Änderung von Variablen - Change of variables

In der Mathematik ist eine Änderung von Variablen eine grundlegende Technik zur Vereinfachung von Problemen, bei denen die ursprünglichen Variablen durch Funktionen anderer Variablen ersetzt werden. Die Absicht ist, dass das Problem, wenn es in neuen Variablen ausgedrückt wird, einfacher wird oder einem besser verstandenen Problem entspricht.

Das Ändern von Variablen ist eine Operation, die sich auf die Substitution bezieht . Dies sind jedoch unterschiedliche Operationen, wie aus der Betrachtung der Differenzierung ( Kettenregel ) oder Integration ( Integration durch Substitution ) hervorgeht.

Ein sehr einfaches Beispiel für eine nützliche Variablenänderung ist das Problem, die Wurzeln des Polynoms sechsten Grades zu finden:

{\ displaystyle x ^ {6} -9x ^ {3} + 8 = 0.}

Polynomgleichungen sechsten Grades sind im Allgemeinen nicht radikalisch zu lösen (siehe Abel-Ruffini-Theorem ). Diese spezielle Gleichung kann jedoch geschrieben werden

{\ displaystyle (x ^ {3}) ^ {2} -9 (x ^ {3}) + 8 = 0}

(Dies ist ein einfacher Fall einer Polynomzerlegung ). Somit kann die Gleichung durch Definieren einer neuen Variablen vereinfacht werden . Einsetzen von x durch in das Polynom ergibt ${\ displaystyle u = x ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {u}}}$

{\ displaystyle u ^ {2} -9u + 8 = 0,}

Das ist nur eine quadratische Gleichung mit den beiden Lösungen:

{\ displaystyle u = 1 \ quad {\ text {und}} \ quad u = 8.}

Die Lösungen in Bezug auf die ursprünglichen Variablen werden durch Substituieren erhaltenen x ³ zurück in für u , die verursacht

{\ displaystyle x ^ {3} = 1 \ quad {\ text {und}} \ quad x ^ {3} = 8.}

Unter der Annahme, dass man nur an realen Lösungen interessiert ist , sind die Lösungen der ursprünglichen Gleichung

{\ displaystyle x = (1) ^ {1/3} = 1 \ quad {\ text {und}} \ quad x = (8) ^ {1/3} = 2.}

Einfaches Beispiel

Betrachten Sie das Gleichungssystem

{\ displaystyle xy + x + y = 71}

{\ displaystyle x ^ {2} y + xy ^ {2} = 880}

wo und sind positive ganze Zahlen mit . (Quelle: 1991 AIME ) ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x> y}$

Normalerweise ist es nicht sehr schwierig, dies zu lösen, aber es kann etwas langweilig werden. Wir können jedoch die zweite Gleichung als umschreiben . Nehmen Sie die Substitutionen vor und reduzieren Sie das System auf . Das Lösen gibt und . Das Zurücksetzen des ersten geordneten Paares ergibt uns , was die Lösung ergibt. Das Zurücksetzen des zweiten geordneten Paares gibt uns , was keine Lösung ergibt. Daher ist die Lösung, die das System löst , ist . ${\ displaystyle xy (x + y) = 880}$ ${\ displaystyle s = x + y}$ ${\ displaystyle t = xy}$ ${\ displaystyle s + t = 71, st = 880}$ ${\ displaystyle (s, t) = (16,55)}$ ${\ displaystyle (s, t) = (55,16)}$ ${\ displaystyle x + y = 16, xy = 55, x> y}$ ${\ displaystyle (x, y) = (11,5).}$ ${\ displaystyle x + y = 55, xy = 16, x> y}$ ${\ displaystyle (x, y) = (11,5)}$

Formelle Einleitung

Lassen , seinen Verteiler glatt und läßt eine sein - Diffeomorphismus zwischen ihnen, das ist: eine mal stetig differenzierbar, bijektive Karte von zu mit Zeiten stetig differenzierbare inversen aus zu . Hier kann eine beliebige natürliche Zahl (oder Null), ( glatt ) oder ( analytisch ) sein. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ Phi: A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Die Karte wird als reguläre Koordinatentransformation oder reguläre Variablensubstitution bezeichnet , wobei regulär sich auf die -ness von bezieht . Normalerweise wird geschrieben , um das Ersetzen der Variablen durch die Variable anzuzeigen , indem der Wert von in für jedes Auftreten von ersetzt wird . ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle x = \ Phi (y)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$

Andere Beispiele

Transformation koordinieren

Einige Systeme können beim Umschalten auf Polarkoordinaten leichter gelöst werden . Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung

{\ displaystyle U (x, y): = (x ^ {2} + y ^ {2}) {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ { 2}}}}} = 0.}

Dies kann eine potenzielle Energiefunktion für ein physikalisches Problem sein. Wenn man nicht sofort eine Lösung sieht, kann man die Substitution versuchen

{\ displaystyle \ displaystyle (x, y) = \ Phi (r, \ theta)}

gegeben durch

{\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (r, \ theta) = (r \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta)).}

Beachten Sie, dass die Karte nicht mehr bijektiv ist , wenn sie beispielsweise außerhalb eines Intervalls von -Länge ausgeführt wird. Daher sollte zum Beispiel auf beschränkt werden . Beachten Sie, wie dies ausgeschlossen ist, da es im Ursprung nicht bijektiv ist ( kann einen beliebigen Wert annehmen, der Punkt wird auf (0, 0) abgebildet). Wenn wir dann alle Vorkommen der ursprünglichen Variablen durch die neuen Ausdrücke ersetzen, die durch die Identität vorgeschrieben sind und diese verwenden , erhalten wir ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ ${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle (0, \ infty] \ times [0,2 \ pi)}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1}$

{\ displaystyle V (r, \ theta) = r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta} {r ^ {2}}}} = r ^ {2} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}} = r ^ {2} \ left | \ sin \ theta \ right |.}

Jetzt können die Lösungen leicht gefunden werden : , so oder . Das Anwenden der Umkehrung von zeigt, dass dies äquivalent zu while ist . In der Tat sehen wir, dass die Funktion bis auf den Ursprung verschwindet. ${\ displaystyle \ sin (\ theta) = 0}$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle y = 0}$ ${\ displaystyle x \ not = 0}$ ${\ displaystyle y = 0}$

Beachten Sie, dass, wenn wir es erlaubt hätten , der Ursprung auch eine Lösung gewesen wäre, obwohl es keine Lösung für das ursprüngliche Problem ist. Hier ist die Bijektivität von entscheidend. Die Funktion ist immer positiv (für ), daher die absoluten Werte. ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$

Unterscheidung

Die Kettenregel wird verwendet, um die komplizierte Differenzierung zu vereinfachen. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem der Berechnung der Ableitung

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x ^ {2}).}

Schreiben

{\ displaystyle y = \ sin u \ quad {\ text {und}} \ quad u = x ^ {2}}

wir bekommen

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {d} {dx}} \ sin (x ^ {2}) = \ overbrace {{\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \, {\ frac {du} {dx}}} ^ {\ text {Dieser Teil ist die Kettenregel.}} = \ left ({\ frac {d} {du}} \ sin u \ right ) \ left ({\ frac {d} {dx}} x ^ {2} \ right) \\ [8pt] = {} & {\ big (} \ cos u {\ big)} (2x) = \ cos (x ^ {2}) \ cdot 2x. \ end {align}}}

Integration

Schwierige Integrale können häufig durch Ändern von Variablen bewertet werden. Dies wird durch die Substitutionsregel ermöglicht und entspricht der Verwendung der obigen Kettenregel. Schwierige Integrale können auch gelöst werden, indem das Integral unter Verwendung einer Änderung der Variablen vereinfacht wird, die durch die entsprechende Jacobi-Matrix und Determinante gegeben sind . Die Verwendung der Jacobi-Determinante und der entsprechenden Änderung der Variablen, die sie ergibt, ist die Grundlage für Koordinatensysteme wie polare, zylindrische und sphärische Koordinatensysteme.

Differentialgleichung

Variable Änderungen für die Differenzierung und Integration sind in dem Grunde gelehrt Kalkül und die Schritte sind selten vollständig durchgeführt.

Die sehr breite Verwendung von Variablenänderungen wird deutlich, wenn Differentialgleichungen betrachtet werden, bei denen die unabhängigen Variablen unter Verwendung der Kettenregel geändert werden können oder die abhängigen Variablen geändert werden, was zu einer gewissen Differenzierung führt. Exotische Veränderungen, wie das Vermischen von abhängigen und unabhängigen Variablen in Punkt- und Kontakttransformationen , können sehr kompliziert sein, lassen aber viel Freiheit.

Sehr oft wird eine allgemeine Form für eine Änderung durch ein Problem ersetzt und Parameter ausgewählt, um das Problem am besten zu vereinfachen.

Skalieren und Verschieben

Die wahrscheinlich einfachste Änderung ist das Skalieren und Verschieben von Variablen, dh das Ersetzen durch neue Variablen, die um konstante Beträge "gedehnt" und "verschoben" werden. Dies ist in praktischen Anwendungen sehr häufig, um physikalische Parameter aus Problemen herauszuholen. Für eine Ableitung n- ^ter Ordnung führt die Änderung einfach zu

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = {\ frac {y _ {\ text {scale}}} {x _ {\ text {scale}} ^ {n}} } {\ frac {d ^ {n} {\ hat {y}}} {d {\ hat {x}} ^ {n}}}

wo

{\ displaystyle x = {\ hat {x}} x _ {\ text {scale}} + x _ {\ text {shift}}}

{\ displaystyle y = {\ hat {y}} y _ {\ text {scale}} + y _ {\ text {shift}}.}

Dies kann leicht durch die Kettenregel und die Linearität der Differenzierung gezeigt werden. Diese Änderung ist in praktischen Anwendungen sehr häufig, um physikalische Parameter aus Problemen herauszuholen, beispielsweise dem Randwertproblem

{\ displaystyle \ mu {\ frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = {\ frac {dp} {dx}} \ quad; \ quad u (0) = u (L) = 0}

beschreibt den parallelen Flüssigkeitsstrom zwischen flachen festen Wänden, die durch einen Abstand δ getrennt sind; μ ist die Viskosität und der Druckgradient , beide Konstanten. Durch Skalieren der Variablen wird das Problem ${\ displaystyle dp / dx}$

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} {\ hat {u}} {d {\ hat {y}} ^ {2}} = 1 \ quad; \ quad {\ hat {u}} ( 0) = {\ hat {u}} (1) = 0}

wo

{\ displaystyle y = {\ hat {y}} L \ qquad {\ text {und}} \ qquad u = {\ hat {u}} {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}} {\ frac {dp} {dx}}.}

Die Skalierung ist aus vielen Gründen nützlich. Es vereinfacht die Analyse, indem sowohl die Anzahl der Parameter reduziert als auch das Problem einfacher geglättet wird. Durch eine ordnungsgemäße Skalierung können Variablen normalisiert werden, dh sie haben einen sinnvollen Bereich ohne Einheiten wie 0 bis 1. Wenn ein Problem eine numerische Lösung erfordert , ist die Anzahl der Berechnungen umso geringer, je weniger Parameter vorhanden sind.

Impuls gegen Geschwindigkeit

Betrachten Sie ein Gleichungssystem

{\ displaystyle {\ begin {align} m {\ dot {v}} & = - {\ frac {\ partielles H} {\ partielles x}} \\ [5pt] m {\ dot {x}} & = { \ frac {\ partielles H} {\ partielles v}} \ end {ausgerichtet}}}

für eine gegebene Funktion . Die Masse kann durch (triviale) Substitution eliminiert werden . Dies ist eindeutig eine bijektive Karte von bis . Unter der Substitution wird das System ${\ displaystyle H (x, v)}$ ${\ displaystyle \ Phi (p) = 1 / m \ cdot p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle v = \ Phi (p)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {p}} & = - {\ frac {\ partielles H} {\ partielles x}} \\ [5pt] {\ dot {x}} & = {\ frac {\ partielles H} {\ partielles p}} \ Ende {ausgerichtet}}}

Lagrange-Mechanik

Bei einem Kraftfeld , Newton ‚s Bewegungsgleichungen sind ${\ displaystyle \ varphi (t, x, v)}$

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} = \ varphi (t, x, v).}

Lagrange untersucht , wie diese Bewegungsgleichungen Änderung unter einer beliebigen Substitution von Variablen , ${\ displaystyle x = \ Psi (t, y)}$ ${\ displaystyle v = {\ frac {\ partiell \ Psi (t, y)} {\ partiell t}} + {\ frac {\ partiell \ Psi (t, y)} {\ partiell y}} \ cdot w. }}$

Er fand, dass die Gleichungen

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell {L}} {\ partiell y}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partiell {L}} { \ partielle {w}}}}

sind äquivalent zu Newtons Gleichungen für die Funktion , wobei T die Kinetik und V die potentielle Energie ist. ${\ displaystyle L = TV}$

Wenn die Substitution gut gewählt wird (wobei beispielsweise Symmetrien und Einschränkungen des Systems ausgenutzt werden), sind diese Gleichungen viel einfacher zu lösen als Newtons Gleichungen in kartesischen Koordinaten.

Siehe auch

Verweise

Languages

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