Quadrat - Square

Quadrat
Ein regelmäßiges Viereck
Typ	Regelmäßiges Vieleck
Kanten und Scheitelpunkte	4
Schläfli-Symbol	{4}
Coxeter-Diagramm
Symmetriegruppe	Dieder (D 4 ), Ordnung 2×4
Innenwinkel ( Grad )	90°
Doppelpolygon	Selbst
Eigenschaften	Konvex , zyklisch , gleichseitig , isogonal , isotoxal

In der euklidischen Geometrie , ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck , was bedeutet , daß es vier gleiche Seiten und vier gleiche aufweist Winkel (90- Grad - Winkel oder 100- Neugrad Winkel oder rechte Winkel ). Es kann auch als Rechteck definiert werden, bei dem zwei benachbarte Seiten gleich lang sind. Ein Quadrat mit Ecken ABCD würde als ABCD bezeichnet . ${\displaystyle \square}$

Charakterisierungen

Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Quadrat, wenn es eines der folgenden ist:

• Ein Rechteck mit zwei benachbarten gleichen Seiten
• Eine Raute mit einem rechten Scheitelwinkel
• Eine Raute mit allen Winkeln gleich
• Ein Parallelogramm mit einem rechten Scheitelwinkel und zwei benachbarten gleichen Seiten
• Ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkeln
• Ein Viereck, bei dem die Diagonalen gleich sind und die senkrechten Winkelhalbierenden voneinander sind (dh eine Raute mit gleichen Diagonalen)
• Ein konvexes Viereck mit aufeinanderfolgenden Seiten a , b , c , d dessen Fläche${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2 }).}$

Eigenschaften

Ein Quadrat ist ein Spezialfall einer Raute (gleiche Seiten, entgegengesetzte gleiche Winkel), eines Drachens (zwei Paare benachbarter gleicher Seiten), eines Trapezes (ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel), eines Parallelogramms (alle gegenüberliegenden Seiten parallel), a Viereck oder Viereck (vierseitiges Vieleck) und ein Rechteck (gegenüberliegende Seiten gleich, rechtwinklig) und hat daher alle Eigenschaften all dieser Formen, nämlich:

• Die Diagonalen eines Quadrats halbieren sich und treffen sich bei 90°.
• Die Diagonalen eines Quadrats halbieren seine Winkel.
• Die gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats sind parallel und gleich lang.
• Alle vier Winkel eines Quadrats sind gleich (jeweils 360°/4 = 90°, ein rechter Winkel).
• Alle vier Seiten eines Quadrats sind gleich.
• Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich.
• Das Quadrat ist der n=2 Fall der Familien der n- Hyperwürfel und n- Orthoplexe .
• Ein Quadrat hat das Schläfli-Symbol {4}. Ein abgeschnittenes Quadrat, t{4}, ist ein Achteck , {8}. Ein alternierendes Quadrat, h{4}, ist ein Digon , {2}.

Umfang und Fläche

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist das Produkt seiner Seitenlänge.

Der Umfang eines Quadrats, dessen vier Seiten eine Länge haben, ist ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle P=4\ell}$

und die Fläche A ist

${\displaystyle A=\ell^{2}.}$

In der klassischen Zeit wurde die zweite Potenz in Bezug auf die Fläche eines Quadrats beschrieben, wie in der obigen Formel. Dies führte dazu, dass der Begriff Quadrat verwendet wurde , um die zweite Potenz zu bedeuten.

Die Fläche kann auch mit der Diagonale d nach berechnet werden

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

Bezogen auf den Umkreisradius R ist die Fläche eines Quadrats

${\displaystyle A=2R^{2};}$

Da die Fläche des Kreises beträgt, füllt das Quadrat ungefähr 0,6366 seines umschriebenen Kreises aus . ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Bezogen auf den Innenradius r ist die Fläche des Quadrats

${\displaystyle A=4r^{2}.}$

Da es sich um ein regelmäßiges Vieleck handelt , ist ein Quadrat das Viereck mit dem kleinsten Umfang, das eine bestimmte Fläche umschließt. Dual ist ein Quadrat das Viereck, das die größte Fläche innerhalb eines bestimmten Umfangs enthält. Wenn A und P die Fläche und der Umfang sind, die von einem Viereck eingeschlossen sind, dann gilt die folgende isoperimetrische Ungleichung :

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

mit Gleichheit genau dann, wenn das Viereck ein Quadrat ist.

Andere Fakten

• Die Diagonalen eines Quadrats sind (ca. 1,414) mal die Länge einer Seite des Quadrats. Dieser Wert, bekannt als Quadratwurzel von 2 oder Pythagoras-Konstante, war die erste Zahl, die sich als irrational erwiesen hat .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Ein Quadrat kann auch als Parallelogramm mit gleichen Diagonalen definiert werden, die die Winkel halbieren.
• Wenn eine Figur sowohl ein Rechteck (rechte Winkel) als auch eine Raute (gleiche Kantenlänge) ist, dann ist sie ein Quadrat.
• Wenn ein Kreis um ein Quadrat umschrieben wird, ist die Fläche des Kreises (ca. 1,5708) mal die Fläche des Quadrats.${\displaystyle \pi/2}$
• Wenn in das Quadrat ein Kreis eingeschrieben wird, ist die Fläche des Kreises (ca. 0,7854) mal die Fläche des Quadrats.${\displaystyle \pi/4}$
• Ein Quadrat hat eine größere Fläche als jedes andere Viereck mit dem gleichen Umfang.
• Eine quadratische Kachelung ist eine von drei regelmäßigen Kacheln der Ebene (die anderen sind das gleichseitige Dreieck und das regelmäßige Sechseck ).
• Das Quadrat besteht aus zwei Polytopfamilien in zwei Dimensionen: Hyperwürfel und Kreuzpolytop . Das Schläfli-Symbol für das Quadrat ist {4}.
• Das Quadrat ist ein hochsymmetrisches Objekt. Es gibt vier Reflexionssymmetrielinien und eine Rotationssymmetrie der Ordnung 4 (über 90°, 180° und 270°). Ihre Symmetriegruppe ist die Diedergruppe  D ₄ .
• Wenn der eingeschriebene Kreis eines Quadrats ABCD Tangentialpunkte E auf AB , F auf BC , G auf CD und H auf DA hat , dann gilt für jeden Punkt P auf dem eingeschriebenen Kreis

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Ist der Abstand von einem beliebigen Punkt in der Ebene zum i- ten Eckpunkt eines Quadrats und der Umkreisradius des Quadrats, dann${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^ {4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4} }+R^{2}\right)^{2}.}$

• Wenn und die Abstände von einem beliebigen Punkt in der Ebene zum Schwerpunkt des Quadrats bzw. seinen vier Eckpunkten sind, dann${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{ 2})}$

und

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4} ),}$

wo ist der Umkreisradius des Quadrats.${\displaystyle R}$

Koordinaten und Gleichungen

${\displaystyle |x|+|y|=2}$auf kartesischen Koordinaten aufgetragen .

Die Koordinaten für die Eckpunkte eines Quadrats mit vertikalen und horizontalen Seiten, im Ursprung zentriert und mit Seitenlänge 2 sind (±1, ±1), während das Innere dieses Quadrats aus allen Punkten ( x _i , y _i ) mit −1 < x _i < 1 und −1 < y _i < 1 . Die gleichung

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

gibt die Grenze dieses Quadrats an. Diese Gleichung bedeutet " x ² oder y ² , je nachdem, welcher Wert größer ist, entspricht 1". Der Umkreisradius dieses Quadrats (der Radius eines durch die Eckpunkte des Quadrats gezogenen Kreises) ist die halbe Diagonale des Quadrats und ist gleich Dann hat der Umkreis die Gleichung ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Alternativ die Gleichung

${\displaystyle \left|xa\right|+\left|yb\right|=r.}$

kann auch die Grenze eines Quadrat mit dem Mittelpunkt zu beschreiben , verwendet werden , Koordinaten ( a , b ) und einem horizontalen oder vertikalen Radius von r .

Konstruktion

Die folgenden Animationen zeigen, wie Sie mit Zirkel und Lineal ein Quadrat konstruieren . Dies ist möglich als 4 = 2 ² , eine Zweierpotenz .

Quadrat bei einem gegebenen Umkreis

Quadrat bei gegebener Seitenlänge,
rechter Winkel nach dem Satz von Thales

Quadrat bei gegebener Diagonale

Symmetrie

Die Diedersymmetrien werden unterteilt, je nachdem, ob sie durch Ecken ( d für Diagonalen) oder Kanten ( p für Senkrechte) verlaufen. Zyklische Symmetrien in der mittleren Spalte werden mit g für ihre zentralen Gyrationsordnungen bezeichnet. Die volle Symmetrie des Quadrats ist r8 und keine Symmetrie ist mit a1 bezeichnet .

Das Quadrat hat Dih ₄ -Symmetrie, Ordnung 8. Es gibt 2 Dieder-Untergruppen: Dih ₂ , Dih ₁ und 3 zyklische Untergruppen: Z ₄ , Z ₂ und Z ₁ .

Ein Quadrat ist ein Spezialfall vieler Vierecke niedriger Symmetrie:

• Ein Rechteck mit zwei benachbarten gleichen Seiten
• Ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkeln
• Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel und zwei benachbarten gleichen Seiten
• Eine Raute mit einem rechten Winkel
• Eine Raute mit allen Winkeln gleich
• Eine Raute mit gleichen Diagonalen

Diese 6 Symmetrien drücken 8 verschiedene Symmetrien auf einem Quadrat aus. John Conway beschriftet diese durch eine Buchstaben- und Gruppenreihenfolge.

Jede Untergruppensymmetrie erlaubt einen oder mehrere Freiheitsgrade für unregelmäßige Vierecke . r8 ist volle Symmetrie des Quadrats und a1 ist keine Symmetrie. d4 ist die Symmetrie eines Rechtecks und p4 ist die Symmetrie einer Raute . Diese beiden Formen sind Duale voneinander und haben die halbe Symmetrieordnung des Quadrats. d2 ist die Symmetrie eines gleichschenkligen Trapezes und p2 ist die Symmetrie eines Drachens . g2 definiert die Geometrie eines Parallelogramms .

Nur die Untergruppe g4 hat keine Freiheitsgrade, sondern kann als Quadrat mit gerichteten Kanten betrachtet werden .

Quadrate in Dreiecke eingeschrieben

Jedes spitze Dreieck hat drei eingeschriebene Quadrate (Quadrate in seinem Inneren, so dass alle vier Eckpunkte eines Quadrats auf einer Seite des Dreiecks liegen, also zwei von ihnen auf derselben Seite liegen und daher eine Seite des Quadrats mit einem Teil einer Seite zusammenfällt des Dreiecks). In einem rechtwinkligen Dreieck fallen zwei der Quadrate zusammen und haben einen Scheitelpunkt im rechten Winkel des Dreiecks, so dass ein rechtwinkliges Dreieck nur zwei verschiedene eingeschriebene Quadrate hat. Ein stumpfes Dreieck hat nur ein eingeschriebenes Quadrat, wobei eine Seite mit einem Teil der längsten Seite des Dreiecks zusammenfällt.

Der Bruchteil der Fläche des Dreiecks, der vom Quadrat ausgefüllt wird, beträgt nicht mehr als 1/2.

Quadratur des Kreises

Die Quadratur des Kreises , vorgeschlagen von alten Geometern , ist das Problem, ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein gegebener Kreis zu konstruieren , indem nur eine endliche Anzahl von Schritten mit Zirkel und Lineal verwendet wird .

Im Jahr 1882 erwies sich die Aufgabe als unmöglich als Folge des Lindemann-Weierstrass-Theorems , das beweist, dass pi ( π ) eine transzendente Zahl und keine algebraische irrationale Zahl ist ; das heißt, es ist nicht die Wurzel eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten.

Nichteuklidische Geometrie

In der nichteuklidischen Geometrie sind Quadrate allgemeiner Polygone mit 4 gleichen Seiten und gleichen Winkeln.

In der Kugelgeometrie ist ein Quadrat ein Vieleck, dessen Kanten Großkreisbögen gleichen Abstands sind, die sich unter gleichen Winkeln treffen. Im Gegensatz zum Quadrat der ebenen Geometrie sind die Winkel eines solchen Quadrats größer als ein rechter Winkel. Größere sphärische Quadrate haben größere Winkel.

In der hyperbolischen Geometrie gibt es keine Quadrate mit rechten Winkeln. Stattdessen haben Quadrate in hyperbolischer Geometrie Winkel, die kleiner als rechte Winkel sind. Größere hyperbolische Quadrate haben kleinere Winkel.

Beispiele:

Zwei Quadrate können die Kugel mit 2 Quadraten um jeden Scheitelpunkt und 180-Grad- Innenwinkeln kacheln . Jedes Quadrat bedeckt eine ganze Halbkugel und ihre Scheitel liegen entlang eines Großkreises . Dies wird als sphärischer quadratischer Dieder bezeichnet . Das Schläfli-Symbol ist {4,2}.

Sechs Quadrate können die Kugel mit 3 Quadraten um jeden Scheitelpunkt und 120-Grad- Innenwinkeln kacheln . Dies wird als Kugelwürfel bezeichnet. Das Schläfli-Symbol ist {4,3}.

Quadrate können die euklidische Ebene mit 4 um jeden Scheitelpunkt kacheln, wobei jedes Quadrat einen Innenwinkel von 90° hat. Das Schläfli-Symbol ist {4,4} .

Quadrate können die hyperbolische Ebene mit 5 um jeden Scheitelpunkt kacheln, wobei jedes Quadrat 72-Grad-Innenwinkel hat. Das Schläfli-Symbol ist  {4,5} . Tatsächlich gibt es für jedes n 5 eine hyperbolische Kachelung mit n Quadraten um jede Ecke.

Gekreuztes Quadrat

Gekreuztes Quadrat

Ein gekreuztes Quadrat ist eine Facette des Quadrats, ein sich selbst schneidendes Polygon, das durch Entfernen zweier gegenüberliegender Kanten eines Quadrats und Wiederverbinden durch seine beiden Diagonalen entsteht. Es hat die halbe Symmetrie des Quadrats, Dih ₂ , Ordnung 4. Es hat die gleiche Scheitelpunktanordnung wie das Quadrat und ist Scheitel-transitiv . Es erscheint als zwei 45-45-90-Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, aber der geometrische Schnittpunkt wird nicht als Scheitelpunkt betrachtet.

Ein gekreuztes Quadrat wird manchmal mit einer Fliege oder einem Schmetterling verglichen . das gekreuzte Rechteck ist als Facettierung des Rechtecks ​​mit den beiden Spezialfällen gekreuzter Vierecke verwandt .

Das Innere eines gekreuzten Quadrats kann in jedem Dreieck eine Polygondichte von ±1 haben, abhängig von der Windungsrichtung im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn.

Ein Quadrat und ein durchgestrichenes Quadrat haben folgende Eigenschaften gemeinsam:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
• Die beiden Diagonalen sind gleich lang.
• Es hat zwei Linien der Reflexionssymmetrie und der Rotationssymmetrie der Ordnung 2 (über 180°).

Es existiert in der Scheitelfigur eines einheitlichen Sternpolyeders , des Tetrahemihexaeders .

Grafiken

3-simplex (3D)

Der vollständige Graph von K ₄ wird oft als Quadrat gezeichnet, bei dem alle 6 möglichen Kanten verbunden sind, und erscheint daher als Quadrat mit beiden gezeichneten Diagonalen. Dieser Graph stellt auch eine orthographische Projektion der 4 Ecken und 6 Kanten des regulären 3- Simplex ( Tetraeder ) dar.

Siehe auch

• Würfel
• Satz des Pythagoras
• Quadratisches Gitter
• Quadratzahl
• Quadratwurzel
• Quadratur des Quadrats
• Eichhörnchen
• Einheitsquadrat

Verweise

Externe Links

• Animierter Kurs (Bau, Umfang, Fläche)
• Definition und Eigenschaften eines Quadrats Mit interaktivem Applet
• Animiertes Applet, das die Fläche eines Quadrats darstellt