. Dies impliziert, und angesichts der Lorentz-Transformation ist es offensichtlich, dass es ein weniger als gibt (insbesondere ). Mit anderen Worten, bei zwei zeitlich getrennten Ereignissen ist es möglich, einen Rahmen zu finden, in dem die beiden Ereignisse am selben Ort stattfinden. In diesem Rahmen wird die zeitliche Trennung als Eigenzeit bezeichnet .
  • Δs 2 < 0: In diesem Fall sind die beiden Ereignisse mehr räumlich als zeitlich getrennt, man spricht also von raumartiger Trennung. Dies impliziert, dass und angesichts der Lorentz-Transformation ein Kleiner als existiert, für das (insbesondere ). Mit anderen Worten, bei zwei räumlich voneinander getrennten Ereignissen ist es möglich, einen Rahmen zu finden, in dem die beiden Ereignisse gleichzeitig stattfinden. In diesem Rahmen wird die Trennung im Raum der Eigenabstand oder die Eigenlänge genannt . Bei Werten von größer als und kleiner als ändert sich das Vorzeichen , was bedeutet, dass sich die zeitliche Reihenfolge von raumartig getrennten Ereignissen in Abhängigkeit von dem Frame ändert, in dem die Ereignisse betrachtet werden. Die zeitliche Reihenfolge von zeitlich getrennten Ereignissen ist jedoch absolut, da die einzige Möglichkeit, die größer sein könnte, wäre, wenn
  • Δs 2 = 0: In diesem Fall werden die beiden Ereignisse als lichtartig getrennt bezeichnet. Dies impliziert, dass und diese Beziehung aufgrund der Invarianz von rahmenunabhängig ist. Daraus beobachten wir, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialrahmen ist. Mit anderen Worten, ausgehend von der Annahme der universellen Lorentz-Kovarianz ist die konstante Lichtgeschwindigkeit ein abgeleitetes Ergebnis und kein Postulat wie in der Zwei-Postulate-Formulierung der speziellen Theorie.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Abbildung 4–1. Die drei Ereignisse (A, B, C) finden gleichzeitig im Bezugssystem eines Beobachters O statt . In einem Referenzrahmen, der sich bei v = 0,3 c bewegt , wie gemessen durch O , treten die Ereignisse in der Reihenfolge C, B, A auf. In einem Referenzrahmen, der sich bei v = –0,5 c in Bezug auf O bewegt , treten die Ereignisse in der Reihenfolge auf A, B, C. Die weißen Linien, die Linien der Gleichzeitigkeit , bewegen sich in den jeweiligen Rahmen (grüne Koordinatenachsen) von der Vergangenheit in die Zukunft und markieren die ihnen zugrunde liegenden Ereignisse. Sie sind der Ort aller gleichzeitig in dem jeweiligen Rahmen auftretenden Ereignisse. Der graue Bereich ist der Lichtkegel in Bezug auf den Ursprung aller betrachteten Frames.

Stellen Sie sich zwei Ereignisse vor, die an zwei verschiedenen Orten gleichzeitig im Referenzrahmen eines Trägheitsbeobachters stattfinden. Sie können nicht gleichzeitig im Bezugssystem eines anderen inertialen Beobachters auftreten (Mangel an absoluter Gleichzeitigkeit ).

Aus Gleichung 3 (die Vorwärts-Lorentz-Transformation in Bezug auf Koordinatendifferenzen)

Es ist klar, dass die beiden Ereignisse, die im Koordinatensystem S (mit Δ t = 0 erfüllend ) gleichzeitig stattfinden , in einem anderen Inertialsystem S ′ (mit Δ t ′ = 0 ) nicht unbedingt gleichzeitig auftreten. Nur wenn diese Ereignisse zusätzlich in Rahmen S kolokal sind (wobei Δ x = 0 erfüllt ist), werden sie gleichzeitig in einem anderen Rahmen S ' sein.

Der Sagnac-Effekt kann als Manifestation der Relativität der Gleichzeitigkeit angesehen werden. Da die Relativität der Gleichzeitigkeit ein Effekt erster Ordnung in ist, sind Instrumente, die auf dem Sagnac-Effekt für ihren Betrieb basieren, wie Ringlaserkreisel und faseroptische Kreisel , zu extremen Empfindlichkeitsniveaus fähig.

Zeitdilatation

Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen ist von einem Beobachter zum anderen nicht unveränderlich, sondern hängt von den relativen Geschwindigkeiten der Bezugsrahmen der Beobachter ab (z. B. das Zwillingsparadoxon, bei dem ein Zwilling in einem Raumschiff mit nahezu Lichtgeschwindigkeit davonfliegt und kehrt zurück, um zu entdecken, dass der nicht reisende Zwillingsbruder viel älter ist, wobei das Paradoxon darin besteht, dass wir bei konstanter Geschwindigkeit nicht in der Lage sind, zu unterscheiden, welcher Zwilling nicht reist und welcher Zwilling reist).

Angenommen , im System S ohne Strich ruht eine Uhr . Die Lage der Uhr auf zwei verschiedenen Ticks ist dann durch Δ x = 0 gekennzeichnet . Um die Beziehung zwischen den Zeiten zwischen diesen in beiden Systemen gemessenen Ticks zu finden, kann Gleichung 3 verwendet werden, um zu finden:

 für Veranstaltungen befriedigend 

Dies zeigt, dass die Zeit (Δ t ′) zwischen den zwei Ticks, gesehen in dem Frame, in dem sich die Uhr bewegt ( S ′), länger ist als die Zeit (Δ t ) zwischen diesen Ticks, gemessen im Ruheframe des Uhr ( S ). Die Zeitdilatation erklärt eine Reihe physikalischer Phänomene; Beispielsweise ist die Lebensdauer von Myonen mit hoher Geschwindigkeit , die durch die Kollision kosmischer Strahlen mit Partikeln in der äußeren Atmosphäre der Erde entstehen und sich zur Oberfläche bewegen, länger als die Lebensdauer von sich langsam bewegenden Myonen, die in einem Labor erzeugt und zerfallen.

Längenkontraktion

Die von einem Beobachter gemessenen Abmessungen (z. B. Länge) eines Objekts können kleiner sein als die Ergebnisse von Messungen desselben Objekts, die von einem anderen Beobachter durchgeführt wurden (z. B. das Leiterparadoxon beinhaltet eine lange Leiter, die sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit fortbewegt und eingeschlossen wird in einer kleineren Garage).

Nehmen wir in ähnlicher Weise an, dass ein Messstab in Ruhe und entlang der x -Achse im nicht gestrichenen System S ausgerichtet ist . In diesem System wird die Länge dieses Stabs als Δ x geschrieben . Um die Länge dieses Stabes in dem System S ' zu messen, in dem sich der Stab bewegt, müssen in diesem System S ' gleichzeitig die Abstände x ' zu den Endpunkten des Stabes gemessen werden . Mit anderen Worten, die Messung ist gekennzeichnet durch Δ t ′ = 0 , was mit Gleichung 4 kombiniert werden kann , um die Beziehung zwischen den Längen Δ x und Δ x ′ zu finden:

  für Veranstaltungen befriedigend 

Dies zeigt, dass die Länge (Δ x ′) des Stabes, gemessen in dem System, in dem er sich bewegt ( S ′), kürzer ist als seine Länge (Δ x ) in seinem eigenen Ruhesystem ( S ).

Zeitdilatation und Längenkontraktion sind nicht nur Erscheinungen. Die Zeitdilatation bezieht sich explizit auf unsere Art, Zeitintervalle zwischen Ereignissen zu messen, die an derselben Stelle in einem bestimmten Koordinatensystem auftreten (als "kolokale" Ereignisse bezeichnet). Diese Zeitintervalle (die tatsächlich von relevanten Beobachtern experimentell gemessen werden können und werden) unterscheiden sich in einem anderen Koordinatensystem, das sich in Bezug auf das erste bewegt, es sei denn, die Ereignisse sind nicht nur kolokal, sondern auch gleichzeitig. In ähnlicher Weise bezieht sich die Längenkontraktion auf unsere gemessenen Entfernungen zwischen getrennten, aber gleichzeitigen Ereignissen in einem gegebenen Koordinatensystem der Wahl. Wenn diese Ereignisse nicht kolokal sind, sondern durch Entfernung (Raum) getrennt sind, treten sie nicht im gleichen räumlichen Abstand voneinander auf, wenn sie von einem anderen sich bewegenden Koordinatensystem aus gesehen werden.

Lorentztransformation von Geschwindigkeiten

Betrachten Sie zwei Rahmen S und S' in der Standardkonfiguration. Ein Teilchen in S bewegt sich in x-Richtung mit dem Geschwindigkeitsvektor Wie groß ist seine Geschwindigkeit im System S′ ?

Wir können schreiben

 

 

 

 

( 7 )

 

 

 

 

( 8 )

Das Ersetzen von Ausdrücken für und aus Gleichung 5 in Gleichung 8 , gefolgt von einfachen mathematischen Manipulationen und Rücksubstitution aus Gleichung 7 , ergibt die Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit zu :

 

 

 

 

( 9 )

Die umgekehrte Beziehung erhält man durch Vertauschen der gestrichenen und nicht gestrichenen Symbole und Ersetzen durch

 

 

 

 

( 10 )

Für nicht entlang der x-Achse ausgerichtet schreiben wir:

 

 

 

 

( 11 )

 

 

 

 

( 12 )

Die Vorwärts- und Rückwärtstransformationen für diesen Fall sind:

 

 

 

 

( 13 )

 

 

 

 

( 14 )

Gleichung 10 und Gleichung 14 können als Ergebnis der beiden Geschwindigkeitenundersetzen diein der Galileischen Relativitätstheorie gültige Formel. Auf diese Weise interpretiert, werden sie allgemein als relativistische Geschwindigkeitsadditions- (oder Zusammensetzungs-) Formeln bezeichnet, die für die drei Achsen von S und S' gültig sind, die miteinander ausgerichtet sind (wenn auch nicht unbedingt in der Standardkonfiguration).

Folgende Punkte nehmen wir zur Kenntnis:

  • Wenn sich ein Objekt (zB ein Photon ) in einem Frame mit Lichtgeschwindigkeit bewegen würde (d. h. u = ± c oder u′ = ± c ), dann würde es sich auch in jedem anderen Frame mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, bewegt sich um | v | < c .
  • Die resultierende Geschwindigkeit zweier Geschwindigkeiten kleinerer Größe als c ist immer eine Geschwindigkeit kleinerer Größe als c .
  • Wenn beide | du | und | v | (und dann auch | u′ | und | v′ |) sind klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit (also z. B. | u/c| ≪ 1 ), dann werden die intuitiven Galilei-Transformationen aus den Transformationsgleichungen für die spezielle Relativitätstheorie wiederhergestellt
  • Das Anbringen eines Rahmens an einem Photon ( das Reiten eines Lichtstrahls, wie es Einstein in Betracht zieht) erfordert eine spezielle Behandlung der Transformationen.

In der Standardkonfiguration ist die x -Richtung nichts Besonderes . Der obige Formalismus gilt für jede Richtung; und drei orthogonale Richtungen ermöglichen die Behandlung aller Richtungen im Raum, indem die Geschwindigkeitsvektoren in ihre Komponenten in diesen Richtungen zerlegt werden. Siehe Geschwindigkeitsadditionsformel für Details.

Thomas-Drehung

Abbildung 4-2. Thomas-Wigner-Rotation

Die Zusammensetzung von zwei nicht-kollinearen Lorentz-Verstärkungen (dh zwei nicht-kollinearen Lorentz-Transformationen, von denen keine eine Drehung beinhaltet) führt zu einer Lorentz-Transformation, die keine reine Erhöhung ist, sondern die Zusammensetzung einer Erhöhung und einer Drehung ist.

Die Thomas-Rotation ergibt sich aus der Relativität der Gleichzeitigkeit. In Abb. 4-2a erhebt sich ein Stab der Länge in seinem Ruhesystem (dh mit einer geeigneten Länge von ) vertikal entlang der y-Achse im Grundsystem.

In Abb. 4-2b wird derselbe Stab vom Rahmen einer sich mit Geschwindigkeit nach rechts bewegenden Rakete beobachtet. Stellen wir uns zwei Uhren vor, die sich am linken und rechten Ende des Stabs befinden und im Rahmen des Stabs synchronisiert sind, bewirkt die Relativität der Gleichzeitigkeit, dass der Beobachter im Raketenrahmen die Uhr am rechten Ende des Stabs beobachtet (nicht sieht ). als zeitlich vorgerückt um und der Stab entsprechend als gekippt beobachtet wird.

Im Gegensatz zu relativistischen Effekten zweiter Ordnung wie Längenkontraktion oder Zeitdilatation wird dieser Effekt sogar bei ziemlich niedrigen Geschwindigkeiten ziemlich signifikant. Dies kann zum Beispiel am Spin bewegter Teilchen gesehen werden , wo die Thomas-Präzession eine relativistische Korrektur ist, die für den Spin eines Elementarteilchens oder die Drehung eines makroskopischen Kreisels gilt, wobei die Winkelgeschwindigkeit des Spins eines Teilchens nach a in Beziehung gesetzt wird krummlinige Bahn zur Winkelgeschwindigkeit der Bahnbewegung.

Die Thomas-Rotation liefert die Auflösung des bekannten „Meterstab-Loch-Paradoxons“.

Kausalität und Bewegungsverbot schneller als Licht

Abbildung 4–3. Lichtkegel

In Abb. 4-3 ist das Zeitintervall zwischen den Ereignissen A (die „Ursache“) und B (die „Wirkung“) „zeitlich“; das heißt, es gibt einen Bezugsrahmen, in dem die Ereignisse A und B am selben Ort im Raum stattfinden, getrennt nur durch das Auftreten zu unterschiedlichen Zeiten. Wenn A in diesem Frame B vorangeht, dann geht A B in allen Frames voraus, auf die durch eine Lorentz-Transformation zugegriffen werden kann. Es ist möglich, dass sich Materie (oder Informationen) (unter Lichtgeschwindigkeit) vom Ort A, beginnend zum Zeitpunkt A, zum Ort B bewegt und zum Zeitpunkt B ankommt, sodass eine kausale Beziehung bestehen kann ( mit A die Ursache und B die Wirkung).

Das Intervall AC im Diagramm ist 'raumartig'; das heißt, es gibt einen Bezugsrahmen, in dem die Ereignisse A und C gleichzeitig stattfinden, nur räumlich getrennt. Es gibt auch Frames, in denen A vor C steht (wie gezeigt) und Frames, in denen C vor A steht. Es gibt jedoch keine Frames, auf die durch eine Lorentz-Transformation zugegriffen werden kann, in denen die Ereignisse A und C am selben Ort auftreten. Wenn es möglich wäre, dass zwischen den Ereignissen A und C eine Ursache-Wirkungs-Beziehung besteht, dann würden Paradoxien der Kausalität entstehen.

Wenn beispielsweise Signale schneller als Licht gesendet werden könnten, könnten Signale in die Vergangenheit des Senders gesendet werden (Beobachter B in den Diagrammen). Eine Vielzahl von kausalen Paradoxien könnte dann konstruiert werden.

Drei kleine weiße und gelbe Blumen vor Grünblatthintergrund
Abbildung 4-4. Kausalitätsverletzung durch den Einsatz von fiktiven
„Sofortkommunikatoren“

Betrachten Sie die Raumzeitdiagramme in Abb. 4-4. A und B stehen neben einem Eisenbahngleis, wenn ein Hochgeschwindigkeitszug vorbeifährt, wobei C im letzten Waggon des Zuges und D im führenden Waggon fährt. Die Weltlinien von A und B sind vertikal ( ct ), was die stationäre Position dieser Beobachter auf dem Boden kennzeichnet, während die Weltlinien von C und D nach vorne geneigt sind ( ct′ ), was die schnelle Bewegung der Beobachter C und D widerspiegelt stationär in ihrem Zug, wie vom Boden aus beobachtet.

  1. Abb. 4-4a. Das Ereignis "B gibt eine Nachricht an D weiter", wenn das führende Auto vorbeifährt, ist der Ursprung des Rahmens von D. D sendet die Nachricht mit einem fiktiven „Sofortkommunikator“ entlang des Zuges an C im hinteren Wagen. Die Weltlinie dieser Nachricht ist der dicke rote Pfeil entlang der Achse, der eine Gleichzeitigkeitslinie in den gestrichenen Rahmen von C und D ist. Im (nicht gestrichenen) Bodenrahmen kommt das Signal früher an, als es gesendet wurde.
  2. Abb. 4-4b. Das Ereignis "C gibt die Nachricht an A weiter", der an den Eisenbahnschienen steht, ist der Ursprung ihrer Rahmen. Nun sendet A die Nachricht entlang der Gleise über einen "Instantaneous Communicator" an B. Die Weltlinie dieser Nachricht ist der blaue fette Pfeil entlang der Achse, der eine Gleichzeitigkeitslinie für die Rahmen von A und B darstellt. Wie aus dem Raumzeitdiagramm ersichtlich, wird B die Nachricht erhalten, bevor sie sie gesendet hat, eine Verletzung von Kausalität.

Signale müssen nicht augenblicklich sein, um die Kausalität zu verletzen. Selbst wenn das Signal von D nach C etwas flacher als die Achse wäre (und das Signal von A nach B etwas steiler als die Achse), wäre es für B immer noch möglich, seine Nachricht zu empfangen, bevor er sie gesendet hat. Indem die Geschwindigkeit des Zuges auf nahezu Lichtgeschwindigkeit erhöht wird, können die Achsen und sehr nahe an die gestrichelte Linie gedrückt werden, die die Lichtgeschwindigkeit darstellt. Mit diesem modifizierten Aufbau kann gezeigt werden, dass selbst Signale, die nur geringfügig schneller als die Lichtgeschwindigkeit sind, zu einer Kausalitätsverletzung führen.

Wenn also die Kausalität erhalten bleiben soll, ist eine der Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie, dass sich kein Informationssignal oder materielles Objekt schneller bewegen kann als Licht im Vakuum.

Das soll nicht heißen, dass alles , was schneller als Licht ist, unmöglich ist. Es können verschiedene triviale Situationen beschrieben werden, in denen sich einige "Dinge" (nicht tatsächliche Materie oder Energie) schneller als Licht bewegen. Beispielsweise kann sich der Ort, an dem der Strahl eines Suchlichts auf den Boden einer Wolke trifft, schneller als Licht bewegen, wenn das Suchlicht schnell gedreht wird (obwohl dies weder die Kausalität noch andere relativistische Phänomene verletzt).

Optische Effekte

Zieheffekte

Abbildung 5–1. Stark vereinfachtes Diagramm von Fizeaus Experiment von 1851.

1850 stellten Hippolyte Fizeau und Léon Foucault unabhängig voneinander fest, dass sich Licht in Wasser langsamer ausbreitet als in Luft, wodurch eine Vorhersage von Fresnels Wellentheorie des Lichts bestätigt und die entsprechende Vorhersage von Newtons Korpuskulartheorie ungültig gemacht wurde . Die Lichtgeschwindigkeit wurde in stillem Wasser gemessen. Wie groß wäre die Lichtgeschwindigkeit in fließendem Wasser?

Zur Beantwortung dieser Frage führte Fizeau 1851 ein Experiment durch, dessen vereinfachte Darstellung in Abb. 5-1 dargestellt ist. Ein Lichtstrahl wird durch einen Strahlteiler geteilt, und die geteilten Strahlen werden in entgegengesetzten Richtungen durch ein Rohr aus fließendem Wasser geleitet. Sie werden rekombiniert, um Interferenzstreifen zu bilden, die einen Unterschied in der optischen Weglänge anzeigen, den ein Beobachter sehen kann. Das Experiment zeigte, dass das Ziehen des Lichts durch das fließende Wasser eine Verschiebung der Streifen verursachte, was zeigt, dass die Bewegung des Wassers die Lichtgeschwindigkeit beeinflusst hatte.

Nach den damals vorherrschenden Theorien wäre Licht, das durch ein sich bewegendes Medium wandert, eine einfache Summe seiner Geschwindigkeit durch das Medium plus der Geschwindigkeit des Mediums. Entgegen der Erwartung stellte Fizeau fest, dass das Licht zwar vom Wasser gezogen zu werden schien, das Ausmaß des Ziehens jedoch viel geringer war als erwartet. Wenn die Lichtgeschwindigkeit in stillem Wasser ist und die Geschwindigkeit des Wassers ist und die Lichtgeschwindigkeit des Wassers im Laborrahmen ist, wobei der Wasserfluss zur Lichtgeschwindigkeit beiträgt oder von ihr abzieht, dann

Obwohl Fizeaus Ergebnisse mit Fresnels früherer Hypothese des partiellen Ätherziehens übereinstimmten , waren sie für die damaligen Physiker äußerst beunruhigend. Unter anderem bedeutete das Vorhandensein eines Brechungsindexterms, dass der Äther in der Lage sein muss, verschiedene Bewegungen gleichzeitig auszuhalten , da er von der Wellenlänge abhängt . Eine Vielzahl von theoretischen Erklärungen wurden vorgeschlagen, um Fresnels Schleppkoeffizienten zu erklären, die völlig im Widerspruch zueinander standen. Schon vor dem Michelson-Morley-Experiment gehörten Fizeaus experimentelle Ergebnisse zu einer Reihe von Beobachtungen, die eine kritische Situation bei der Erklärung der Optik bewegter Körper schufen.

Aus Sicht der speziellen Relativitätstheorie ist Fizeaus Ergebnis nichts anderes als eine Annäherung an Gleichung 10 , die relativistische Formel zur Zusammensetzung von Geschwindigkeiten.

Relativistische Aberration des Lichts

Abbildung 5–2. Abbildung der stellaren Aberration

Wenn die relativen Bewegungen einer Quelle und eines Empfängers eine transversale Komponente enthalten, wird aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit die Richtung, aus der Licht auf den Empfänger trifft, von der geometrischen Position im Raum der Quelle relativ zum Empfänger verschoben. Die klassische Berechnung der Verschiebung nimmt zwei Formen an und macht unterschiedliche Vorhersagen, je nachdem, ob der Empfänger, die Quelle oder beide in Bezug auf das Medium in Bewegung sind. (1) Wenn sich der Empfänger bewegt, wäre die Verschiebung die Folge der Aberration des Lichts . Der Einfallswinkel des Strahls relativ zum Empfänger wäre aus der Vektorsumme der Bewegungen des Empfängers und der Geschwindigkeit des einfallenden Lichts berechenbar. (2) Wenn sich die Quelle bewegt, wäre die Verschiebung die Folge der Lichtzeitkorrektur . Die Verschiebung der scheinbaren Position der Quelle von ihrer geometrischen Position wäre das Ergebnis der Bewegung der Quelle während der Zeit, die ihr Licht benötigt, um den Empfänger zu erreichen.

Die klassische Erklärung scheiterte am experimentellen Test. Da der Aberrationswinkel von der Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Empfängers und der Geschwindigkeit des einfallenden Lichts abhängt, sollte der Durchgang des einfallenden Lichts durch ein brechendes Medium den Aberrationswinkel ändern. 1810 nutzte Arago dieses erwartete Phänomen in einem fehlgeschlagenen Versuch, die Lichtgeschwindigkeit zu messen, und 1870 testete George Airy die Hypothese mit einem wassergefüllten Teleskop und stellte fest, dass die gemessene Aberration wider Erwarten mit der gemessenen Aberration identisch war mit einem luftgefüllten Teleskop. Ein "umständlicher" Versuch, diese Ergebnisse zu erklären, verwendete die Hypothese eines partiellen Ätherwiderstands, war jedoch mit den Ergebnissen des Michelson-Morley-Experiments unvereinbar , das anscheinend einen vollständigen Ätherwiderstand erforderte.

Unter der Annahme von Trägheitsrahmen ist der relativistische Ausdruck für die Aberration von Licht sowohl auf die Fälle der Empfängerbewegung als auch der Quellenbewegung anwendbar. Eine Vielzahl von trigonometrisch äquivalenten Formeln wurde veröffentlicht. Ausgedrückt in Form der Variablen in Abb. 5-2 sind dies:

  ODER    ODER     

Relativistischer Doppler-Effekt

Relativistischer Längsdopplereffekt

Der klassische Doppler-Effekt hängt davon ab, ob sich Quelle, Empfänger oder beide in Bezug auf das Medium bewegen. Der relativistische Dopplereffekt ist medienunabhängig. Nichtsdestotrotz kann die relativistische Dopplerverschiebung für den Längsfall, bei dem sich Quelle und Empfänger direkt aufeinander zu oder voneinander weg bewegen, abgeleitet werden, als wäre es das klassische Phänomen, aber modifiziert durch Hinzufügen eines Zeitdilatationsterms , und das ist die Behandlung hier beschrieben.

Angenommen, der Empfänger und die Quelle bewegen sich mit einer relativen Geschwindigkeit voneinander weg , die von einem Beobachter am Empfänger oder der Quelle gemessen wird (die hier angenommene Vorzeichenkonvention ist negativ , wenn sich der Empfänger und die Quelle aufeinander zu bewegen ). Nehmen Sie an, dass die Quelle im Medium stationär ist. Dann

wo ist die schallgeschwindigkeit.

Für Licht und wenn sich der Empfänger mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegt, werden Uhren auf dem Empfänger relativ zu Uhren an der Quelle zeitgedehnt. Der Empfänger misst die zu empfangende Frequenz

wo
  •   und
  • ist der Lorentzfaktor .

Ein identischer Ausdruck für die relativistische Dopplerverschiebung wird erhalten, wenn die Analyse im Bezugssystem des Empfängers mit einer sich bewegenden Quelle durchgeführt wird.

Transversaler Doppler-Effekt

Abbildung 5–3. Transversaler Doppler-Effekt für zwei Szenarien: (a) Empfänger bewegt sich kreisförmig um die Quelle; (b) Quelle, die sich kreisförmig um den Empfänger bewegt.

Der transversale Doppler-Effekt ist eine der wichtigsten neuartigen Vorhersagen der speziellen Relativitätstheorie.

Klassischerweise könnte man erwarten, dass, wenn Quelle und Empfänger sich quer zueinander ohne Längskomponente ihrer Relativbewegungen bewegen, keine Doppler-Verschiebung des am Empfänger ankommenden Lichts auftreten sollte.

Die spezielle Relativitätstheorie sagt etwas anderes voraus. Abb. 5-3 zeigt zwei gängige Varianten dieses Szenarios. Beide Varianten können mit einfachen Zeitdilatationsargumenten analysiert werden. In Abb. 5-3a sieht der Empfänger das Licht der Quelle um den Faktor 0 blauverschoben . In Abb. 5-3b ist das Licht um denselben Faktor rotverschoben.

Messung versus visuelles Erscheinungsbild

Zeitdilatation und Längenkontraktion sind keine optischen Täuschungen, sondern echte Effekte. Messungen dieser Effekte sind weder ein Artefakt der Doppler-Verschiebung noch das Ergebnis einer Vernachlässigung der Zeit, die das Licht benötigt, um von einem Ereignis zu einem Beobachter zu gelangen.

Wissenschaftler unterscheiden grundsätzlich zwischen Messen oder Beobachten einerseits und dem visuellen Erscheinungsbild bzw. dem, was man sieht . Die gemessene Form eines Objekts ist eine hypothetische Momentaufnahme aller Punkte des Objekts, wie sie zu einem einzigen Zeitpunkt existieren. Das visuelle Erscheinungsbild eines Objekts wird jedoch durch die unterschiedliche Zeitdauer beeinflusst, die Licht benötigt, um von verschiedenen Punkten auf dem Objekt zum Auge zu gelangen.

Abbildung 5–4. Vergleich der gemessenen Längenkontraktion eines Würfels mit seinem visuellen Erscheinungsbild.

Viele Jahre lang war die Unterscheidung zwischen den beiden nicht allgemein anerkannt worden, und es war allgemein angenommen worden, dass ein Objekt mit verkürzter Länge, das an einem Beobachter vorbeigeht, tatsächlich als verkürzte Länge angesehen würde. 1959 wiesen James Terrell und Roger Penrose unabhängig voneinander darauf hin, dass unterschiedliche Zeitverzögerungseffekte bei Signalen, die den Beobachter von verschiedenen Teilen eines sich bewegenden Objekts erreichen, dazu führen, dass sich das visuelle Erscheinungsbild eines sich schnell bewegenden Objekts stark von seiner gemessenen Form unterscheidet. Beispielsweise würde ein zurückweichendes Objekt zusammengezogen erscheinen , ein sich näherndes Objekt würde verlängert erscheinen und ein vorbeifahrendes Objekt würde ein schiefes Aussehen haben, das mit einer Drehung verglichen wurde. Eine sich bewegende Kugel behält den kreisförmigen Umriss bei, obwohl die Oberfläche der Kugel und die Bilder darauf verzerrt erscheinen.

Abbildung 5-5. Galaxy M87 strömt einen von Schwarzen Löchern angetriebenen Strahl aus Elektronen und anderen subatomaren Teilchen aus, die sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit fortbewegen.

Abb. 5-4 zeigt einen Würfel, der aus einer Entfernung betrachtet wird, die viermal so lang ist wie seine Seitenlänge. Bei hohen Geschwindigkeiten erscheinen die Seiten des Würfels, die senkrecht zur Bewegungsrichtung stehen, hyperbolisch. Der Würfel wird tatsächlich nicht gedreht. Vielmehr braucht Licht von der Rückseite des Würfels länger, um das Auge zu erreichen, verglichen mit Licht von der Vorderseite, während der sich der Würfel nach rechts bewegt hat. Diese Illusion ist als Terrell-Rotation oder Terrell-Penrose-Effekt bekannt geworden .

Ein weiteres Beispiel, bei dem die visuelle Erscheinung im Widerspruch zur Messung steht, ergibt sich aus der Beobachtung scheinbarer superluminaler Bewegung in verschiedenen Radiogalaxien , BL Lac-Objekten , Quasaren und anderen astronomischen Objekten, die Materiestrahlen mit relativistischer Geschwindigkeit in engen Winkeln zum Betrachter ausstoßen. Es entsteht eine offensichtliche optische Täuschung, die den Anschein erweckt, schneller als Licht zu reisen. In Abb. 5-5 strahlt die Galaxie M87 einen Hochgeschwindigkeitsjet aus subatomaren Teilchen fast direkt auf uns zu, aber die Penrose-Terrell-Rotation lässt den Jet so aussehen, als würde er sich seitwärts bewegen, genauso wie der Würfel in Abb 5-4 wurde gestreckt.

Dynamik

Der Abschnitt Konsequenzen aus der Lorentz-Transformation befasste sich ausschließlich mit der Kinematik , dem Studium der Bewegung von Punkten, Körpern und Körpersystemen, ohne die Kräfte zu berücksichtigen, die die Bewegung verursachten. Dieser Abschnitt behandelt Massen, Kräfte, Energie usw. und erfordert daher die Berücksichtigung physikalischer Effekte, die über die von der Lorentz-Transformation selbst umfassten hinausgehen.

Äquivalenz von Masse und Energie

Wenn sich die Geschwindigkeit eines Objekts aus der Sicht eines Beobachters der Lichtgeschwindigkeit nähert, nimmt seine relativistische Masse zu, wodurch es immer schwieriger wird, es aus dem Bezugsrahmen des Beobachters heraus zu beschleunigen.

Der Energieinhalt eines ruhenden Körpers mit der Masse m ist gleich mc 2 . Die Energieerhaltung impliziert, dass bei jeder Reaktion eine Abnahme der Summe der Teilchenmassen mit einer Zunahme der kinetischen Energie der Teilchen nach der Reaktion einhergehen muss. Ebenso kann die Masse eines Objekts durch Aufnahme kinetischer Energien erhöht werden.

Zusätzlich zu den oben zitierten Artikeln – die Ableitungen der Lorentz-Transformation geben und die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie beschreiben – schrieb Einstein auch mindestens vier Artikel, die heuristische Argumente für die Äquivalenz (und Transmutierbarkeit) von Masse und Energie für E = mc 2 lieferten .

Masse-Energie-Äquivalenz ist eine Folge der speziellen Relativitätstheorie. Energie und Impuls, die in der Newtonschen Mechanik getrennt sind, bilden in der Relativitätstheorie einen Vierervektor , der die Zeitkomponente (die Energie) mit der Raumkomponente (dem Impuls) auf nicht triviale Weise in Beziehung setzt. Für ein ruhendes Objekt ist der Energie-Impuls-Viervektor ( E / c , 0, 0, 0) : Er hat eine Zeitkomponente, die die Energie ist, und drei Raumkomponenten, die Null sind. Durch Rahmenwechsel mit einer Lorentz-Transformation in x-Richtung mit einem kleinen Wert der Geschwindigkeit v wird der Energie-Impuls-Viervektor zu ( E / c , Ev / c 2 , 0, 0) . Der Impuls ist gleich der Energie multipliziert mit der Geschwindigkeit dividiert durch c 2 . Daher ist die Newtonsche Masse eines Objekts, die das Verhältnis des Impulses zur Geschwindigkeit für langsame Geschwindigkeiten ist, gleich E / c 2 .

Energie und Impuls sind Eigenschaften von Materie und Strahlung, und es ist unmöglich, allein aus den beiden grundlegenden Postulaten der speziellen Relativitätstheorie zu schließen, dass sie einen Vierervektor bilden, da diese nicht über Materie oder Strahlung sprechen, sie sprechen nur über Raum und Zeit. Die Herleitung erfordert daher einige zusätzliche physikalische Überlegungen. In seiner Arbeit von 1905 verwendete Einstein die zusätzlichen Prinzipien, die die Newtonsche Mechanik für langsame Geschwindigkeiten halten sollte, so dass es bei langsamen Geschwindigkeiten einen Energieskalar und einen Impuls mit drei Vektoren gibt und dass das Erhaltungsgesetz für Energie und Impuls in der Relativitätstheorie genau richtig ist . Außerdem nahm er an, dass die Energie des Lichts um den gleichen Doppler-Verschiebungsfaktor transformiert wird wie seine Frequenz, was er zuvor anhand der Maxwell-Gleichungen bewiesen hatte. Die erste von Einsteins Arbeiten zu diesem Thema war "Hängt die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt ab?" im Jahr 1905. Obwohl Einsteins Argument in diesem Aufsatz von Physikern fast allgemein als richtig, ja sogar selbstverständlich akzeptiert wird, haben viele Autoren im Laufe der Jahre behauptet, es sei falsch. Andere Autoren schlagen vor, dass das Argument lediglich nicht schlüssig war, weil es sich auf einige implizite Annahmen stützte.

Einstein räumte die Kontroverse über seine Ableitung in seinem Überblickspapier von 1907 über die spezielle Relativitätstheorie ein. Dort stellt er fest, dass es problematisch ist, sich für das heuristische Masse-Energie-Argument auf Maxwells Gleichungen zu verlassen. Die Argumentation in seiner Arbeit von 1905 kann mit der Emission beliebiger masseloser Teilchen durchgeführt werden, aber die Maxwell-Gleichungen werden implizit verwendet, um deutlich zu machen, dass insbesondere die Emission von Licht nur durch Arbeit erreicht werden kann. Um elektromagnetische Wellen zu emittieren, muss man lediglich ein geladenes Teilchen schütteln, und dies verrichtet eindeutig Arbeit, so dass die Emission Energie ist.

Wie weit kann man von der Erde reisen?

Da man nicht schneller als Licht reisen kann, könnte man schließen, dass ein Mensch niemals weiter als 40 Lichtjahre von der Erde entfernt sein kann, wenn der Reisende zwischen 20 und 60 Jahren aktiv ist. Man könnte leicht meinen, dass ein Reisender das niemals könnte erreichen mehr als die wenigen Sonnensysteme, die innerhalb der Grenze von 20–40 Lichtjahren von der Erde existieren. Aber das wäre ein Fehlschluss. Aufgrund der Zeitdilatation kann ein hypothetisches Raumschiff während der 40 aktiven Jahre des Piloten Tausende von Lichtjahren zurücklegen. Wenn ein Raumschiff gebaut werden könnte, das mit konstant 1 g beschleunigt , wird es nach etwas weniger als einem Jahr von der Erde aus gesehen fast mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs sein. Dies wird beschrieben durch:

wobei v ( t ) die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t ist , a die Beschleunigung von 1 g ist und t die von Menschen auf der Erde gemessene Zeit ist. Daher wird das Raumschiff nach einem Jahr Beschleunigung mit 9,81 m/s 2 mit v = 0,77 c relativ zur Erde reisen . Die Zeitdilatation wird die Lebensdauer des Reisenden vom Bezugssystem der Erde aus gesehen auf 2,7 Jahre erhöhen, aber ihre Lebensdauer, gemessen an einer mitreisenden Uhr, wird sich nicht ändern. Während ihrer Reise werden die Menschen auf der Erde mehr Zeit erleben als sie selbst. Eine 5-jährige Hin- und Rückreise für den Reisenden dauert 6,5 Erdenjahre und legt eine Entfernung von über 6 Lichtjahren zurück. Eine 20-jährige Rundreise für sie (5 Jahre Beschleunigung, 5 Jahre Verzögerung, jeweils zweimal) wird sie zurück auf die Erde bringen, nachdem sie 335 Erdjahre und eine Entfernung von 331 Lichtjahren zurückgelegt haben. Eine volle 40-jährige Reise mit 1 g wird auf der Erde erscheinen, um 58.000 Jahre zu dauern und eine Entfernung von 55.000 Lichtjahren zurückzulegen. Eine 40-jährige Reise mit 1,1 g dauert 148.000 Erdjahre und umfasst etwa 140.000 Lichtjahre. Eine einfache Reise von 28 Jahren (14 Jahre Beschleunigung, 14 Jahre Verzögerung, gemessen mit der Astronautenuhr) bei einer Beschleunigung von 1 g könnte 2.000.000 Lichtjahre bis zur Andromeda-Galaxie erreichen. Dieselbe Zeitdilatation ist der Grund, warum ein Myon, das sich in der Nähe von c bewegt, beobachtet wird, dass es sich viel weiter bewegt als das c - fache seiner Halbwertszeit (im Ruhezustand).

Relativitätstheorie und vereinigender Elektromagnetismus

Theoretische Untersuchungen im klassischen Elektromagnetismus führten zur Entdeckung der Wellenausbreitung. Gleichungen, die die elektromagnetischen Effekte verallgemeinern, ergaben, dass die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der E- und B - Felder ein bestimmtes Verhalten geladener Teilchen erforderte. Die allgemeine Untersuchung bewegter Ladungen bildet das Liénard-Wiechert-Potential , das einen Schritt in Richtung spezieller Relativitätstheorie darstellt.

Die Lorentz-Transformation des elektrischen Felds einer sich bewegenden Ladung in das Referenzsystem eines sich nicht bewegenden Beobachters führt zum Auftreten eines mathematischen Begriffs, der gemeinhin als Magnetfeld bezeichnet wird . Umgekehrt verschwindet das von einer bewegten Ladung erzeugte Magnetfeld und wird in einem mitbewegten Bezugssystem zu einem rein elektrostatischen Feld. Maxwells Gleichungen sind daher einfach eine empirische Anpassung an spezielle relativistische Effekte in einem klassischen Modell des Universums. Da elektrische und magnetische Felder bezugssystemabhängig und somit miteinander verflochten sind, spricht man von elektromagnetischen Feldern. Die spezielle Relativitätstheorie liefert die Transformationsregeln dafür, wie ein elektromagnetisches Feld in einem Inertialsystem in einem anderen Inertialsystem erscheint.

Maxwells Gleichungen in der 3D-Form sind bereits mit dem physikalischen Inhalt der speziellen Relativitätstheorie konsistent, obwohl sie in einer offensichtlich kovarianten Form, dh in der Sprache der Tensorrechnung , einfacher zu manipulieren sind.

Relativitätstheorien und Quantenmechanik

Die spezielle Relativitätstheorie kann mit der Quantenmechanik kombiniert werden , um die relativistische Quantenmechanik und die Quantenelektrodynamik zu bilden . Wie sich die Allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenmechanik vereinen lassen, ist eines der ungelösten Probleme der Physik ; Quantengravitation und eine „ Theorie von allem “, die einer Vereinheitlichung auch unter Einbeziehung der Allgemeinen Relativitätstheorie bedürfen, sind aktive und fortwährende Bereiche in der theoretischen Forschung.

Das frühe Bohr-Sommerfeld-Atommodell erklärte die Feinstruktur von Alkalimetallatomen sowohl unter Verwendung der speziellen Relativitätstheorie als auch der vorläufigen Kenntnisse der damaligen Quantenmechanik .

1928 konstruierte Paul Dirac eine einflussreiche relativistische Wellengleichung , die heute zu seinen Ehren als Dirac-Gleichung bekannt ist und sowohl mit der speziellen Relativitätstheorie als auch mit der endgültigen Version der Quantentheorie nach 1926 vollständig kompatibel ist. Diese Gleichung beschrieb nicht nur den intrinsischen Winkel Impuls der Elektronen namens Spin führte auch zur Vorhersage des Antiteilchens des Elektrons (des Positrons ), und die Feinstruktur konnte nur mit der speziellen Relativitätstheorie vollständig erklärt werden. Es war die erste Grundlage der relativistischen Quantenmechanik .

Andererseits führt die Existenz von Antiteilchen zu dem Schluss, dass die relativistische Quantenmechanik für eine genauere und vollständigere Theorie der Teilchenwechselwirkungen nicht ausreicht. Stattdessen wird eine Theorie der als quantisierte Felder interpretierten Teilchen, genannt Quantenfeldtheorie , notwendig; in dem Teilchen durch Raum und Zeit erzeugt und zerstört werden können.

Status

Die spezielle Relativitätstheorie in ihrer Minkowski-Raumzeit ist nur dann genau, wenn der absolute Wert des Gravitationspotentials im interessierenden Bereich viel kleiner als c 2 ist. In einem starken Gravitationsfeld muss man die allgemeine Relativitätstheorie anwenden . An der Grenze eines schwachen Feldes wird die Allgemeine Relativitätstheorie zur Speziellen Relativitätstheorie. Auf sehr kleinen Skalen, wie bei der Planck-Länge und darunter, müssen Quanteneffekte berücksichtigt werden, die zur Quantengravitation führen . Auf makroskopischen Skalen und in Abwesenheit starker Gravitationsfelder wird die spezielle Relativitätstheorie jedoch experimentell mit einem extrem hohen Genauigkeitsgrad (10 −20 ) getestet und daher von der Physikgemeinschaft akzeptiert. Versuchsergebnisse, die dem scheinbar widersprechen, sind nicht reproduzierbar und es wird daher allgemein angenommen, dass sie auf Versuchsfehler zurückzuführen sind.

Die spezielle Relativitätstheorie ist mathematisch selbstkonsistent und ein organischer Bestandteil aller modernen physikalischen Theorien, insbesondere der Quantenfeldtheorie , der Stringtheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie (im Grenzfall vernachlässigbarer Gravitationsfelder).

Die Newtonsche Mechanik folgt mathematisch aus der speziellen Relativitätstheorie bei kleinen Geschwindigkeiten (im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit) – somit kann die Newtonsche Mechanik als spezielle Relativitätstheorie langsam bewegter Körper betrachtet werden. Siehe klassische Mechanik für eine ausführlichere Diskussion.

Mehrere Experimente aus der Zeit vor Einsteins Veröffentlichung von 1905 werden heute als Beweis für die Relativitätstheorie interpretiert. Von diesen ist bekannt, dass Einstein das Fizeau-Experiment vor 1905 kannte, und Historiker sind zu dem Schluss gekommen, dass Einstein das Michelson-Morley-Experiment zumindest schon 1899 kannte, obwohl er in seinen späteren Jahren behauptete, dass es in seinen Jahren keine Rolle spielte Entwicklung der Theorie.

  • Das Fizeau-Experiment (1851, wiederholt von Michelson und Morley 1886) maß die Lichtgeschwindigkeit in sich bewegenden Medien, mit Ergebnissen, die mit der relativistischen Addition kolinearer Geschwindigkeiten übereinstimmen.
  • Das berühmte Michelson-Morley-Experiment (1881, 1887) stützte das Postulat, dass die Erfassung einer absoluten Referenzgeschwindigkeit nicht erreichbar war. An dieser Stelle sei angemerkt, dass es im Gegensatz zu vielen alternativen Behauptungen wenig über die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit in Bezug auf die Geschwindigkeit der Quelle und des Beobachters aussagt, da sowohl Quelle als auch Beobachter zu allen Zeiten zusammen mit der gleichen Geschwindigkeit unterwegs waren.
  • Das Trouton-Noble-Experiment (1903) zeigte, dass das Drehmoment an einem Kondensator unabhängig von Position und Trägheitsbezugssystem ist.
  • Die Experimente von Rayleigh und Brace (1902, 1904) zeigten, dass die Längenkontraktion gemäß dem Relativitätsprinzip für einen mitbewegten Beobachter nicht zur Doppelbrechung führt.

Teilchenbeschleuniger beschleunigen und messen routinemäßig die Eigenschaften von Teilchen, die sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen, wobei ihr Verhalten vollständig mit der Relativitätstheorie übereinstimmt und nicht mit der früheren Newtonschen Mechanik vereinbar ist . Diese Maschinen würden einfach nicht funktionieren, wenn sie nicht nach relativistischen Prinzipien konstruiert wären. Darüber hinaus wurde eine beträchtliche Anzahl moderner Experimente durchgeführt, um die spezielle Relativitätstheorie zu testen. Einige Beispiele:

Technische Diskussion der Raumzeit

Geometrie der Raumzeit

Vergleich zwischen dem flachen euklidischen Raum und dem Minkowski-Raum

Abbildung 10–1. Orthogonalität und Rotation von Koordinatensystemen im Vergleich zwischen links: Euklidischer Raum durch Kreiswinkel φ , rechts: in der Minkowski-Raumzeit durch hyperbolischen Winkel φ (rote Linien mit der Bezeichnung c bezeichnen die Weltlinien eines Lichtsignals, ein Vektor ist orthogonal zu sich selbst, wenn er auf dieser liegt Linie).

Die spezielle Relativitätstheorie verwendet einen „flachen“ 4-dimensionalen Minkowski-Raum – ein Beispiel für eine Raumzeit . Die Minkowski-Raumzeit scheint dem standardmäßigen dreidimensionalen euklidischen Raum sehr ähnlich zu sein , aber es gibt einen entscheidenden Unterschied in Bezug auf die Zeit.

Im 3D-Raum ist das Distanzdifferential (Linienelement) ds definiert durch

wobei d x = ( dx 1 , dx 2 , dx 3 ) die Differentiale der drei räumlichen Dimensionen sind. In der Minkowski-Geometrie gibt es eine zusätzliche Dimension mit der von der Zeit abgeleiteten Koordinate X 0 , sodass das Entfernungsdifferential erfüllt ist

wobei d X = ( dX 0 , dX 1 , dX 2 , dX 3 ) die Differentiale der vier Raumzeitdimensionen sind. Dies legt eine tiefe theoretische Einsicht nahe: Die spezielle Relativitätstheorie ist einfach eine Rotationssymmetrie unserer Raumzeit, analog zur Rotationssymmetrie des euklidischen Raums (siehe Abb. 10-1). So wie der euklidische Raum eine euklidische Metrik verwendet, verwendet die Raumzeit eine Minkowski-Metrik .Grundsätzlich kann die spezielle Relativitätstheorie als die Invarianz jedes Raumzeitintervalls (d. h. des 4D-Abstands zwischen zwei beliebigen Ereignissen) angegeben werden, wenn es von einem beliebigen Trägheitsbezugssystem aus betrachtet wird . Alle Gleichungen und Effekte der speziellen Relativitätstheorie lassen sich aus dieser Rotationssymmetrie (der Poincaré-Gruppe ) der Minkowski-Raumzeit ableiten.

Die tatsächliche Form von ds oben hängt von der Metrik und von der Auswahl für die X 0 -Koordinate ab. Damit die Zeitkoordinate wie die Raumkoordinaten aussieht, kann sie als imaginär behandelt werden : X 0 = ict (dies wird als Wick-Rotation bezeichnet ). Laut Misner, Thorne und Wheeler (1971, §2.3) wird das tiefere Verständnis sowohl der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie letztendlich aus dem Studium der Minkowski-Metrik (unten beschrieben) und der Annahme von X 0 = ct kommen, anstatt einer "verkleideten " Euklidische Metrik mit ict als Zeitkoordinate.

Einige Autoren verwenden X 0 = t mit Faktoren von c an anderer Stelle, um dies zu kompensieren; Beispielsweise werden räumliche Koordinaten durch c geteilt oder Faktoren von c ± 2 in den metrischen Tensor aufgenommen. Diese zahlreichen Konventionen können durch die Verwendung natürlicher Einheiten mit c = 1 ersetzt werden . Dann haben Raum und Zeit äquivalente Einheiten, und es treten nirgendwo Faktoren von c auf.

3D-Raumzeit

Abbildung 10–2. Dreidimensionaler Doppelkegel.

Wenn wir die räumlichen Dimensionen auf 2 reduzieren, können wir die Physik in einem 3D-Raum darstellen

wir sehen, dass die Nullgeodäten entlang eines Doppelkegels liegen (siehe Abb. 10-2), der durch die Gleichung definiert ist;

oder einfach

 das ist die Gleichung eines Kreises mit Radius  c dt .

4D-Raumzeit

Wenn wir dies auf drei räumliche Dimensionen erweitern, sind die Nullgeodäten der 4-dimensionale Kegel:

Also

Abbildung 10–3. Konzentrische Kugeln, die im 3-Raum die Null-Geodäten eines 4-dimensionalen Kegels in der Raumzeit veranschaulichen.

Wie in Abb. 10-3 dargestellt, können die Null-Geodäten als ein Satz kontinuierlicher konzentrischer Kugeln mit Radien =  c dt visualisiert werden .

Dieser Null-Doppelkegel repräsentiert die "Sichtlinie" eines Punktes im Raum. Das heißt, wenn wir die Sterne betrachten und sagen: „Das Licht von diesem Stern, das ich empfange, ist X Jahre alt“, blicken wir auf diese Sichtlinie: eine Null-Geodäte. Wir betrachten ein weit entferntes Ereignis und eine Zeit d/c in der Vergangenheit. Aus diesem Grund wird der Null-Doppelkegel auch als „Lichtkegel“ bezeichnet. (Der Punkt unten links in Abb. 10-2 stellt den Stern dar, der Ursprung stellt den Beobachter dar und die Linie stellt die geodätische „Sichtlinie“ von Null dar.)

Der Kegel im −t -Bereich ist die Information, dass der Punkt „empfangt“, während der Kegel im + t -Bereich die Information ist, dass der Punkt „sendet“.

Die Geometrie des Minkowski-Raums kann mithilfe von Minkowski-Diagrammen dargestellt werden , die auch zum Verständnis vieler Gedankenexperimente in der speziellen Relativitätstheorie nützlich sind.

Beachten Sie, dass in der 4D-Raumzeit das Konzept des Massenzentrums komplizierter wird, siehe Massenzentrum (relativistisch) .

Physik in der Raumzeit

Transformationen physikalischer Größen zwischen Referenzrahmen

Oben zeigt die Lorentz-Transformation für die Zeitkoordinate und drei Raumkoordinaten, dass sie miteinander verflochten sind. Dies gilt allgemeiner: Bestimmte Paare von "zeitartigen" und "raumartigen" Größen kombinieren sich natürlich gleichberechtigt unter derselben Lorentz-Transformation.

Die Lorentz-Transformation in obiger Standardkonfiguration, also für eine Anhebung in x -Richtung, lässt sich wie folgt in Matrixform umformen:

In der Newtonschen Mechanik werden Größen mit Betrag und Richtung mathematisch als 3D-Vektoren im euklidischen Raum beschrieben und im Allgemeinen durch die Zeit parametrisiert. In der speziellen Relativitätstheorie wird dieser Begriff erweitert, indem die entsprechende zeitähnliche Größe zu einer raumähnlichen Vektorgröße hinzugefügt wird, und wir haben 4d-Vektoren oder „ vier Vektoren “ in der Minkowski-Raumzeit. Die Komponenten von Vektoren werden in Tensor-Index-Notation geschrieben , da dies zahlreiche Vorteile hat. Die Notation macht deutlich, dass die Gleichungen unter der Poincaré-Gruppe offensichtlich kovariant sind , wodurch die langwierigen Berechnungen zur Überprüfung dieser Tatsache umgangen werden. Beim Konstruieren solcher Gleichungen stellen wir oft fest, dass Gleichungen, von denen wir bisher annahmen, dass sie nicht zusammenhängen, in Wirklichkeit eng miteinander verbunden sind, da sie Teil derselben Tensorgleichung sind. Andere physikalische Größen als Tensoren zu erkennen, vereinfacht deren Transformationsgesetze. Durchweg sind obere Indizes (hochgestellte Indizes) eher kontravariante Indizes als Exponenten, außer wenn sie ein Quadrat anzeigen (dies sollte aus dem Kontext klar sein), und untere Indizes (tiefgestellte Indizes) sind kovariante Indizes. Zur Vereinfachung und Übereinstimmung mit den früheren Gleichungen werden kartesische Koordinaten verwendet.

Das einfachste Beispiel eines Vierervektors ist die Position eines Ereignisses in der Raumzeit, die aus einer zeitartigen Komponente ct und einer raumartigen Komponente x = ( x , y , z ) besteht, in einer kontravarianten Position ein Vierervektor mit Komponenten:

wobei wir X 0 = ct definieren , so dass die Zeitkoordinate dieselbe Distanzdimension hat wie die anderen räumlichen Dimensionen; damit Raum und Zeit gleich behandelt werden. Nun kann die Transformation der kontravarianten Komponenten des Positions-4-Vektors kompakt geschrieben werden als:

wobei es eine implizite Summierung von 0 bis 3 gibt und eine Matrix ist .

Allgemeiner transformieren sich alle kontravarianten Komponenten eines Vier-Vektor- Frames durch eine Lorentz - Transformation von einem Frame in einen anderen Frame :

Beispiele für andere 4-Vektoren umfassen die Vierergeschwindigkeit , die als Ableitung des Positions-4-Vektors in Bezug auf die Eigenzeit definiert ist :

wobei der Lorentzfaktor ist:

Die relativistische Energie und der relativistische Impuls eines Objekts sind jeweils die zeitartigen und raumartigen Komponenten eines kontravarianten vier Impulsvektors :

wobei m die unveränderliche Masse ist .

Die Viererbeschleunigung ist die Eigenzeitableitung der Vierergeschwindigkeit:

Die Transformationsregeln für dreidimensionale Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind sehr umständlich; selbst oben in der Standardkonfiguration sind die Geschwindigkeitsgleichungen aufgrund ihrer Nichtlinearität ziemlich kompliziert. Dagegen ist die Transformation von Vierergeschwindigkeit und Viererbeschleunigung mit Hilfe der Lorentz-Transformationsmatrix einfacher.

Der Viergradient eines Skalarfeldes φ transformiert eher kovariant als kontravariant:

das ist die transponierte von:

nur in kartesischen Koordinaten. Es ist die kovariante Ableitung , die sich in manifeste Kovarianz umwandelt, in kartesischen Koordinaten reduziert sich dies auf die partiellen Ableitungen, aber nicht in anderen Koordinaten.

Allgemeiner transformieren die Co -Variantenkomponenten einer 4-Vektor-Transformation gemäß der inversen Lorentz-Transformation:

wo ist die reziproke Matrix von .

Die Postulate der speziellen Relativitätstheorie schränken die genaue Form der Lorentz-Transformationsmatrizen ein.

Allgemeiner lassen sich die meisten physikalischen Größen am besten als (Bestandteile von) Tensoren beschreiben . Um also von einem Rahmen in einen anderen zu transformieren, verwenden wir das bekannte Tensortransformationsgesetz

wo ist die reziproke Matrix von . Alle Tensoren transformieren sich nach dieser Regel.

Ein Beispiel für einen vierdimensionalen antisymmetrischen Tensor zweiter Ordnung ist der relativistische Drehimpuls , der sechs Komponenten hat: drei sind der klassische Drehimpuls , und die anderen drei beziehen sich auf die Erhöhung des Massenschwerpunkts des Systems. Die Ableitung des relativistischen Drehimpulses nach der Eigenzeit ist das relativistische Drehmoment, auch antisymmetrischer Tensor zweiter Ordnung .

Der elektromagnetische Feldtensor ist ein weiteres antisymmetrisches Tensorfeld zweiter Ordnung mit sechs Komponenten: drei für das elektrische Feld und weitere drei für das magnetische Feld . Es gibt auch den Spannungs-Energie-Tensor für das elektromagnetische Feld, nämlich den elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensor .

Metrisch

Der metrische Tensor erlaubt es, das innere Produkt zweier Vektoren zu definieren, was wiederum erlaubt, dem Vektor eine Größe zuzuordnen. Angesichts der vierdimensionalen Natur der Raumzeit hat die Minkowski-Metrik η Komponenten (gültig mit geeignet gewählten Koordinaten), die in einer 4 × 4 -Matrix angeordnet werden können:

was in diesen Rahmen gleich seinem Kehrwert ist . Durchweg verwenden wir die Zeichen wie oben, verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Konventionen – siehe Minkowski-metrische alternative Zeichen.

Die Poincaré-Gruppe ist die allgemeinste Gruppe von Transformationen, die die Minkowski-Metrik bewahrt:

und das ist die physikalische Symmetrie, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt.

Die Metrik kann zum Erhöhen und Senken von Indizes auf Vektoren und Tensoren verwendet werden. Invarianten können mit der Metrik konstruiert werden, das innere Produkt eines 4-Vektors T mit einem anderen 4-Vektor S ist:

Invariant bedeutet, dass es in allen Inertialrahmen denselben Wert annimmt, da es sich um einen Skalar (0-Rang-Tensor) handelt und daher in seiner trivialen Transformation kein Λ erscheint. Der Betrag des 4-Vektors T ist die positive Quadratwurzel des Skalarprodukts mit sich selbst:

Man kann diese Idee auf Tensoren höherer Ordnung erweitern, für Tensoren zweiter Ordnung können wir die Invarianten bilden:

ähnlich für Tensoren höherer Ordnung. Invariante Ausdrücke, insbesondere innere Produkte von 4-Vektoren mit sich selbst, liefern Gleichungen, die für Berechnungen nützlich sind, da man keine Lorentz-Transformationen durchführen muss, um die Invarianten zu bestimmen.

Relativistische Kinematik und Invarianz

Die Koordinatendifferentiale transformieren auch kontravariant:

also die quadrierte Länge des Differentials des Positions-Vier-Vektors dX μ konstruiert mit
ist eine Invariante. Beachten Sie, dass, wenn das Linienelement d X 2 negativ ist, d X 2 das Differential der Eigenzeit ist , während, wenn d X 2 positiv ist, d X 2 das Differenzial des Eigenabstands ist .

Die 4-Geschwindigkeit U μ hat eine invariante Form:

was bedeutet, dass alle Geschwindigkeits-Vier-Vektoren eine Größe von c haben . Dies ist ein Ausdruck dafür, dass es in der Relativitätstheorie keine Koordinatenruhe gibt: Zumindest bewegt man sich immer vorwärts durch die Zeit. Die Differenzierung der obigen Gleichung nach τ ergibt:
In der speziellen Relativitätstheorie sind also der Beschleunigungs-Viervektor und der Geschwindigkeits-Viervektor orthogonal.

Relativistische Dynamik und Invarianz

Die invariante Größe des Impuls-4-Vektors erzeugt die Energie-Impuls-Beziehung :

Wir können herausfinden, was diese Invariante ist, indem wir zuerst argumentieren, dass es keine Rolle spielt, in welchem ​​Bezugssystem wir es berechnen, da es sich um einen Skalar handelt, und dann in ein System transformieren, in dem der Gesamtimpuls null ist.

Wir sehen, dass die Ruheenergie eine unabhängige Invariante ist. Eine Ruheenergie kann sogar für Teilchen und Systeme in Bewegung berechnet werden, indem man sie in ein System überführt, in dem der Impuls Null ist.

Die Ruheenergie hängt mit der Masse gemäß der oben diskutierten berühmten Gleichung zusammen:

Die Masse von Systemen, gemessen in ihrem Rahmen des Impulszentrums (wo der Gesamtimpuls null ist), ist durch die Gesamtenergie des Systems in diesem Rahmen gegeben. Sie ist möglicherweise nicht gleich der Summe der einzelnen Systemmassen, die in anderen Rahmen gemessen wurden.

Um Newtons drittes Bewegungsgesetz zu verwenden, müssen beide Kräfte als Änderungsrate des Impulses in Bezug auf dieselbe Zeitkoordinate definiert werden. Das heißt, es erfordert die oben definierte 3D-Kraft. Leider gibt es in 4D keinen Tensor, der unter seinen Komponenten die Komponenten des 3D-Kraftvektors enthält.

Wenn sich ein Teilchen nicht bei c fortbewegt , kann man die 3D-Kraft aus dem sich mitbewegenden Referenzrahmen des Teilchens in den Referenzrahmen des Beobachters transformieren. Dies ergibt einen 4-Vektor, der als Viererkraft bezeichnet wird . Es ist die Änderungsrate des obigen Energieimpuls -Viervektors in Bezug auf die Eigenzeit. Die kovariante Version der Viererkraft ist:

Im Ruhesystem des Objekts ist die Zeitkomponente der vier Kräfte Null, es sei denn, die „ invariante Masse “ des Objekts ändert sich (dies erfordert ein nicht geschlossenes System, in dem Energie/Masse direkt hinzugefügt oder von dem Objekt entfernt wird ), in welchem ​​Fall es das Negative dieser Massenänderungsrate mal c ist . Im Allgemeinen sind die Komponenten der Viererkraft jedoch nicht gleich den Komponenten der Dreierkraft, da die Dreierkraft durch die Impulsänderungsrate in Bezug auf die Koordinatenzeit definiert ist, dh dp / dt während der vier Kraft ist definiert durch die Änderungsrate des Impulses in Bezug auf die Eigenzeit, dh dp / .

In einem kontinuierlichen Medium verbindet sich die 3D - Kraftdichte mit der Leistungsdichte zu einem kovarianten 4-Vektor. Der räumliche Teil ist das Ergebnis der Division der Kraft auf eine kleine Zelle (im 3-Raum) durch das Volumen dieser Zelle. Die Zeitkomponente ist –1/ c mal die an diese Zelle übertragene Leistung dividiert durch das Volumen der Zelle. Dies wird weiter unten im Abschnitt über Elektromagnetismus verwendet.

Siehe auch

Anmerkungen

Primäre Quellen

Verweise

Weiterlesen

Lehrbücher

Zeitungsartikel

Externe Links

Originale Werke

Spezielle Relativitätstheorie für ein breites Publikum (keine mathematischen Vorkenntnisse erforderlich)

  • Einstein Light Eine preisgekrönte , nicht-technische Einführung (Filmclips und Demonstrationen), unterstützt durch Dutzende von Seiten mit weiteren Erklärungen und Animationen, auf Niveaus mit oder ohne Mathematik.
  • Einstein Online Einführung in die Relativitätstheorie, vom Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik.
  • Audio: Cain/Gay (2006) – Astronomiebesetzung . Einsteins Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie erklärt (unter Verwendung einfacher oder fortgeschrittenerer Mathematik)

Visualisierung

  • Raytracing Special Relativity Software, die mehrere Szenarien unter dem Einfluss der speziellen Relativitätstheorie visualisiert.
  • Relativitätstheorie in Echtzeit Die Australian National University. Relativistische visuelle Effekte, die durch ein interaktives Programm erlebt werden.
  • Raumzeitreisen Eine Vielzahl von Visualisierungen relativistischer Effekte, von relativistischer Bewegung bis hin zu Schwarzen Löchern.
  • Durch Einsteins Augen Die Australian National University. Relativistische visuelle Effekte erklärt mit Filmen und Bildern.
  • Warp Special Relativity Simulator Ein Computerprogramm, das die Auswirkungen einer Reise nahe der Lichtgeschwindigkeit zeigt.
  • Animationsclip auf YouTube , der die Lorentz-Transformation visualisiert.
  • Originale interaktive FLASH-Animationen von John de Pillis, die Lorentz- und Galileische Rahmen, Zug- und Tunnelparadoxon, das Zwillingsparadoxon, Wellenausbreitung, Uhrensynchronisierung usw. veranschaulichen.
  • lightspeed Ein OpenGL-basiertes Programm, das entwickelt wurde, um die Auswirkungen der speziellen Relativitätstheorie auf das Erscheinungsbild sich bewegender Objekte zu veranschaulichen.
  • Animation , die die Sterne in der Nähe der Erde zeigt, wie sie von einem Raumschiff aus gesehen werden, das schnell auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.