Nachfolgerfunktion - Successor function
In der Mathematik sendet die Nachfolgerfunktion oder Nachfolgeroperation eine natürliche Zahl an die nächste. Die Nachfolgefunktion wird mit S bezeichnet , also S ( n ) = n + 1. Zum Beispiel S (1) = 2 und S (2) = 3. Die Nachfolgefunktion ist eine der Grundkomponenten, die verwendet wird, um eine primitive Rekursive zu bauen Funktion .
Nachfolgeoperationen werden im Zusammenhang mit einer nullten Hyperoperation auch als Zeration bezeichnet : H 0 ( a , b ) = 1 + b . In diesem Zusammenhang ist die Erweiterung der Zeration die Addition , die als wiederholte Aufeinanderfolge definiert ist.
Überblick
Die Nachfolgerfunktion ist Teil der formalen Sprache, die verwendet wird, um die Peano-Axiome anzugeben , die die Struktur der natürlichen Zahlen formalisieren. In dieser Formalisierung ist die Nachfolgerfunktion eine primitive Operation auf den natürlichen Zahlen, anhand derer die natürlichen Standardzahlen und die Addition definiert werden. Zum Beispiel wird 1 als S (0) definiert, und die Addition auf natürliche Zahlen wird rekursiv definiert durch:
m + 0 = m , m + S ( n ) = S ( m + n ).
Dies kann verwendet werden, um die Addition zweier beliebiger natürlicher Zahlen zu berechnen. Zum Beispiel 5 + 2 = 5 + S (1) = S (5 + 1) = S (5 + S (0)) = S ( S (5 + 0)) = S ( S (5)) = S (6) = 7.
Mehrere Konstruktionen der natürlichen Zahlen innerhalb der Mengenlehre wurden vorgeschlagen. Zum Beispiel John von Neumann - Konstrukten die Zahl 0 als leere Menge {}, und dem Nachfolger von n , S ( n ), als der Satz n ∪ { n }. Das Axiom der Unendlichkeit dann garantiert die Existenz eines Satzes, der 0 enthält und geschlossen in Bezug auf S . Die kleinste solche Menge wird mit N bezeichnet , und ihre Mitglieder heißen natürliche Zahlen.
Die Nachfolgerfunktion ist die Ebene-0-Grundlage der unendlichen Grzegorczyk-Hierarchie von Hyperoperationen , die verwendet wird, um Addition , Multiplikation , Exponentiation , Tetrierung usw. aufzubauen . Sie wurde 1986 in einer Untersuchung untersucht, die die Verallgemeinerung des Musters für Hyperoperationen beinhaltete.
Sie ist auch eine der primitiven Funktionen, die bei der Charakterisierung der Berechenbarkeit durch rekursive Funktionen verwendet wird .
Siehe auch
Verweise
- Paul R. Halmos (1968). Naive Mengenlehre . Nostrand.
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