Synchrotronstrahlung - Synchrotron radiation

Synchrotronstrahlung (auch bekannt als magneto Bremsstrahlungsstrahlung ) ist die elektromagnetische Strahlung emittiert wird, wenn geladene Teilchen radial beschleunigt werden, beispielsweise wenn sie unter einer Beschleunigung senkrecht zu ihrer Geschwindigkeit sind ( a ⊥ v ). Es wird beispielsweise in Synchrotronen unter Verwendung von Biegemagneten, Undulatoren und/oder Wigglern hergestellt . Wenn das Teilchen nicht relativistisch ist, wird die Emission Zyklotronemission genannt . Wenn die Teilchen relativistisch sind , manchmal auch als ultrarelativistisch bezeichnet , wird die Emission als Synchrotronemission bezeichnet. Synchrotronstrahlung kann künstlich in Synchrotrons oder Speicherringen erzeugt werden oder natürlich durch schnelle Elektronen, die sich durch Magnetfelder bewegen. Die so erzeugte Strahlung weist eine charakteristische Polarisation auf und die erzeugten Frequenzen können über das gesamte elektromagnetische Spektrum reichen , das auch als Kontinuumsstrahlung bezeichnet wird .

In der Astrophysik tritt Synchrotronemission beispielsweise aufgrund der ultrarelativistischen Bewegung einer Quelle um ein Schwarzes Loch herum auf . Wenn die Quelle eine kreisförmige Geodätierung um das Schwarze Loch herum ausführt , tritt die Synchrotronstrahlung für Umlaufbahnen in der Nähe der Photosphäre auf, wo die Bewegung im ultrarelativistischen Bereich liegt .

Geschichte

Synchrotronstrahlung wurde benannt, nachdem sie in Schenectady, New York, von einem 1946 gebauten Synchrotronbeschleuniger von General Electric entdeckt und im Mai 1947 von Frank Elder, Anatole Gurewitsch, Robert Langmuir und Herb Pollock in einem Brief mit dem Titel "Radiation from Electrons in a Synchrotron . angekündigt wurde ". Pollock erzählt:

Am 24. April ließen Langmuir und ich die Maschine laufen und versuchten wie üblich, die Elektronenkanone und den dazugehörigen Impulstransformator bis ans Limit zu bringen. Es war zeitweise Funkenbildung aufgetreten und wir baten den Techniker, die schützende Betonwand mit einem Spiegel zu beobachten. Er signalisierte sofort, das Synchrotron auszuschalten, als "er einen Bogen in der Röhre sah". Das Vakuum war immer noch ausgezeichnet, also kamen Langmuir und ich zum Ende der Mauer und beobachteten. Zuerst dachten wir, es könnte an der Cherenkov-Strahlung liegen , aber es wurde bald klarer, dass wir Ivanenko- und Pomeranchuk- Strahlung sahen .

Eigenschaften der Synchrotronstrahlung

1. Breites Spektrum (von Mikrowellen bis zu harter Röntgenstrahlung ): Die Benutzer können die für ihr Experiment erforderliche Wellenlänge auswählen.
2. Hoher Fluss: Hochintensiver Photonenstrahl ermöglicht schnelle Experimente oder den Einsatz schwach streuender Kristalle.
3. Hohe Brillanz: hochkollimierter Photonenstrahl, der von einer kleinen Divergenz und einer kleinen Quelle erzeugt wird (räumliche Kohärenz).
4. Hohe Stabilität: Quellenstabilität im Submikrometerbereich.
5. Polarisation : sowohl linear als auch kreisförmig .
6. Gepulste Zeitstruktur: Die gepulste Dauer von bis zu mehreren zehn Pikosekunden ermöglicht die Auflösung des Prozesses auf der gleichen Zeitskala.

Emissionsmechanismus

Synchrotronstrahlung entsteht, wenn sich bewegende Teilchen beschleunigen, zB wenn sich Elektronen frei in einem Magnetfeld bewegen . Dies ist vergleichbar mit einer Radioantenne , jedoch mit dem Unterschied, dass die relativistische Geschwindigkeit theoretisch die beobachtete Frequenz aufgrund des Dopplereffekts um den Lorentzfaktor γ ändert . Relativistische Längenkontraktion Bumps dann die Frequenz um einen weiteren Faktor beobachtet γ , wodurch die Multiplikation Gigahertz Frequenz des Hohlraumresonators, die die Elektronen in den Röntgenbereich beschleunigt. Die Strahlungsleistung wird durch die relativistische Larmor-Formel angegeben , während die Kraft auf das emittierende Elektron durch die Abraham-Lorentz-Dirac-Kraft angegeben wird .

Das Strahlungsmuster kann von einem isotropen Dipolmuster in einen extrem nach vorne gerichteten Strahlungskegel verzerrt werden. Synchrotronstrahlung ist die hellste künstliche Röntgenquelle.

Die planare Beschleunigungsgeometrie scheint die Strahlung linear polarisiert zu machen, wenn sie in der Orbitalebene beobachtet wird , und zirkular polarisiert, wenn sie in einem kleinen Winkel zu dieser Ebene beobachtet wird. Amplitude und Frequenz sind jedoch auf die Polarekliptik fokussiert.

Synchrotronstrahlung von Beschleunigern

Synchrotronstrahlung kann in Beschleunigern entweder als Störfaktor auftreten, der im Kontext der Teilchenphysik unerwünschte Energieverluste verursacht , oder als gezielt erzeugte Strahlungsquelle für zahlreiche Laboranwendungen. Elektronen werden in mehreren Stufen auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt, um eine Endenergie zu erreichen, die typischerweise im GeV-Bereich liegt. Im Large Hadron Collider erzeugen Protonenpakete die Strahlung mit zunehmender Amplitude und Frequenz, wenn sie sich gegenüber dem Vakuumfeld beschleunigen, und propagieren Photoelektronen , die wiederum Sekundärelektronen von den Rohrwänden mit zunehmender Frequenz und Dichte bis zu 7×10 ^{10 .} ausbreiten . Jedes Proton kann aufgrund dieses Phänomens 6,7 keV pro Umdrehung verlieren .

Synchrotronstrahlung in der Astronomie

Synchrotronstrahlung wird auch von astronomischen Objekten erzeugt, typischerweise dort, wo sich relativistische Elektronen durch Magnetfelder spiralförmig drehen (und daher ihre Geschwindigkeit ändern). Zwei seiner Eigenschaften umfassen nicht-thermische Potenzgesetz- Spektren und Polarisation. Es gilt als eines der mächtigsten Werkzeuge bei der Untersuchung von extrasolaren Magnetfeldern, wo immer relativistisch geladene Teilchen vorhanden sind. Die meisten bekannten kosmischen Radioquellen senden Synchrotronstrahlung aus. Es wird oft verwendet, um die Stärke großer kosmischer Magnetfelder abzuschätzen und den Inhalt der interstellaren und intergalaktischen Medien zu analysieren.

Erkennungshistorie

Diese Art von Strahlung wurde erstmals 1956 in einem von Messier 87 emittierten Jet von Geoffrey R. Burbidge entdeckt , der sie als Bestätigung einer Vorhersage von Iosif S. Shklovsky im Jahr 1953 ansah . Sie war jedoch schon früher (1950) von Hannes . vorhergesagt worden Alfven und Nicolai Herlofson. Sonneneruptionen beschleunigen Teilchen, die auf diese Weise emittieren, wie von R. Giovanelli 1948 vorgeschlagen und 1952 von JH Piddington beschrieben.

TK Breus stellte fest, dass vorrangige Fragen zur Geschichte der astrophysikalischen Synchrotronstrahlung kompliziert sind und schrieb:

Insbesondere der russische Physiker VL Ginzburg hat seine Beziehungen zum IS Shklovsky abgebrochen und 18 Jahre lang nicht mit ihm gesprochen. Im Westen stritten sich Thomas Gold und Sir Fred Hoyle mit H. Alfven und N. Herlofson, während KO Kiepenheuer und G. Hutchinson von ihnen ignoriert wurden.

Supermassive Schwarze Löcher wurden vorgeschlagen, um Synchrotronstrahlung zu erzeugen, indem Jets, die durch gravitativ beschleunigende Ionen durch die superverzerrten "röhrenförmigen" Polarbereiche von Magnetfeldern erzeugt werden, ausgestoßen werden. Solche Jets, deren nächste sich in Messier 87 befindet, wurden vom Hubble-Teleskop als scheinbar superluminal bestätigt und fliegen mit 6 × c (sechsfache Lichtgeschwindigkeit) von unserem Planetenrahmen. Dieses Phänomen wird dadurch verursacht, dass sich die Jets sehr nahe der Lichtgeschwindigkeit und in einem sehr kleinen Winkel zum Beobachter bewegen . Da die Hochgeschwindigkeitsjets an jedem Punkt ihrer Bahn Licht emittieren, nähert sich das von ihnen emittierte Licht dem Beobachter nicht viel schneller als der Jet selbst. Licht, das über Hunderte von Reisejahren emittiert wird, erreicht den Beobachter somit über einen viel kürzeren Zeitraum (zehn oder zwanzig Jahre), was die Illusion einer schnelleren als Lichtreise vermittelt, jedoch liegt keine Verletzung der speziellen Relativitätstheorie vor .

Pulsarwindnebel

Eine Klasse von astronomischen Quellen, bei denen Synchrotronemission wichtig ist, sind die Pulsarwindnebel , auch bekannt als Plerionen , für die der Krebsnebel und der zugehörige Pulsar archetypisch sind. Gepulste Emission von Gammastrahlung von der Krabbe wurde kürzlich bis zu ≥25 GeV beobachtet, wahrscheinlich aufgrund der Synchrotronemission von Elektronen, die in dem starken Magnetfeld um den Pulsar eingeschlossen sind. Die Polarisation im Krebsnebel bei Energien von 0,1 bis 1,0 MeV veranschaulicht eine typische Synchrotronstrahlung.

Interstellare und intergalaktische Medien

Vieles, was über die magnetische Umgebung des interstellaren Mediums und des intergalaktischen Mediums bekannt ist, stammt aus Beobachtungen von Synchrotronstrahlung. Elektronen der kosmischen Strahlung, die sich durch das Medium bewegen, interagieren mit relativistischem Plasma und emittieren Synchrotronstrahlung, die auf der Erde nachgewiesen wird. Die Eigenschaften der Strahlung erlauben Astronomen Rückschlüsse auf die magnetische Feldstärke und Orientierung in diesen Regionen, genaue Berechnungen der Feldstärke sind jedoch ohne Kenntnis der relativistischen Elektronendichte nicht möglich.

Formulierung

Liénard-Wiechert-Feld

Wir beginnen mit den Ausdrücken für das Liénard-Wiechert-Feld einer Punktladung von Masse und Ladung : ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mu_{0}q}{4\pi}}\left[{\frac {c\,{\hat {\mathbf{n}}}\times {\vec{\beta}}}{\gamma^{2}R^{2}\,(1-{\vec{\beta}}\mathbf{\cdot} {\hat {\mathbf {n}}})^{3}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {n}}}\times [\,{\dot {\vec {\beta}} }+{\hat{\mathbf{n}}}\times ({\vec {\beta}}\times {\dot {\vec {\beta}}})]}{R\,(1-{\ vec {\beta}}\mathbf {\cdot} {\hat {\mathbf {n}}})^{3}}}\right]_{\text{retardiert}},}$

( 1 )

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {{\hat {\mathbf { n} }}-{\vec {\beta}}}{\gamma^{2}R^{2}\,(1-{\vec {\beta}}\mathbf {\cdot} {\hat {\ mathbf {n} }})^{3}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {n}}}\times [({\hat {\mathbf {n} }}-{\vec {\ Beta}})\times {\dot {\vec {\beta}}}\,]}{c\,R\,(1-{\vec {\beta}}\mathbf {\cdot} {\hat{ \mathbf{n}}})^{3}}}\right]_{\text{retardiert}},}$

( 2 )

wobei R ( t ) = r − r ₀ ( t ′), R ( t ′) = | R ( t ′)| , und n ( t ′) = R ( t ′)/R ( t ′), das ist der Einheitsvektor zwischen dem Beobachtungspunkt und der Position der Ladung zum verzögerten Zeitpunkt, und t ′ ist der verzögerte Zeitpunkt .

In Gleichung ( 1 ) und ( 2 ) fallen die ersten Terme für B und E, die sich aus dem Teilchen ergeben, als das inverse Quadrat der Entfernung vom Teilchen ab, und dieser erste Term wird das verallgemeinerte Coulomb-Feld oder Geschwindigkeitsfeld genannt . Diese Terme stellen den statischen Feldeffekt des Teilchens dar, der eine Funktion der Komponente seiner Bewegung ist, die null oder konstante Geschwindigkeit hat , wie sie von einem entfernten Beobachter bei r gesehen wird . Im Gegensatz dazu fallen die zweiten Terme als inverse erste Potenz der Entfernung von der Quelle ab, und diese zweiten Terme werden Beschleunigungsfeld oder Strahlungsfeld genannt, weil sie Feldkomponenten aufgrund der Beschleunigung der Ladung (Geschwindigkeitsänderung) darstellen und sie stellen E und B dar, die als elektromagnetische Strahlung vom Teilchen an einen Beobachter bei r emittiert werden .

Wenn wir das Geschwindigkeitsfeld ignorieren , um nur die Leistung der emittierten EM-Strahlung zu bestimmen, kann die radiale Komponente des Poynting-Vektors, die sich aus den Liénard-Wiechert-Feldern ergibt, berechnet werden zu

${\displaystyle [\mathbf{S\cdot} {\hat{\mathbf{n}}}]={\frac {q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}c} }\left\{{\frac {1}{R^{2}}}\left|{\frac {{\hat {\mathbf {n} }}\times [({\hat {\mathbf {n} }}-{\vec {\beta}})\times {\dot {\vec {\beta}}}]}{(1-{\vec {\beta}}\mathbf {\cdot} {\hat{ \mathbf{n}}})^{3}}}\right|^{2}\right\}_{\text{retardiert}}.}$

( 3 )

Beachten Sie, dass:

• Die räumliche Beziehung zwischen β → und.→β bestimmt die detaillierte Winkelleistungsverteilung.
• Der relativistische Effekt der Transformation vom Ruhesystem des Teilchens in das des Beobachters manifestiert sich durch das Vorhandensein der Faktoren (1 − β → ⋅ n̂ ) im Nenner von Gl. ( 3 ).
• Bei ultrarelativistischen Teilchen dominiert letzterer Effekt die gesamte Winkelverteilung.

Die pro Raumwinkel abgestrahlte Energie während einer endlichen Beschleunigungsperiode von t ′ = T ₁ bis t ′ = T ₂ ist

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega}}}}&=R(t')^{2}\,[ \mathbf{S}(t')\mathbf{\cdot} {\hat{\mathbf{n}}}(t')]\,{\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d} t'}}=R(t')^{2}\,\mathbf{S}(t')\mathbf{\cdot} {\hat{\mathbf{n}}}(t')\,[1 -{\vec {\beta}}(t')\mathbf {\cdot} {\hat {\mathbf {n}}}(t')]\\&={\frac {q^{2}}{ 16\pi^{2}\varepsilon_{0}c}}\,{\frac{|{\hat{\mathbf{n}}}(t')\times \{[{\hat{\mathbf{ n} }}(t')-{\vec {\beta}}(t')]\times {\dot {\vec {\beta}}}(t')\}|^{2}}{[ 1-{\vec {\beta}}(t')\mathbf {\cdot} {\vec {\mathbf {n}}}(t')]^{5}}}.\end{ausgerichtet}}}$

( 4 )

Integrieren von Gl. ( 4 ) über alle Raumwinkel erhalten wir die relativistische Verallgemeinerung der Larmor-Formel

${\displaystyle P={\frac{q^{2}}{6\pi\varepsilon_{0}c}}\gamma^{6}\left[\left|{\dot {\vec {\beta} }}\right|^{2}-\left|{\vec {\beta}}\times {\dot {\vec {\beta}}}\right|^{2}\right].}$

Dies kann jedoch auch durch relativistische Transformation der 4-Beschleunigung in der Larmor-Formel abgeleitet werden.

Geschwindigkeit senkrecht zur Beschleunigung (v ⟂ a): Synchrotronstrahlung

In jedem Moment der Kreisbewegung, Beschleunigung .→βsteht senkrecht zur Geschwindigkeit β → . Wahl eines Koordinatensystems, bei dem β → momentan in z- Richtung liegt und.→βist in der x - Richtung, mit der Polar- und Azimutwinkeln θ und φ der Beobachtungsrichtung, der allgemeinen Formel Eq definieren. ( 4 ) reduziert auf

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega}}}}={\frac {q^{2}}{16\pi^{2}\ Epsilon _{0}c}}{\frac {|{\dot {\vec {\beta}}}|^{2}}{(1-\beta\cos\theta)^{3}}}\left [1-{\frac{\sin^{2}\theta\cos^{2}\phi}{\gamma^{2}(1-\beta\cos\theta)^{2}}}\right] .}$

Im relativistischen Limes lässt sich die Winkelverteilung näherungsweise schreiben als ${\displaystyle (\gamma\gg1)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} {\mathit {\Omega}}}}\simeq {\frac {2}{\pi}}{\frac {q^{ 2}}{c^{3}}}\gamma^{6}{\frac{|{\dot {\mathbf{v}}}|^{2}}{(1+\gamma^{2}\ Theta^{2})^{3}}}\left[1-{\frac {4\gamma^{2}\theta^{2}\cos^{2}\phi }{(1+\gamma^ {2}\theta^{2})^{2}}}\right].}$

Die Faktoren (1 − β cos θ ) in den Nennern kippen die Winkelverteilung nach vorne in einen engen Kegel wie der Strahl eines Scheinwerfers, der vor dem Teilchen zeigt. Eine Auftragung der Winkelverteilung ( d P /d Ω vs. γθ ) zeigt einen scharfen Peak um θ = 0 .

Wenn wir jegliche elektrische Kraft auf das Teilchen vernachlässigen, wird die gesamte abgestrahlte Leistung (über alle Raumwinkel) von Gl. ( 4 ) ist

${\displaystyle P={\frac{q^{2}}{6\pi\epsilon_{0}c}}\left|{\dot {\vec {\beta}}}\right|^{2} \gamma^{4}={\frac{q^{2}c}{6\pi\epsilon_{0}}}{\frac{\beta^{4}\gamma^{4}}{\rho ^{2}}}={\frac{q^{4}}{6\pi\epsilon_{0}m^{4}c^{5}}}B^{2}E^{2}\ Beta^{2}={\frac{q^{4}}{6\pi\epsilon_{0}m^{4}c^{5}}}B^{2}(E^{2}- m^{2}c^{4}),}$

wobei E die Gesamtenergie des Teilchens (kinetische plus Ruhe) ist, B das Magnetfeld ist und ρ der Krümmungsradius der Spur im Feld ist. Beachten Sie, dass die Strahlungsleistung proportional zu1/m ⁴, 1/ρ ²Und B ² . In manchen Fällen müssen die Oberflächen von Vakuumkammern, die von Synchrotronstrahlung getroffen werden, wegen der hohen Strahlungsleistung gekühlt werden.

Verwenden von

${\displaystyle B={\frac {E\beta }{q\,r\sin(\alpha)}},}$

wobei α der Winkel zwischen Geschwindigkeit und Magnetfeld und r der Radius der Kreisbeschleunigung ist, beträgt die abgegebene Leistung:

${\displaystyle P={\frac{q^{2}}{6\pi\epsilon_{0}m^{4}c^{5}r^{2}\sin^{2}(\alpha) }}E^{4}\beta^{4}={\frac{q^{2}}{6\pi \epsilon_{0}m^{4}c^{5}r^{2}\ sin ^{2}(\alpha)}}(E^{2}-m^{2}c^{4})^{2}.}$

Somit skaliert die emittierte Leistung als Energie in die vierte Potenz und nimmt mit dem Quadrat des Radius und der vierten Potenz der Teilchenmasse ab. Diese Strahlung begrenzt die Energie eines kreisförmigen Elektron-Positron-Beschleunigers. Im Allgemeinen werden Proton-Proton-Collider stattdessen durch das maximale Magnetfeld begrenzt; Deshalb hat beispielsweise der LHC eine 70-mal höhere Schwerpunktenergie als der LEP, obwohl die Protonenmasse etwa 2000-mal größer ist als die Elektronenmasse.

Strahlungsintegral

Die von einem Beobachter empfangene Energie (pro Raumwinkeleinheit an der Quelle) ist

${\displaystyle {\frac {d^{2}W}{d\Omega}}=\int_{-\infty}^{\infty }{\frac {d^{2}P}{d\Omega} }dt=c\varepsilon_{0}\int_{-\infty}^{\infty}\left|R{\vec{E}}(t)\right|^{2}dt.}$

Mit der Fourier-Transformation gelangen wir in den Frequenzraum

${\displaystyle {\frac {d^{2}W}{d\Omega}}=2c\varepsilon _{0}\int _{0}^{\infty}\left|R{\vec {E}} (\omega)\rechts|^{2}d\omega.}$

Winkel- und Frequenzverteilung der von einem Beobachter empfangenen Energie (betrachten Sie nur das Strahlungsfeld)

${\displaystyle {\frac {d^{3}W}{d\Omega d\omega}}=2c\varepsilon_{0}R^{2}\left|{\vec {E}}(\omega) \right|^{2}={\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}4\pi^{2}c}}\left|\int_{-\infty}^ {\infty }{\frac {{\hat{n}}\times \left[\left({\hat{n}}-{\vec {\beta}}\right)\times {\dot {\vec {\beta}}}\right]}{\left(1-{\hat{n}}\cdot {\vec {\beta}}\right)^{2}}}e^{i\omega (t -{\hat{n}}\cdot {\vec{r}}(t)/c)}dt\right|^{2}}$

Wenn wir also die Bewegung des Teilchens, den Kreuzproduktterm und den Phasenfaktor kennen, könnten wir das Strahlungsintegral berechnen. Berechnungen sind jedoch im Allgemeinen recht langwierig (selbst für einfache Fälle wie für die von einem Elektron in einem Biegemagneten emittierte Strahlung, die die Airy-Funktion oder die modifizierten Bessel-Funktionen erfordern ).

Beispiel 1: Magnet biegen

Integrieren

Trajektorie des Umfangsbogens ist

${\displaystyle {\vec {r}}(t)=\left(\rho\sin {\frac {\beta c}{\rho}}t,\rho\left(1-\cos {\frac {\ beta c}{\rho }}t\right),0\right).}$

Im Grenzfall kleiner Winkel berechnen wir

${\displaystyle {\hat{n}}\times \left({\hat{n}}\times {\vec {\beta}}\right)=\beta \left[-{\vec {\varepsilon}} _{\parallel}\sin\left({\frac{\betact}{\rho}}\right)+{\vec {\varepsilon}}_{\perp}\cos \left({\frac {\ beta ct}{\rho }}\right)\sin \theta \right]}$

${\displaystyle \omega \left(t-{\frac {{\hat{n}}\cdot {\vec {r}}(t)}{c}}\right)=\omega \left[t-{ \frac {\rho }{c}}\sin \left({\frac {\beta ct}{\rho}}\right)\cos \theta \right]}$

Einsetzen in das Strahlungsintegral und Einführung

${\displaystyle \xi ={\frac {\rho\omega }{3c\gamma^{3}}}\left(1+\gamma^{2}\theta^{2}\right)^{3/2 }}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}W}{d\Omega d\omega}}={\frac {3q^{2}}{16\pi^{3}\varepsilon_{0}c} }\left({\frac {2\omega \rho }{3c\gamma ^{2}}}\right)^{2}\left(1+\gamma^{2}\theta ^{2}\right )^{2}\left[K_{2/3}^{2}(\xi)+{\frac{\gamma^{2}\theta^{2}}{1+\gamma^{2}\ theta ^{2}}}K_{1/3}^{2}(\xi)\right],}$

( 5 )

wobei die Funktion K eine modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art ist.

Frequenzverteilung der abgestrahlten Energie

Aus Gl. ( 5 ) stellen wir fest, dass die Strahlungsintensität für vernachlässigbar ist . Die kritische Frequenz ist definiert als die Frequenz, wenn ξ =${\displaystyle \xi\gg 1}$1/2und θ = 0 . So,

${\displaystyle \omega_{\text{c}}={\frac{3}{2}}{\frac{c}{\rho}}\gamma^{3},}$

und kritischer Winkel ist definiert als der Winkel, für den und ist ungefähr ${\displaystyle \xi (\theta_{\text{c}})\simeq \xi (0)+1}$

${\displaystyle \theta_{\text{c}}\simeq {\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {2\omega_{\text{c}}}{\omega }} \right)^{1/3}.}$

Für Frequenzen viel größer als die Grenzfrequenz und Winkel viel größer als der Grenzwinkel ist die Synchrotronstrahlungsemission vernachlässigbar.

Durch Integration über alle Winkel erhalten wir die Frequenzverteilung der abgestrahlten Energie.

${\displaystyle {\frac {dW}{d\omega}}=\oint {\frac {d^{3}W}{d\omega d\Omega}}d\Omega ={\frac {{\sqrt { 3}}e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}c}}\gamma {\frac {\omega }{\omega_{\text{c}}}}\int_{\omega /\omega_{\text{c}}}^{\infty}K_{5/3}(x)dx}$

Wenn wir definieren

${\displaystyle S(y)\equiv {\frac {9{\sqrt {3}}}{8\pi}}y\int_{y}^{\infty}K_{5/3}(x)dx }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}S(y)dy=1,}$

wo y =ω/ω _c. Dann

${\displaystyle {\frac {dW}{d\omega}}={\frac {2q^{2}\gamma }{9\varepsilon_{0}c}}S(y)}$

Beachten Sie, dass

${\displaystyle {\frac {dW}{d\omega}}\sim {\frac {q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}c}}\times {\begin{cases}\left ({\frac {\omega \rho }{c}}\right)^{1/3}&\omega \ll\omega _{\text{c}}\\\gamma {\sqrt {\frac {3 \pi}{2}}}\left({\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac { \omega }{\omega_{\text{c}}}}\right)&\omega \gg\omega_{\text{c}}\end{cases}}}$

Die oben angegebene Formel für die spektrale Verteilung der Synchrotronstrahlung lässt sich als schnell konvergierendes Integral ohne besondere Funktionen (siehe auch modifizierte Bessel-Funktionen ) durch die Beziehung ausdrücken :

${\displaystyle \int _{\xi}^{\infty}K_{5/3}(x)dx={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {9+36x^{2}+16x^{4}}{(3+4x^{2}){\sqrt {1+x^{2}/3}}}}\exp \left [-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right ]\,dx}$

Synchrotronstrahlungsemission als Funktion der Strahlenergie

Definieren Sie zunächst die kritische Photonenenergie als

${\displaystyle \varepsilon_{c}=\hbar\omega_{\text{c}}={\frac{3}{2}}{\frac {\hbarc}{\rho}}\gamma ^{ 3}.}$

Dann wird die Beziehung zwischen Strahlungsleistung und Photonenenergie in der Grafik auf der rechten Seite gezeigt. Je höher die kritische Energie, desto mehr Photonen mit hohen Energien werden erzeugt. Beachten Sie, dass bei längeren Wellenlängen keine Abhängigkeit von der Energie besteht.

Polarisation von Synchrotronstrahlung

In Gl. ( 5 ) ist der erste Term die Strahlungsleistung bei Polarisation in der Bahnebene und der zweite Term die Polarisation orthogonal zur Bahnebene. ${\displaystyle K_{2/3}^{2}(\xi)}$${\displaystyle {\frac {\gamma^{2}\theta^{2}}{1+\gamma^{2}\theta^{2}}}K_{1/3}^{2}(\xi )}$

In der Bahnebene ist die Polarisation rein horizontal. Integrieren über alle Frequenzen erhalten wir die Winkelverteilung der abgestrahlten Energie ${\displaystyle\theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}W}{d\Omega}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d^{3}W}{d\omega d\Omega }}d\omega ={\frac{7q^{2}\gamma^{5}}{64\pi\varepsilon_{0}\rho}}{\frac{1}{(1+\gamma^{ 2}\theta^{2})^{5/2}}}\left[1+{\frac{5}{7}}{\frac{\gamma^{2}\theta^{2}}{ 1+\gamma^{2}\theta^{2}}}\right]}$

Integrieren über alle Winkel ergibt sich, dass bei paralleler Polarisation siebenmal so viel Energie abgestrahlt wird wie bei senkrechter Polarisation. Die Strahlung einer relativistisch bewegten Ladung ist in der Bewegungsebene sehr stark, aber nicht vollständig polarisiert.

Beispiel 2: Undulator

Lösung der Bewegungsgleichung und Undulatorgleichung

Ein Undulator besteht aus einer periodischen Anordnung von Magneten, die ein sinusförmiges Magnetfeld erzeugen.

${\displaystyle {\vec {B}}=\left(0,B_{0}\sin(k_{\text{u}}z),0\right)}$

Lösung der Bewegungsgleichung:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\frac {\lambda_{\text{u}}K}{2\pi\gamma}}\sin\omega_{\text{u}} t\cdot {\hat{x}}+\left({\bar{\beta_{z}}}ct+{\frac {\lambda_{\text{u}}K^{2}}{16\ pi\gamma^{2}}}\cos(2\omega_{\text{u}}t)\right)\cdot {\hat{z}}}$

wo

${\displaystyle K={\frac {qB_{0}\lambda_{\text{u}}}{2\pi mc}},}$

und

${\displaystyle {\bar {\beta_{z}}}=1-{\frac {1}{2\gamma ^{2}}}\left(1+{\frac {K^{2}}{ 2}}\rechts),}$

und der Parameter wird Undulatorparameter genannt . ${\displaystyle K}$

Bedingung für die konstruktive Interferenz der an verschiedenen Polen emittierten Strahlung ist

${\displaystyle d={\frac {\lambda_{\text{u}}}{\bar {\beta}}}-\lambda_{\text{u}}\cos\theta=n\lambda}$

Durch Erweiterung und Vernachlässigung der Terme in der resultierenden Gleichung erhält man ${\displaystyle \cos\theta\approx 1-{\frac {\theta^{2}}{2}}}$${\displaystyle O(\theta^{2})}$

${\displaystyle \lambda_{n}={\frac {\lambda_{\text{u}}}{2\gamma ^{2}n}}\left({\frac {1+{\frac {K ^{2}}{2}}+\gamma^{2}\theta^{2}}{\bar{\beta}}}\right)}$

Für , bekommt man endlich ${\displaystyle {\bar {\beta}}\rightarrow 1}$

${\displaystyle \lambda_{n}={\frac {\lambda_{\text{u}}}{2\gamma^{2}n}}\left(1+{\frac{K^{2} }{2}}+\gamma^{2}\theta^{2}\right)}$

Diese Gleichung wird Undulatorgleichung genannt .

Strahlung vom Undulator

Strahlungsintegral ist

${\displaystyle {\frac {d^{3}W}{d\Omega d\omega}}={\frac {q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}4\pi^{2 }c}}\left|\int_{-\infty}^{\infty }{\frac {{\hat{n}}\times \left[\left({\hat{n}}-{\vec {\beta}}\right)\times {\dot {\vec {\beta}}}\right]}{\left(1-{\hat{n}}\cdot {\vec {\beta}}\ rechts)^{2}}}e^{i\omega (t-{\hat{n}}\cdot {\vec {r}}(t)/c)}dt\right|^{2}}$

Mit Hilfe der Periodizität der Trajektorie können wir das Strahlungsintegral in eine Summe über Terme aufspalten , wobei die Gesamtzahl der Biegemagnete des Undulators ist. ${\displaystyle N}$${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}W}{d\Omega d\omega}}={\frac {q^{2}\omega ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} 4\pi^{2}c}}\left|\int_{-\lambda_{u}/2{\bar{\beta}}c}^{\lambda_{u}/2{\bar{ \beta}}c}{\hat{n}}\times \left({\hat{n}}\times {\vec {\beta}}\right)e^{i\omega (t-{\hat {n}}\cdot {\vec {r}}(t)/c)}dt\right|^{2}\left|1+e^{i\delta}+e^{2i\delta }+\ cdots +e^{i(N_{u}-1)\delta }\right|^{2}}$

wo 　${\displaystyle {\bar{\beta}}=\beta\left(1-{\frac{K^{2}}{4\gamma^{2}}}\right)}$

und ,　, und　${\displaystyle \delta ={\frac {2\pi\omega }{\omega _{\text{res}}(\theta)}}}$${\displaystyle \omega_{\text{res}}(\theta)={\frac {2\pi c}{\lambda_{\text{res}}(\theta)}}}$${\displaystyle \lambda_{\text{res}}(\theta)={\frac {\lambda_{u}}{2\gamma^{2}}}\left(1+{\frac{K^ {2}}{2}}+\gamma^{2}\theta^{2}\right)}$

Das Strahlungsintegral in einem Undulator kann geschrieben werden als

${\displaystyle {\frac {d^{3}W}{d\Omega d\omega}}={\frac {q^{2}\gamma^{2}N^{2}}{4\pi\ varepsilon_{0}c}}L\left(N{\frac{\Updelta \omega_{n}}{\omega_{\text{res}}(\theta)}}\right)F_{n} (K,\theta,\phi).}$

wo ist die Frequenzdifferenz zur n-ten Harmonischen. Die Summe von δ erzeugt eine Reihe scharfer Spitzen in den Frequenzspektrum-Oberwellen der Grundwellenlänge ${\displaystyle \Updelta \omega_{n}=\omega -n\omega_{\text{res}}}$

${\displaystyle L\left(N{\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{\text{res}}(\theta)}}\right)={\frac {\sin^{ 2}\left(N\pi\Updelta\omega_{n}/\omega_{\text{res}}(\theta)\right)}{N^{2}\left(\pi\Updelta \omega _{n}/\omega_{\text{res}}(\theta)\right)^{2}}},}$

und F _n hängt von den Beobachtungswinkeln ab und K

${\displaystyle F_{n}(K,\theta,\phi)\propto\left|\int_{-\lambda_{u}/2{\bar{\beta}}c}^{\lambda_{ u}/2{\bar{\beta}}c}{\hat{n}}\times \left({\hat{n}}\times {\vec {\beta}}\right)e^{i \omega (t-{\hat{n}}\cdot {\vec{r}}(t)/c)}dt\right|^{2}.}$

Auf der Achse ( θ = 0, φ = 0 ) wird das Strahlungsintegral zu

${\displaystyle {\frac {d^{3}W}{d\Omega d\omega}}={\frac {e^{2}\gamma^{2}N^{2}}{4\pi\ varepsilon _{0}c}}L\left(N{\frac {\Updelta \omega_{n}}{\omega_{\text{res}}(0)}}\right)F_{n}( K,0,0)}$

und

${\displaystyle F_{n}(K,0,0)={\frac {n^{2}K^{2}}{1+K^{2}/2}}\left[J_{\frac { n+1}{2}}(Z)-J_{\frac{n-1}{2}}(Z)\right]^{2},}$

wo ${\displaystyle Z={\frac {nK^{2}}{4(1+K^{2}/2)}}}$

Beachten Sie, dass nur ungerade Harmonische auf der Achse abgestrahlt werden und mit steigendem K höhere Harmonische stärker werden.

Siehe auch

• Bremsstrahlung
• Zyklotronumsatz
• Freie-Elektronen-Laser
• Strahlungsreaktion
• Relativistisches Beamen
• Sokolov-Ternov-Effekt
• Synchrotron-Funktion

Anmerkungen

Verweise

• Brau, Charles A. Moderne Probleme der klassischen Elektrodynamik. Oxford University Press, 2004. ISBN  0-19-514665-4 .
• Jackson, John David. Klassische Elektrodynamik. John Wiley & Sons, 1999. ISBN  0-471-30932-X
• Ishfaq Ahmad , D.Sc. "Messungen der relativen Oszillatorstärken unter Verwendung der Synchrotronstrahlung" (PDF) . Proceedings of the National Syposium on Frontier of Physics, National Center for Theoretical Physics . Pakistanische Physikalische Gesellschaft . Abgerufen am 16. Januar 2012 .

Externe Links

• Kosmische Magnetobremsstrahlung (Synchrotronstrahlung) , von Ginzburg, VL, Syrovatskii, SI, ARAA, 1965
• Entwicklungen in der Theorie der Synchrotronstrahlung und ihrer Reabsorption , von Ginzburg, VL, Syrovatskii, SI, ARAA, 1969
• Lichtquellen.org
• BioSync – eine Ressource für Strukturbiologen für Hochenergie-Datenerfassungseinrichtungen
• Röntgendatenbroschüre