Stones Darstellungssatz für Boolesche Algebren - Stone's representation theorem for Boolean algebras

In Mathematik , Darstellungssatz für Boolesche Algebren besagt , dass jede Boolesche Algebra ist isomorph zu einem bestimmten Bereich der Sätze . Der Satz ist grundlegend für das tiefere Verständnis der Booleschen Algebra , die in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts entstanden ist. Der Satz wurde zuerst von Marshall H. Stone bewiesen . Stone wurde dazu durch sein Studium der Spektraltheorie von Operatoren auf einem Hilbert-Raum geführt .

Steinräume

Jeder Booleschen Algebra B ist ein topologischer Raum zugeordnet, der hier mit S ( B ) bezeichnet wird und Stone-Raum genannt wird . Die Punkte in S ( B ) sind die Ultrafilter auf B oder äquivalent die Homomorphismen von B zur Booleschen Algebra mit zwei Elementen . Die Topologie auf S ( B ) wird durch eine (geschlossene) Basis bestehend aus allen Mengen der Form

wobei b ein Element von B ist . Dies ist die Topologie der punktweisen Konvergenz von Netzen von Homomorphismen in die Boolesche Algebra mit zwei Elementen.

Für jede Boolesche Algebra B ist S ( B ) ein kompakter total unzusammenhängender Hausdorff-Raum ; solche Räume werden Steinräume (auch profinite Räume ) genannt. Umgekehrt ist die Sammlung von Teilmengen von X , die clopen (sowohl geschlossen als auch offen) sind, für einen gegebenen topologischen Raum X eine Boolesche Algebra.

Darstellungssatz

Eine einfache Version des Darstellungssatzes von Stone besagt, dass jede Boolesche Algebra B isomorph zur Algebra der clopen Teilmengen ihres Stone-Raums S ( B ) ist. Der Isomorphismus sendet ein Element an die Menge aller Ultrafilter, die b enthalten . Dies ist eine Clopen-Menge wegen der Wahl der Topologie auf S ( B ) und weil B eine Boolesche Algebra ist.

Neuformulierung des Theorems in der Sprache der Kategorientheorie ; der Satz besagt, dass es eine Dualität zwischen der Kategorie der Booleschen Algebren und der Kategorie der Steinräume gibt. Diese Dualität bedeutet, dass zusätzlich zur Korrespondenz zwischen Booleschen Algebren und ihren Stone-Räumen jeder Homomorphismus von einer Booleschen Algebra A zu einer Booleschen Algebra B auf natürliche Weise einer stetigen Funktion von S ( B ) nach S ( A ) entspricht. Mit anderen Worten, es gibt einen kontravarianten Funktor , der eine Äquivalenz zwischen den Kategorien ergibt . Dies war ein frühes Beispiel für eine nichttriviale Dualität von Kategorien.

Der Satz ist ein Spezialfall der Stone-Dualität , einem allgemeineren Rahmen für Dualitäten zwischen topologischen Räumen und teilweise geordneten Mengen .

Der Beweis erfordert entweder das Auswahlaxiom oder eine abgeschwächte Form davon. Insbesondere ist der Satz äquivalent zum Booleschen Primidealsatz , einem geschwächten Wahlprinzip, das besagt, dass jede Boolesche Algebra ein Primideal hat.

Eine Erweiterung der klassischen Stone-Dualität auf die Kategorie der Booleschen Räume (= nulldimensionale lokal kompakte Hausdorff-Räume) und stetige Abbildungen (bzw. perfekte Abbildungen) wurde von GD Dimov (bzw. von HP Doctor) erzielt.

Siehe auch

Zitate

Verweise