Subadditivität - Subadditivity

In der Mathematik ist Subadditivität eine Eigenschaft einer Funktion, die grob aussagt, dass die Auswertung der Funktion für die Summe zweier Elemente der Domäne immer etwas kleiner oder gleich der Summe der Werte der Funktion an jedem Element zurückgibt. Es gibt zahlreiche Beispiele für subadditive Funktionen in verschiedenen Bereichen der Mathematik, insbesondere Normen und Quadratwurzeln . Additive Maps sind Spezialfälle von subadditiven Funktionen.

Definitionen

A subadditive Funktion ist eine Funktion , eine mit Domäne A und eine geordnete codomain B , die beide geschlossen unter hinaus mit der folgenden Eigenschaft: ${\displaystyle f\colon A\to B}$

Ein Beispiel ist die Quadratwurzelfunktion mit den nicht-negativen reellen Zahlen als Domäne und Kodomäne, denn wir haben: ${\displaystyle \forall x,y\geq 0}$

Eine Folge , heißt subadditiv, wenn sie die Ungleichung . erfüllt${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},n\geq 1}$

für alle m und n . Dies ist ein Sonderfall der subadditiven Funktion, wenn eine Folge als Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen interpretiert wird.

Eigenschaften

Sequenzen

Ein nützliches Ergebnis bezüglich subadditiver Sequenzen ist das folgende Lemma von Michael Fekete .

Das Analogon von Feketes Lemma gilt auch für superadditive Folgen, d. h.: (Der Grenzwert kann dann positiv unendlich sein: Betrachten Sie die Folge .) ${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.}$${\displaystyle a_{n}=\log n!}$

Es gibt Erweiterungen des Lemmas von Fekete, die nicht erfordern, dass die Ungleichung (1) für alle m und n gilt , sondern nur für m und n , sodass die Bedingung wie folgt abgeschwächt werden kann: vorausgesetzt, es handelt sich um eine aufsteigende Funktion, so dass Integral konvergiert (nahe der Unendlichkeit). ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)}$${\displaystyle \phi}$${\textstyle \int\phi(t)t^{-2}\,dt}$

Es gibt auch Ergebnisse, die es erlauben, die Konvergenzrate gegen den Grenzwert abzuleiten, dessen Existenz im Lemma von Fekete angegeben ist, wenn sowohl eine Art von Superadditivität als auch Subadditivität vorhanden ist.

Außerdem wurden Analoga von Feketes Lemma für subadditive reelle Abbildungen (mit zusätzlichen Annahmen) aus endlichen Teilmengen einer zugänglichen Gruppe und weiter einer abbrechenden links zugänglichen Halbgruppe bewiesen.

Funktionen

Wenn f eine subadditive Funktion ist und 0 in ihrem Bereich liegt, dann ist f (0) 0. Um dies zu sehen, nehmen Sie die Ungleichung oben. . Somit${\displaystyle f(x)\geq f(x+y)-f(y)}$${\displaystyle f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0}$

Eine konkave Funktion mit ist ebenfalls subadditiv. Um dies zu sehen, beobachtet man zuerst, dass . Betrachtet man dann die Summe dieser Schranke für und , wird schließlich verifiziert, dass f subadditiv ist. ${\displaystyle f:[0,\infty)\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f(0)\geq 0}$${\displaystyle f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(y)}$

Das Negative einer subadditiven Funktion ist superadditiv .

Beispiele in verschiedenen Domänen

Entropie

Entropie spielt eine grundlegende Rolle in der Informationstheorie und statistischen Physik , sowie in einer verallgemeinerten Formulierung der Quantenmechanik nach von Neumann . Die Entropie tritt in allen ihren Formulierungen immer als subadditive Größe auf, dh die Entropie eines Supersystems oder einer Mengenvereinigung von Zufallsvariablen ist immer kleiner oder gleich der Summe der Entropien seiner Einzelkomponenten. Darüber hinaus erfüllt die Entropie in der Physik mehrere strengere Ungleichungen wie die starke Subadditivität der Entropie in der klassischen statistischen Mechanik und ihr Quantenanalogon .

Wirtschaft

Subadditivität ist eine wesentliche Eigenschaft bestimmter Kostenfunktionen . Sie ist im Allgemeinen eine notwendige und hinreichende Bedingung für den Nachweis eines natürlichen Monopols . Dies impliziert, dass die Produktion von nur einem Unternehmen sozial weniger teuer ist (in Bezug auf die Durchschnittskosten) als die Produktion eines Bruchteils der ursprünglichen Menge durch eine gleiche Anzahl von Unternehmen.

Skaleneffekte werden durch subadditive Durchschnittskostenfunktionen dargestellt .

Außer bei komplementären Gütern muss der Preis der Güter (in Abhängigkeit von der Menge) subadditiv sein. Andernfalls, wenn die Summe der Kosten von zwei Artikeln billiger ist als die Kosten des Bündels von zwei von ihnen zusammen, dann würde niemand das Bündel jemals kaufen, was effektiv dazu führt, dass der Preis des Bündels die Summe der Preise von . wird die beiden getrennten Artikel. Damit ist bewiesen, dass dies keine hinreichende Bedingung für ein natürliches Monopol ist; da die Umtauscheinheit möglicherweise nicht den tatsächlichen Kosten eines Artikels entspricht. Diese Situation ist jedem in der politischen Arena bekannt, wo einige Minderheiten behaupten, dass der Verlust bestimmter Freiheiten auf einer bestimmten Regierungsebene bedeutet, dass viele Regierungen besser sind; während die Mehrheit behauptet, dass es eine andere korrekte Kosteneinheit gibt.

Finanzen

Subadditivität ist eine der wünschenswerten Eigenschaften kohärenter Risikomaße im Risikomanagement . Die ökonomische Intuition hinter der Risikomaß-Subadditivität ist, dass ein Portfoliorisiko im schlimmsten Fall einfach der Summe der Risikopositionen der einzelnen Positionen entsprechen sollte, aus denen das Portfolio besteht. In allen anderen Fällen würden die Diversifikationseffekte zu einem Portfolioengagement führen, das geringer ist als die Summe der einzelnen Risikoengagements. Das Fehlen von Subadditivität ist einer der Hauptkritikpunkte von VaR- Modellen, die nicht auf der Annahme der Normalität von Risikofaktoren beruhen . Der Gaußsche VaR stellt die Subadditivität sicher: Zum Beispiel beträgt der Gaußsche VaR eines Portfolios mit zwei einheitlichen Long-Positionen auf dem Konfidenzniveau unter der Annahme, dass die mittlere Portfoliowertschwankung null ist und der VaR als negativer Verlust definiert ist, ${\displaystyle V}$${\displaystyle 1-p}$

Dabei ist die Umkehrung der kumulativen Normalverteilungsfunktion auf dem Wahrscheinlichkeitsniveau , die Varianzen der Renditen der einzelnen Positionen und das lineare Korrelationsmaß zwischen den Renditen der beiden einzelnen Positionen. Da die Varianz immer positiv ist, ${\displaystyle z_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma_{x}^{2},\sigma_{y}^{2}}$${\displaystyle \rho_{xy}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}+2\rho_{xy}\sigma_{x}\sigma_{y}}} \leq\sigma_{x}+\sigma_{y}}$$

Somit ist der Gaußsche VaR subadditive für jeden Wert von und insbesondere gleich der Summe der einzelnen Risikopositionen, wenn keine Diversifikationseffekte auf das Portfoliorisiko vorliegen. ${\displaystyle \rho_{xy}\in [-1,1]}$${\displaystyle \rho_{xy}=1}$

Thermodynamik

Subadditivität tritt bei den thermodynamischen Eigenschaften von nicht idealen Lösungen und Mischungen auf, wie das überschüssige Molvolumen und die Mischungswärme oder die überschüssige Enthalpie.

Kombinatorik auf Wörtern

Eine faktorielle Sprache ist eine

Sprache, in der, wenn ein Wort in ist , alle Faktoren dieses Wortes auch in sind . In der Kombinatorik von Wörtern besteht ein häufiges Problem darin, die Anzahl der Längenwörter in einer Fakultätssprache zu bestimmen . Klar , so ist subadditive und damit Fekete Lemma verwendet werden kann , um das Wachstum von abzuschätzen . ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A(m+n)\leq A(m)A(n)}$${\displaystyle \log A(n)}$${\displaystyle A(n)}$

Siehe auch

• Scheinbare molare Eigenschaft
• Choquet-Integral
• Superadditivität
• Dreiecksungleichung  – Eigenschaft der Geometrie, die auch verwendet wird, um den Begriff "Entfernung" in metrischen Räumen zu verallgemeinern

Anmerkungen

1. ^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10.1007/BF01504345 .
2. ^ de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Einige lineare und einige quadratische Rekursionsformeln. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proz. Ser. Ein . 55 : 152–163. doi : 10.1016/S1385-7258(52)50021-0 .(Wie Indagationes Math. 14. ) Siehe auch Steele 1997, Satz 1.9.2.
3. ^ Michael J. Steele. „Wahrscheinlichkeitstheorie und kombinatorische Optimierung“. SIAM, Philadelphia (1997). ISBN  0-89871-380-3 .
4. ^ Michael J. Steele (2011). CBMS-Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie und kombinatorische Optimierung . Universität von Cambridge.
5. ^ Lindenstrauß, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Mittlere topologische Dimension" . Israelische Zeitschrift für Mathematik . 115 (1): 1–24. CiteSeerX  10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172 . Satz 6.1
6. ^ Ornstein, Donald S.; Weiss, Benjamin (1987). „Entropie- und Isomorphismussätze für Aktionen zugänglicher Gruppen“. Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1–141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN  0021-7670 .
7. ^ Gromov, Mischa (1999). „Topologische Invarianten dynamischer Systeme und Räume holomorpher Karten: I“. Mathematische Physik, Analysis und Geometrie . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN  1385-0172 .
8. ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). „Ein Analogon von Feketes Lemma für subadditive Funktionen auf abbrechenden zugänglichen Halbgruppen“. J. Anal. Mathe . 124 : 59–81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007/s11854-014-0027-4 . Satz 1.1
9. ^ Hille 1948, Satz 6.6.1. (Die Messbarkeit ist in Abschn. 6.2 „Vorbereitungen“ festgelegt.)
10. ^ Schechter, Eric (1997). Handbuch der Analysis und ihre Grundlagen . San Diego: Akademische Presse. ISBN 978-0-12-622760-4., S.314,12.25
11. ^ Rau-Bredow, H. (2019). „Größer ist nicht immer sicherer: Eine kritische Analyse der Subadditivitätsannahme für kohärente Risikomaße“ . Risiken . 7 (3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 .
12. ^ Shur, Arseny (2012). „Wachstumseigenschaften von machtfreien Sprachen“. Informatik-Rezension . 6 (5–6): 187–208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .

Verweise

• György Pólya und Gábor Szegő . "Probleme und Theoreme in der Analysis, Band 1". Springer-Verlag, New York (1976). ISBN  0-387-05672-6 .
• Einar Hille . " Funktionsanalyse und Halbgruppen ". Amerikanische Mathematische Gesellschaft, New York (1948).
• NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Generische subadditive Funktionen." Proceedings of American Mathematical Society, vol. 136, Nr. 12 (2008), S. 4257–4266.

Externe Links

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