Einheitliche Norm - Uniform norm

Der Umfang des Quadrats ist die Menge von Punkten in R 2 , wo die sup-Norm einer festen positiven Konstanten entspricht. Zum Beispiel liegen die Punkte (2, 0) , (2, 1) und (2, 2) entlang des Umfangs eines Quadrats und gehören zu der Menge von Vektoren, deren sup-Norm 2 ist.

In mathematischen Analyse , die einheitliche Norm (oder sup norm ) zuordnet Real- oder komplexe -wertige beschränkten Funktionen f auf einem definierten Satz S der nicht-negative Zahl

Diese Norm wird auch die angerufene Supremumsnorm, die Chebyshev Norm, die Unendlichkeit Norm, oder, wenn die supremum in der Tat ist das Maximum, das max Norm . Der Name "einheitliche Norm" leitet sich von der Tatsache ab, dass eine Folge von Funktionen genau dann gegen die aus der einheitlichen Norm abgeleitete Metrik konvergiert, wenn sie gegen einheitlich konvergiert .

Die von dieser Norm erzeugte Metrik wird Chebyshev-Metrik genannt , nach Pafnuty Chebyshev , der sie als erster systematisch untersuchte.

Wenn wir unbeschränkte Funktionen zulassen, liefert diese Formel im engeren Sinne keine Norm oder Metrik, obwohl die erhaltene sogenannte erweiterte Metrik es immer noch erlaubt, eine Topologie auf dem fraglichen Funktionsraum zu definieren.

Wenn f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall oder allgemeiner eine kompakte Menge ist, dann ist sie beschränkt und das Supremum in der obigen Definition wird durch den Weierstraßschen Extremwertsatz erreicht , so dass wir das Supremum durch das Maximum ersetzen können. In diesem Fall wird die Norm auch als maximale Norm bezeichnet . Insbesondere dann , wenn es einige Vektor , so dass in finite dimensionalen Koordinatenraum , ist es die Form annimmt:

Die Menge der Vektoren, deren Unendlichkeitsnorm eine gegebene Konstante c ist , bildet die Fläche eines Hyperwürfels mit der Kantenlänge 2 c .

Der Grund für das tiefgestellte "∞" ist, dass immer dann, wenn f stetig ist

wo

wobei D der Definitionsbereich von f ist (und das Integral eine Summe ergibt, wenn D eine diskrete Menge ist ).

Die binäre Funktion

ist dann eine Metrik auf dem Raum aller beschränkten Funktionen (und natürlich jeder ihrer Teilmengen) auf einem bestimmten Gebiet. Eine Folge { f n  : n = 1, 2, 3, ... } konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine Funktion f, wenn

Wir können abgeschlossene Mengen und Abschlüsse von Mengen in Bezug auf diese metrische Topologie definieren; geschlossene Mengen in der einheitlichen Norm werden manchmal als einheitlich geschlossen und als einheitliche Schließungen bezeichnet . Der gleichförmige Abschluss einer Menge von Funktionen A ist der Raum aller Funktionen, die durch eine Folge gleichförmig konvergierender Funktionen auf A approximiert werden können. Zum Beispiel lautet eine Neuformulierung des Satzes von Stone-Weierstrass, dass die Menge aller stetigen Funktionen auf ist der gleichförmige Abschluss der Menge der Polynome auf .

Für komplexe stetige Funktionen auf kompaktem Raum wird daraus eine C*-Algebra .

Siehe auch

Verweise